第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇__40-43平面向量

平面向量的數量積

教材分析

兩個向量的數量積是中學代數以往內容中從未遇到過的一種新的乘法，它區別于數的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發，引出平面向量數量積的概念和性質及其幾何意義，介紹向量數量積的運算律及坐標表示．向量的數量積把向量的長度和三角函數聯系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節內容是整個向量部分的重要內容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內容的學習．這節內容的教學難點是對平面向量數量積的定義及運算律的理解和對平面向量數量積的應用．

教學目標

1.理解并掌握平面向量的數量積、幾何意義和數量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

2.通過對數量積的引入和應用，初步體會知識發生、發展的過程和運用過程，培養學生的科學思維習慣．

任務分析

兩個向量的數量積從形式和實質上都與數的乘法有區別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量．兩個向量的數量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．

兩向量的數量積“a·b”不同于兩實數之積“ab”．

通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學設計

一、問題情景

如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．

W＝｜s｜｜f｜cosθ．

其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數量．

問題：像功這樣的數量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結果呢？

二、建立模型

1.引導學生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個非零向量a與b，把數量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數量積（內積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規定0與任一向量的數量積為０．

由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數量積是一個實數．

說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導學生思考討論

根據向量數量積的定義，可以得出

（1）設e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋應用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數量積的運算律

·．

1.出示問題：從數學的角度考慮，我們希望向量的數量積運算，也能像數量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數量積運算才更富有意義．回憶實數的運算律，你能類比和歸納出向量數量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運算律及其推導

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數乘結合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；

當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數量積滿足結合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應用與深化 ［例 題］

1.對實數a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什么？

解：類比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．

3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

兩角和與差的余弦

教材分析

這節內容是在掌握了任意角的三角函數的概念、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示的基礎上，進一步研究用單角的三角函數表示的兩角和與差的三角函數．這些內容在高等數學、電功學、力學、機械設計與制造等方面有著廣泛的應用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應用，以便為今后的學習打下良好的基礎． “兩角差的余弦公式”在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．

這節課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．

教學目標

1.通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養學生通過交流，探索，發現和獲得新知識的能力．

2.通過兩角差的余弦公式的推導，體會知識的發生、發展的過程和初步的應用過程，培養學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神．

3.能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．

任務分析

這節內容以問題情景中的問題作為教學的出發點，利用單位圓中的三角函數線和平面向量的數量積的概念推導出結論，并不斷補充推導過程中的不嚴謹之處．推導過程采用了從特殊到一般逐層遞進的思維方法，學生易于接受．整個過程始終結合單位圓，以強調其直觀性．對于公式中的α和β角要強調其任意性．數學中要注意運用啟發式，切忌把結果直接告訴學生，盡量讓學生通過觀察、思考和探索，自己發現公式，使學生充分體會到成功的喜悅，進一步激發學生的學習興趣，調動他們學習的積極性，從而使其自覺主動地學習．

教學過程

一、問題情景

我們已經學過誘導公式，如

可以這樣來認識以上公式：把角α轉動，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉動π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個一般性的問題：如果把角α的終邊轉動β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來表示呢？ 出示一個實際問題：

右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長AB＝ａ（m），A是支點，在河的左岸．點C在河的右岸，地勢比A點高．AD表示水平線，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過程中，如何確定點B離開水平線AD的高度BE？

由圖可知BE＝asin（α＋β）．

我們的問題是：如何用α和β的三角函數來表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？

引導學生分析：事實上，我們在研究三角函數的變形或計算時，經常提出這樣的問題：能否用α，β的三角函數去表示α±β的三角函數？為了解決這類問題，本節首先來探索α－β的余弦與α，β的函數關系式．

更一般地說，對于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數值把α＋β或α－β的三角函數值表示出來呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導學生通過特例否定這一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以發現，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引導學生從道理上否定這一猜想．

不妨設α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論

（1）如何把α，β，α－β角的三角函數值之間建立起關系？要獲得相應的表達式需要哪些已學過的知識？

（2）由三角函數線的定義可知，這些角的三角函數值都與單位圓中的某些有向線段有關系，那么，這些有向線段之間是否有關系呢？

3.教師明晰

通過學生的討論，教師引導學生作出以下推理：

設角α的終邊與單位圓的交點為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過點P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來表示OM．

