第一篇：高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點
【摘要】“高中數(shù)學(xué)平面向量的公式知識點”數(shù)學(xué)公式講解是這門學(xué)科的要點，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家?guī)韼椭?/p>
定比分點
定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a;結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量
實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向;當λ<0時，λa與a反方向;當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律
結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數(shù)的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數(shù)量積(內(nèi)積、點積)是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數(shù)量積的運算律
a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
第二篇：高中數(shù)學(xué)有關(guān)平面向量的公式的知識點總結(jié)
定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）
設(shè)P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數(shù)λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設(shè)a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數(shù)乘向量
實數(shù)λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
當λ＜0時，λa與a反方向；
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數(shù)λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律
結(jié)合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數(shù)乘向量的消去律：① 如果實數(shù)λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規(guī)定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）是一個數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數(shù)量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數(shù)量積的運算律
a?b=b?a（交換律）；
(λa)?b=λ(a?b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的數(shù)量積的性質(zhì)
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點
1、向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|(zhì)a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質(zhì)：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號；
② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號；
② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
第三篇：平面向量、三角公式知識回顧
2013.03.18：知識回顧——平面向量、三角公式
一.平面向量：
1.與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：
a?b?|a|?|b|cos?cos??
2．平面向量的坐標運算：
(1)設(shè)A(x),則???AB?????OB?????OA?
1,y1)，B(x2,y2?(x2?x1,y2?y1).(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=x1x2?y1y2.(3)設(shè)a=(x,y)，則a?
x2?y2
3.兩向量的夾角公式：
設(shè)a=(xa?bx1x2?y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b?0，則cos??ab
?
x
21?y1?x2?y2
4．向量的平行與垂直：
//??? ?x1y2?x2y1?0.?(?)?a?b?0?x1x2?y1y2?0.二．三角函數(shù)、三角變換、解三角形：
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：
（1）平方關(guān)系：sin2?+ cos2?=1。（2）商數(shù)關(guān)系：
sin?cos?=tan?（???
?k?,k?z）（3）asin??bcos??
a2?b2sin(???)（其中輔助角?與點（a,b）在同一象限，且tan??
b
a）2.誘導(dǎo)公式：（三角函數(shù)符合分配——“一全、二正、三切、四余”）(第一組)——函數(shù)名不變，符號看象限
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???．
（第一象限）?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?．（第三象限）?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．（第四象限）?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．（第二象限）
(第二組)——函數(shù)名改變，符號看象限
?5?sin??
?
?2??????cos?，cos????2???
??
?sin?．（第一象限）?6?sin??
?
?2??????cos?，cos????2???
??
??sin?．（第二象限）（7）sin（3?2??)??cos?,3?
2??)?sin?.（第四象限）（8）sin(3?2??)??cos?,3?
??)??sin?（第三象限）
3.三角函數(shù)和差角公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?
tan(???)?
tan??tan?
1?tan?tan?
變式：tan??tan??tan(???)（?1?tan?tan?）
4．二倍角公式：
sin2??2sin?cos?變式：1?sin??(sin
?
?cos?)22
cos2??cos2??sin2?
變式：升冪公式：1+cos?=2cos
?
?2cos2??12
1-cos?=2sin
?
?1?2sin2?
降冪公式：cos2??1?cos2?2sin2
??1?cos2?2
tan 2??2tan?1?tan2?
注：?sin??(cos
?
?sin?)2?cos???
