第一篇：數學：2.4.1《向量在幾何中的應用》教案1(新人教B版必修4)

向量的應用教案

向量在幾何中的應用

（一）教學目標

1.知識與技能：

運用向量的有關知識，解決平面幾何中線段的平行、垂直、相等等問題。

2.過程與方法：

通過應用舉例，讓學生體會用平面向量解決平面幾何問題的兩種方法——向量法和坐標法。

3.情感、態度與價值觀：

通過本節的學習，讓學生體驗向量在解決平面幾何問題中的工具作用，增強學生的探究意識，培養創新精神。

（二）教學重點、難點

重點：用向量知識解決平面幾何問題。

難點：選擇適當的方法，將幾何問題轉化為向量問題解決。

向量在物理中的應用

一、學習目標

（1）

（2）

（3）培養學生的探究意識和應用意識，體會向量的工具作用

力

二、重點難點

（1）

（2

（三）教學方法

本小節主要是例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的運用。教學中，教師創設問題情景，引導學生發現解題方法，展示思路的形成過程，總結解題規律。指導學生搞好解題后的反思，從而提高學生綜合運用知識分析和解決問題的能力。

（四）教學過程

第二篇：淺談向量在幾何中的應用

淺談向量在幾何中的應用

寧陽四中 271400 呂厚杰

解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強度轉換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

1.證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面內不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點不屬于平面，從而得到線面平行。證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實現。

例1 如圖1，E、F分別為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1 證明：又

所以，且即

可知，與 共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2.已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。分析：顯見：

（3，4，－8），（5，1，－7），（2，－3，1），故ΔABC為直角三角形。

2.求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。定義：如果n⊥α，那么向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應的向量轉化為向量的夾角θ問題，但，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余角（或補角的余角）。如圖2：。

圖

2（3）求二面角，轉化為兩平面法向量的夾角或夾角的補角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

求點面距離，轉化為此點與面內一點連線對應向量在法向量上投影的絕對值。例3.（2005年高考題）如圖3，已知長方體ABCD�A1B1C1D1中，AB＝2，AA

1＝1，直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為A1B1的中點。（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA1B所成二面角（銳角）的大小。（3）求點A到平面BDF的距離。

圖

3解：在長方體ABCD�A1B1C1D1中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA1所在直線為z軸，建立空間直角坐標系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因為直線BD與平面AA1B1B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°

又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝0），因為E（，0），D（0，（1）因為

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA1B的一個法向量m＝（0，1，0），設n＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，由

所以取

所以

（3）點A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。

所以

例4.如圖4，已知正四棱錐R�ABCD的底面邊長為4，高為6，點P是高的中點，點Q是側面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖

4解：以O為原點，以OR所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐標系。

因為底面邊長為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，2），P（0，0，3），（0，－1），面ABCD的一個法向量為n＝（0，0，1），設PQ與底面ABCD所成的角為α，則。

空間向量在立體幾何中的應用體現了數形結合的思想，培養了學生使用向量代數方法解決立體幾何問題的能力。目的是將空間元素的位置關系轉化為數量關系，將形式邏輯證明轉化為數值計算，用數的規范性代替形的直觀性、可操作性強，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

第三篇：空間向量在幾何中的應用

空間向量在立體幾何中的應用

一.平行問題

（一）證明兩直線平行

A,B?a;C,D?b,???a|| b

????????若知AB?(x1,y1),CD?(x2,y2),則有x1y2?x2y1?a||b

方法思路：在兩直線上分別取不同的兩點，得到兩向量，轉化為證明兩向量平行。

(二)證明線面平行

???????????線 a?面?,A,B?a,面? 的法向 n，若AB?n?0?AB?n?AB ??.方法思路：求面的法向量，在直線找不同兩點得一

向量，證明這一向量與法向量垂直(即證

明數量積為0)，則可得線面平行。

(三)面面平行

不重合的兩平面? 與? 的法向量分別是 ?????? m 和 n，m??n??||?

