第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇__5_充分條件與必要條件

充分條件與必要條件

教材分析

充分條件與必要條件是簡易邏輯的重要內容．學習數學需要全面地理解概念，正確地進行表述、判斷和推理，這就離不開對充分條件與必要條件的掌握和運用，而且它們也是認識問題、研究問題的工具．這節內容在“四種命題”的基礎上，通過若干實例，總結出了充分條件、必要條件和充要條件的概念，給出了判斷充分條件、必要條件的方法和步驟．教學的重點與難點是關于充要條件的判斷．

教學目標

1.結合實例，理解充分條件、必要條件、充要條件的意義． 2.理解充要條件，掌握判斷充要條件的方法和步驟．

3.通過充要條件的學習，培養學生對數學的理解能力和邏輯推理能力，逐步提高學生分析問題、解決問題的能力．

任務分析

這節內容是學生在學習了“四種命題”、會判斷一個命題的真假的基礎上，主要根據“pq”給出了充分條件、必要條件及充要條件．雖然從實例引入，但是學生對充分條件、必要條件的理解，特別是對必要條件的理解有一定困難．對于本節內容的學習，首先要分清誰是條件，誰是結論，其次要進行兩次推理或判斷．

（1）若“條件（2）若“條件結論”，則條件是結論的充分條件，或稱結論是條件的必要條件． 結論”，則條件是結論的不充分條件，或稱結論是條件的不必要條件．

教學設計

一、問題情境 ［提出問題］

1.寫出命題“若x＞0，則x2＞0”的逆命題、否命題和逆否命題，并分別判斷原命題、逆命題、否命題、逆否命題的真假．

原命題：若x＞0，則x2＞0．真命題． 逆命題：若x2＞0，則x＞0．假命題． 否命題：若x≤0，則x2≤0．假命題． 逆否命題：若x2≤0，則x≤0．真命題．

2.“若p則q”形式的命題，其中有的命題為真，有的命題為假． “若p則q”為真，即如果p成立，那么q一定成立，記作p

q或q

p．

q． “若p則q”為假，即如果p成立，那么q不一定成立，即由p推不出q，記作p［進一步的問題］

“若x＞0，則x2＞0”，為真，可記作“p（1）x＞0是x2＞0的什么條件？（2）x2＞0是x＞0的什么條件？

二、建立模型

1.學生分析討論，教師點拔（1）x＞0x2＞０，x＞0是x2＞0的什么條件？

q”．

在這個問題中，“x＞0”是“條件”，“x2＞0”是“結論”；已知x＞0x2＞0表示若“條件”成立，則“結論”一定成立，說明“條件”蘊涵“結論”，說明“條件”是“結論”的充分條件．

（2）x2＞0x＞0，x2＞0是x＞0的什么條件？

在這個問題中，“x2＞0”是“條件”，“x＞0”是“結論”；已知x＞0x2＞0表示若“結論”成立，則“條件”一定成立，說明“結論”蘊涵“條件”，即若“條件”成立，則“結論”不一定成立，說明“結論”是“條件”的必要條件．

2.師生共同參與，給出充分條件、必要條件的定義 如果已知p3.充要條件

問題：記p：三角形的三條邊相等，q：三角形的三個角相等．問：p是q的什么條件？ 解：（1）p（2）qq，即p是q的充分條件． q，那么，p是q的充分條件，q是p的必要條件．

p，即p是q的必要條件．

綜合（1）（2），我們就說p是q的充要條件． 如果pq，且qp，記作pq，這時，p既是q的充分條件，又是q的必要條件，那么就說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．

4.提出問題，組織學生討論 如何判斷充要條件？

（1）分清誰是條件p，誰是結論q．（2）進行兩次推理或判斷，即判斷p（3）根據（2）寫出結論．

三、解釋應用 ［例 題］

1.指出下列各組命題中，p是q的什么條件，q是p的什么條件．（1）p：x＞0；q：x2＞0．

（p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件）（2）p：x＝y；q：x2＝y2．

（p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件）（3）p：兩三角形面積相等；q：兩三角形全等．（p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件）（4）p：兩直線平行；q：內錯角相等．（p是q的充要條件，q是p的充要條件）（5）p：x＝y；q：x2＋y2＝1．

