第一篇：高中數學平面向量教學研究作業(江惠玲) (
高中數學“平面向量”教學研究作業（江惠玲）
請給出平面向量知識結構示意圖
答：
向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一。在高中教材中，平面向量章節內容主要有幾個方面：⑴向量的物理背景與概念、向量的幾何表示、相等向量與共線向量；⑵向量加法運算及其幾何意義、向量減法運算及其幾何意義、向量數乘運算及其幾何意義；⑶平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐標表示、平面向量的坐標運算、平面向量共線的坐標表示；⑷平面向量數量積的物理背景及其含義、平面向量數量積的坐標表示、模、夾角；⑸平面幾何中的向量方法、向量在物理中的應用舉例。此外，教材安排了擴展內容，主要是向量幾向量符號的由來，向量的運算（運算律）與圖形性質。這些知識既有不同又緊密聯系，教學的時候要注意聯系與比較，并通過實際解題訓練，來提高學生的理解能力和應用能力。
我用FreeMind設計了一個向量知識結構圖：
我認為上面制作的這個圖表基本上反映了高中數學中的平面向量的知識結構。
揭東縣梅崗中學 江惠玲
第二篇：高中數學競賽講義(八)平面向量
高中數學競賽講義
（八）──平面向量
一、基礎知識
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規定零向量與任意一個非零向量平行和結合律。
定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數
0，使得a=
f
定理3平面向量的基本定理，若平面內的向量a, b不共線，則對同一平面內任意向是c，存在唯一一對實數x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。
定義4 向量的數量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
b
x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則
講義八
/ 8
定義6 設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應的點為，則稱為平移公式。
定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2·|b|2-|a·b|2=
-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運算法則的運用。
例1 設O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若
不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設各邊中點分別為D，E，F，延長AD至P，使DP=GD，則
又因為BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以
PC，所以
講義八
/ 8
充分性。若因為，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結CP，則，則，所以GB
CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結結BQ，QD。
因為所以==又因為同理，②，③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·
①
【證明】 首先
=
其次設BO交外接圓于另一點E，則連結CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH
AB，所以AHCE為平行四邊形。
講義八
/ 8
所以所以所以所以與，共線，所以O，G，H共線。
所以OG：GH=1：2。
3．利用數量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|
(a+b)2=(a-b)
2b.a·b=0
a
b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】 設，則，又，所以
a·(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因為AB=AC，OB=OC，所以OA為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以OE
CD。
4．向量的坐標運算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。
講義八/ 8
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設E點的坐標為（x, y），則y-1), 又因為，因為，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得
所以
設所以所以，則，即F=4+
。由和，共線得，所以AF=AE。
三、基礎訓練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①③ ；④
與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設s, t為非零實數，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且于D，若7．已知__________.8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八
/ 8
=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點C分
所成的比為2，則9．把函數y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉得到向量b，則b的坐標為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓練題
1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足
則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內心，且為__________.5．設O點在△ABC 內部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點，若__________心.7．已知，則|
|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點B關于
所在直線對稱的點為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八
/ 8 的最小11．設G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數列。
（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 求tan.五、聯賽一試水平訓練題
1．在直角坐標系內，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數p, q
為
與的夾角，滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.2．p為△ABC內心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內任意一點，則
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則
取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC
+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內一點，且，CP交AB于D，求證：
講義八
/ 8
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；
（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；（3）設u=(1, 0)；，若，求a.六、聯賽二試水平訓練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關系如何？證明你的結論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內，設D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F是AC的中點，G是AB的中點，又設H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，FD和AC交于點N，求證：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8
第三篇：高中數學平面向量的公式知識點
【摘要】“高中數學平面向量的公式知識點”數學公式講解是這門學科的要點，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家帶來幫助：
定比分點
定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a;結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向;當λ<0時，λa與a反方向;當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數量積的運算律
a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數量積的性質
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
第四篇：長春寬城區2018-2019學年高中數學平面向量單元測試題
長春寬城區2018-2019學年高中數學平面向量單元測試題
數學（理）2018.7
本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
注意事項：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上
第I卷（選擇題）
一、選擇題 共12小題，每小題5分，共60分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。
1．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()
A． 銳角三角形
B． 直角三角形 C． 鈍角三角形
D． 不確定
2．在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,則
=()
A．
B．
C．
D．
3．設a,b為非零向量,|b|=2|a|,兩組向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2個a和2個b排列而成.若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值為4|a|2,則a與b的夾角為()
A．
B．
C．
D． 0
=
2,那么動點M的軌跡必通過△ABC的（）4．在△ABC中,設A． 垂心
B． 內心
C． 外心
D． 重心 5．已知△ABC是正三角形,若a=是()
-λ
與向量的夾角大于90°,則實數λ的取值范圍A． λ<
B． λ<2
C． λ>
D． λ>2
6．已知△ABD是邊長為2的等邊三角形,且,則||等于()
A．
B．
C．
D． 2
7．已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a上的投影為()
試卷第1頁，總5頁 A．
1B． 2
C．
D．
8．已知集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},則M∩N等于（）A． {(1,1)}
B． {(1,1),(-2,-2)} C． {(-2,-2)}
D． ?