222sin2
5．正弦定理：
asinA?bsinB?c
sinC
?2R.變形：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinCa:b:c?sinA:sinB:sinC 6.余弦定理：
b21）求邊： a2
?b2
?c2
?2bccosA;（2）求角:cosA??c2?a2
（2bc
a2b?c2?a2
?2cacosB;cosB??c2?b222ac
c2?a2?b2
?2abcosC;cosC?a2?b2?c22ab
7.三角形面積定理：
S?111
2absinC?2bcsinA?2
casinB=pr
(其中p?1
(a?b?c), r為三角形內(nèi)切圓半徑)
第四篇：高中數(shù)學(xué)競賽講義(八)平面向量
高中數(shù)學(xué)競賽講義
（八）──平面向量
一、基礎(chǔ)知識
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零向量平行和結(jié)合律。
定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數(shù)
0，使得a=
f
定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對實數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。
定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數(shù)量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
b
x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數(shù)λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則
講義八
/ 8
定義6 設(shè)F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應(yīng)的點為，則稱為平移公式。
定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2·|b|2-|a·b|2=
-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結(jié)論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運算法則的運用。
例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若
不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn)
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點分別為D，E，F(xiàn)，延長AD至P，使DP=GD，則
又因為BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以
PC，所以
講義八
/ 8
充分性。若因為，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則，則，所以GB
CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。
因為所以==又因為同理，②，③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·
①
【證明】 首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點E，則連結(jié)CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH
AB，所以AHCE為平行四邊形。
講義八
/ 8
所以所以所以所以與，共線，所以O(shè)，G，H共線。
所以O(shè)G：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|
(a+b)2=(a-b)
2b.a·b=0
a
b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】 設(shè)，則，又，所以
a·(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因為AB=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以O(shè)E
CD。
4．向量的坐標運算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。
講義八/ 8
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設(shè)正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點的坐標為（x, y），則y-1), 又因為，因為，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得
所以
設(shè)所以所以，則，即F=4+
。由和，共線得，所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①③ ；④
與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設(shè)s, t為非零實數(shù)，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且于D，若7．已知__________.8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八
/ 8
=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點C分
所成的比為2，則9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到向量b，則b的坐標為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足
則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且為__________.5．設(shè)O點在△ABC 內(nèi)部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點，若__________心.7．已知，則|
|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點B關(guān)于
所在直線對稱的點為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八
/ 8 的最小11．設(shè)G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 求tan.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標系內(nèi)，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數(shù)p, q
為
與的夾角，滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內(nèi)任意一點，則
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內(nèi)四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則
取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC
+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內(nèi)一點，且，CP交AB于D，求證：
講義八
/ 8
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設(shè)坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；
（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；（3）設(shè)u=(1, 0)；，若，求a.六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點，G是AB的中點，又設(shè)H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，F(xiàn)D和AC交于點N，求證：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8
第五篇：高中數(shù)學(xué)必考公式及知識點速記
高中數(shù)學(xué)必考公式及知識點速記
一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)
1、函數(shù)的單調(diào)性
(1)設(shè)x1、x2?[a,b],x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函數(shù)；
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是減函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)y?f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f?(x)?0，則f(x)為增函數(shù)；若f?(x)?0，則f(x)為減函數(shù).2、函數(shù)的奇偶性
對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(?x)?f(x)，則f(x)是偶函數(shù)；
對于定義域內(nèi)任意的x，都有f(?x)??f(x)，則f(x)是奇函數(shù)。
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
3、函數(shù)y?f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y?f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y?f(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f?(x0)，相應(yīng)的切線方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
'①C?0；②(xn)'?nxn?1；③(sinx)'?cosx；④(cosx)'??sinx；
x'xx'x⑤(a)?alna；⑥(e)?e；⑦(logax)?'11'；⑧(lnx)? xlnax5、導(dǎo)數(shù)的運算法則
u'u'v?uv'
(v?0).（1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?vv2''''''
6、會用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值
7、求函數(shù)y?f?x?的極值的方法是：解方程f??x??0．當f??x0??0時：
(1)如果在x0附近的左側(cè)f??x??0，右側(cè)f??x??0，那么f?x0?是極大值；
(2)如果在x0附近的左側(cè)f??x??0，右側(cè)f??x??0，那么f?x0?是極小值。
二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量
8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
sin2??cos2??1，tan?=sin?.cos?
9、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式
k???的正弦、余弦，等于?的同名函數(shù)，前面加上把?看成銳角時該函數(shù)的符號；
k???
2??的正弦、余弦，等于?的余名函數(shù)，前面加上把?看成銳角時該函數(shù)的符號。
10、和角與差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?
11、二倍角公式sin?sin?;tan(???)?tan??tan?.1tan?tan?
2tan?.1?tan2?sin2??sin?cos?.cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.tan2??
1?cos2?;2公式變形：1?cos2?2sin2??1?cos2?,sin2??;22cos2??1?cos2?,cos2??
12、三角函數(shù)的周期
函數(shù)y?sin(?x??)，x∈R及函數(shù)y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T?2?
?；函數(shù)
y?tan(?x??)，x?k???
2,k?Z(A,ω,?為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T??.?
13、函數(shù)y?sin(?x??)的周期、最值、單調(diào)區(qū)間、圖象變換
14、輔助角公式y(tǒng)?asinx?bcosx?
15、正弦定理
16、余弦定理 a2?b2sin(x??)其中tan??b aabc???2R.sinAsinBsinC
a2?b2?c2?2bccosA;
b2?c2?a2?2cacosB;
c2?a2?b2?2abcosC.11117、三角形面積公式S?absinC?bcsinA?casinB.22218、三角形內(nèi)角和定理：在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
19、a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)a?b?|a|?|b|cos?
20、平面向量的坐標運算
(1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).(2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=x1x2?y1y2.（3）設(shè)a=(x,y)，則a?
21、兩向量的夾角公式 設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，且?，則cos??
22、向量的平行與垂直x2?y2 a?bab?x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2222
2a//b?b??a ?x1y2?x2y1?0.?(?)???0?x1x2?y1y2?0.三、數(shù)列
23、數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系
n?1?s1,an??(數(shù)列{an}的前n項的和為sn?a1?a2?s?s,n?2?nn?1?an).24、等差數(shù)列的通項公式 an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n.222
2ann?1*26、等比數(shù)列的通項公式 an?a1q?1?q(n?N)； q25、等差數(shù)列其前n項和公式為 sn?