（p是q的既不充分又不必要條件，q是p的既不充分又不必要條件）2.指出下列各組命題中，p是q的什么條件．（1）p：（x－2）（x－3）＝0；q：x＝3．（2）p：四邊形對角線相等；q：四邊形是矩形．（3）p：a≠0；q：a·b≠0．

q是否成立，q

p是否成立．（4）p：a＋5是無理數；q：a是無理數．（5）p：x≤5；q：x≤3． ［練習］

1.下列各組命題中的p是q的什么條件？（1）p：x2＋y2＝0，q：x·y＝0．

（2）p：m＞0；q：x2＋x－m＝0有實數根．（3）p：a＞b；q：a2＞b2．

（4）p：x2＝3x＋4；q：x＝（5）p：x＞-1；q：x＞1．

（6）p：a，b都是偶數；q：a＋b是偶數．

2.（1）如果原命題若p則q為真而逆命題為假，那么p是q的條件．（2）如果原命題若p則q為假而逆命題為真，那么p是q的條件．（3）如果原命題若p則q與其逆命題都為真，那么p是q的條件．（4）如果原命題若p則q與其逆命題都為假，那么p是q的條件．

四、拓展延伸

1.已知p，q都是r的必要條件，S是r的充分條件，q是S的充分條件，那么，（1）S是q的什么條件？（2）r是q的什么條件？（3）p是q的什么條件？

2.“關于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個負的實根”的充要條件是什么？ 3.“3x2－10x＋k＝0有兩個同號且不相等實根”的充要條件是什么？

點 評 這篇案例注重新、舊知識的內在聯系，以舊引新，過渡自然．首先，復習已學過的知識“四種命題”和判斷命題的真假，并以此巧妙地引出了推斷符號pq，pq．其次，在此基礎上，通過實例，創設問題情境，引出課題p是q的什么條件．最后，明確充要條件，并給出判斷充要條件的方法和步驟．環環相扣，層層深入，重點突出，抓住了關鍵．例題與練習由淺入深，符合學生的認知規律．拓展延伸富有新意，有利于培養學生的探索能力和創新意識，有利于培養學生的思維能力和思維品質，整個設計圓滿地完成了教學任務．

第二篇：新課程高中數學教學設計與案例

新課程高中數學教學設計與案例

李代友

直線與平面平行的性質

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質定理的實際應用，讓學生體會定理的現實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質定理；

難點：直線與平面平行性質定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關知識并由現實問題引入課題

引導學生探索、發現直線與平面平行的性質定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結與作業4.教學過程

教師活動學生活動設計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關的知識：線線、線面的位置關系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備。【引入】(1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質》這一節課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質的現實意義。【設問】

(1)提出本節《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內的直線有哪些位置關系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內的任何直線都無公共點 a與α內的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結論：與平面平行的直線并不與這個平面內的所有直線都平行。(2)學生由實驗結果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹的分析，確定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結論，提高學生的探索問題的熱情。續表

教師活動學生活動設計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-ABCD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發現AC的特殊位置關系。(2)由上面特殊例子的啟發，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續表教師活動學生活動設計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數第一段的內容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數第一段的內容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法。【鞏固練習】

一、提出本節開始提出的問題(2)，讓學生自由發言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解。【講解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結】(1)直線與平面平行的性質定理；(2)直線與平面平行性質定理的應用。

【作業】習題22A組第5、6題總結歸納學習內容，安排適當的課后練習

第三篇：第二部分高中數學新課程創新教學設計案例

第二部分 高中數學新課程創新教學設計案例

正弦函數的性質

教材分析

這篇案例的內容是在學生已經掌握正弦函數圖像的基礎上，通過觀察、歸納和總結，得出正弦函數的五個重要性質，即正弦函數的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．教學重點是正弦函數的圖像特征及五個重要性質，難點是周期函數及最小正周期的意義．由于周期函數的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結出正弦函數的圖像特征，并抽象出函數性質，培養學生觀察、分析圖像的能力和數形結合的能力．

