第一篇：高中數學 2.2.2向量減法及其幾何意義教學設計 新人教A版必修1

§2．2．2 向量減法運算及其幾何意義

教學目標 1．通過探究活動，使學生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，掌握相反向量．

2．啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學重點 教學難點 教學過程

一、新課導入

思路1．(問題導入)上節課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算：減去一個數等于加上這個數的相反數．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究，由此展開新課．

思路2．(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算．本節課，我們繼續學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發現．

數的減法運算是數的加法運算的逆運算，數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數，因此定義數的減法運算，必須先引進一個相反數的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應引進一個新的概念，這個概念又該如何定義?

二、新課導學

【探究1】相反向量

一個質點，先由A點作直線移動到B點，于是得到一個向量→AB，再由B點按相反方向移動到A點又得到一個向量→BA，如此移動的實際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質：①－(－a)＝a；

②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當a≠0時，a≠－a；而當a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量減法

如圖，設向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法．

如圖2，已知a、b，在平面內任取一點O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．

新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運算，叫向量的減法．

（2）向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數形結合思想的重要體現．

說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．

②向量減法可以轉化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結論在以后應用是非常廣泛的．

【探究3】關于向量差的模的不等式

如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．

對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當且僅當a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當且僅當a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當且僅當a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結論在有關問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根據向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量．

作法：如圖3(2)，在平面內任取一點O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓練：在ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓練

1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a+b+c

B．a-b+c C．a+b-c

D．a-b-c 解析：如圖5，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①當a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6，用向量構建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉換為：

①當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當ABBC|＝8－5＝3；當→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C．

變式訓練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20

三、總結提升

1.通過本節學習，要求大家在理解向量減法定義的基礎上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當的應用.2.向量減法的三角形法則的式子內容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點.四、課后作業

課本第91頁習題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點，O是△ABC內的一點，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以OB、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點共線． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設BC交OD于點E，則BE

→＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點O是△ABC的重心．

第二篇：示范教案(2.2.2向量減法運算及其幾何意義)

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

整體設計

教學分析

向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等于加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系,提高學生的應用意識.三維目標

1.通過探究活動,使學生掌握向量減法概念,理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行,掌握相反向量.2.啟發學生能夠發現問題和提出問題,善于獨立思考,學會分析問題和創造地解決問題.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量.重點難點

教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等于加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.推進新課 新知探究 提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導學生思考,相反向量有哪些性質? 由于方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結果:①AB=b-a.②略.應用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C 例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練

1.(2005高考模擬)已知一點O到向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？

④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為: ①當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;

(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a

b,b

c,c

a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.知能訓練 課本本節練習解答: 1.直接在課本上據原圖作(這里從略).2.DB,CA,AC,AD,BA.點評:解題中可以將減法變成加法運算,如AB-AD=DA+AB=DB,這樣計算比較簡便.3.圖略.課堂小結

1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論.作業

課本習題2.2 A組6、7、8.設計感想

1.向量減法的幾何意義主要是結合平行四邊形法則和三角形法則進行講解的,兩種作圖方法各有千秋.第一種作法結合向量減法的定義,第二種作法結合向量的平行四邊形法則,直接作出從同一點出發的兩個向量a、b的差,即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量,第二種作圖方法比較簡捷.2.鑒于上述情況,教學中引導學生結合向量減法的幾何意義,注意差向量的方向,也就是箭頭的方向不要搞錯了,a-b的箭頭方向要指向a,如果指向b則表示b-a,在幾何證明題目中,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.

第三篇：高中數學 2.2.1向量的加法運算及其幾何意義教學設計 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法運算及其幾何意義》教學設計

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中課程標準實驗教材，數學必修4

教學內容：高中數學必修4，第二章《平面向量》第二節向量的加法運算及其幾何意義第1課時

一、教學目標

知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結合律，并會用它們進行向量運算．

能力目標：經歷向量加法概念、法則的建構過程，感受和體會將實際問題抽象為 數學概念的思想方法，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力．

情感目標：經歷運用數學來描述和刻畫現實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發 學生的學習熱情．培養學生勇于探索、敢于創新的個性品質．

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構；以及利用法則作兩個向量的和向量． 難點：理解向量的加法法則及其幾何意義．

三、教法學法

教法運用了“問題情境教學法”、“啟發式教學法”和“多媒體輔助教學法”． 學法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學習模式．

四、教學過程

新課程理念下的教學過程是一個內容活化、創生的過程，是一個學生思考、體驗的過程，更是一個師生互動、發展的過程．基于此，我設定了下面幾個教學環節

一、復習回顧

1、向量、平行向量、相等向量的含義是什么？

2、用有向線段表示向量，向量的大小和方向是怎樣反映的？什么叫零向量和單位向量？

二、合作探究

【問題1】如圖，某人從點A到點B，再從點B改變方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結論？

學生活動：學生討論，集體回答

點評：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以進行加法運算。

2、向量加法的定義

B如圖，已知非零向量a、b，在平面內

abAC取一點A，作AB?a，BC?b，則AC叫作a與b的和。兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量。一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