過點P作PA⊥OP1，垂足為A，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，再過點P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問題，組織學生討論

（1）當α，β，α－β為任意角時，上述推導過程還能成立嗎？

若要說明此結果是否對任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導學生獨立思考．

事實上，根據誘導公式，總可以把α，β的三角函數化為（0，）內的三角函數，再根據cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋應用

［例 題］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本題關鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對于cos105°，可進行類似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應先計算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數的平方關系，并注意α，β的取值范圍來求解．

［練習］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結果即可．對于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對于（3），可以把A＋B角看成一個整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．

2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成誘導公式的推廣，誘導公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數值．

3.化簡cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進而直接運用公式Cα-β，不必將各式展開后再計算．

分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函數定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標均可用α，β的三角函數表示，即α－β角與導公式Cα-β呢？

教師引導學生分析：在平面直角坐標系xOy內作單位圓O，以Ox為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數量積的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關，那么能否用向量的有關知識來推·＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的數量積的坐標表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依據向量數量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導才是正確的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導是否正確．

當α－β為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，對于任意角α，β都有

2.教師提出進一步拓展性問題：本節問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達式．

兩角和與差的正弦

教材分析

在這節內容中，公式較多，一旦處理不當，將成為學生學習的一種負擔．針對這個特點，應充分揭示公式的內在聯系，使學生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關的公式．同時，通過練習使學生能夠熟練地運用這些公式．當然，這些公式的基礎是兩角和差的余弦公式．通過誘導公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意

－（α＋β）］角），可以實現正、余弦函數間的轉換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數的乘積．

任務分析

這節課計劃采用啟發引導和講練結合的教學方式，對三角函數中的每一個公式要求學生會推導，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數化成一個角的三角函數．在課堂教學中，將采用循序漸進的原則，設計有一定梯度的題目，以利于培養學生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養學生良好的思維習慣．在教學中，及時提醒學生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．

教學目標 1.能用兩角差的余弦公式導出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內在聯系．

2.能運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數式的化簡、求值和證明．

3.通過公式的推導過程，培養學生的邏輯思維能力，同時滲透數學中常用的換元、整體代換等思想方法．

教學過程

一、問題情景

如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？

設電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75°角可表示成兩個特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數值來表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關系？ 通過誘導公式可實現正、余弦函數的轉換，即sin（α＋β）＝推導以上公式的方法并不是唯一的，其他推導方法由學生課后自己探索． 3.分析公式的結構特征

Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數的乘積．應特別注意公式兩邊符號的差異．

三、解釋應用 ［例題一］

已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本題主要訓練公式Sα-β與Sα+β的使用．

由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［練習一］

分析：1.（1）強調公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．

2.應注意三角形的內角之間的關系，C＝π－（A＋B），再由誘導公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉化為求－cos（A＋B）．

3.應注意分析角之間的關系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個單角來表示．

4.該題是在已有知識的基礎上進一步深化，引導學生分三步進行：（1）求出α＋β角的某個三角函數值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個三角函數值時，應分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．

已知向量的坐標． ＝（3，4），若將其繞原點旋轉45°到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉60°，－135°到

1，2的位置，求點P1，P2的坐標．

［例題三］

求下列函數的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導時，要關注解題過程，以便讓學生充分理解輔助角φ滿足的條件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標的點P（ａ，ｂ），設以OP為終邊的一個角為φ，則

［練習三］

求下列函數的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知兩個電流瞬時值函數式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函數式．

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問題，引導學生獨立思考，然后師生共同解決．

1.已知三個電流瞬時值的函數式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時值的函數式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數的振幅、初相和周期．

2.已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉θ角到點P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：

三角形邊和角關系的探索

教材分析

初中已研究過解直角三角形，這節所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關系，并且應用正、余弦定理和三角形內角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結論．余弦定理的推證采用向量的數量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內角聯系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．

這節課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發現定理、推證定理以及用定理解決實際問題．

任務分析

這節內容是在初中對三角形有了初步認識的基礎上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關系．對正弦定理的推導，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結合起來應用，經常能很好地解決三角形中的有關問題．

