第一篇：高中數學 第二章 平面向量向量的概念教學設計 新人教B版必修4

2015高中數學 第二章平面向量向量的概念教學設計 新人教B版必

修4 1．向量概念的形成

1．1 讓學生感受引入概念的必要性

引子：生：去錄播室怎么走？師：出了樓門走50米就到了．

意圖：向量概念不是憑空產生的．用這一簡單、直觀例子中的“位移不僅有大小，而且有方向”，讓學生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學習內容．

問題1 你能否再舉出一些既有方向，又有大小的量？ 意圖：激活學生的已有相關經驗．

（學生能容易地舉出重力、浮力、作用力等物理中學過的量．）追問：生活中有沒有只有大小，沒有方向的量？請你舉例． 意圖：形成區別不同量的必要性．

（學生所舉的例子有年齡、身高、面積等．）概念抽象需要典型豐富的實例．讓學生舉例可以觀察到他們對概念屬性的領悟，形成對概念的初步認識，為進一步抽象概括做準備．

T：由同學們的舉例可見，現實中有的量只有大小沒有方向，有的量既有大小又有方向．類似于從一支筆、一本書、一棵樹……中抽象出只有大小的數量1，數學中對位移、力……這些既有大小又有方向的量進行抽象，就形成一種新的量——向量（板書概念）． 演練回饋一【概念辨析】

1、身高是一個向量（）

2、溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（）

3、坐標平面上的x軸和y軸都是向量（）

4、有人說，由于海平面以上的高度（海拔）用正數表示，海平面以下的高度用負數表示，所以海拔也是向量，你認為對嗎？

1．2 向量的幾何表示

問題2 數學中，定義概念后，通常要用符號表示它．怎樣把你所舉例子中的向量表示出來呢？

意圖：讓學生先嘗試向量的表示方法，自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量．

T：看來大家都認為用帶箭頭的線段表示向量比較好．在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示線段．現在，我們加上箭頭，用，，等表示向量．以前AB與BA表示同一線段，現在和表示同一向量嗎？為什么？

S：不．向量和起點、終點正好相反．

T：對，方向是向量的本質屬性之一．向量的另一本質屬性是大小，我們用||表示，稱為向量的模．同樣，用||來表示向量的模．因為向量有大小和方向兩個要素，只用代數形式或幾何形式是無法確定的，必須兩者結合．

思考：既然向量可以用有向線段表示，那么向量是否就是有向線段？ 1．3 零向量與單位向量

T：現在，我們已經建立了一個向量的集合．就象每個人都有名字一樣，這個集合中的每一個向量都有了名稱．那么

問題3 你認為在所有向量組成的集合中，哪些向量較特殊？

意圖：引導學生學會觀察一組對象．面對一組對象，首先注意特殊對象是自然的．（學生普遍認為零向量、單位向量是特殊的．）T：大家為什么認為它們最特殊？你們是怎么想的？

意圖：挖掘結果背后的思維過程．企圖引導學生把向量集合與實數集類比．

（課堂中，學生從長度這個角度進行了解釋，認為零向量的長度是0，單位向量的長度是1，最為特殊．這表明他們已經在把向量集與實數集作類比．從實數集的認知經驗出發，自然會想到零向量、單位向量的特殊性．）

T：是的．類比實數的學習經驗有利于向量的學習．在實數中，0是數的正負分界點，有0就可定義相反數；1是“單位”，作用很大．對實數的研究經驗告訴我們，“引進一個新的數就要研究它的運算；引進一種運算就要研究運算律”．可以預見，引進向量就要研究向量的運算，進而就要研究相應的運算律或運算法則．所以，對于向量，還有許多內容等待我們去研究．

