第一篇：2014年高中數學 1.1.1正弦定理教學設計 新人教A版必修5

第一章 解三角形

1.1.1正弦定理

教材分析與導入

三維目標

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；

2.會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法

1.讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系；

2.引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；

3.進行定理基本應用的實踐操作．

三、情感態度與價值觀

1.培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.培養學生探索數學規律的思維能力，通過三角函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一．

教學重點 發現正弦定理、用幾何法和向量法證明正弦定理。正弦定理是三角形邊角關系中最常見、最重要的兩個定理之一，它準確反映了三角形中各邊與它所對角的正弦的關系，對于它的形式、內容、證明方法和應用必須引起足夠的重視。正弦定理要求學生綜合運用正弦定理和內角和定理等眾多基礎知識解決幾何問題和實際應用問題，這些知識的掌握，有助于培養分析問題和解決問題能力，所以一向為數學教育所重視。

教學難點

用向量法證明正弦定理。雖然學生剛學過必修4中的平面向量的知識，但是要利用向量推導正弦定理，有一定的困難。突破此難點的關鍵是引導學生通過向量的數量積把三角形的邊長和內角的三角函數聯系起來。用平面向量的數量積方法證明這個定理，使學生鞏固向量知識，突出了向量的工具性，是向量知識應用的范例。教學建議

正弦定理是刻畫三角形邊和角關系的基本定理，也是最基本的數量關系之一。此節內容從地位上講起到承上啟下的作用：承上，可以說正弦定理是初中銳角三角函數（直角三角形內問題）的拓廣與延續，是對初中相關邊角關系的定性知識的定量解釋，即對“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”這一定性知識的定量解釋，即正弦定理得到這個邊、角的關系準確的量化的表示，實現了邊角的互化。它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體應用，同時教材這樣編寫也體現了新課標中“體現相關內容的聯系，幫助學生全面地理解和認識數學”這一指導思想；啟下，正弦定理解決問題具有一定的局限性，產生了余弦定理，二者一起成為解決任意三角形問題重要定理。同時正弦定理為后續第二節的《應用舉例》作以鋪墊，正弦定理的知識和方法可解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題，這樣也體現了課標中注重“數學的三大價值（科學價值、應用價值、文化價值）之一的應用價值。”

本節課宜采用“發現學習”的模式，即由“結合實例提出問題——觀察特例提出猜想——數學實驗深入探究——證明猜想得出定理——運用定理解決問題”五個環節組成的“發現學習”模式，在教學中貫徹“啟發性”原則，通過提問不斷啟發學生，引導學生自主探索與思考；并貫徹“以學定教”原則，即根據教學中的實際情況及時地調整教學方案。導入一

師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C

轉動．

師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．

師能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

師在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形

中，角與邊的等式關系．如右圖，在Rt△ABC中，設BC =A,AC =B,AB =C,ab

根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有c=sinA，c =sinB，又cabc???cc,則sinAsinBsimC.從而在直角三角形ABC中，sinC=1=

abc??sinAsinBsimC.導入二

師：關于三角形中的邊與角的關系我們知道哪些？

sinA?生：直角三角形的勾股定理.，還有absinB?c，c。

生：有。大邊對大角，小邊對小角。

師：兩位同學回答了一個特殊三角形——直角三角形中的邊角關系。對于一般三角形的邊角關系我們有結論嗎？

師：對這一結論同學們能提供一些想法嗎？

生：有點像正比例關系。

師：在△ABC中A與a，B與b，C與c，他們有怎樣的正比例關系？

(1)a?kA，b?kB，c?kC；(2)a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

(3)a?kcosA，b?kcosB，c?kcosC；(4)a?ktanA，b?ktanB，c?ktanC。請同學們驗證這些猜想的正確性，然后選出正確的。

正確答案為(2)

從而得到：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比值相等，abc??

即sinAsinBsinC.這就是我們今天要研究的——正弦定理

第二篇：高中數學《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5

1.1.1 正弦定理

●教學目標 知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

情感態度與價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。●教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。●教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

教學過程：

一、復習準備：

1.討論：在直角三角形中，邊角關系有哪些？（三角形內角和定理、勾股定理、銳角三角函數）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么辦？

2.由已知的邊和角求出未知的邊和角，稱為解三角形.已學習過任意三角形的哪些邊角關系？（內角和、大邊對大角）是否可以把邊、角關系準確量化？ →引入課題：正弦定理

二、講授新課：

1.教學正弦定理的推導：

ab①特殊情況：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即

ccc=abc.??sinAsinBsinC② 能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據三角函數的定義，有CD?asinB?bsinA,則

abac.同理，??sinAsinBsinAsinC121212③*其它證法：

證明一：（等積法）在任意△ABC當中S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：12cab==.sinAsinBsinCaa??CD?2R，sinAsinDCabAOBD證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D，∴

ccb同理 =2R，＝2R.sinCsinB證明三;過點A作單位向量j?AC，C 由向量的加法可得 AB?AC?CB

則 j?AB?j?(AC?CB)A B ∴j?AB?j?AC?j?CB

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?ac?∴csinA?asinC，即sinAsinC

bc?同理，過點C作j?BC，可得 sinBsinC

a從而 sinAsinBsinC

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

④ 正弦定理內容：

?b?ccab===2R sinAsinBsinC簡單變形； 基本應用：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值.2.教學例題：

① 例1：在?ABC中，已知A?450，B?600，a=10cm，解三角形.② 例2：?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C.討論：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，如何判斷解的數量？思考后見（P8-P9）3.小結：正弦定理的探索過程；正弦定理的兩類應用；已知兩邊及一邊對角的討論.