教學目標

1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 2.能運用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步運用數學建模的思想，結合解三角形的知識，解決生產、生活中的簡單問題．

教學設計

一、問題情景

1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖43-1），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？

2.如圖43-2，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構，設計時應計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60°，油泵頂點B與車廂支點A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長為1.40m，計算BC的長．（精確到0.01m）

問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教師引導學生分析討論

在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長．

組織學生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學生思考，允許有不同的解法）

結論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度數可求∠C的度數，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．

教師明晰：

（1）當△ABC為直角三角形時，由正弦函數的定義，得

（2）當△ABC為銳角三角形時，設AB邊上的高為CD，根據三角函數的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）當△ABC為鈍角三角形時，結論是否仍然成立？引導學生自己推出．（詳細給出解答過程）

事實上，當∠A為鈍角時，由（2）易知設BC邊上的高為CD，則由三角函數的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根據誘導公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應角的正弦之間的一個關系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數量關系．

思考：正弦定理可以解決有關三角形的哪些問題？ 2.組織學生討論問題情景（2）

這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長． 組織學生討論：能用什么方法求出BC？（學生有可能有多種不同的解法）

教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個三角形為確定的三角形，那么怎樣去計算它的第三邊呢？由于涉及邊長及夾角的問題，故可以考慮用平面向量的數量積．（也可用兩點間的距離公式）

如圖，設＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．

∵｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題？ 3.進一步的問題

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關系，那么這兩個定理之間存在怎樣的關系？如何利用余弦定理來判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？

三、解釋應用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問題，可由三角形內角和定理先求出第三個角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．

（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對角，于是可用正弦定理求出b邊的對角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學生在解題時容易丟掉一組解，應引導學生從圖形上尋找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．

分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．

3.AB是底部B不可到達的建筑物，A為建筑物的最高點．設計一種測量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達的，所以不能直接測量出建筑物的高．由解直角三角形的知識，只要能知道一點C到建筑物頂部A的距離CA，并能測出由點C觀察A的仰角，就可以計算出建筑物的高．為了求出CA的長，可選擇一條水平基線HG（如圖43-9），使H，G，B三點在同一條直線上．在G，H兩點用測角儀器測得A的仰角分別為α，β，設CD＝ａ，測角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習］

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

這涉及比值的連等式．請探索并研究是一個什么樣的量，并加以證明．

2.在△ABC中，已知三邊的長為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當B≈149°時，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發現，在已知三角形兩邊及其一邊對角解三角形時，在某些條件下會出現一解或兩解的情形，那么會不會出現無解的情形呢？

（1）當A為鈍角或直角，必須滿足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無解），并且由sinB＝計算B時，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．

（2）當A為銳角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．

計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖43-12．

③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖43-14．

思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？

第二篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 40平面向量的數量積

平面向量的數量積

教材分析

兩個向量的數量積是中學代數以往內容中從未遇到過的一種新的乘法，它區別于數的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發，引出平面向量數量積的概念和性質及其幾何意義，介紹向量數量積的運算律及坐標表示．向量的數量積把向量的長度和三角函數聯系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節內容是整個向量部分的重要內容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內容的學習．這節內容的教學難點是對平面向量數量積的定義及運算律的理解和對平面向量數量積的應用．

教學目標

1.理解并掌握平面向量的數量積、幾何意義和數量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

2.通過對數量積的引入和應用，初步體會知識發生、發展的過程和運用過程，培養學生的科學思維習慣．

任務分析

兩個向量的數量積從形式和實質上都與數的乘法有區別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量．兩個向量的數量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．

兩向量的數量積“a·b”不同于兩實數之積“ab”．

通過實例理解a·b＝b·c與a＝c的關系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學設計

一、問題情景

如圖40-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發生了位移s，如何計算這個力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角θ，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算．

W＝｜s｜｜f｜cosθ．

其中｜f｜cosθ就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數量．

問題：像功這樣的數量值，它由力和位移兩個向量來確定．我們能否從中得到啟發，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結果呢？

二、建立模型

1.引導學生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個非零向量a與b，把數量｜a｜｜b｜cosθ叫a與b的數量積（內積），記作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規定0與任一向量的數量積為０．

