第一篇：高中數學 第2章 平面向量 2.3 向量的坐標表示學案蘇教版必修4[范文]

2.3向量的坐標表示

2.3.1平面向量基本定理

1．A 設向量m?2a?3b,n?4a?2b，p?3a?2b，試用m,n表示p，則p=__ 2．A 在?ABC中，AB?c，AC?b，若點D滿足BD?2DC，則AD?________ 3．B 向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示.若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，則??=.4．BD、E、F分別為△ABC的三邊BC、CA、AB的中點，且BC=a，CA=b，給出下列命題： ①AD??112a-b； ②BE?a+2b； ③CF??112a+2b；

④AD?BE?CF?0．

其中正確命題的個數是______________．

5．B 設a，b是不共線的兩個向量，已知

AB?2a?kb，BC?a?b，CD?a?2b，若A、B、D三點共線，求實數k的值．

6．B 在平行四邊形ABCD中，點M是AB的中點，點N在BD上，BN?13BD，求證M,N,C三點共線.7．C 如圖，OM//AB，點P在由射線

OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區域內(不含邊界)運動，且

OP???xOA????yOB???，則x的取值范圍

是 ；當x??12時，y的取值范圍是.8．C 已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB、AC兩條邊分別交于M、N，且

值.11AM?xAB，AN?yAC.求?的xy??????????2.3.2平面向量的坐標運算

專題1平面向量的坐標表示及坐標運算 1．A 若向量→a=（1，1），→b=（1，1），→c=（1，2），則→c等于（）

1→3→1a+b B.→a222C.3→

b 23→a21→b 2?3→1→a+b 22???2．A 已知ME?(?3,0),MF?(3,0)，點A滿足AE?AF?(?4,?2)，則MA=.??π3．A 函數y?sin(2x?)的圖象按向量a平移后，得到y?sin2x?1的圖象，則a=.3?

4．A 點A(－2,1)，B(1,3)，C共線，(1)AB向右平移1個單位，所得向量的坐標為

(2)是否存在?,??R，使得OC??OA??OB，若存在，????.5．B 已知：ME?(?3,0),MF?(3,0)，點A滿足AE???????????.則AF?(?4,?2MA=.6．C 有個人，祖上是海盜，家族幾代收藏著一張藏寶圖(下圖)：海中某個荒島上埋藏著珍寶.這個人歷盡千辛萬苦終于找到了這個荒島，幾十年的風雨，兩棵橡樹倒是枝繁葉茂，而十字架早已化為塵土，隨風而逝了.失望之余，他把自己的故事連同藏寶圖一并封在瓶中拋入大海.公元2013年某日，在一大堆垃圾郵件中，你發現了這個漂流瓶，你愿一試嗎？ ??

2.3向量的坐標表示 2.3.1平面向量基本定理

1．137212．b?c n?m3384

3．4 4．4 5．-1 6．證明：令AB?a,AD?b，因為點M是AB的中點，BN?1BD 3363∴MN?MB?BN?1AB?1BD?1a?1(b?a)?1a?1b

232NC?ND?DC?2212(AD?AB)?AB?(b?a)?a?a?b 3333∴NC?2MN，∴NC//MN

又∵NC與MN存在公共點N，∴M,N,C三點共線.137．(??,0)；(,)8．3.222.3.2平面向量的坐標運算 專題1平面向量的坐標表示及坐標運算

1．B.2．(2 , 1).3．???π?,1? 6??4．(1)(3,2)(2)1 5．(2,1)6．以兩棵橡樹的中點為坐標原點，兩棵橡樹的坐標分別為(－a，0)，(a，0)，則寶藏的坐標為(0，－a)

第二篇：高中數學 2.3平面向量的基本定理及坐標表示教學設計 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐標表示》教學設計

【教學目標】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.【導入新課】 復習引入： 1． 實數與向量的積

實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律 ?????????????????aaaaaa結合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λ?b.3.向量共線定理

????向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=λa.新授課階段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量.二、平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為??? 1

基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得 a?xi?yj…………○1○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作 2 a?(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，○2○式叫做向量的坐標表示.與．a相等的向量的坐標也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的坐標運算

