第一篇：2.2 向量加法運算及其幾何意義 教學設計 (北師大必修4)

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

一．教學內容和內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節《平面向量的線性運算》的第一課時，內容是向量加法運算及其幾何意義。

向量是數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的橋梁。向量的加法運算是通過類比數的加法，以位移的合成、力的合力兩個物理模型為背景引入的，主要內容是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個法則作兩個向量和的方法，介紹了向量加法滿足的運算率，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運算是學生對向量運算體系所進行的第一次探索和嘗試，學好本節課將為后面學習向量的其他知識奠定基礎，為用“數”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。

因此，本節的教學重點是掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算率。

二． 教學目標和目標分析（一)教學目標

1.掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算律。

2.理解向量加法及其幾何意義。

3.通過類比、觀察、歸納等方法提高發現問題、分析問題、解決問題的能力。

（二）教學目標分析

1.用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和向量時，體會在平面內任取一點O的依據，它體現了向量起點的任意性，用平行四邊形法則作圖時強調向量的起點放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連。

2.通過對向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。

3.從位移的合成、力的合成總結出向量加法法則；從向量的大小與方向探究出向量加法性質；從實數加法的運算律類比向量加法的運算律。三．教學問題診斷分析

本節課學生在學習過程中可能遇到以下疑惑和困難： 1.對三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個向量的加法。

2.在實際生活中，抽象、識別出向量加法的模型。

為此在教學中，讓學生認識到三角形法則的實質是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構成三角形。通過對應用題的討論，拉近學生與抽象數學知識之間的距離，激發他們的興趣，增強他們學習數學的動力。

因此，本節的教學難點是：理解向量加法及其幾何意義。四．教法分析

偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機誘導”。本節課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發、引導、探究相結合的教學方法。1.設置情景，激發學生解決問題的欲望。

2.提供交流探究機會，引導學生獨立思考，有效調動學生思維，在開放的活動中獲取知識。

3.在教學中體現“重過程、重情感、重生活”的理念。4.讓學生經歷“學數學、做數學、用數學”的過程。

五、教學過程設計

根據學生現有的的認知水平和規律，結合本節課的內容特點，分以下五個環節展開教學： 創設情境、引入課題；獨思共議、總結法則；合作交流、探究性質；典例分析、深化認識；課堂小結、拓展延伸。

1、創設情境 引入課題

情景：原來從浙江的嘉興到寧波的慈溪，需先從嘉興到杭州，再從杭州到慈溪，現在建好了杭州灣跨海大橋，可以從嘉興直接到達慈溪。

這兩種方式的位移是一樣的。然后將圖片中的問題抽象出來，也就是從點O到

【設計意圖】熟練兩個法則的作圖技能，讓學生開展小組合作、自主探究，特別是向量共線時，通過研究向量的方向以及模之間的關系，培養學生勇于探索、敢于創新的個性品質，使他們在輕松愉快的氛圍中突破難點，在過程中收獲自信，體驗成功！通過學生展示講解，鍛煉學生的組織能力和語言表達能力。通過教師點撥，強化重、難點，形成規律，加深理解。４、典例分析，深化認識

bc，請作出a+b,b+a,b+c例1:如圖，已知a, , a+(b+c),(a+b)+c.向量加法的運算律交換律：a?b?b?acabaa+bc??aa?bb??b?c結合律：(a?b)?c?a?(b?c)ba?b?cb+aba