由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數量積是一個實數．

說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導學生思考討論

根據向量數量積的定義，可以得出

（1）設e是單位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實數｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋應用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數量積的運算律

·．

1.出示問題：從數學的角度考慮，我們希望向量的數量積運算，也能像數量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數量積運算才更富有意義．回憶實數的運算律，你能類比和歸納出向量數量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運算律及其推導

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數乘結合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；

當λ＝0時，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數量積滿足結合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數量積滿足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應用與深化 ［例 題］

1.對實數a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什么？

解：類比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類似結論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當k＝±時，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當向量a，b的夾角為銳角時，你能說明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．

3.三個單位向量a，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問：O點在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

點 評

這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數量積的性質及運算律時，經常以實數為對象進行類比．以物理學中的力對物體做功的實例，引入數量積的過程比較自然，學生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應用．這都充分體現了向量是數形結合的重要載體．運用向量方法解決與向量有關的綜合問題，越來越成為考查學生數學思維能力的一個重要方面．認識向量并會使用向量是這一部分的基礎，也是重點．總之，這篇案例較好地實現了教學目標，同時，關注類比方法的運用，以及學生數學思維水平的提高．美中不足的是，對學生的自主探究的引導似乎有所欠缺．

第三篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇35-39_平面向量及其應用

向量的概念

教材分析

向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體．這節通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．

教學目標

1.通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

教學設計

一、問題情景

數學是研究數量關系和空間形式的科學．思考以下問題：

1.在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？試描述這些量的本質區別．

2.既有大小又有方向的量應如何表示？

二、建立模型 1.學生分析討論

學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區別．這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，向量的大小.長度等于

.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定．

任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問題，組織學生討論

（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？

（5）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應用 ［例 題］

如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習］

1.如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設E，F，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點O，點P在點O“東偏北60°，3cm”處，點Q在點O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．

5.選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風的速度．（3）向量

四、拓展延伸 1.如圖，在ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？

向量的概念

教材分析

向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體．這節通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．

教學目標

1.通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務分析

在這之前，學生接觸較多的是只有大小的量（數量）．其實生活中還有一種不同于數量的量———向量．剛一開始，學生很不習慣，但可適時地結合實例，逐步讓學生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便．

教學設計

一、問題情景

數學是研究數量關系和空間形式的科學．思考以下問題：

1.在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？試描述這些量的本質區別．

2.既有大小又有方向的量應如何表示？

二、建立模型 1.學生分析討論

學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區別．這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，向量的大小.長度等于

.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定． 任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問題，組織學生討論

（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？

（5）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應用 ［例 題］

如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習］

1.如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設E，F，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點O，點P在點O“東偏北60°，3cm”處，點Q在點O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．

5.選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？

向量加法運算及其幾何意義

教材分析

引入向量后，考查向量的運算及運算律，是數學研究中的基本的問題．教材中向量的加法運算是以位移的合成、力的合成等物理模型為背景引入的，在此基礎上抽象概括了向量加法的意義，總結了向量加法的三角形法則、平行四邊形法則．向量加法的運算律，教材是通過“探究”和構造圖形引導學生類比數的運算律，驗證向量的交換律和結合律．例2是一道實際問題，主要是要讓學生體會向量加法的實際意義．這節課的重點是向量加法運算（三角形法則、平行四邊形法則），向量的運算律．難點是對向量加法意義的理解和認識．

教學目標

1.通過物理學中的位移合成、力的合成等實例，認識理解向量加法的意義，體驗數學知識發生、發展的過程．

2.理解和掌握向量加法的運算，熟練運用三角形法則和平行四邊形法則作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的運算律，能熟練地運用它們進行向量運算．

4.通過由實例到概念，由具體到抽象，培養學生的探究能力，使學生數學地思考問題，數學地解決問題．

任務分析

這節的主要內容是向量加法的運算和向量加法的應用．對向量加法運算，學生可能不明白向量可以相加的道理，產生疑惑：向量既有大小、又有方向，難道可以相加嗎？為此，在案例設計中，首先回顧物理學中位移、力的合成，讓學生體驗向量加法的實際含義，明確向量的加法就是物理學中的矢量合成．在此基礎上，歸納總結向量加法的三角形法則和平行四邊形法則．向量加法的運算律發現并不困難，主要任務是讓學生對向量進行探究，構造圖形進行驗證．關于例2的教學，主要是幫助學生正確理解題意，把問題轉化為向量加法運算．