2．相等向量、平行向量、共線向量、相反向量概念的形成

問題例2觀察圖1中的正六邊形ABCDEF．給圖中的一些線段加上箭頭表示向量，并說說你所標注的向量之間的關系．（舉例）

意圖：不是先給出相等向量、平行向量、共線向量、相反向量的定義，再做練習鞏固，而是讓學生參與概念的定義過程，使概念成為學生觀察、歸納、概括之后的自然產物．

留給學生足夠的時間，并提出問題5，組織學生交流．

問題5 你是怎樣研究的？比如，你畫了哪幾個向量？你認為它們有怎樣的關系？ 意圖：不僅關注結果，更要關注過程．尤其要挖掘學生用向量概念思維的過程．

（課堂中，有的學生首先關注大小；有的學生首先畫出向量與，認為它們長度相等且方向相同，是相等的向量；也有學生首先畫出向量

與，認為它們是共線的向量；等．教師適時介入，解釋數學中的向量是自由向量，可以平移，因此，與也稱為共線向量．“平行向量”的產生比較順利，但“相反向量”的產生有困難，其間還類比了“相反數”．）

歸納得到：

（1）從“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，記為 ∥；（2）從“長度”角度看，有模相等的向量，||=||；

（3）既關注方向，又關注長度，有相等向量=，相反向量=－． T：我們規定：零向量與任意向量都平行，即∥．

問題6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模確定．由此，你能說說數學中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么聯系與區別？

意圖：讓學生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區分，真正抓住向量的本質特征，完成“數學化”的過程．

3．閱讀課本

請同學們把課本看一遍，看看我們的討論過程與課本講的是否一致，有什么遺漏？有什么不同？

意圖：通過閱讀，對本課的內容再一次進行歸整、明晰．引導學生重視課本． 4．課堂練習5．課堂小結

問題7（引導學生自己小結）能否畫個圖，把今天學的內容梳理一下？

（有的學生提出可以把本課的內容分為三個部分，與圖2所呈現的內容基本一致，只是把“特殊關系”說成了“向量的性質”，這也是正確的．教師肯定了她的結論，展示了圖2．）

T：今天我們學習向量的概念及其表示方法，并初步研究了向量這個集合，發現了其中的兩個特殊向量，以及向量之間的一些特殊關系．同學們要認真體會其中的基本思路，即：從同類具體事例中抽象出共同本質特征——下定義——符號表示——認識特殊對象——考察某些特殊關系．

這里特別要注意，因為向量帶有方向，所以只用代數的形式已無法表示，必須結合幾何的形式．因此，向量具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”．隨著學習的深入，我們會看到這種身份給向量帶來的力量．

另外，我們用類比數集的方法初步認識了向量的集合．我們知道，數與運算分不開，數

2的概念的發展也與運算不可分割．例如，為了解方程x=2，我們需要有無理數概念，于是要有“開方”運算．引進一種新的數，就要研究關于它的運算；引進一種運算，就要研究相應的運算律．今天我們引進了一個新的量——向量，下面我們該研究它的哪些問題？如何研究？請同學們課后認真考慮，下節課來交流．（說罷，教師在“特殊關系”的右邊增加了省略號“……”．）6．布置作業（略）

第二篇：平面向量概念教學設計

篇一：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養成科學的學習方法。

3、通過本節的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現實世界，從而激發學生學習數學的熱情，培養學生學習數學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在數學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質量② 速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨體積⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5n的力，和一個水平向左、大小為8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；

（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△abc中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？ 總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量

（1）相等向量的定義

（2）共線向量的定義

六．教具：黑板

七．作業

八．教學后記

篇二：平面向量的實際背景及基本概念教學設計

平面向量的實際背景及基本概念教學設計 本節課的內容是數學必修4，第二章《平面向量》的引言和第一節平面向量的實際背景及基本概念兩部分，所需課時為1課時。

一 教材分析

向量是近代數學最重要和最基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的橋梁，對更新和完善中學數學知識結構起著重要的作用。向量集數與形于一身，有著極其豐富的實際背景，在現實生活中隨處可見的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向線段是它的幾何背景。向量就是從這些實際對象中抽象概括出來的數學概念，經過研究，建立起完整的知識體系之后，向量又作為數學模型，廣泛地應用于解決數學、物理學科及實際生活中的問題，因此它在整個高中數學的地位是不言而喻的。

本課是“平面向量”的起始課，具有“統領全局”的作用。本節概念課，重要的不是向量的形式化定義及幾個相關概念，而是能讓學生去體會認識與研究數學新對象的方法和基本思路，進而提高提出問題，解決問題的能