點評：加法的定義其實是用數學的作圖語言來刻畫的，這種方法經常出現在幾何中，這一點也更好的體現了向量加法具有的幾何意義和向量數形結合的特征．

3、向量加法的運算法則

【問題2】上面整個計算過程中我們作了一個什么圖形？你能不能結合圖形給這種運算法則起個名字？

學生活動：學生討論，集體回答

（1）三角形法則：定義中求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則

位移的合成可以看成向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則

【問題3】圖1表示橡皮條在兩個力F1和F2的作用下，沿GE方向伸長了EO；圖2表示橡皮條在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同長度.從力學的觀點分析，力F與F1、F2之間的關系如何？ 學生活動：集體回答

【問題4】通過剛才這個過程你發現對向量進行加法運算還可以怎樣進行？ 學生活動：學生討論，集體回答

點評：以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則 力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。

三、例題精解

例

1、已知向量a、b，分別用向量加法的三角形法則與向量加法的平行四邊形法則 作出向量a+b

教學活動：師板演作圖過程，生集體回答注意事項 小試牛刀

學生活動：學生自主解答，生代表展示講解做題過程 點評：使學生熟練掌握向量加法的兩個運算法則

四、模的關系探究 【問題4】想一想

ab（1）若兩向量互為相反向量,則它們的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）a?b，|a+b|和

a?b的大小關系如何？何時能取到等號呢？

學生活動：學生討論，代表回答

設計意圖：通過三角形三邊關系，讓學生找出向量的模與他們和的模之間的大小關系。

五、類比聯想，探究性質

1、你能說出實數相加有哪些運算律嗎？類比實數加法的運算律，向量是否也有運算律？

2、作圖驗證

（1）b+a的結果與a+b是否相同？（2）(a+b)+c的結果與a+(b+c)的結果呢？

學生活動：學生討論，代表展示驗證過程

設計意圖：通過作圖驗證，加深學生對向量加法運算律的理解。

3、練一練 根據圖示填空:

EefDdCg(1)a?b=________(2)c?d=________(3)a?b?d=______(4)c?d?e=______ cAb

Ba設計意圖：在訓練三角形法則的同時，使同學們注意到三角形法則推廣到 n 個向量相加的形式．

六、實際應用

例

2、長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發,以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字)(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).變式訓練

船在靜水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,則要使船到對岸的路程最短，它應該朝那個方向前進？船的實際速度是多少？

設計意圖：加強學生對向量加法運算的實際應用能力。

六、小結（這節課我學會了什么？）本環節有課堂小結和作業布置兩部分內容： 課堂小結：

【問題6】同學們想一想：本節課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

作業布置：

1、化簡

(1)AB?CD?BC?________(2)MA?BN?AC?CB?________(3)AB?BD?CA?DC?________??????

2、一艘船從 A點出發以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水以2km/h的速度向東流求船實際行駛速度的大小與方向。

第四篇：2017向量減法運算及其幾何意義教案.doc

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

一、教學分析

向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等于加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系,提高學生的應用意識.二、教學目標：

1、知識與技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。

2、過程與方法：

通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。

3、情感態度與價值觀：

通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想。

三、重點難點

教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導

減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結

合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。

五、教學設想

（一）導入新課

思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等于加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導學生思考,相反向量有哪些性質? 由于方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結果:①AB=b-a.②略.（三）應用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平

移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C

例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練

1.(2005高考模擬)已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為: ①當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結

1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論.（五）作業

第五篇：高中數學 2.2.2對數函數及其性質(二)教案 新人教A版必修1

3.2.2對數函數

（二）教學目標：進一步理解對數函數的定義,掌握對數函數的圖象和性質 教學重點：掌握對數函數的圖象和性質.教學過程：

1、復習對數函數的概念

2、例子：

（一）求函數的定義域

1． 已知函數f(x)?lg(x2?3x?2)的定義域是F, 函數g(x)?lg(x?1)?lg(x?2)的定義域是N, 確定集合F、N的關系？

2．求下列函數的定義域：

（1）f(x)?

1（2）log(x?1)?3f(x)?log2x?13x?2

（二）求函數的值域

f(x)?log2x 2．f(x)?logax 3．f(x)?log2x?[1,2]

x?[1,2]

x2?24.求函數（1）f(x)?log2(x2?2)（2）f(x)?log

2（三）函數圖象的應用

1的值域 x2?2y?logax y?logbx y?logcx的圖象如圖所示，那么a,b,c的大小關系是

2.已知y?logm(??3)?logn(??3)?0，m,n為不等于1的正數，則下列關系中正確的是（）

（A）1

（1）y?|lgx|（2）y?lg|x|

（四）函數的單調性

1、求函數y?log22(x?2x)的單調遞增區間。

y?log1(x2?x?2)

2、求函數2的單調遞減區間

（五）函數的奇偶性

1、函數y?log22(x?x?1)(x?R)的奇偶性為[ ] A．奇函數而非偶函數 B．偶函數而非奇函數 C．非奇非偶函數 D．既奇且偶函數

（五）綜合

1．若定義在區間（－1，0）內的函數f(x)?log2a(x?1)滿足f(x)?0，則a的取值范圍（）

(A)(1,1)(B)(1,12](C)(12,??)(D)(0,??)2

課堂練習：略

小結：本節課進一步復習了對數函數的定義、圖象和性質 課后作業：略