教學設計

一、問題情境

1.如圖，某物體從A點經B點到C點，兩次位移點的位移結果相同．，的結果，與A點直接到C

2.如圖，表示橡皮筋在兩個力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同．

位移認為：與合成為

等效，力F與分力F1，F2的共同作用等效，這時我們可以與、分力F1與F2某種運算的結果．數的加法啟發我們，F分別是位移位移、力的合成可看作數學上的向量加法．

2.在師生交流討論基礎上，歸納并抽象概括出向量加法的定義

已知非零向量a，b（如圖37-3），在平面內任取一點A，作向量，則向量叫a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝

＋

＝a，＝

.＝b，再作

求兩個向量和的運算，叫作向量的加法．這種求向量和的作圖法則，稱為向量求和的三角形法則，我們規定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出問題，組織學生討論

（1）根據力的合成的平行四邊形法則，你能定義兩個向量的和嗎？（2）當a與b平行時，如何作出a＋b？

強調：向量的和仍是一個向量．用三角形法則求和時，作圖要求兩向量首尾相連；而用平行四邊形法則求和時，作圖要求兩向量的起點平移在一起．

（3）實數的運算和運算律緊密聯系，類似地，向量的加法是否也有運算律呢？首先，讓學生回憶實數加法運算律，類比向量加法運算律．向量加法的交換律由平行四邊形法則容易驗證．向量加法的結合律的驗證則比較困難，教學時，應放手讓學生進行充分探索．最后通過下面的兩個圖形驗證加法結合律．

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知非零向量a，b，就（1）a與b不共線，（2）a與b共線，分別求作向量a＋b． 注：要求寫出作法，規范解題格式．

2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸．一艘輪船從長江南岸Ａ點出發，以5km／h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km／h．

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度．

（2）求船實際航行的速度的大小與方向（速度的大小保留2個有效數字，方向用與江水速度間的夾角表示，精確到度）．

［練習］

1.如圖，已知a，b，畫圖表示a＋b．

2.已知兩個力F1，F2的夾角是直角，合力F與F1的夾角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求證.4.在n邊形A1A2…An中，計算

四、拓展延伸

1.對于任意向量a，b，探索｜a＋b｜與｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”號的條件． 2.在求作兩個向量和時，你可能選擇不同的始點求和．你有沒有想過，選擇不同的始點作出的向量和都相等嗎？你可能認為，這是“顯然”對的，你能證明這個問題嗎？

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是說明同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標表示的基礎，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據．這節內容以共線向量為基礎，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質．教學時無須嚴格證明該定理，只要讓學生弄清定理的條件和結論，會用該定理就可以了．

向量的加法、減法、實數與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題．因此，向量是數學中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關系，而不要求用向量證明幾何命題．

平面向量的基本定理的理解是學習的難點，而應用基本向量表示平面內的某一向量是學習的重點．

教學目標

1.了解平面向量基本定理的條件和結論，會用它來表示平面圖形中任一向量，為向量坐標化打下基礎．

2.通過對平面向量基本定理的歸納、抽象和概括，體驗數學定理的產生、形成過程，提升學生的抽象和概括能力． 3.通過對平面向量基本定理的運用，增強向量的應用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工具之一．

任務分析

這節課是在學生熟悉向量加、減、數乘線性運算的基礎上展開的，為了使學生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學時，常應用構造式的作圖方法，同時采用師生共同操作，增強直觀認識，歸納和總結出任意向量與基本向量的線性組合關系，并且通過適當的練習，使學生進一步認識和理解這一基本定理．

教學設計

一、問題情景

1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.2.給定平面內任意兩個不共線向量e1，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.學生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）設AC，BD交于點O，由向量加法，知

2.師生總結

以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對角線的相應向量，還可表示一邊對應的向量估計任一向量都可以寫成ａ·ｂ的線性表達．