例2.在長江南岸某渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h,渡船要垂直地渡過長江,求渡船的航向.解設AB、AD、AC分別表示水流的速度,渡船的速度, 渡船實際垂直過江的速度.因為AB+AD=AC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.在RtΔACD中, ACD=90O,B|DC|=|AB|=12.5, |AD|=25,所以CAD=30.o o練.O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5(4)A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6A1A2A6A5OA4A3DCA思考：在(4)的基礎上你能得到更為一般的結論嗎？推廣1：A1A2 +A2A3+A3A4+······+An-1An=A1An答: 渡船要垂直地渡過長江,其航向應為北偏西30.【設計意圖】通過“類比”的方法引入向量的加法運算律，是符合建構主義的認識的．同時，對于結論的驗證使學生進一步認識的數學的嚴謹之美，也欣賞到了兩個法則的和諧統一之美．由特殊到一般，讓學生通過練習歸納向量加法的三角形法則的推廣-----多邊形法則。然后生活中有向量，生活中用向量，通過對應用題的討論，拉近了學生和抽象的數學知識之間的距離，激發了他們學習的興趣，同時增強了他們學習好數學的動力．

5、課堂小結，拓展延伸

（1）讓學生自己從所學的數學知識、數學思想方法兩個方面進行總結，提高學生的

第二篇：《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學設計

《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學設計

〖教學目標〗

（1）知識與技能：理解掌握向量加法運算，能夠運用向量加法三角形法則和平行四邊形法則求任意兩個向量的和向量；初步嘗試用向量方法解決幾何問題及實際問題；

（2）過程與方法：經歷概念的形式過程，提高數學建設模能力；通過自主探究活動，體驗數學發現和創造的過程，提高概括、分析歸納，數學表達等基本數學思維能力；（3）情態與價值：通過師生互動，生生互動的教學活動，形成學生的體驗性認識，體會成功的愉悅，提高學習數學的興趣。形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學態度。

〖教學重點、難點〗

教學重點：理解向量加法的意義，掌握向量加法三角形法則和平行四邊形法則； 教學難點：向量加法概念的形成過程；

〖教學方法與教學手段〗 教學方法：啟發探究式教學 教學手段：多媒體輔助教學

〖教學過程〗

一、設置情境、嘗試探求 1．設置問題情境

今年夏天，我國某些地區洪災泛濫，某城外有一條東西流向的大河，河兩岸高筑堤壩，河寬4km, 水深10km，當時河水流速為4km/h, 有一天，三名巡防隊員在巡邏中發現正對岸堤壩有一處決口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向決口處駛去，同學們想一想，如果船不改變方向，他們能否準確、及時到達出事地點？

2、學生自主探究與研討 學生會直觀猜測：不能及時準確及時到達（有了猜測就有探式的欲望）

V船

V

教師引導學生：能否運用你所學的知識進行說明；

V水

學生得出：船的實際速度應是船行駛速度和水的速度的合成。如圖

教師小結：速度是一個看矢量，矢量的合成與數量相加不同，要同時考慮方向。提問，根據已有知識你還能舉出一些有關矢量合成的例子嗎？

3、師生共同探究

學生舉例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如圖：某對象從A點經B點到C點，兩次位移點的位移 結果相同。

，的結果，與A點直接到C

（2）如圖：表示橡皮條在兩個力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同。

教師：兩個既有大小又有方向的量的合成運算，物理上叫做矢量的合成，在數學上叫做向量的加法。

二、形成概念，歸納方法。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

1、提問：對于平面上任意兩個向量，如何定義它們的加法？ 同學們任意作出兩個向量試一試。

2、學生自主探究 學生可能答案：

（1）共起點的兩個向量相加，用平行四邊形法則；

（2）首尾相接的兩個向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意兩個向量相加，先平移到共點，再作出和向量；（4）共線的兩個向量相加（同向或反向）

3、交流、研討、辯析 投影同學們的研究成果，引導學生對幾種作圖方法進行辯析，它們有什么共同和不同之處？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何變化？能否對作圖過程進行語言表達。

4、歸納總結

在師生、生生的互動交流中，形成以下共識：

一、向量加法的定義

1、三角形法則：

已知非零向量a、ｂ.在平面內任取一點和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，則向量

叫做a與ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型

2平行四邊形法則

以同一點O為起點的兩個已知向量a、ｂ，為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線就是與的和。

力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。對于零向量與任一向量我們規定：

提問：你能從向量加法的幾何意義，說明規定的合理性嗎？

思考：當在數軸表示兩個共線向量時，它們的加法與數的加法有什么關系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|與||+||的大小關系：