2.理解和掌握正弦函數的五個重要性質，能夠解決與正弦函數有關的函數的值域、最小正周期及單調區間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數學的學習興趣．

任務分析

這節內容是在學生已經掌握了正弦函數圖像特征的基礎上，運用數學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數的五個性質．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調性等，但對于周期性及單調區間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數，還應強調以下幾點： 1.x應是“定義域內的每一個值”．

2.對于某些周期函數，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

教學設計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結

我們學習過正弦函數圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現了正弦函數怎樣的性質呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數的性質：

注：由此學生得出正弦函數的如下性質：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現了正弦函數的什么性質呢？

（設計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數學中的這種周期性變化能否用一個數學式子來體現？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數的定義：

一般地，對于函數y＝f（x），如果存在一個非零常數T，使定義域內的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數f（x）就叫作周期函數，非零常數Ｔ叫作這個函數的周期．

說明：若學生歸納和總結出周期函數的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數值就重復出現，那么這個函數就叫作周期函數．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

3.深化定義的內涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數（2）函數f（x）＝c是周期函數嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數的性質

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數的定義域、值域、周期性等性質，除此之外，正弦函數還有哪些性質呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數是奇函數，其圖像關于原點對稱． 單調性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數，其值從1減正弦函數在每一個閉區間［－增大到1；在每一個閉區間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數y＝sinx與函數y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設t＝sinx，則y＝二次函數的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數的最值，以及使函數取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發現？（這類函數的周期好像只與x的系數有關）

（2）一般地，函數y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數的單調區間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，下面是該港口的水深表： 表35-1

經過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據數據表和曲線，求出函數y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第四篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇__44_數列

數列

教材分析

這節課主要研究數列的有關概念，并運用概念去解決有關問題，其中，對數列概念的理解及應用，既是教學的重點，也是教學的難點．

教學目標

1.理解數列及數列的通項公式等有關概念，會根據一個數列的有限項寫出這個數列的一個通項公式．

2.了解遞推數列，并會由遞推公式寫出此數列的若干項． 3.進一步培養學生觀察、歸納和猜想的能力．

任務分析這節內容以往很少涉及，對學生來說，既新又抽象，所以，須要依靠實例進行教學．數列與函數的關系應在函數定義的基礎上加以理解．由若干項寫出數列的一個通項公式是難點，但這又是鍛煉學生的歸納、猜想能力的極好機會，應大膽讓學生親自歸納和猜想．

教學設計

一、問題情景

傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數．比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱為三角形數．類似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱為正方形數．

二、建立模型

1.引導學生觀察、分析數列的順序要求，設法用自己的語言描述出數列的定義及有窮數列、無窮數列、遞增數列、擺動數列等有關概念像1，4，9，16，…等按照一定規律排列的一列數，就叫作數列．

［練習］

下面的數列，哪些是遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列？（1）全體自然數構成數列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數（單位：萬人）構成數列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無窮多個3構成數列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構成數列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構成數列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構成數列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導學生根據實例、項和第n項等概念發現數列與函數的關系

如：數列1，2，0，－1，3，8，…，第1項是1，第4項是－1，……由此可以發現，對于一個給定的數列，當確定了項的位置后，這個數列的項也隨之唯一確定．一般地，數列可以看作定義域為Ｎ（或其子集）的函數當自變量依次為1，2，3，…時的一系列函數值．

［問 題］ 數列既然可以看作一列函數值，那么“這個函數”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據學生的討論，探究，得出：數列可以用列表、圖像和函數解析式來表示，從而，解析式即為數列的通項公式．

三、解釋應用 ［例 題］

1.寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫成n-

1也可以寫成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對于（2），可以引導學生得到不同的結論，從而發現，根據數列的前若干項寫出的通項公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形．在下圖4個三角形中，黑色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，請寫出這個數列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個三角形中的黑色三角形的個數依次為1，3，9，27，則所求數列的前4項都是3的指數冪，并且指數為序號減1．所以，這個數列的一個通項公式是an＝3n-1．