任意改成另兩個不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教師啟發，通過了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學生感悟通過改變λ1，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎上，可自然形成一個更理性的認識———平面向量的基本定理．

4.教師明晰

如圖，設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，ａ是這一平面內的任一向量．

在平面內任取一點O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時有且只有實數λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內的兩個不平行向量，那么該平面內的任一向量ａ，存在唯一的一對實數λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底，有序實數對（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標．

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知向量e1，e2（如圖38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或減法運算進行．

2.如圖38-4，不共線，＝t（t∈R），用，表示． 解：∵

［練習］

1.已知：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實數λ1，λ2．

3.已知：基底｛a，b｝，求實數ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．

＝ｂ，試用a，b表示向量6.已知：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對于平面上任一點O，都有

.四、拓展延伸

平面向量的正交分解與坐標運算

教材分析

這節課通過建立直角坐標系，結合平面向量基本定理，給出了向量的另一種表示———坐標表示，這樣使平面中的向量與它的坐標建立起了一一對應關系，然后導出了向量的加法、減法及實數與向量的積的坐標運算，這就為利用“數”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁，更突出也更簡化了向量的應用．所以，一定要讓學生重點掌握向量的坐標運算，以利于掌握坐標形式下的向量的一些關系式及運用．教學難點是讓學生建立起平面向量的坐標概念．

教學目標

1.理解平面向量坐標概念，領會它的引入過程，進一步體會一一對應的思想意識． 2.理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算，并能應用坐標運算解決一些問題．

3.增強數形結合意識，領會“沒有運算，向量只是一個?路標?，因為有了運算，向量的力量無限”的說法．

任務分析

1.有了平面向量的基本定理，就不難有平面向量的正交分解，有了坐標系下點與坐標的一一對應關系，也就容易有在直角坐標平面內的向量與坐標的一一對應．

2.可以從兩個角度來理解平面向量的坐標表示：

（1）設i，j為x，y軸方向上的單位向量，則任一向量ａ可唯一地表示為xi＋yj，即唯一對應數對（x，y），所以可以說a＝（x，y）．

（2）任一向量ａ可平移成，一一對應點A（x，y），從而可說a＝（x，y）．

3.在接觸過xOy平面內一點到它的坐標的這種形、數過渡的基礎上，容易接受由向量到坐標的這種代數化的過渡．

教學設計

一、問題情景

1.光滑斜面上的木塊所受重力可以分解為平行斜面使木塊下滑的力F1和木塊產生的垂直于斜面的壓力F2（如圖）．

一個向量也可以分解為兩個互相垂直的向量的線性表達，這種情形叫向量的正交分解．以后可以看到，在正交分解下，許多有關向量問題將變得較為簡單．

2.在平面直角坐標系中，每一個點可用一對有序實數（即它的坐標）表示，那么對平面直角坐標內的每一個向量，可否用實數對來表示？又如何表示呢？

二、建立模型

1.如圖，在直角坐標系中，先分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底．對于平面上一個向量a，由平面向量的基本定理，知有且只有一對實數x，y使ａ＝xi＋yj，這樣平面內任一向量a都可由x，y唯一確定，（x，y）叫a的坐標，記作a＝（x，y）．

顯然，i＝（1，0），j＝（0，1），0＝（0，0）．

若把ａ的起點平移到坐標原點，即ａ＝xi＋yj，則，則點A的位置由ａ唯一確定．設＝的坐標就是點A的坐標；反過來，點A的坐標（x，y）也就是的坐標．因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都可以用一對實數（即坐標）唯一表示．

2.學生思考討論

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），你能得出a＋b，a－b，λa的坐標嗎？ ∵ａ＝（x1，y1），b＝（x2，y2），∴ａ＝x1ｉ＋y1ｊ，b＝x2ｉ＋y2ｊ． ∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j，∴ａ＋ｂ＝（x1＋x2，y1＋y2）．

同理ａ＋ｂ＝（x1－x2，y1－y2），λａ＝（λx1，λy1）．

上述結論可表述為：兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）；實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知A（x1，y1），B（x2，y2），求AB→的坐標．

