第一篇：高中數學 2.1.1《正弦定理》學案 北師大版必修5（范文）

正弦定理 學案

【預習達標】

在ΔABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，a?=。sinA

a2.在銳角ΔABC中，過C做CD⊥AB于D，則|CD|==，即?，同sinA1.在RtΔABC中，∠C=90, csinA=,csinB=，即0理得，故有a?。sinA

3.在鈍角ΔABC中，∠B為鈍角，過C做CD⊥AB交AB的延長線D，則|CD|==，即aa?，故有? sinAsinA

【典例解析】

例1 已知ΔABC，根據下列條件，求相應的三角形中其他邊和角的大小：

00000（1）A=60，B=45，a=10；（2）a=3,b=4,A=30；（3）a=5,b=2,B=120；（4）

b=.例2 如圖，在ΔABC中，∠A的平分線AD與邊BC相交于點D，求證：

B D C BDAB?DCAC

【達標練習】

1.已知ΔABC，根據下列條件，解三角形:

(1)A=60，B=30，a=3；（2）A=45，B=75，b=8；（3）a=3，A=60； 00000

用心愛心專心

2.求證：在ΔABC中，sinA?sinBa?b? sinCc

3.應用正弦定理證明：在ΔABC中,大角對大邊，大邊對大角.4．在ΔABC中，sinA+sinB=sinC,求證：ΔABC是直角三角形。

222

參考答案

【預習達標】

bcbcbca?1．a,b,.2.bsinAasinB ， ,=.?sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

bbc3..bsinAasinB ， =.sinBsinBsinC

【典例解析】

例1(1)C=750，000(2)B≈41.80,C≈108.8,c≈5.7或B≈138.2，C

00≈11.8，c≈1.2(3)無解（4）C=45，A=15，a≈2.2

例2證明：如圖在ΔABD和ΔCAD中，由正弦定理，得BDABDCACAC???，sin?sin?sin?sin(1800??)sin?βB 0? D BDAB?兩式相除得 DCAC【雙基達標】

1．（1）C=90，,c=00

(3)B=60,C=902．證明：設00

abc???k，則a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC sinAsinBsinC

a?bksinA?ksinBsinA?sinB??? cksinCsinC

00

00003．(1)設A>B，若A≤90,由正弦函數的單調性得sinA≥sinB,又由正弦定理得a≥b；若A>90，有A+B<180,即90>180-A>B, 由正弦函數的單調性得sin(180-A)>sinB,即sinA>sinB, 又

由正弦定理得a>b.(2)設a>b, 由正弦定理得sinA>sinB,若B≥90,則在ΔABC中A<90, 有sinA>sin（180-B）由正弦函數的單調性得A>180-B,即A+B>180,與三角形的內角和為180相矛盾；若A≥90,則A>B；若A<90,B<90, 由正弦函數的單調性得A>B.綜上得，在ΔABC中,大角對大邊，大邊對大角.4．略

000000000

第二篇：高中數學必修5第一章正弦定理

1．1．1正弦定理

（一）教學目標

1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

（二）教學重、難點

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

（三）學法與教學用具 學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：a

sinA?b

sinB?c

sinC，接著就一般斜

三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

教學用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學設想

[創設情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？

[探索研究](圖1．1-1)

在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數

abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A cabc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinAsinBsinC的定義，有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

3如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則同理可得從而

a

sin?

b

sin，c

sinC?

?

b

sinB?，a

sinA

b

sinB

c

sinC

AcB

(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C 由向量的加法可得AB?AC?CB

??????

??????????

??????????????

則j?AB?j?(AC?CB)????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????0

jABcos?90?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

ac

?

?????bc

同理，過點C作j?BC，可得?