在直角坐標系中的圖像見下圖：

3.設數列滿足試寫出這個數列的前5項． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數列的方法叫逆推法． ［練習］

1.數列的前5項分別是以下各數，試分別寫出各數列的一個通項公式．

2.已知數列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫出它的前5項． 3.已知數列的通項公式為an＝n2－10n＋10，那么這個數列從第n項起各項的數值是否逐漸增大？從第n項起各項的數值是否均為正數？

四、拓展延伸

教師引導學生分析思考下面的兩個問題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數列｛an｝滿足，問：此數列有無最大項和最小項？

2.通常用Sn表示數列｛an｝的前n項的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點 評

這篇案例通過實例闡述了數列的有關概念，注意揭示了知識發生、發展的過程，比較好地調動了學生參與探索的積極性和主動性．問題情景設計新穎，合理；問題提出得準確，恰當；總體設計完整，清晰．另外，該案例還關注了學生科學地提出和解決問題的能力的培養． 美中不足的是，自“問題情景”到“建立模型”兩個環節的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過簡．

第五篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇31-34_三角函數

角的概念的推廣

教材分析

這節課主要是把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角．首先通過生產、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節課中，重點是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會在平面內建立適當的坐標系，通過數形結合來認識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學好這節的關鍵．

教學目標

1.通過實例，體會推廣角的必要性和實際意義，理解正角、負角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過對“由一點出發的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點旋轉而形成角”的認識過程，使學生感受“動”與“靜”的對立與統一．培養學生用運動變化的觀點審視事物，用對立統一規律揭示生活中的空間形式和數量關系．

教學設計

一、問題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運動．

2.體操運動員、跳臺跳板運動員的前、后轉體動作． 3.鐘表秒針的轉動． 4.自行車輪子的滾動． ［問 題］

1.如果觀覽車兩邊各站一人，當觀覽車轉了兩周時，他們觀察到的觀覽車上的某個座位上的游客進行了怎樣的旋轉，旋轉了多大的角？

2.在運動員“轉體一周半動作”中，運動員是按什么方向旋轉的，轉了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當時間過了1.5min時）是按什么方向轉動的，轉動了多大角？ 4.當自行車的輪子轉了兩周時，自行車輪子上的某一點，轉了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認識范圍．本節課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎上，把角的概念加以推廣，為進一步研究三角函數作好準備．

二、建立模型

1.正角、負角、零角的概念

在平面內，一條射線繞它的端點旋轉有兩個方向：順時針方向和逆時針方向．習慣上規定，按逆時針旋轉而成的角叫作正角；按順時針方向旋轉而成的角叫作負角；當射線沒有旋轉時，我們也把它看成一個角，叫作零角．

2.象限角

當角的頂點與坐標原點重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標系中作出390°，－330°角的終邊，不難發現，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個角都可以表示成0°～360°角與k個（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數個周角的和．

三、解釋應用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內，終邊在ｙ軸上的角有兩個，即90°，270°．因此，與這兩個角終邊相同的角構成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練習］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關系是．

2.如果α在第二象限時，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標軸上的情況．

（2）研究在哪個象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

任意角的三角函數

教材分析

這節課是在初中學習的銳角三角函數的基礎上，進一步學習任意角的三角函數．任意角的三角函數通常是借助直角坐標系來定義的．三角函數的定義是本章教學內容的基本概念和重要概念，也是學習后續內容的基礎，更是學好本章內容的關鍵．因此，要重點地體會、理解和掌握三角函數的定義．在此基礎上，這節課又進一步研討了三角函數的定義域，函數值在各象限的符號，以及誘導公式