解：如圖39-3，AB→＝－

＝（x2，y2）－（x1，y1）＝（x2－x1，y2－y1）．

總結：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標． 思考：能在圖中標出坐標為（x2－x1，y2－y1）的P點嗎？

平移到，則P（x2－x1，y2－y1）．

2.已知A（－2，1），B（－1，3），C（3，4）．

（1）求－的坐標．

（2）求ABCD中D點的坐標．

放開思考，展開討論，看學生們有哪些不同方法．

（1）解法1：∵＝（1，2），＝（5，3），∴－＝（1，2）－（5，3）＝（－4，－1）． 解法2：－＝＝（－4，－1）．

（2）解法1：設D（x，y），∴x＝y＝2，D（2，2）．

＝，即（1，2）＝（3－x，4－y），思考：你能比較出對（2）的兩種解法在思想方法上的異同點嗎？（解法1是間接的思想，即方程的思想，解法2是直接的思想）

3.在直角坐標系xOy中，已知點A（3，2），點B（－2，4），求向量方向和長度．

＋的解：由已知，得＝（3，2），＝（－2，4）．

設＝＋，則＝＋＝（3，2）＋（－2，4）＝（1，6）．

由兩點的距離公式，得

設相對x軸正向的轉角為α，則

查表或使用計算器，得α＝80°32′．

答：向量的方向偏離ｘ軸正向約為80°32′，長度等于

．，向量的方向偏離x軸正向約為116°34′，長度等于2［練習］ 1.已知a＝（2，1），b＝（－3，4），求3a＋4b的坐標． 2.設a＋b＝（－4，－3），a－b＝（2，1），求a，b． 解法1：∵2a＝（－4，－3）＋（2，1）＝（－2，－2），2b＝（－4，－3）－（2，1）＝（－6，－4），∴a＝（－1，－1），b＝（－3，－2）． 解法2：設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則

3.已知ａ＝（1，1），ｂ＝（1，－1），ｃ＝（－1，2），試以ａ，ｂ為基底來表示ｃ．

解：設c＝k1a＋k2a，即（－1，2）＝k1（1，1）＋k2（1，－1），即（－1，2）＝（k1＋k2，k1－k2），四、拓展延伸

1.在直角坐標系xOy中，已知A（x1，y1），B（x2，y2），求線段AB中點的坐標．

解：設點M（x，y）是線段AB的中點（如圖39-5），則＝（＋）．

將上式換為向量的坐標，得

（x，y）＝［（x1，y1）＋（x2，y2）］．

即.這里得到的公式叫作線段中點的坐標計算公式，簡稱中點公式．

2.對于向量a，b，c，若存在不全為0的實數k1，k2，k3，使k1a＋k2b＋k3c＝0，則稱a，b，c三個向量線性相關，試研究三個向量3，－4）是否線性相關．

＝（3，5），＝（0，－1），＝（－解法1：顯然有＋＋＝0，∴三者線性相關．

解法2：由k1＋k2＋k3

＝0，即k1（3，5）＋k2（0，－1）＋k3（－3，－4）＝0，即（3k1－3k3，5k1－k2－4k3）＝（0，0），取k1＝k2＝k3＝1，則

＋＋＝0，故三個向量線性相關．

第四篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 38平面向量的基本定理

平面向量的基本定理

教材分析

平面向量的基本定理是說明同一平面內任一向量都可以表示為兩個不共線向量的線性組合，它是平面向量坐標表示的基礎，也是平面圖形中任一向量都可由某兩個不共線向量量化的依據．這節內容以共線向量為基礎，通過把一個向量在其他兩個向量上的分解，說明了該定理的本質．教學時無須嚴格證明該定理，只要讓學生弄清定理的條件和結論，會用該定理就可以了．

向量的加法、減法、實數與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，也叫“向量的初等運算”．由平面向量的基本定理，知任一平面內的直線型圖形都可表示為某些向量的線性組合，這樣在證明幾何命題時，可先把已知和結論表示成向量形式，再通過向量的運算，有時能很容易證明幾何命題．因此，向量是數學中證明幾何命題的有效工具之一．為降低難度，目前要求用向量表示幾何關系，而不要求用向量證明幾何命題．