當向量與不共線時，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、處于什么位置時，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、實踐探索 形成能力

1、探究：數的加法滿足交換侓和結合侓，即對任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也滿足交換侓和結合侓？（1）讓學生通過畫圖探索驗證：+=+（2）提問：你能否驗證：

有

(+)+=+(+)

小結：向量的加法滿足交換律：+=+ 向量的加法滿足結合律：(+)+=+(+)

2、練習P93 3、4題

3、例2：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，如圖2.2-12所示，一艘船從長江南岸A點出發，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數字）；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）（引導學生正確理解題意，把問題化歸為向量的加法運算。注意規范學生的解題格式。）

4、鞏固作業

（1）P103習題2。2：第２，３，4（1）（2）（3）題（2）選做題：在△ABC中，求證：

四、歸納小結：內化知識

通過本節課的學習，同學們談談自己體會最深刻的是什么？

1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，當且僅當方向相同時取等號.

第三篇：《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教學設計說明

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第四篇：《向量的加法運算及其幾何意義》教案

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

知識目標：

1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；

2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的 和，培養數形結合解決問題的能力；

3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向

量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法； 教學重點與難點: 教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個

向量的和向量.教學難點：理解向量加法的定義.教學過程

一、復習引入

問題1：向量的定義以及相等向量的定義是什么？

1、什么叫向量？

2、長度為零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、長度等于一個單位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、長度相等且方向相同的向量叫做。

強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量

可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 問題2：數能進行運算,向量是否也能進行運算呢？

二、探究新知 活動一

元旦假期將到，某人計劃外出去三亞旅游，從重慶（記作A）到昆明（記作B），再從B到三亞（記作C），這兩次的位移和可以用哪個向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定義

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法則(1)向量加法的三角形法則

如圖3,已知非零向量a、b,在平面內任取一點A,作AB=a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=AB+BC=AC.這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則(2)向量加法的平行四邊形法則

如圖4,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O為起點的對角線OC就是a與b的和.把這種求向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.問題4： 對于零向量與任一向量的加法,結果又是怎樣的呢？ 對于零向量與任意向量a，我們規定：a+0=0+a=a.總結: 三角形法則:

圖4

①要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.②適用于任何兩個非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.平行四邊形法則: ①適用于兩個不共線向量求和，且兩向量要共起點； ②力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.三、應用舉例

例1 如圖5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法則）：

作法2（平行四邊形法則）：

a 圖5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系？（1）當向量a與b不共線時，|a+b| |a|+|b|；（2）當a與b同向時，則a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；當a與b反向時，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b| |b|-|a|.結論：一般地：

四、練習鞏固： 教材84頁1、2題

五、小結 1.向量加法的定義 2.向量加法的兩種法則：(1)三角形法則：首尾相接

(2)平行四邊形法則：作平移,共起點,四邊形,連對角

六、作業：

高考調研課時作業十七

????a?b?|a?b|?|a|?|b|

第五篇：高中數學 2.2.1向量的加法運算及其幾何意義教學設計 新人教A版必修4

2.2.1《向量的加法運算及其幾何意義》教學設計

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中課程標準實驗教材，數學必修4

教學內容：高中數學必修4，第二章《平面向量》第二節向量的加法運算及其幾何意義第1課時

一、教學目標

知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則 作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結合律，并會用它們進行向量運算．

能力目標：經歷向量加法概念、法則的建構過程，感受和體會將實際問題抽象為 數學概念的思想方法，培養學生發現問題、分析問題、解決問題的能力．

情感目標：經歷運用數學來描述和刻畫現實世界的過程，體驗探索的樂趣，激發 學生的學習熱情．培養學生勇于探索、敢于創新的個性品質．

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構；以及利用法則作兩個向量的和向量． 難點：理解向量的加法法則及其幾何意義．

三、教法學法

教法運用了“問題情境教學法”、“啟發式教學法”和“多媒體輔助教學法”． 學法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學習模式．