二 學情分析

在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。

三 目標定位

根據以上的分析，本節課的教學目標定位： 1）、知識目標

? 通過對位移、速度、力等實例的分析，形成平面向量的概念；

? 學會平面向量的表示方法，理解向量集形與數于一身的基本特征；

? 理解零向量、單位向量、相等向量、平行向量的含義。2）、能力目標培養用聯系的觀點，類比的方法研究向量；獲得研究數學新問題的基本思路，學會概念思維； 3）、情感目標使學生自然的、水到渠成的實現“概念的形成”；讓學生積極參與到概念本質特征的概括活動中，享受寓教于樂。

重點：向量概念、向量的幾何表示、以及相等向量概念；

難點：讓學生感受向量、平行或共線向量等概念形成過程；

四、教學過程概述： 4.1 向量概念的形成

4.1.1 讓學生感受引入概念的必要性

引子：章節 引言

意圖：向量概念不是憑空產生的。用這一簡單直觀的問題讓學生感受“既有大小又有方向的量”的客觀存在，自然引出學習內容，學生會有親切感，有助于激發學習興趣。

問題1 你能否再舉出一些既有大小又有方向的量？

意圖：激活學生的已有相關經驗。

進一步直觀演示，加深印象。

追問：生活中有沒有只有大小沒有方向的量?請舉例。

類比數的概念獲得向量概念的定義（板書）。4.1.2 向量的表示方法

問題2 數學中，定義概念后，通常要用符號表示它。怎樣把你舉例中的向量表示出來呢

意圖：讓學生先練習力的表示，讓錯誤呈現，激發認知沖突，最后自覺接受用帶有箭頭的線段（有向線段）來表示向量。（教師引導學生進一步完善）幾何表示法： 記作a b |a b|為ab的長度(又稱模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 單位向量、零向量的概念：

問題3用有向線段表示向量，學生演板，提出問題，大家畫得線段長度長短不一怎么回事？如何解決這問題？由單位長度引入單位向量

意圖：這樣過渡學生不會感覺新的概念是從天而降，而是進一步學習的需要

歸納小結：單位向量——長度等于1個單位長度并與a同向的向量叫做a方向上的單位向量． 讓演板學生回到座位之后利用這個情境提出問題，他位移的大小是什么？ 歸納小結：零向量——長度（模）為0的向量，記作0 提問：你們認為零向量和單位向量特殊嗎？它們的特殊性體現在哪？類比實數集合中的0和1.4.2 相等向量、平行(共線)向量概念的形成

設計活動：傳花游戲，游戲中將呈現通過學生之間傳遞花朵所產生的位移向量，讓他們從大小和方向兩個方面展開思考，教師適時介入，強化本質特征、規范概念表達，與學生一起完成概念的定義。

意圖：通過游戲調動學生的興趣和積極性，讓學生通過親身經歷去體會相等向量與平行向量的本質特征。歸納：

1、從“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

記作：a ∥b ∥ c 任一組平行向量都可移到同一條直線上，所以平行向量也叫共線向量。

2、從“長度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既關注方向有又關注長度有相等向量：記作：a = b a 規定： 0 與任一向量都平行或（共線）。

教師通過動畫演示深化上述兩個概念

問題4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小確定。由此，你能說說數學中的向量與物理中的矢量的異同嗎？另外，向量的平行、共線與線段的平行、共線有什么區別與聯系？

意圖：讓學生注意把向量概念與物理背景、幾何背景明確區分，真正抓住向量的本質特征，完成“數學化”的過程。4.3 課堂練習：

概念辨析

兩個長度相等的向量一定相等．

相等向量的起點必定相同．

平行向量就是共線向量．

若 ab 與 cd 共線，則 a、b、c、d 四點必在同一條直線上．

向量 a 與 b平行，則向量 a 與 b 的方向相同或相反．

教材例題

3、教材第79頁，b組第一題(選擇此題，可以進一步理解位移概念，又能為后一步的學習做好鋪墊)4.4 課堂小結（引導學生小結）

問題5 欣賞一首關于向量的詩，布置任務能否用擬人的方式把你對向量的認識做個概述呢？

結束語：略

板書設計

5.5明確零向量的意義和作用，不過分糾纏于細節。

首先，規定零向量與任何向量平行是完善概念系統的需要。其次，就像數零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間。總之，作為現代數學重要標志之一的向量引入中學數學以后，給中學數學帶來了無限生機。這節“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。概念的教學應在概念的發生發展過程中揭示它的本來面目。要讓學生參與概念本質特征的概括活動過程，這也是培養學生創新精神和實踐能力的必由之路！