方法思路：求兩平面的法向量，轉化為證明

兩法向量平行,則兩平面平行。

二.垂直問題

(一)證明兩直線垂直

????不重合的直線 a 和直線 b 的方向向量分別為 a 和 b，則有a?b?0?a?b

方法思路：找兩直線的方向向量(分別在兩直線上各取兩點得兩向量)，證明兩向量的數量積為0,則可證兩直線垂直。

(二)證明線面垂直 ?????? 直線 l的方向向量為 a，e1,e2是平面? 的一組基底（不共線的向量）, ???????則有 a?e1?0且a?e2?0?a??

方法思路：證明直線的方向向量(在兩直線上取兩點得一向量)與

平面內兩不共線向量的數量積都為0（即都垂直），則可證線面垂直。

(三)證明面面垂直 ???不重合的平面? 和? 的法向量分別為m 和 n，???則有 m?n?0????

方法思路：找兩平面的法向量，只需證明兩向量

數量積為為0,則可證明兩平面垂直。

三.處理角的問題

(一)求異面所成的角

a,b是兩異面直線,A,B?a,C,D?b,????????a,b所成的角為?,則有cos??|cos?AB,CD?| ????????AB?CD?|AB|?|CD|

方法思路：找兩異面直線的方向向量,轉化為向量的夾角問題,套公式。

(但要理解異面直線所成的角與向量的夾角相等或互補)。

(二)求線面角

??設平面? 的斜線 l 與面?所成的角為?，若A,B?l,m是面?的法向量，???????m?AB 則有sin??.mAB

方法思路：找直線的方向向量與平面的法向量，轉化為

向量的夾角問題,再套公式。(注意線面角與兩

向量所在直線夾角互余）

(三)求二面角

???方法1.設二面角??l?? 的大小為 ?，若面?，? 的法向量分別為 m 與 n.????m?n?(1)若二面角為銳二面角，即??(0,)則有cos??.2mn

(2)若二面角為鈍二面角，即??(,?)2???? m?n則有cos???.mn

?

四.處理距離問題

(一)點到面的距離d ??????任取一點Q?? 得 PQ, m是平面? 的法向量，則有：點P到???????????????? PQ?m面? 的距離d=PQ?cos??(向量PQ在法向量m 的投影的長度)|m|

(二)求兩異面直線的距離d

知a,b是兩異面直線，A,B?a,C,D?b，???找一向量與兩異面直線都垂直的向量m，???????????AC?m則兩異面直線的距離 d?AC?cos?＝|m|

方法思路：求異面直線的距離，先找一向量與兩異面直線都垂直的???向量m,然后分別在兩異面直線上各任取一點A,C,則其距 ??????????????AC?m離 d 就是AB在向量m上的投影的長度,距離d?|m|

????Ps：向量 m 與異面直線a、b 都垂直，可用方程組求出 m 的坐標.五.如何建立適當的坐標系

1.有公共頂點的不共面的三線兩兩互相垂直

例如正方體、長方體、底面是矩形的直棱柱、底面是直角三角形且過直角頂點的側棱垂直于底面的三棱錐等等。

2.有一側棱垂直底面

OC?底面OAB

（）1?OAB是等邊三角形

（2）?OAB是以OB為斜邊的直角三角形

(1)(2)

(3)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是菱形

(4)PA?底面ABCD，且四邊形ABCD是?ABC＝60?的菱形

(3)

3.有一側面垂直于底面

(4)

(1)在三棱錐S－ABC中,?ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC?底面ABC,且SA?SC?(2)四棱錐P－ABCD中，側面PCD是邊長為 2 的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是?ADC?60?的菱形

.(1)(2)

兩平面垂直的性質定理:若兩面垂直,則在其中一面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一平面,轉化為有一線垂直于底面的問題.4.直棱柱的底面是菱形正四棱錐正三棱錐

第四篇：向量在數學中的應用

向量在數學中的應用

一、向量知識

設a=（x，y），b=(x'，y')。

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量的加法

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點，指向被

向量的減法

減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').3、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