?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??
27、等比數(shù)列前n項的和公式為sn??1?q 或 sn??1?q.?na,q?1?na,q?1?1?
1四、不等式
x?y?xy，當x?y時等號成立。
28、已知x,y都是正數(shù)，則有
2（1）若積xy是定值p，則當x?y時和x?y有最小值2p；
12（2）若和x?y是定值s，則當x?y時積xy有最大值s.4五、解析幾何
29、直線的五種方程
（1）點斜式 y?y1?k(x?x1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．
（2）斜截式 y?kx?b(b為直線l在y軸上的截距).y?y1x?x1(y1?y2)(P?1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1?x2)).y2?y1x2?x
1xy(4)截距式??1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b?0)ab
（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同時為0).（3）兩點式
30、兩條直線的平行和垂直
若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;②l1?l2?k1k2??1.31、平面兩點間的距離公式dA,B
?
32、點到直線的距離
d?
33、圓的三種方程
（1）圓的標準方程(x?a)2?(y?b)2?r2.（2）圓的一般方程 x2?y2?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).（3）圓的參數(shù)方程 ?22A(x1,y1)，B(x2,y2)).(點P(x0,y0),直線l：Ax?By?C?0).?x?a?rcos?.?y?b?rsin?
34、直線與圓的位置關(guān)系
222直線Ax?By?C?0與圓(x?a)?(y?b)?r的位置關(guān)系有三種:
d?r?相離???0;d?r?相切???0;d?r?相交???0.弦長=r2?d2 Aa?Bb?Cd?其中.22A?B35、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標準方程、幾何性質(zhì) ?x?acos?cx2y
2222橢圓：2?2?1(a?b?0)，a?c?b，離心率e??1，參數(shù)方程是?.aaby?bsin??
cx2y2b222雙曲線：2?2?1(a>0,b>0)，c?a?b，離心率e??1，漸近線方程是y??x.aaab
pp拋物線：y2?2px，焦點(,0),準線x??。拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離.2236、雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
x2y2x2y2b(1）若雙曲線方程為2?2?1?漸近線方程：2?2?0?y??x.aabab
xyx2y2b(2)若漸近線方程為y??x???0?雙曲線可設(shè)為2?2??.abaab
x2y2x2y
2(3)若雙曲線與2?2?1有公共漸近線，可設(shè)為2?2??（??0，焦點在x軸上，??0，焦點在y軸上）.abab237、拋物線y?2px的焦半徑公式
p2拋物線y?2px(p?0)焦半徑|PF|?x0?.（拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離。）
2pp38、過拋物線焦點的弦長AB?x1??x2??x1?x2?p.2
2六、立體幾何
39、證明直線與直線平行的方法（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）
40、證明直線與平面平行的方法
（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行）（2）先證面面平行
41、證明平面與平面平行的方法
平面與平面平行的判定定理（一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行）．．．．
42、證明直線與直線垂直的方法：轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直
43、證明直線與平面垂直的方法
（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直）．．．．
（2）平面與平面垂直的性質(zhì)定理（兩個平面垂直，一個平面內(nèi)垂直交線的直線垂直另一個平面）
44、證明平面與平面垂直的方法：平面與平面垂直的判定定理（一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直）
45、柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計算公式
圓柱側(cè)面積=2?rl，表面積=2?rl?2?r
圓椎側(cè)面積=?rl，表面積=?rl??r 2
21V柱體?Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高）.31V錐體?Sh（S是錐體的底面積、h是錐體的高）.3432球的半徑是R，則其體積V??R,其表面積S?4?R． 346、異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計算
47、點到平面距離的計算（定義法、等體積法）
48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側(cè)棱平行且相等，與底面垂直。
正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。
七、概率統(tǒng)計
49、平均數(shù)、方差、標準差的計算
x1?x2??xn12222方差:s?[(x1?x)?(x2?x)??(xn?x)] nn
1標準差:s?[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2] n平均數(shù):x?
50、回歸直線方程
nn??xi???yi???xiyi?nxy???b?i?
1n?i?1n2.y?a?bx，其中?xi??xi2?2????i?1i?1??a??n(ac?bd)
2251、獨立性檢驗 K?(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
52、古典概型的計算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復(fù)、不遺漏 ．．．．．．．．．
八、復(fù)數(shù)
53、復(fù)數(shù)的除法運算
a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i??.22c?di(c?di)(c?di)c?d54、復(fù)數(shù)z?a?bi的模|z|=|a?
bi|=
九、參數(shù)方程、極坐標化成直角坐標
??2?x2?y
2??cos??x?
55、?? y?sin??y??tan??(x?0)x?
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