三、教學診斷分析

本節是平面向量的第一堂課，屬于“概念課”，概念的理解無疑是重點，也是難點。為了幫助學生建立向量的概念，與數、形的相關概念類比與聯系是值得重視的。在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。具體教學中，要設計一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例中領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線的基本關系認識向量的基本關系。使學生從中體會到認識一個數學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。這也是本堂課的核心目標。由于數學概念的高度抽象性，學生往往要費很多周折才能理解，教師應從學生的認知水平出發，針對學生的理解困難來展開教學，保證學生參與概念本質特征的概括活動，確保學生有自己想明白的機會和時間，這是至關重要的。

本課的教學，我們力求使學生理了解向量概念的背景和形成過程，了解為什么要引入這個概念，怎樣定義這個概念，怎樣入手研究一個新的問題。因此，在教學中教師應注意從宏觀上為學生勾勒研究框架和總體思路，使學生能“抬頭看路”，知道往哪里走，這是起始課的重要任務；微觀上，引導學生通過類比，有序地給出向量的定義、討論向量的表示、定義特殊向量、研究特殊向量的關系。在引導學生展開對向量及其相關概念的學習過程中，應強調“讓學生參與到定義概念的活動中來”，不輕易打斷學生的思維和活動，恰如其分地“以問題引導學習”，在質疑——反思的過程中深化概念的理解，使概念的理解成為學生自己主動思維的結果。

本課中出現的特殊向量——零向量，很多教師都會在“零向量與任意向量平行上”花太多時間，原因是“這是考試中的一個陷阱”。這其實是對零向量的意義和作用理解不到位的表現：首先，規定零向量與任何向量平行是完善概念系統的需要；其次，就像數零的作用在于運算一樣，零向量的作用在于運算及其表達的幾何意義。因此孤立地討論零向量與任何向量平行沒有多少意義，也不必耗費過多時間。

四、本課教學特點及預期效果分析

在學生建立向量的概念之初，與數、形的相關概念類比與聯系是值得重視的。在學生的已有經驗中，與本課內容相關的有：數的抽象過程、實數的絕對值（線段的長度）、數的相等、單位長度、0和1的特殊性、線段的平行與共線等。因此在具體教學中，我設計了一個能讓學生開展概括活動的過程，引導他們經歷從具體事例中領悟向量概念的本質特征，類比數的概念獲得向量概念的定義及表示，類比數的集合認識向量的集合，類比直線的基本關系認識向量的基本關系。使學生從中體會到認識一個數學概念的基本思路，而不是停留在某個具體的概念學習上。

在向量的幾何表示中，我讓學生大膽探索，而不是“全包全攬”，教師引導，學生補充改進，最終明確向量幾何表示的正確方法。整個過程全體同學熱情參與，自我教育，互幫互學，課堂氣氛生動活潑。

當同學們能將向量正確的幾何表示時，我又適時地提出問題：大家畫出的線段長短不一，怎么解決？由此自然過渡到單位長度上，使得單位向量的引入也就順理成章了。

為了幫助學生學習相等向量、平行（共線）向量的概念，本課設計了“傳花游戲”，通過學生之間傳遞花朵所產生的位移向量，讓學生積極參與，仔細觀察，自己概括出概念的本質特征，將課堂氣氛推向一個新的高潮。在結束本課之前，為了讓同學對向量加深印象，我讓學生先欣賞一首關于向量的詩歌，再讓學生在課外動筆寫出自己對向量的感受。