（一），這既是對三角函數的簡單應用，也是為學習后續內容做了必要準備．

教學目標

1.讓學生認識三角函數推廣的必要性，經歷三角函數的推廣的過程，增強對數的理解能力．

2.理解和掌握三角函數的定義，在此基礎上探索與研究三角函數定義域、三角函數值的符號和誘導公式

（一），并能初步應用它們解決一些問題．

3.通過對任意角的三角函數的學習，初步體會數學知識的發生、發展和運用的過程，提高學生的科學思維水平．

教學設計

一、情景設置

初中我們學習過銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對應邊的比值為函數值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數．這節課，我們研究當α是一個任意角時的三角函數的定義．

在初中，三角函數的定義是借助直角三角形來定義的．如圖32-1，在Rt△ABC中，現在，把三角形放到坐標系中．如圖32-2，設點B的坐標為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，從而

即角α的三角函數可以理解為坐標的比值，在此意義下對任意角α都可以定義其三角函數．

二、建立模型

一般地，設α是任意角，以α的頂點O為坐標原點，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點的任一點．如圖：

那么，OP＝，記作r，（r＞0）．

對于三個量x，y，r，一般地，可以產生六個比值：.當α確定時，根據初中三角形相似的知識，可知這六個比值也隨之相應的唯一確定．根據函數的定義可以看出，這六個比值都是以角為自變量的函數，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數，記為

稱之為α

對于定義，思考如下問題：

1.當角α確定后，比值與P點的位置有關嗎？為什么？

2.利用坐標法定義三角函數與利用直角三角形定義三角函數有什么關系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎？為什么？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知角α的終邊經過P（－2，3），求角α的六個三角函數值． 思考：若P（－2，3）變為（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六個三角函數值．

注：強化定義． ［練習］

1.已知角α的終邊經過下列各點，求角α的六個三角函數值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.計 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸 1.由于角的集合與實數集之間可以建立一一對應的關系，三角函數可以看成以實數為自變量的函數，如sina＝，不論α取任何實數，恒有意義，所以sina的定義域為｛α｜α∈R｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．

2.根據三角函數的定義以及x，y，r在不同象限內的符號，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個象限的符號．

3.計算下列各組角的函數值，并歸納和總結出一般性的規律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

規律：終邊相同的角有相同的三角函數值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、應用與深化 ［例 題］

1.確定下列三角函數值的符號．

2.求證：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．

必要性：若θ為第三象限角，由三角函數值在各個象限的符號，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結論成立． ［練習］

1.設α是三角形的一個內角，問：在sina，cosa，tana，tan取負值？為什么？

中，哪些三角函數可能2.函數 的值域是 ____________ ．

同角三角函數的基本關系式

教材分析

這節課主要是根據三角函數的定義，導出同角三角函數的兩個基本關系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應用．教學重點是公式sina＋cosa的推導及以下兩類基本應用：

2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數．（2）化簡三角函數式及證明簡單的三角恒等式．

其中，已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時，正負號的選擇是本節的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關鍵；證明恒等式是這節課的另一個難點．課堂上教師應放手讓學生獨立解決問題，優化自己的解題過程．

教學目標

1.讓學生經歷同角三角函數的基本關系的探索、發現過程，培養學生的動手實踐、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函數的基本關系式，并能初步運用它們解決一些三角函數的求值、化簡、證明等問題，培養學生的運算能力，邏輯推理能力．

3.通過同角三角函數基本關系的學習，揭示事物之間的普遍聯系規律，培養學生的辯證唯物主義世界觀．

任務分析 這節課的主要任務是引導學生根據三角函數的定義探索出同角三角函數的兩個基本關系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應用．由于該節內容比較容易，所以，課堂上無論是關系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成，即由學生自己把要學的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調：（1）“同角”二字的含義．（2）關系式的適用條件．（3）化簡題最后結果的形式．（4）怎樣優化解題過程．

教學設計

一、問題情境

教師出示問題：上一節內容，我們學習了任意角α的六個三角函數及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯系嗎？你能得出它們之間的直接關系嗎？

二、建立模型

1.引導學生寫出任意角α的六個三角函數，并探索它們之間的關系

在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數值是

2.推導同角三角函數關系式

引導學生通過觀察、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關系．（1）平方關系：sin2a＋cos2a＝1．