從而

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；（2）

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sin等價于

a

sinA

?

b

sinB，c

sinC

?

b

sinB，a

sinA

?

c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?

bsinA

； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

ab

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。解：根據三角形內角和定理，C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據正弦定理，asinB42.9sin81.80b???80.1(cm)；

sin32.00

根據正弦定理，asinC42.9sin66.20c???74.1(cm).sin32.00

評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊

長精確到1cm）。

解：根據正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760c???30(cm).sin400

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240c???13(cm).sin400

評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。

a?b?c

sinA?sinB?sinC

abc

分析：可通過設一參數k(k>0)使???k,sinAsinBsinC

abca?b?c

證明出 ???

sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

abc

解：設???k(k>o)

sinAsinBsinC

則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC

a?b?cksinA?ksinB?ksinC

從而==k

sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

又

a

sinA

?

a?b?c

?2?k，所以=2 sinA?sinB?sinC評述：在?ABC中，等式

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?

a?b?c

?k?k?0?

sinA?sinB?sinC

恒成立。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

[課堂小結]（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：

a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

（五）評價設計

①課后思考題：（見例3）在?ABC中，?

b

?

c

?

a?b?c

?k?k?0?；

sinA?sinB?sinC

a

sinA

?

b

sinB

?

c

sinC

?k(k>o)，這個k與?ABC有

什么關系？

②課時作業：第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

第三篇：正弦定理必修5

課題: §1．1．1正弦定理

授課類型：新授課

一、教學目標

知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

情感態度與價值觀：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

二、教學重點

正弦定理的探索和證明及其基本應用。

三、教學難點

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

四、教學過程

Ⅰ.課題導入

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉動。思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關系精確地表示出來？Ⅱ.講授新課

[探索研究](圖1．1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函數中正弦函數的定義，abc?sinA，?sinB，又sinC?1?,A ccc

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，CaB ??sinsinsin有

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？

（由學生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD=asinB?bsinA,則

同理可得

從而asinA?bsinB，csinC??bsinB?，a

sinAbsinBcsinCAcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，C

由向量的加法可得AB?AC?CB

則j?AB?j?(AC?

CB)∴j?AB?j?AC?j?CBj

jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?

∴csinA?asinC，即

同理，過點C作j?BC，可得

從而ac ?bc ?a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA?b

sinB?c

sinC

[理解定理]

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

（2）a

sinA?b

sinB?c

sinC等價于a

sinA?b

sinB，c

sinC?b

sinB，a

sinA?c

sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?bsinA； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sinA?sinB。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據三角形內角和定理，ab

C?1800?(A?B)

?1800?(32.00?81.80)

?66.20；

根據正弦定理，asinB42.9sin81.80

b???80.1(cm)； sin32.0根據正弦定理，asinC42.9sin66.20

c???74.1(cm).sin32.0評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。

解：根據正弦定理，bsinA28sin400

sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.⑴ 當B?640時，C?1800?(A?B)?1800?(400?640)?760，asinC20sin760

c???30(cm).sin40

⑵ 當B?1160時，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，asinC20sin240

c???13(cm).sin40評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習

第5頁練習第1（1）、2（1）題。

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c

（答案：1：2：3）

Ⅳ.課時小結（由學生歸納總結）

（1）定理的表示形式：a

sinAsinBsinC

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

Ⅴ.課后作業

第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。

?b?c?a?b?c?k?k?0?； sinA?sinB?sinC

第四篇：高中數學：8.1《正弦定理》學案(湘教版必修4)

正弦定理學案

一、預習問題：

1、在直角三角形中，由三角形內角和定理、勾股定理、銳角三角函數，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角。那么斜三角形怎么辦？確定一個直角三角形或斜三角形需要幾個條件？

2、正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的的比相等，即。

3、一般地，把三角形的三個角A,B,C和它們所對的邊a,b,c叫做三角形的，已知三角形的幾個元素求其它元素的過程叫做。

4、用正弦定理可解決下列那種問題

已知三角形三邊；②已知三角形兩邊與其中一邊的對角；③已知三角形兩邊與第三邊的對角；④已知三角形三個內角；⑤已知三角形兩角與任一邊；⑥已知三角形一個內角與它所對邊之外的兩邊。

5、上題中運用正弦定理可求解的問題的解題思路是怎樣的？

二、實戰操作：

??例

1、已知：在?ABC中，?A?45，?C?30，c?10，解此三角形。

?例

2、已知：在?ABC中，?A?45，AB?6，BC?2，解此三角形。

用心愛心專心

第五篇：高中數學 《正弦定理》教案1 蘇教版必修5

第 1 課時：§1.1正弦定理（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容和推導過程；

2.能解決一些簡單的三角形度量問題（會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題）；能夠運用正弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題；

3.通過三角函數、正弦定理、向量數量積等多處知識間聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一.4.在問題解決中,培養學生的自主學習和自主探索能力．

二、過程與方法

讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。

三、情感、態度與價值觀

1.培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；

2.培養學生合情推理探索數學規律的數學思想能力，通過三角函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。

【教學重點與難點】：

重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。

難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。

【學法與教學用具】：

1.學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系：abc??，接著就一般斜三角形sinAsinBsinC

進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。

2.教學用具：多媒體、實物投影儀、直尺、計算器

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.在直角三角形中的邊角關系是怎樣的？

2.這種關系在任意三角形中也成立嗎？

3.介紹其它的證明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推導

aB,sinB?,sinC?1，cC

abcabc 即 c?，c?，c?∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC（1）在直角三角形中：sinA?