本節課是從現實世界的常見實例出發，以學生自主探究的教學方式為主。在課堂上，創建了一個以全班學生共同參與的向量游戲平臺，讓學生在輕松愉悅的課堂環境中，共同參與，共同討論，共同分析，讓學生自然地、水到渠成的完成本節內容的學習。

第三篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．課題：平面向量概念

二、教學目標

1、使學生了解向量的物理實際背景，理解平面向量的一些基本概念，能正確進行平面向量的幾何表示。

2、讓學生經歷類比方法學習向量及其幾何表示的過程，體驗對比理解向量基本概念的簡易性，從而養成科學的學習方法。

3、通過本節的學習，讓學生感受向量的概念方法源于現實世界，從而激發學生學習數學的熱情，培養學生學習數學的興趣

三．教學類型：新知課

四、教學重點、難點

1、重點：向量及其幾何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、難點：向量的概念及對平行向量的理解。

五、教學過程

（一）、問題引入

1、在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？

2、在物理中，我們學到位移是既有大小、又有方向的量，你還能舉出一些這樣的量嗎？

3、在物理中，像這種既有大小、又有方向的量叫做矢量。在數學中，我們把這種既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，沒有方向的量叫數量。

（二）講授新課

1、向量的概念

練習1 對于下列各量：

①質量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨體積 ⑩溫度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的幾何表示

請表示一個豎直向下、大小為5N的力，和一個水平向左、大小為8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理學科中是如何表示力這一向量的？

（1）有向線段及有向線段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，記作＿＿＿＿；（5）單位向量

練習2 邊長為6的等邊△ABC中，＝＿＿，與 相等的還有哪些？

總結向量的表示方法： 1）、用有向線段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量與共線向量（1）相等向量的定義（2）共線向量的定義

六．教具：黑板 七．作業 八．教學后記

第四篇：高中數學 2.3平面向量的基本定理及坐標表示教學設計 新人教A版必修4

2.3《平面向量的基本定理及坐標表示》教學設計

【教學目標】

1．了解平面向量基本定理；

2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法；

3．能夠在具體問題中適當地選取基底，使其他向量都能夠用基底來表達.【導入新課】 復習引入： 1． 實數與向量的積

實數λ與向量a的積是一個向量，記作：λa.（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0時，λa與a方向相同；λ<0時，λa與a方向相反；λ=0時，λa=0.2．運算定律 ?????????????????aaaaaa結合律：λ(μ)=(λμ)；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+b)=λa+λ?b.3.向量共線定理

????向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使b=λa.新授課階段

一、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：

(1)我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關鍵是不共線；

(3)由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一確定的數量.二、平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為??? 1

基底.任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得 a?xi?yj…………○1○我們把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標，記作 2 a?(x,y)…………○2○

2其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，○2○式叫做向量的坐標表示.與．a相等的向量的坐標也為．．．．．．．．．．(x,y).特別地，i?(1,0)，j?(0,1)，0?(0,0).如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作OA?a，則點A的位置由a唯一確定.設OA?xi?yj，則向量OA的坐標(x,y)就是點A的坐標；反過來，點A的坐標(x,y)也就是向量OA的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數唯一表示.三、平面向量的坐標運算

（1）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.設基底為i、j，則a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)?(x1?x2)i?(y1?y2)j，即a?b?(x1?x2,y1?y2)，同理可得a?b?(x1?x2,y1?y2).（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1?.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.AB=OB?OA=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2? x1，y2? y1).（3）若a?(x,y)和實數?，則?a?(?x,?y).實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標.設基底為i、j，則?a??(xi?yj)??xi??yj，即?a?(?x,?y).2

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐標.例2 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐標.例3 已知平面上三點的坐標分別為A(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點.解：當平行四邊形為ABCD時，由AB?DC，得D1=(2，2).當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(?6，0).例4 已知三個力F1(3，4)，F2(2，?5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐標.解：由題設F1+F2+F3=0，得：(3，4)+(2，?5)+(x，y)=(0，0)，即：??3?2?x?0,?x??5, ∴? ∴F3(?5，1).4?5?y?0,y?1.??????????例5 已知a=(2,1), b=(－3,4),求a＋b，a－b，3a＋4b的坐標.??解：a＋b＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)，??a－b＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)，??3a＋4b＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19).點評：利用平面向量的坐標運算法則直接求解.例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標.解：設點D的坐標為（x,y）, AB?(?1,3)?(?2,1)?(1,2)，DC?(3,4)?(x,y)?(3?x,4?y)，且AB?DC,?(1,2)?(3?x,4? y).即 3-x=1,4-y=2.解得x=2,y=2.所以頂點D的坐標為（2，2）.3