（2）商數關系：t：

說明：①當放手讓學生推導同角三角函數的基本關系時，部分學生可能會利用三角函數線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結論．對于這種推導方法，教師也應給以充分肯定，并進一步引導學生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．

②除以上兩個關系式外，也許部分學生還會得出如下關系式：.教師點撥：這些關系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔，只須記住（1）和（2）即可．以上關系式均為同角三角函數的基本關系式．

教師啟發：（1）對“同角”二字，大家是怎樣理解的？（2）這兩個基本關系式中的角α有沒有范圍限制？

（3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯系，大家只要養成善于觀察的習慣，也許每天都會有新的發現．剛才我們發現了同角三角函數的基本關系式，那么這些關系式能用于解決哪些問題呢？

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

說明：這兩個題是關系式的基本應用，應讓學生獨立完成．可選兩名同學到黑板前板書，以便規范解題步驟．

變式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題的解答過程．

解：由題意和基本關系式，列方程組，得

由②，得sinα＝－

cosα，代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝

．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

當α是第二象限角時，cosα＝－，代入②式，得；

當α是第四象限角時，cosα＝，代入②式，得.小結：由平方關系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應針對α可能所處的象限，分類討論．

變式2 把例2變為：

已知tanα＝－，求的值．

解法1：由tanα＝－及基本關系式可解得

針對兩種情況下的結果居然一致的情況，教師及時點撥：

觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學生得到如下解法：

由此，引出變式3．

已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一題的經驗，學生會得到如下解法：

教師歸納、啟發：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？

學生得到如下解法：

教師引導學生反思、總結：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應盡量避免．

（2）當式子為分式且分子、分母都為三角函數的n（n∈N且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優化解題過程．

［練習］

當學生完成了以上題目后，教師引導學生討論如下問題：

（1）化簡題的結果一定是“最簡”形式，對三角函數的“最簡”形式，你是怎樣理解的？（2）關于三角函數恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發現了一些技巧？

四、拓展延伸

教師出示問題，啟發學生一題多解，并激發學生的探索熱情．

已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．

解法1：由sinα－cosα＝－，得

反思：（1）解法1的結果比解法2的結果多了一個，看來產生了“增根”，那么，是什么原因產生了增根呢？

（2）當學生發現了由sinα－cosα＝－α的范圍變大了時，教師再點撥：

怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學生得出如下正確答案：

得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜強調：非等價變形是解法1出錯的關鍵！

誘導公式 教材分析

這節內容以學生在初中已經學習了銳角的三角函數值為基礎，利用單位圓和三角函數的定義，導出三角函數的五組誘導公式，即有關角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過運用這些公式，把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值，從而滲透了把未知問題化歸為已知問題的化歸思想．這節課的重點是后四組誘導公式以及這五組公式的綜合運用．把這五組公式用一句話歸納出來，并切實理解這句話中每一詞語的含義，是切實掌握這五組公式的難點所在．準確把握每一組公式的意義及其中符號語言的特征，并且把公式二、三與圖形對應起來，是突破上述難點的關鍵．

教學目標

1.在教師的引導下，啟發學生探索發現誘導公式及其證明，培養學生勇于探求新知、善于歸納總結的能力．

2.理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導公式，并能應用這些公式解決一些求值、化簡、證明等問題．

3.讓學生體驗探索后的成功喜悅，培養學生的自信心．

4.使學生認識到轉化“矛盾”是解決問題的有效途徑，進一步樹立化歸思想．

任務分析

誘導公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數值轉化為求銳角的三角函數值．在五組誘導公式中，關于180°＋α與－α的誘導公式是最基本的，也是最重要的．在推導這兩組公式時，應放手讓學生獨立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－α與角α的終邊”之間的位置關系，從而完成公式的推導．此外，要把90°～360°范圍內的三角函數轉化為銳角的三角函數，除了利用第二、四、五個公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數值之間的關系．應引導學生在掌握前五組誘導公式的基礎上進一步探求新的關系式，從而使學生在頭腦中形成完整的三角函數的認知結構．