當λ>0時，λa與a同方向

當λ<0時，λa與a反方向；

向量的數乘

當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。

當λ>1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的∣λ∣倍

當λ<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或××反方向（λ<0）上縮短為原來的∣λ∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的數量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的數量積的坐標表示：a·b=x·x'+y·y'。

向量的數量積的運算律

a·b=b·a（交換律）

(λa)·b=λ(a·b)(關于數乘法的結合律)

（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）

向量的數量積的性質

a·a=|a|的平方。

a⊥b 〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1．向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。

2．向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c(a≠0)，推不出 b=c。

3．|a·b|≠|a|·|b|

4．由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這里并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）

a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

6、三向量的混合積

定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，向量的混合積

所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c

混合積具有下列性質：

1．三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等于以a、b、c為棱的平行六面體的體積V，并且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1）

2．上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0

3．(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

4．(a×b)·c=a·(b×c)

7、三向量的二重向量積

由于二重向量叉乘的計算較為復雜，于是直接給出了下列化簡公式以及證明過程：

二重向量叉乘化簡公式及證明

三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣

① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號

② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2．∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號

② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ·向量PP2）

設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心 向量共線的條件

若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。

若設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。

零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要條件

a⊥b的充要條件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

零向量0垂直于任何向量。

平面向量的分解定理

平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基底．

二、應用(一)向量在函數中的應用 例1：求函數的值域。

解：函數的解析式可化為：，，說明：碰到此類問題，我們必須先模擬、聯想、構造兩個向量，然后利用向量的平等關系得出函數的值域或其最值。

(二)、向量在不等式問題中的應用

(三)、向量在三角問題中的應用

(四)、向量在平面幾何問題中的應用

例4：用向量證明：三角形中位線平行于底邊，且長度是底邊長度的一半。

說明：向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個實數使得，這是證明平行、共點、共線、共面的有力工具。

(五)、向量在解析幾何問題中的應用

說明：在教材中增加向量內容之前，本題可用兩種方法求解：一是利用余弦定理結合橢圓焦半徑公式求解；二是利用直線的到角公式求解，但必須注意斜率是否存在的問題，應驗證斜率不存在的情況。

(六)、向量在立體幾何問題中的應用

第五篇：高中數學 2.2.2向量減法及其幾何意義教學設計 新人教A版必修1

§2．2．2 向量減法運算及其幾何意義

教學目標 1．通過探究活動，使學生掌握向量減法概念，理解兩個向量的減法就是轉化為加法來進行，掌握相反向量．

2．啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造地解決問題．能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量． 向量的減法運算及其幾何意義 對向量減法定義的理解 教學重點 教學難點 教學過程

一、新課導入

思路1．(問題導入)上節課，我們定義了向量的加法概念，并給出了求作和向量的兩種方法．由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算：減去一個數等于加上這個數的相反數．向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究，由此展開新課．

思路2．(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算．本節課，我們繼續學習向量加法的逆運算——減法．引導學生去探究、發現．

數的減法運算是數的加法運算的逆運算，數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數，因此定義數的減法運算，必須先引進一個相反數的概念．類似地，向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算．可類比數的減法運算，我們定義向量的減法運算，也應引進一個新的概念，這個概念又該如何定義?

二、新課導學

【探究1】相反向量

一個質點，先由A點作直線移動到B點，于是得到一個向量→AB，再由B點按相反方向移動到A點又得到一個向量→BA，如此移動的實際效果，等于沒有移動，因此，→AB＋→BA＝0，這個等式就建議我們把向量→BA定→的負向量，并記作→→，于是我們有 義為向量ABBA＝－AB新知1：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性質：①－(－a)＝a；

②任一向量與它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互為相反的向量，則有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.練習1：判斷下列各命題的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA與──→AA是一對相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai與──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一對相反向量；(3)a＝－a的充要條件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命題.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1與─→A1An長度相等，方向相反，所以命題(1)是真命題.(2)真命題.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA與122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一對相反向量，所以命題(2)是真命題.(3)真命題.∵當a≠0時，a≠－a；而當a＝0時，a＝－a，故命題(3)是真命題.(4)真命題.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量減法