另解：由平行四邊形法則可得

BD?BA?BC

?(?2?(?1),1?3)?(3?(?1),4?3)

?(3,?1), OD?OB?BD ?(?1,3)?(3,?1)?(2,2).例7 經過點M(?2,3)的直線分別交x軸、y軸于點A,B，且|AB|?3|AM|，求點A,B的坐標.解：由題設知，A,B,M三點共線，且|AB|?3|AM|，設A(x,0),B(0,y)，①點M在A,B之間，則有AB?3AM，∴(?x,y)?3(?2?x,3).解之得：x??3,y?3，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3).②點M不在A,B之間，則有AB??3AM，同理，可求得點A,B的坐標分別為(?3,0)，2(0,?9).綜上，點A,B的坐標分別為(?3,0),(0,3)或(?3,0)，(0,?9).2例8.已知三點A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AM??AB?AC，試求實數?的取值范圍，使M落在第四象限.解：設點M(x,y)，由題設得(x?2,y?3)?(3?,?)?(5,7)?(3??5,??7)，∴x?3??3,y???4，要使M落在第四象限，則x?3??3?0,y???4?0，解之得1???4.例8 已知向量a?(8,2),b?(3,3),c?(6,12),p?(6,4)，問是否存在實數x,y,z同時滿足兩個條件：(1)p?xa?yb?zc;(2)x?y?z?1？如果存在，求出x,y,z的值；如果不存在，請說明理由.4

1?x?,?2?8x?3y?6z?6,?1??解：假設滿足條件的實數x,y,z存在，則有?2x?3y?12z?4,解之得：?y?，3?x?y?z?1.??1?z?.?6?∴滿足條件的實數x?課堂小結

（1）理解平面向量的坐標的概念；（2）掌握平面向量的坐標運算；

（3）會根據向量的坐標，判斷向量是否共線.作業 見同步練習拓展提升

1.設e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（）A.e1，e2 B.e1+e2，e2 C.e1，2e2 D.e1，e1+e2 2.設e1,e2是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（）

A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e1-6e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1+e2和e2

111,y?,z?.236???????????????????????????????????????3.已知e1,e2不共線，a =?1e1+e2，b=4 e1+2e2，并且a，b共線，則下列各式正確的是（）

A.?1=1，B.?1=2，C.?1=3，D.?1=4 ??????4.設AB=a+5b，BC=-2a+8b，CD=3a-3b，那么下列各組的點中三點一定共線的是（）

A.A，B，C B.A，C，D C.A，B，D D.Ｂ，Ｃ，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（）

①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

②一個平面內有無數多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；

③零向量不可作為基底中的向量.Ａ．①②

Ｂ．①③

Ｃ．②③

Ｄ①②③

６．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么下列兩個結論中正確的是（）①?1e1+?2e2（?1，?2為實數）可以表示該平面內所有向量；

???????②若有實數?1，?2使?1e1+?2e2＝0，則?1＝?2＝０.Ａ．①

Ｂ．②

Ｃ．①②

Ｄ．以上都不對

??７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若AB＝a，AC＝b，則AM＝（）????11aaＡ．（－ b）

Ｂ． －（－ b）22????11Ｃ．－（a＋b）

Ｄ．（a＋b）

22??８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，AB＝a，AE＝b，則BC＝（）????11Ａ．（a－ b）

Ｂ． －（a－ b）

22?1???1Ｃ．a＋b

Ｄ．（a＋b）

22?????????９．如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b為已知向量，則e1＝，?e2＝