平面向量的基本定理的理解是學習的難點，而應用基本向量表示平面內的某一向量是學習的重點．

教學目標

1.了解平面向量基本定理的條件和結論，會用它來表示平面圖形中任一向量，為向量坐標化打下基礎．

2.通過對平面向量基本定理的歸納、抽象和概括，體驗數學定理的產生、形成過程，提升學生的抽象和概括能力．

3.通過對平面向量基本定理的運用，增強向量的應用意識，進一步體會向量是處理幾何問題的強有力的工具之一．

任務分析

這節課是在學生熟悉向量加、減、數乘線性運算的基礎上展開的，為了使學生理解和掌握好平面向量的基本定理，教學時，常應用構造式的作圖方法，同時采用師生共同操作，增強直觀認識，歸納和總結出任意向量與基本向量的線性組合關系，并且通過適當的練習，使學生進一步認識和理解這一基本定理．

教學設計

一、問題情景 1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，試用ｂ，ｂ來表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，試用ｃ，ｄ表示向量，.2.給定平面內任意兩個不共線向量e1，e2，試作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.學生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量減法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）設AC，BD交于點O，由向量加法，知

2.師生總結

以ａ，ｂ為基本向量，可以表示兩對角線的相應向量，還可表示一邊對應的向量估計任一向量都可以寫成ａ·ｂ的線性表達．

任意改成另兩個不共線向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教師啟發，通過了e1＋2e2，e1－2e2的作法，讓學生感悟通過改變λ1，λ2的值，可以作出許多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基礎上，可自然形成一個更理性的認識———平面向量的基本定理．

4.教師明晰

如圖，設e1，e2是平面內兩個不共線的向量，ａ是這一平面內的任一向量．

在平面內任取一點O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；過點C作平行于直線OB的直線，與直線OA交于M；過點C作平行于直線OA的直線，與直線OB交于N．這時有且只有實數λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是說任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，從而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面內的兩個不平行向量，那么該平面內的任一向量ａ，存在唯一的一對實數λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我們把不共線向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底，有序實數對（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐標．

三、解釋應用 ［例 題］

1.已知向量e1，e2（如圖38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或減法運算進行．

2.如圖38-4，解：∵，不共線，＝t（t∈R），用，表示．

［練習］

1.已知：不共線向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共線向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求實數λ1，λ2． 3.已知：基底｛a，b｝，求實數ｘ，ｙ滿足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，點G是△ABC的重心，試用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF為正六邊形，＝ａ，．

＝ｂ，試用a，b表示向量6.已知：M是平行四邊形ABCD的中心，求證：對于平面上任一點O，都有

.四、拓展延伸

點 評

這篇案例由向量加、減、數乘運算過渡到平面向量的基本定理，引入比較自然，合理，使學生由感性認識上升為理性認識這種既重結果又重過程的教學理念符合新課程標準的精神．同時，有關向量基本定理的應用的例、習題的設計也較有梯度和力度，強化了知識的應用，為提高學生的分析問題和解決問題的能力打下了一定的基礎．如果能把多媒體教學等信息技術用于向量的分解，那么會使問題更為直觀，進而學生更易于接受．

第五篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 36 向量的概念

向量的概念

教材分析

向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體．這節通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．

教學目標

1.通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務分析

在這之前，學生接觸較多的是只有大小的量（數量）．其實生活中還有一種不同于數量的量———向量．剛一開始，學生很不習慣，但可適時地結合實例，逐步讓學生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便．

教學設計

一、問題情景

數學是研究數量關系和空間形式的科學．思考以下問題：

1.在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？試描述這些量的本質區別．

2.既有大小又有方向的量應如何表示？

二、建立模型 1.學生分析討論

學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區別．這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，向量的大小.長度等于

.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定．

任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問題，組織學生討論

（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？

（5）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應用 ［例 題］

如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習］

1.如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設E，F，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點O，點P在點O“東偏北60°，3cm”處，點Q在點O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．

5.選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？

案例點評

這篇案例設計完整，思路清晰．該案例首先通過實例闡述了向量產生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現了數學教學的本質是教學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設計有新意，有深度．為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平臺．