如圖，設向量AB＝b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我們得到a-b的作圖方法．

如圖2，已知a、b，在平面內任取一點O，作OA=a，則BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．

新知2：（1）向量減法的定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b),求兩個向量差的運算，叫向量的減法．

（2）向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則，這也正是向量的運算的幾何意義所在，是數形結合思想的重要體現．

說明：①還可以這樣定義：兩個向量a與b的差，是這樣一個向量x，它適合于等式x＋b＝a，并記作x＝a－b,并稱a為被減向量，b為減向量，而x稱為差向量．

②向量減法可以轉化為向量加法，如圖b與a－b首尾相接，根據向量加法的三角形法則有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量減法的實質是向量加法的逆運算.利用相反向量的意義，－→AB＝→BA，就可以把減法轉化為加法，在用三角形法則作向量減法時，只要記住“連接兩向量終點，箭頭指向被減數”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線的向量為AC＝a－b，這一結論在以后應用是非常廣泛的．

【探究3】關于向量差的模的不等式

如果我們回憶向量加法的平行四邊形法則，那么就可以知道，對于兩向量a及b為邊作成的平行四邊

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用圖中的三角形OAB，形中，其兩條對角線分別為a與b的和及差，如圖所示，有OC并注意三角形中兩邊之差小于第三邊，于是當a與b不共線時，有|a－b|>||a|－|b||，與向量和的模的不等式類似．

對于兩任意兩向量a與b差的長度不大小兩向量長度之和，且又不小于兩向量長度差的絕對值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 證明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.說明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①當且僅當a、b同向或a、b中至少一個為0時，左邊等號成立； ②當且僅當a、b反向或a、b中至少一個為0時，右邊等號成立； ③當且僅當a、b中至少一個為0時，左右兩邊的等號同時成立.上述①、②及③三個結論在有關問題的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如圖，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根據向量減法的三角形法則，需要選點平移作出兩個同起點的向量．

作法：如圖3(2)，在平面內任取一點O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．則BA=a-b，DC=c-d． 變式訓練：在ABCD中，下列結論中錯誤的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如圖4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB嗎? 解：由向量加法的平行四邊形法則，我們知道AC=a+b，同樣，由向量的減法，知DB=AB-AD=a-b． 變式訓練

1．已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，則向量OD等于（）A．a+b+c

B．a-b+c C．a+b-c

D．a-b-c 解析：如圖5，點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c，結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故選B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①當a、b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時，|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時，a+b平分a與b所夾的角？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

解析：如圖6，用向量構建平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線．由平行四邊形法則，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此問題就可轉換為：

①當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時，對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能，因為對角線方向不同例3 化簡→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 變式訓練：8．如圖所示，DC?DE?AF?BC?FE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，則|BC|→的取值范圍是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向時，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，當ABBC|＝8－5＝3；當→AB、→AC反向時，|→BC|＝8＋5＝13；當→AB、→不平行時，3＜|BC|→＜13，總上3≤|→ACBCBC|≤13，故選C．

變式訓練：向量a．b滿足|a|＝8，|b|＝12，則|a＋b|的最大值為________．答案：20

三、總結提升

1.通過本節學習，要求大家在理解向量減法定義的基礎上，掌握向量減法的三角形法則，并能加以適當的應用.2.向量減法的三角形法則的式子內容是：兩個向量相減，則表示兩個向量起點的字母必須相同（否則無法相減），這樣兩個向量的差向量是以減向量的終點的字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點.四、課后作業

課本第91頁習題2.2A組第4、6、7、8題 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范圍．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共線的三點，O是△ABC內的一點，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求證：點O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．證明：如圖，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，長度相等，方向相反的向量，∴→OA是與OB以OB、OC為相鄰兩邊作BOCD，則→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三點共線． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，設BC交OD于點E，則BE

→＝2|→故AE是△ABC的邊BC的中線，且|OA|OE|，∴點O是△ABC的重心．