.１０．已知e1,e2是同一平面內兩個不共線的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為

.????????????????１１．當ｋ為何值時，向量a＝４e1+２e2，b＝ｋe1＋e2共線，其中e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量.???????１２．已知：e1、e2是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量a＝ｋe1+e2與b＝e1＋ｋe2共線？ ? 6

參考答案

1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9.－2a?3b,11．②③⑤ 12.k=2

79a?b 10.－8 44 8

第五篇：高中數學必修4人教A教案第二章平面向量復習

第二章

平面向量復習課

（一）一、教學目標

1.理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。2.了解平面向量基本定理.3.向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4.了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(試問：取等號的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5.了解實數與向量的乘法（即數乘的意義）： 6.向量的坐標概念和坐標表示法

7.向量的坐標運算（加.減.實數和向量的乘法.數量積）

8.數量積（點乘或內積）的概念，a·b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意區別“實數與向量的乘法；向量與向量的乘法”

二、知識與方法

向量知識，向量觀點在數學.物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”能融數形于一體，能與中學數學教學內容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應引起足夠的重視.數量積的主要應用：①求模長；②求夾角；③判垂直

三、教學過程

（一）重點知識：

1.實數與向量的積的運算律：

?????????(1)?(?a)?(??)a(2)(???)a? ?a??a(3)?(a?b)??a??b

2.平面向量數量積的運算律:

?????????????????(1)a?b?b?a

(2)(?a)?b??(a?b)?a?(?b)

(3)(a?b)?c? a?c?b?c

3.向量運算及平行與垂直的判定: 設a?(x1,y1),b?(x2,y2),(b?0).則a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?(x1?x2,y1?y2)

a?b?x1x2?y1y2

a//b?x1y2?x2y1?0.a?b?x1x2?y1y2?0.4.兩點間的距離:

|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

5.夾角公式: cos??a?b a ?b?x1x2?y1y2 x1?y1?x2?y22222

6.求模：

a?a?a

a?x2?ya?(x1?x2)2?(y1?y2)2

（二）習題講解：第二章 復習參考題

（三）典型例題

例1． 已知O為△ABC內部一點，∠AOB=150°，∠BOC=90°，設OA=a，OB=b，OC=c，且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a與b表示c

解：如圖建立平面直角坐標系xoy，其中i, j是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-3），也就是a=i －3j, b=j，c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b

（四）基礎練習：

（五）、小結：掌握向量的相關知識。

（六）、作業：

第二章

平面向量復習課

（二）一、教學過程

（一）習題講解：

（二）典型例題

例1．已知圓C：(x?3)?(y?3)?4及點A（1，1），M是圓上任意一點，點N在線

22??段MA的延長線上，且MA?2AN，求點N的軌跡方程。

練習：1.已知O為坐標原點，OA=（2，1），OB=（1，7），OC=（5，1），OD=xOA,y=DB·DC（x，y∈R）

求點P（x，y）的軌跡方程；

2.已知常數a>0，向量m?(0,a),n?(1,0)，經過定點A（0，－a）以m??n為方向向量的直線與經過定點B（0，a）以n?2?m為方向向量的直線相交于點P，其中??R.求點P的軌跡C的方程；

例2.設平面內的向量OA?(1,7), OB?(5,1), OM?(2,1)，點P是直線OM上的一個動點，求當PA?PB取最小值時，OP的坐標及?APB的余弦值．

解

設OP?(x,y)．∵

點P在直線OM上，∴ OP與OM共線，而OM?(2,1)，∴

x－2y=0即x=2y，有OP?(2y,y)．∵ PA?OA?OP?(1?2y,7?y)，PB?OB?OP?(5?2y,1?y)，∴ PA?PB?(1?2y)(5?2y)?(7?y)(1?y)

= 5y2－20y+12 = 5(y－2)2－8．

從而，當且僅當y=2，x=4時，PA?PB取得最小值－8，此時OP?(4,2)，PA?(?3,5)，PB?(1,?1)．

于是|PA|?34，|PB|?2，PA?PB?(?3)?1?5?(?1)??8，∴ cos?APB?PA?PB|PA|?|PB|??834?2??417 17小結：利用平面向量求點的軌跡及最值。

作業：