9．已知向量a,b滿足|a|=1,a·b=-1,則a·(2a-b)=（）A．
4B．
3C． 2
D． 0
10．如圖所示,A,B,C是圓O上的三點,且三等分圓周,若
=x
+y,則
()
A． x=y=-1
B． x=y=1
C． x=y=
D． x=y=-11．如右圖:在平行六面體=.則下列向量中與
中，為AC與BD的交點，若
相等的向量是()
=，=，A．
B．
C．
D．
12．如圖，已知圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四邊形ABCD為圓M的內接正方形，E，F分別為邊AB，AD的中點，當正方形ABCD繞圓心M轉動時，（）的取值范圍是
試卷第2頁，總5頁
A．
B．
C． [﹣6，6]
D． [﹣4，4]
試卷第3頁，總5頁
第II卷（非選擇題）
二、填空題 共4小題，每小題5分，共20分。
13．在四邊形ABCD中,積為_____.=(1,1)，則四邊形ABCD的面14．已知菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°,=2,則的值為________.15．已知向量a=(1,m),b=(3,),若向量a,b的夾角為,則實數m的值為_____.16．已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(1,-2),若向量λa+b與c共線,則實數λ的值為_____.三、解答題 共6小題，17題10分，18-22題12分，共70分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
17．如圖所示,在平面斜坐標系xOy中,∠xOy=60°,平面上任意一點P關于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的:若的斜坐標為(x,y).=xe1+ye2(其中e1,e2分別為x軸、y軸同方向的單位向量),則點P
(1)若點P在斜坐標系xOy中的斜坐標為(2,-2),求點P到原點O的距離.(2)求以原點O為圓心,1為半徑的圓在斜坐標系xOy中的方程.18．已知正方形ABCD,E,F分別是CD,AD的中點,BE,CF交于點P.求證:
(1)BE⊥CF;(2)AP=AB．
19．如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點,AC與BM交于點N,BN=BM.(1)求證:M是CD的中點;
試卷第4頁，總5頁(2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點B的一動點,求20．設向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=(1)求a與b的夾角;(2)求|2a+3b|的大小.21．如圖,在△OAB中,已知P為線段AB上的一點,.的最小值.=x·+y·.(1)若(2)若=3,求x,y的值;,||=4,|
|=2,且的夾角為60°時,求的值.22．已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函數f（x）=2?，g（x）=f（）．
（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相應的x的值；（2）計算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；（3）已知t∈R，討論g（x）在[t，t+2]上零點的個數．
試卷第5頁，總5頁
參考答案
1．B 【解析】 【分析】
由正弦定理化邊為角，再根據兩角和正弦公式以及誘導公式化簡得A為直角，即得選項.【詳解】
∵bcosC＋ccosB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC為直角三角形． 【點睛】
判斷三角形形狀的方法
①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．
②化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應用這個結論．
2．A 【解析】 【分析】
利用向量的線性運算法則化簡求解.【詳解】
如圖,=-=-)==)=.故答案為：A
【點睛】
(1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.3．B 【解析】 【分析】
答案第1頁，總15頁
先設S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,再討論S中含有的的個數，若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.再作差比較數量積公式求a與b的夾角.【詳解】
設S=x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4,若S的表達式中有0個a·b,則S=2a2+2b2,記為S1;若S的表達式中有2個a·b,則S=a2+b2+2a·b,記為S2;若S的表達式中有4個a·b,則S=4a·b,記為S3.又|b|=2|a|，所以S1-S3=2a2+2b2-4a·b=2(a-b)2>0,S1-S2=a2+b2-2a·b=(a-b)2>0,S2-S3=(a-b)2>0,所以S3 (1)本題主要考查平面向量的數量積和模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵有兩點，其一是先要討論S中含有的是要利用作差法得到Smin=S3=4a·b.4．C 【解析】 【分析】 假設BC的中點是O,先化簡已知得 2=2,即（）· =0, 所以的個數得到，其二, 所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.