教學設計

一、問題情境 教師提出系列問題

1.在初中我們學習了求銳角的三角函數值，現在角的概念已經推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值呢？

2.當α＝390°時，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3.由2你能否得出一般性的結論？試說明理由．

二、建立模型 1.分析1 在教師的指導下，學生獨立推出公式

（一），即

2.應用1 在公式的應用中讓學生體會公式的作用，即把任意角的三角函數值轉化為0°～360°范圍內的角的三角函數值．

練習：求下列各三角函數值．

（1）cos3.分析2 π．

（2）tan405°．

如果能夠把90°～360°范圍內的角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值，即可實現“把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值”的目標．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯系，進而求出其余弦值？

引導學生利用三角函數的定義并借助圖形，得到如下結果：

cos120°＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－，cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－，cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝4.分析3

．

一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關系如何？你能證明自己的結論嗎？由學生獨立完成下述推導： 設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長線，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點P′與點P關于原點O對稱．

由此可知，點P′的坐標是（－x，－y）．

又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sinα＝y，tanα＝（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝從而得到：

．，cos（180°＋α）＝－x，sin

5.分析4 在推導公式三時，學生會遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關系不容易判斷．這時，教師可引導學生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數值轉化為－α的三角函數值，然后通過尋找－α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系，使原問題得到解決．

由學生獨立完成如下推導：

如圖，設任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點P′．∵這兩個角的終邊關于ｘ軸對稱，∴點P′的坐標是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x，sin（－α）＝－y，tan（－α）＝從而得到：

進而推出：

注：在問題的解決過程中，教師要注意讓學生充分體驗成功的快樂． 6.教師歸納

公式

（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數轉化為α的三角函數．那么，在轉化過程中，發生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規律？

引導學生進行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數值，等于α的同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，還可編成一句口訣“函數名不變，符號看象限”．

三、解釋應用 ［例 題］

1.求下列各三角函數值．

通過應用，讓學生體會誘導公式的作用：

①把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數，其一般步驟為

評注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過程將變得煩鎖．以此提醒學生注意選取合理形式解決問題．

四、拓展延伸

教師出示問題：前面我們利用三角函數的定義及對稱性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數與角α的三角函數之間的關系，這些角有一個共同點，即：均為180°的整數倍加、減α．但是，在解題過程中，還會遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫成180°－60°，也可以寫成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數與α的三角函數有著怎樣的關系呢？

學生探究：經過獨立探求后，有學生可能會得到如下結果：

設角α的終邊與單位圓交于點P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y′． 過P作PM⊥x軸，垂足為M，過P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y′，y＝x′．

進而得到cos（90°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對此結論和方法，教師不宜作任何評論，而應放手讓學生展開辯論和交流，最后得到正確結果：

由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長度相等，而當點P在第一象限時，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0，又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到：

教師進一步引導：

（1）推導上面的公式時，利用了點P在第一象限的條件．當點Ｐ不在第一象限時，是否仍有上面的結論？

（通過多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學生理解公式六中的角α可以為任意角）

（2）推導公式六時，采用了初中的平面幾何知識．是否也能像推導前五組公式那樣采用對稱變換的方式呢？

學生探究：學生先針對α為銳角時的情況進行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設角α的終邊與單位圓交點為P（x，y），（如圖）．由于角α的終邊經過下述變換：2（軸的對稱點P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x．

＋α的終邊與單位圓的交點為P′（x′，y′）－α）＋2a＝，即可得到

＋α的終邊．這是兩次對稱變換，即先作P關于直線y＝x的對稱點M（y，x），再作點M關于y

由此，可進一步得到：

教師歸納：公式六、七、八、九也稱作誘導公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數轉化為α的三角函數．

引導學生總結出：

90°±α，270°±α的三角函數值等于α的余名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．

兩套公式合起來，可統一概括為 對于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數值，當k為偶數時，得α的同名函數值；當k為奇數時，得α的余名函數值．然后，均在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號看象限”．