能否推廣到斜三角形？

（2）斜三角形中

證明一：（等積法，利用三角形的面積轉換）在任意斜△ABC中，先作出三邊上的高AD、BE、CF，則AD?csinB，BE?asinC，CF?bsinA．所以S?ABC?111absinC?acsinB?

bcsinA，每項22

21abc

??同除以abc即得：．

2sinAsinBsinC

證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D

bcaa?2R，?2R ??CD?2R同理 ∴

sinAsinDsinBsinC

???????????????

證明三：（向量法）過A作單位向量j垂直于AC，由AC+CB?AB，兩邊同乘以單位向量j得j

????????????????

?(AC+CB)?j?AB，則j?AC+j?CB?j?AB

??????

????????????

∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

ac

∴asinC?csinA∴=

sinAsinC????cbabc

??同理，若過C作j垂直于CB得：=∴ sinAsinBsinCsinCsinB

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a

sinA

2.理解定理

?

b

sinB

?

c

sin

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使a?ksinA,b?ksinB,c?ksinC；

（2）

abcabbcac

==等價于=，=，=，即可得正弦定理的sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

變形形式：

1）a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R

3）sinA:sinB:sinC?a:b:c．

2）sinA?

（3）利用正弦定理和三角形內角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如a?

bsinA

； sinB

a

sinB。b

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．如sinA?一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解斜三角形，有兩解或一解（見圖示）．

a?bsinAbsinA?a?ba?ba?b

一解兩解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的敘述：在一個三角形中。各邊和它所對角的正弦比相等，==

sinAsinBsinC

它適合于任何三角形。（2）可以證明

abc

?2R（R為△ABC外接圓半徑）==

sinAsinBsinC

（3）每個等式可視為一個方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

三、質疑答辯，排難解惑，發展思維

例1 已知在?ABC中，c?10,A?450,C?300,求a,b和B 解：?c?10,A?45,C?30∴B?180?(A?C)?105由

ac

?得sinAsinC

csinA10?sin450bc

???2 a?由得 sinBsinCsinCsin300

csinB10?sin1050?20

b???20sin75?20??56?52 0

sinC4sin30

例2 在?ABC中，b?,B?600,c?1,求a和A,C

bccsinB1?sin6001解：∵?,?sinC???，?b?c,B?600,?C?B,C為銳角，sinBsinCb2

3?C?300,B?900∴a?b2?c2?

2例3 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

accsinA6?sin450300

?,?sinC???解：? ?csinA?a?c,?C?60或120 sinAsinCa22csinB6sin750

?當C?60時，B?75,b???3?1，0

sinCsin60

csinB6sin150

?當C?120時，B?15,b????

1sinCsin600

?b??1,B?750,C?600或b?3?1,B?150,C?1200

例4 試判斷下列三角形解的情況：（1）已知b?11,c?12,B?600

（2）已知a?7,b?3,A?1100（3）已知b?6,c?9,B?450

四、鞏固深化，反饋矯正

1.在?ABC中，三個內角之比A:B:C?1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在?ABC中，B?1350,C?150,A?5,則此三角形的最大邊長為_____

3.在?ABC中，已知a?xcm,b?2cm,B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，則的取值范圍是_____ 4.在?ABC中，已知b?2csinB，求?C的度數

五、歸納整理，整體認識

1．用三種方法證明了正弦定理：

（1）轉化為直角三角形中的邊角關系；（2）利用向量的數量積．（3）外接圓法 2．理論上正弦定理可解決兩類問題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角．

3.（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？

（2）此類問題常用正弦定理（或將學習的余弦定理）進行代換、轉化、化簡、運算，揭示出邊與邊，或角與角的關系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷．

六、承上啟下，留下懸念

七、板書設計（略）

八、課后記：