【詳解】 假設BC的中點是O,則即(所以)·=0，=（）·（）=2 =2, ,所以動點M在線段BC的中垂線上,所以動點M的軌跡必通過△ABC的外心.答案第2頁，總15頁 故答案為：C 【點睛】 （1）本題主要考查平面向量的數量積運算和向量的減法法則，考查向量垂直的表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是在于熟練掌握向量的運算法則.5．D 【解析】 【分析】 設正三角形的邊長為m,由題得得a·<0,再利用已知和數量積公式化簡即得m2-m2λ<0,解不等式得解.【詳解】 由已知可得a·<0,即（-λ)·<0,因此| |2-λ <0,若設正三角形ABC邊長為m,則有m2-m2λ<0,解得λ>2.故答案為：D 【點睛】 （1）本題主要考查平面向量的夾角公式和數量積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)6．B 【解析】 【分析】 設AD的中點為E,證明四邊形ABCE是平行四邊形，再證明|【詳解】 設AD的中點為E,則ABCE是平行四邊形,連接BE,因為△ABD是邊長為2的等邊三角形,所以 |=| |，求| |即得解.的夾角大于90°，即；的夾角小于90°，即 .||=||=×2=，故答案為：B.【點睛】 答案第3頁，總15頁 (1)本題主要考查平面向量的平行四邊形法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是取AD的中點E,因為7．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的投影公式求解.【詳解】 中有.a+b在a上的投影為故答案為：B 【點睛】 =2.(1)本題主要考查向量的投影和數量積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)在方向上的投影為8．C 【解析】 【分析】 .先設解.【詳解】，再化簡集合M得到，再化簡集合N得到，解方程組即得設a=(x,y),對于M,(x,y)=(1,2)+λ(3,4),(x-1,y-2)=λ(3,4),.① 對于N,(x,y)=(-2,-2)+λ(4,5),(x+2,y+2)=λ(4,5),由①②解得x=-2,y=-2,故M∩N={(-2,-2)}.故答案為：C 【點睛】 .② (1)本題主要考查向量的坐標運算和集合的交集運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平 答案第4頁，總15頁 和分析推理能力.(2)本題解題的關鍵有兩點，其一是設，因為向量是運動變化的,其二是化簡集合M和N，分別得到9．B 【解析】 【分析】 直接利用向量的數量積公式化簡求解.【詳解】 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3.故答案為：B 【點睛】 和.(1)本題主要考查平面向量的數量積和模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)10．A 【解析】 【分析】 以為鄰邊作平行四邊形OBDA,根據平行四邊形法則即得x,y的值.,這些公式要理解掌握并靈活運用.【詳解】 以 故答案為：A 【點睛】 本題主要考查平面向量平行四邊形法則和共線向量，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11．A 【解析】 【分析】 為鄰邊作平行四邊形OBDA,已知 =0,所以 =-,因此x=y=-1.答案第5頁，總15頁 由題意可得 化簡得到結果． 【詳解】 由題意可得 故答案為：A 【點睛】 本題主要考查向量的加法減法法則,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.12．C 【解析】 【分析】 根據圓的方程，求出【詳解】 因為圓M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，圓心的坐標（3，3）半徑為2，所以|ME|=∴=，|OM|= 3，= =，∵的取值范圍是[﹣6，6]．，的模長關系與夾角，利用向量數量積求得取值范圍。 =6cos（π﹣∠OME）∈[﹣6，6]，【點睛】 本題考查了向量數量積的簡單應用，根據向量的模長求得數量積的取值范圍，屬于基礎題。13． 【解析】 【分析】 先推理得到四邊形ABCD為平行四邊形,且| |=| |=,再根據已知得到四邊形ABCD為菱形,再求出三角形BCD的面積，最后計算出四邊形ABCD的面積.【詳解】 答案第6頁，總15頁 由=(1,1),可知四邊形ABCD為平行四邊形,且||=||=,因為,所以可知平行四邊形ABCD的角平分線BD平分∠ABC,四邊形ABCD為菱形,其邊長為,且對角線BD長等于邊長的倍,即BD=,則CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面積為,所以四邊形ABCD的面積為2×故答案為：【點睛】.(1)本題主要考查共線向量和向量的線性運算，考查三角形的面積的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)表示與向量方向相同的單位向量.14． 【解析】 【分析】 先計算出【詳解】 =-a2，再計算出 =()·()=-.∵=2,∴.∵菱形ABCD的邊長為a,∠DAB=60°, ∴||=||=a，=|∵∴|||cos 120°=-a2., =()·() 答案第7頁，總15頁 =·() =- =-a2+a2+a2=-.故答案為：【點睛】 (1)本題主要考查向量的線性運算法則，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)平面向量的加法、減法和平行四邊形法則，是平面向量線性運算的重要考點，要理解掌握并靈活運用.15． 