（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j，即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.AB=OB?OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1).（3）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例3 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC，得D1=(2，2).當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0).例4 已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)，即：??3?2?x?0,?x??5, ∴? ∴F3(?5，1).4?5?y?0,y?1.??????????例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標.??解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，??a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，??3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的坐標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標.解：設點D的坐標為（x,y）, AB?(?1,3)?(?2,1)?(1,2)，DC?(3,4)?(x,y)?(3?x,4?y)，且AB?DC,?(1,2)?(3?x,4? y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以頂點D的坐標為（2，2）.3

另解：由平行四邊形法則可得

BD?BA?BC

?(?2?(?1),1?3)?(3?(?1),4?3)

?(3,?1), OD?OB?BD ?(?1,3)?(3,?1)?(2,2).例7 經過點M(?2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A,B，且|AB|?3|AM|，求點A,B的坐標.解：由題設知，A,B,M三點共線，且|AB|?3|AM|，設A(x,0),B(0,y)，①點M在A,B之間，則有AB?3AM，∴(?x,y)?3(?2?x,3).解之得：x??3,y?3，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3).②點M不在A,B之間，則有AB??3AM，同理，可求得點A,B的坐標分別為(?3,0)，2(0,?9).綜上，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3)或(?3,0)，(0,?9).2例8.已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM??AB?AC，試求實數?的取值范圍，使M落在第四象限.解：設點M(x,y)，由題設得(x?2,y?3)?(3?,?)?(5,7)?(3??5,??7)，∴x?3??3,y???4，要使M落在第四象限，則x?3??3?0,y???4?0，解之得1???4.例8 已知向量a?(8,2),b?(3,3),c?(6,12),p?(6,4)，問是否存在實數x,y,z同時滿足兩個條件：(1)p?xa?yb?zc;(2)x?y?z?1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，請說明理由.4

1?x?,?2?8x?3y?6z?6,?1??解：假設滿足條件的實數x,y,z存在，則有?2x?3y?12z?4,解之得：?y?，3?x?y?z?1.??1?z?.?6?∴滿足條件的實數x?課堂小結

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.作業 見同步練習拓展提升

1.設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.設e1,e2是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y?,z?.236???????????????????????????????????????3.已知e1,e2不共線，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共線，則下列各式正確的是（）

A.?1=1，B.?1=2，C.?1=3，D.?1=4 ??????4.設AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（）

①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么下列兩個結論中正確的是（）①?1e1+?2e2（?1，?2為實數）可以表示該平面內所有向量；

???????②若有實數?1，?2使?1e1+?2e2＝0，則?1＝?2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不對

??７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM＝（）????11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）22????11Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22??８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB＝a，AE＝b，則BC＝（）????11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

22?1???1Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22?????????９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝，?e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為

.????????????????１１．當ｋ為何值時，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共線，其中e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量.???????１２．已知：e1、e2是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋe1+e2與b＝e1＋ｋe2共線？ ? 6

參考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a?3b,11．②③⑤ 12.k=2

79a?b 10.－8 44 8

第三篇：高中數學 2.3.4《平面向量共線的坐標表示》教案 新人教A版必修4

第二章平面向量

本章內容介紹

向量這一概念是由物理學和工程技術抽象出來的，是近代數學中重要和基本的數學概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉化為向量的加（減）法、數乘向量、數量積運算，從而把圖形的基本性質轉化為向量的運算體系.向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景.在本章中，學生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，學習習近平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標表示、平面向量的數量積、平面向量應用五部分內容.能用向量語言和方法表述和解決數學和物理中的一些問題.本節從物理上的力和位移出發，抽象出向量的概念，并說明了向量與數量的區別，然后介紹了向量的一些基本概念.（讓學生對整章有個初步的、全面的了解.）

第6課時

§2.3.4平面向量共線的坐標表示

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課

教 具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算

若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，用心

愛心

專心 則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)?? 消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0 ∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2 ∵x1，x2有可能為0 ?x1x2a??b

x1y2?x2y1?0???(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b(b?0)?

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x ??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線 ∴(-1)×2-x?(-x)=0

?? ∴x=±2 ∵a與b方向相同 ∴x=2

例5 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

用心

愛心

專心 解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又 ∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線 ∴AB與CD不重合 ∴AB∥CD

四、課堂練習：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結（略）

六、課后作業（略）

七、板書設計（略）

八、課后記：

用心

愛心

專心

第四篇：平面向量的坐標表示教案范文

平面向量共線的坐標表示

教學目的：

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.教學重點：平面向量的坐標運算

教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的準確性 授課類型：新授課 教具：多媒體、實物投影儀 教學過程：

一、復習引入： 1．平面向量的坐標表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量、j作為基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得a?xi?yj

把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作a?(x,y)

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).2．平面向量的坐標運算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y).若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?