第三篇：2014年高中數學 1.1.1正弦定理教案(二)新人教A版必修5

1.1.1正弦定理

證明猜想得出定理

運用定理解決問題

3通過本節課的學習，結合教學目標，從知識、能力、情感三個方面預測可能會出現的結果：

1、學生對于正弦定理的發現、證明正弦定理的幾何法、正弦定理的簡單應用，能夠很輕松地掌握；在證明正弦定理的向量法方面，估計有少部分學生還會有一定的困惑，需要在以后的教學中進一步培養應用向量工具的意識。

2、學生的基本數學思維能力得到一定的提高，能領悟一些基本的數學思想方法；但由于學生還沒有形成完整、嚴謹的數學思維習慣，對問題的認識會不周全，良好的數學素養的形成有待于進一步提高。

3、由于學生的層次不同，體驗與認識有所不同。對層次較高的學生，還應引導其形成更科學、嚴謹、謙虛及鍥而不舍的求學態度；基礎較差的學生，由于不善表達，參與性較差，還應多關注，鼓勵，培養他們的學習興趣，多找些機會讓其體驗成功。

第四篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學設計

龍游縣橫山中學 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開篇內容,在已有知識的基礎上，進一步對三角形邊角關系的研究，發現并掌握三角形中更準確的邊角關系。通過給出的實際問題，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系，從而引導學生產生探索愿望，激發學生學習的興趣。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發現結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對角，解三角形。

? 學情分析

學生在學習了基本初等函數和三角恒等變換的基礎上，探究三角形邊角的量化關系，得出正弦定理。學生對現實問題比較感興趣，用現實問題出發激起學生的學習興趣，驅使學生探索研究新知識的欲望。

? 教學目標

1.知識與技能：

(1)引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡單運用正弦定理解三角形、初步解決某些與測量和幾何計算有關的實際問題

2.過程與方法：

（1）通過對定理的探究，培養學生發現數學規律的思維方法與能力；

（2）通過對定理的證明和應用，培養學生獨立解決問題的能力和體會分類討論和數形結合的思想方法.3.情感、態度與價值觀：

(1)通過對三角形邊角關系的探究學習，經歷數學探究活動的過程，體會由特殊到一般再由一般到特殊的認識事物規律，培養探索精神和創新意識；

(2)通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界,進而領會數學的人文價值、美學價值，不斷提高自身的文化修養.? 教學重點、難點

? 教學重點：正弦定理的推證與運用。

? 教學難點：正弦定理的推證；解決問題時可能有兩解的情形。

教學過程

一、結合實例，導入新課

出示靈山江的圖片。

問：如何能夠實現不上塔頂而知塔高，不過河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認識三角形中的6個元素，并復習“大角對大邊，小角對小邊”知識。

問1 ：構成一個三角形最基本的要素有哪些？（同時在黑板上畫出三個不同類型的三角形）問2：在三角形中，角與對邊之間有怎樣的數量關系？（大邊對大角，小邊對小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問：能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中的角與邊的等式關系。如圖，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據銳角三角函數中正弦函數的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問：這種關系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉化為直角三角形證明。

首先，證明當?ABC是銳角三角形時的情況。證法如下：

設邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉化為直角三角形），根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立？（由學生課后自己推導）最后提問：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數問題轉化為向量問題證明。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這問題。

證明：過點A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過點C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細說定理

從上面的研探過程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運用，解決實例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據正弦定理，b?

說明：

1、學生講出解題思路，老師板書以示解題規范。

2、已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫作解三角形。

3、解題時利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因為00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當B=60時，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當B=120時，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說明：

1.讓學生講解題思路，其他同學補充說明，目的是要求學生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時，為了使用方便正弦定理還可以寫成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對角。對+1個），五、活學活用，當堂訓練

練習1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說明：可以讓學生上黑板扮演或通過實物投影解題的規范和對錯。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹B處，發現對岸發電廠A處有一棵大樹，如何求出A、B兩點間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結

①本節課學習了一個什么定理？

②該定理使用時至少需要幾個條件？

七、學有所成，課外續學

１、課本第10頁習題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個k與?ABC的外接圓半徑R有什么關系？

3八、板書設計

第五篇：高中數學必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

（三）學法與教學用具 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

[創設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設一參數k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關系？

②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。