【解析】 【分析】 先利用坐標運算求出a·b=3+(3+m)2=[ m,再利用向量的數量積公式得a·b=,再解方程]2即得實數m的值.【詳解】 因為a·b=3+m，且a·b=2所以(3+m)2=[cos ]2, ，解得m=-.故答案為：-【點睛】 答案第8頁，總15頁 （1）本題主要考查向量的數量積計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力。（2）向量16． 【解析】 【分析】 先求出λa+b的坐標，再根據向量λa+b與c共線得到-2(λ+2)-2λ=0,即得λ的值.【詳解】 由題可知λa+b=(λ+2,2λ),又λa+b與c共線,所以-2(λ+2)-2λ=0,所以λ=-1.故答案為：-1 【點睛】 （1）本題主要考查向量的坐標運算和向量共線的坐標表示，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)向量17．（1）2；（2）【解析】 【分析】 (1)先根據點P的斜坐標得到設圓上動點M的斜坐標為(x,y),【詳解】 (1)因為點P的斜坐標為(2,-2), 所以所以| =2e1-2e2，|=2,即點P到原點O =2e1-2e2, 再平方求出| |2=4，即點P到原點O的距離為2（.2） 與向量 共線，則 .，則 .=xe1+ye2,再平方化簡得所求圓的方程為x2+y2+xy=1.|2=(2e1-2e2)2=4-8e1·e2+4=8-8×1×1×cos 60°=8-4=4,所以|的距離為2.(2)設圓上動點M的斜坐標為(x,y), 則=xe1+ye2,所以(xe1+ye2)2=1，則x2+2xye1·e2+y2=1,即x2+y2+xy=1, 故所求圓的方程為x2+y2+xy=1.【點睛】 答案第9頁，總15頁 （1）本題主要考查新定義和向量的數量積運算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于新定義要先理解清楚它的內涵外延，再利用它來解題.18．（1）見解析；（2）見解析 【解析】 【分析】 (1)如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2,則 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1)，再求出 和的坐標，再計算得 =0即證 BE⊥CF.(2)設P(x,y),再根據已知求出P【詳解】，再求=4=，即證明AP=AB.如圖建立平面直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設AB=2，則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2), =(0,1)-(2,2)=(-2,-1)，∵∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ,即BE⊥CF.(2)設P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).∵同理由,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.,得y=-2x+4,代入x=2y-2，解得x=,∴y=,即P.∴=4=，答案第10頁，總15頁 ∴||=||,即AP=AB.【點睛】 （1）本題主要考查向量的坐標表示和坐標運算，考查向量垂直和平行的坐標表示，考查模的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力（.2）向量則19．（1）見解析；（2）0 【解析】 【分析】 .，(1)設=m=n,再根據向量的線性運算化簡=,再求出=(1-n)+n,解方程組所以=m,即M是CD的中點.（2）先利用向量的數量積和向量的線性運算求得數求出函數的最小值.【詳解】(1)設=m=n，==-,再利用二次函由題意知) =又+m)=+n，+n() =(1-n)+n，∴ 答案第11頁，總15頁 ∴=m,即M是CD的中點.(2)∵AB=2,BC=1,M是CD的中點, ∴MB=∴=-|=|||||,∠ABM=45°, =()·=-（|2)·=--| |2 |cos(180°-∠ABH)-||cos 45°-||2 =又0<||-||≤|2=-,∴當||=, ,即H與M重合時,取得最小值,且最小值為0.【點睛】 (1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數量積計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內的不共線的向量量總可以表示成，其中 是基底.，則平面的任意一個向20．（1）；（2）【解析】 【分析】 (1)設a與b的夾角為θ,化簡|3a-2b|=公式求|2a+3b|=【詳解】 = .得θ=,即a與b的夾角為.（2）利用向量模的計算(1)設a與b的夾角為θ.由已知得(3a-2b)2=7,即9|a|2-12a·b+4|b|2=7,因此9+4-12cos θ=7,于是cos θ=,故 θ=,即a與b的夾角為.(2)|2a+3b|== 答案第12頁，總15頁 =.【點睛】 （1）本題主要考查向量的模和數量積的運算，考查向量模的求法，意在考察學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2),則 .21．（1）【解析】 【分析】 ；（2） (1)利用向量的線性運算化簡得,即x=,y=.（2）先求出再計算【詳解】(1)∵∴, ,即2，·()=.∴(2)∵=3,∴,即x=,y=.=3 +3,即4 +3，∴.∴x=,y=.·() = =×22-×42+×4×2×=-9.