四、教學過程

新課程理念下的教學過程是一個內容活化、創生的過程，是一個學生思考、體驗的過程，更是一個師生互動、發展的過程．基于此，我設定了下面幾個教學環節

一、復習回顧

1、向量、平行向量、相等向量的含義是什么？

2、用有向線段表示向量，向量的大小和方向是怎樣反映的？什么叫零向量和單位向量？

二、合作探究

【問題1】如圖，某人從點A到點B，再從點B改變方向到點C，則兩次位移的和可用哪個向量表示？由此可得什么結論？

學生活動：學生討論，集體回答

點評：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以進行加法運算。

2、向量加法的定義

B如圖，已知非零向量a、b，在平面內

abAC取一點A，作AB?a，BC?b，則AC叫作a與b的和。兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量。一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

點評：加法的定義其實是用數學的作圖語言來刻畫的，這種方法經常出現在幾何中，這一點也更好的體現了向量加法具有的幾何意義和向量數形結合的特征．

3、向量加法的運算法則

【問題2】上面整個計算過程中我們作了一個什么圖形？你能不能結合圖形給這種運算法則起個名字？

學生活動：學生討論，集體回答

（1）三角形法則：定義中求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則

位移的合成可以看成向量加法三角形法則的物理模型。（2）平行四邊形法則

【問題3】圖1表示橡皮條在兩個力F1和F2的作用下，沿GE方向伸長了EO；圖2表示橡皮條在一個力F的作用下，沿相同方向伸長了相同長度.從力學的觀點分析，力F與F1、F2之間的關系如何？ 學生活動：集體回答

【問題4】通過剛才這個過程你發現對向量進行加法運算還可以怎樣進行？ 學生活動：學生討論，集體回答

點評：以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是a與b的和。我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則 力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。

三、例題精解

例

1、已知向量a、b，分別用向量加法的三角形法則與向量加法的平行四邊形法則 作出向量a+b

教學活動：師板演作圖過程，生集體回答注意事項 小試牛刀

學生活動：學生自主解答，生代表展示講解做題過程 點評：使學生熟練掌握向量加法的兩個運算法則

四、模的關系探究 【問題4】想一想

ab（1）若兩向量互為相反向量,則它們的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）a?b，|a+b|和

a?b的大小關系如何？何時能取到等號呢？

學生活動：學生討論，代表回答

設計意圖：通過三角形三邊關系，讓學生找出向量的模與他們和的模之間的大小關系。

五、類比聯想，探究性質

1、你能說出實數相加有哪些運算律嗎？類比實數加法的運算律，向量是否也有運算律？

2、作圖驗證

（1）b+a的結果與a+b是否相同？（2）(a+b)+c的結果與a+(b+c)的結果呢？

學生活動：學生討論，代表展示驗證過程

設計意圖：通過作圖驗證，加深學生對向量加法運算律的理解。

3、練一練 根據圖示填空:

EefDdCg(1)a?b=________(2)c?d=________(3)a?b?d=______(4)c?d?e=______ cAb

Ba設計意圖：在訓練三角形法則的同時，使同學們注意到三角形法則推廣到 n 個向量相加的形式．

六、實際應用

例

2、長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點出發,以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數字)(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度).變式訓練

船在靜水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,則要使船到對岸的路程最短，它應該朝那個方向前進？船的實際速度是多少？

設計意圖：加強學生對向量加法運算的實際應用能力。

六、小結（這節課我學會了什么？）本環節有課堂小結和作業布置兩部分內容： 課堂小結：

【問題6】同學們想一想：本節課你有些什么收獲呢？留給你印象最深的是什么？作為課堂的延伸，你課后還想作些什么探究？

作業布置：

1、化簡

(1)AB?CD?BC?________(2)MA?BN?AC?CB?________(3)AB?BD?CA?DC?________??????

2、一艘船從 A點出發以23km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水以2km/h的速度向東流求船實際行駛速度的大小與方向。