二、講解新課：

???a∥b(b?0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

????設a=(x1，y1)，b=(x2，y2)其中b?a.??x1??x2?由a=λb得，(x1，y1)=λ(x2，y2)??消去λ，x1y2-x2y1=0

y??y2?1?探究：（1）消去λ時不能兩式相除，∵y1，y2有可能為0，∵b?0∴x2，y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成y1y2∵x1，x2有可能為0 ?x1x2??(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式：a∥b ?(b?0)?a??b

x1y2?x2y1?0

三、講解范例：

????例1已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，求y.例2已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關系.例3設點P是線段P1P2上的一點，P1、P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標.??例4若向量a=(-1，x)與b=(-x，2)共線且方向相同，求x

??解：∵a=(-1，x)與b=(-x，2)共線∴(-1)×2-x?(-x)=0 ??a∴x=±2∵與b方向相同∴x=2

例5已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB與CD平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？

解：∵AB=(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD=(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0 ∴AB∥CD

又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×6?0 ∴AC與AB不平行

∴A，B，C不共線∴AB與CD不重合∴AB∥CD

四、課堂練習：

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，則y=（）A.6 B.5 C.7 D.8 2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（）

A.-3 B.-1 C.1 D.3 3.若AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量).AB與DC共線，則x、y的值可能分別為（）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4 4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，則y=.5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為.6.已知□ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x=.五、小結

第五篇：北師大版高中數學(必修4)2.6《平面向量數量積的坐標表示》教案

平面向量數量積的坐標表示教案1

教學目標

1．正確理解掌握兩個向量數量積的坐標表示方法，能通過兩個向量的坐標求出這兩個向量的數量積．

2．掌握兩個向量垂直的坐標條件，能運用這一條件去判斷兩個向量垂直． 3．能運用兩個向量的數量積的坐標表示去解決處理有關長度、角度、垂直等問題．

重點：兩個向量數量積的坐標表示，向量的長度公式，兩個向量垂直的充要條件．

難點：對向量的長度公式，兩個向量垂直的充要條件的靈活運用． 教學過程設計

(一)學生復習思考，教師指導．

1．A點坐標(x1，y1)，B點坐標(x2，y2)．

＝________

＝________

2．A點坐標(x1，y1)，B點坐標(x2，y2)＝________

3．向量的數量積滿足那些運算律？

(二)教師講述新課．

前面我們已經學過了兩個向量的數量積，如果已知兩個向量的坐標，如何用這些坐標來表示兩個向量的數量積，這是一個很有價值的問題．

設兩個非零向量為

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

＝x

1＋y1

為x軸上的單

＋y位向量，為y軸上的單位向量，則，＝x2

這就是說：兩個向量的數量積等于它們對應坐標的乘積的和．

引入向量的數量積的坐標表示，我們得到下面一些重要結論：

(1)向量模的坐標表示：

(2)平面上兩點間的距離公式：

向量=

(3)兩向量的夾角公式

設＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ． 的起點和終點坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，4．兩向量垂直的充要條件的坐標表示

＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．

即兩向量垂直的充要條件是它們對應坐標乘積的和為零．

(三)學生練習，教師指導．

練習1：課本練習1．

已知a(－3，4)，(5，2)．

練習2：課本練習2．

已知 ··(＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)． ＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋

＋)·（－)＝－7．)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．

練習3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．

求證：△ABC是直角三角形．

證：∵

經檢驗，∴⊥ ＝(1，1)，·

＝(－3，3)，＝(－4，2)．

＝1×(－3)＋1×3＝0．，△ABC是直角三角形．

(四)師生共同研究例題．

例1：已知向量

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(1)求

(2)若

解：(1)與＋x的夾角θ，與

－

垂直，求實數x的值．

＝(3，4)，＝(2，－1)．

(2)

(＋x與＋x)·（－－

垂直，)＝0，＋x

＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．

例2：求證：三角形的三條高線交于一點．

證：設△ABC的BC、AC邊上的高交于P點，現分別以BC、PA所在直線為x軸、y軸，建立直角坐標系，設有關各點的坐標為B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．

∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．

(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．

即 x1x2＋yy1＝0．

又

∴·⊥＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．

＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．，CP是AB邊上的高．

故三角形的三條高線交于一點．

(五)作業．習題5．7 1，2，3，4，5．