【點睛】 (1)本題主要考查向量的線性運算和基底法，考查向量的數量積計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)對于平面內的不共線的向量 答案第13頁，總15頁，則平面的任意一個向 量總可以表示成22．(1).，其中是基底.(2).(3)g（x）2個零點.【解析】 【分析】 （1）根據向量的坐標運算，求出f（x）的表達式，再根據定義域求出最值及相應的自變量。（2）根據三角函數表達式，求出三角函數的變化周期及函數值，代入求解。（3）跟雷討論在t取不同范圍時，交點的個數問題。【詳解】 （1）f（x）=2?=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx= sin2x+sin2x =sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值為 ﹣1，f（x）最大值為 ． （2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+=.（3）g（x）在[t，t+2]上零點的個數等價于y=sin（x﹣）與y=﹣同一直角坐標系內作出這兩個數的圖象． 兩圖象交點個數．在答案第14頁，總15頁 當4k＜t＜+4k，k∈Z時，由圖象可知，y=sin（x﹣）與y=﹣零點 兩圖象無交點，g（x）無當+4k≤t＜2+4k或1個零點 +4k＜t≤4+4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象1個交點，g（x）當2+4k≤t≤【點睛】 +4k時，y=sin（x﹣）與y=﹣兩圖象2個交點，g（x）2個零點.本題考查了向量與三角函數的綜合應用，注意分類討論時t的不同取值情況，屬于難題。 答案第15頁，總15頁 平面向量在高中數學教學中的作用 平面向量是高中數學引入的一個新概念.利用平面向量的定義、定理、性質及有關公式,可以簡化解題過程,便于學生的理解和掌握.向量運算主要作用可以提高學生針對數學運算的理解層次，本身這個運算學生總最初接觸運算都是數與數之間的運算，而加入向量運算之后，向量運算涉及到數學元素更高，比如說實數、字母、甚至向量，甚至還可以把幾何圖形加入運算當中，這本身對數學層次更大的一個提高。而且向量運算對數學的思想也體現的比較多，就是在解析幾何當中，或者是在平面幾何當中，向量應用確實很方便，一個運算既有代數意義又有幾何意義，但是到了立體幾何的話，我覺得向量運算僅僅就變成算術了，算術對立體幾何本意還是沒有有一點想像，就是它到底人學生重點掌握什么，掌握運算還是掌握思維和想像。 一、向量在代數中的應用 根據復數的幾何意義，在復平面上可以用向量來表示復數。這樣復數的加減法，就可以看成是向量的加減，復數的乘除法可以用向量的旋轉和數乘向量得到，學了向量，復數事實上已沒有太多的實質性內容。因而變選學內容也就不難理解了。另外向量所建立的數形對應也可用來證明代數中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數模型，可以較靈活地給出證題方法。 二、向量在三角中的應用 當我們利用單位圓來研究三角函數的幾何意義時，表示三角函數就是平面向量。利用向量的有關知識可以導出部分誘導公式。由于用向量解決問題時常常是從三角形入手的，這使它在三角里解決有關三角形的問題發揮了重要作用，一個最有力的證據就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在根據向量三角形得出的關系式的兩邊平方就可利用向量的運算性質得出要證的結論，它比用綜合法提供的證明要簡便得多。 三、向量在平面解析幾何中的應用 由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關直線的部分保持著一種天然的聯系。平面直角坐標系內兩點間的距離公式，也就是平面內相應的向量的長度公式；分一條線段成定比的分點坐標，可根據相應的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量（a , b）表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向量在 a = 0時的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸變換達到同樣的效果。 四、向量在幾何中的應用 在解決幾何中的有關度量、角度、平行、垂直等到問題時用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決 立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內容光煥發中，解決平行、相交、包含以及計算夾角、距離等問題用傳統的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數量積和向量積以后，一切都歸結為數字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統的方法要容易得多 總之，平面向量已經滲透到中學數學的許多方面，向量法代替傳統教學方法已成為現代數學發展的必然趨勢。向量法是一種值得學生花費時間、精力去掌握的一種新生方法，學好向量知識有助于理解和掌握與之有關聯的學科。因此在職中數學教學中加強向量這一章的教學，為更好地學習其它知識做好必要的準備工作就顯得尤為重要。但傳統教學思想對向量抵觸較大，許多教者認為向量法削弱了學生的空間想象能力，且學生初學向量時接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學的方法，發揮向量的作用，使向量真正地面為現代數學的基礎。第五篇：平面向量在高中數學教學中的作用
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