第一篇：《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教學設計說明

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第二篇：《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學設計

《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學設計

〖教學目標〗

（1）知識與技能：理解掌握向量加法運算，能夠運用向量加法三角形法則和平行四邊形法則求任意兩個向量的和向量；初步嘗試用向量方法解決幾何問題及實際問題；

（2）過程與方法：經歷概念的形式過程，提高數學建設模能力；通過自主探究活動，體驗數學發現和創造的過程，提高概括、分析歸納，數學表達等基本數學思維能力；（3）情態與價值：通過師生互動，生生互動的教學活動，形成學生的體驗性認識，體會成功的愉悅，提高學習數學的興趣。形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學態度。

〖教學重點、難點〗

教學重點：理解向量加法的意義，掌握向量加法三角形法則和平行四邊形法則； 教學難點：向量加法概念的形成過程；

〖教學方法與教學手段〗 教學方法：啟發探究式教學 教學手段：多媒體輔助教學

〖教學過程〗

一、設置情境、嘗試探求 1．設置問題情境

今年夏天，我國某些地區洪災泛濫，某城外有一條東西流向的大河，河兩岸高筑堤壩，河寬4km, 水深10km，當時河水流速為4km/h, 有一天，三名巡防隊員在巡邏中發現正對岸堤壩有一處決口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向決口處駛去，同學們想一想，如果船不改變方向，他們能否準確、及時到達出事地點？

2、學生自主探究與研討 學生會直觀猜測：不能及時準確及時到達（有了猜測就有探式的欲望）

V船

V

教師引導學生：能否運用你所學的知識進行說明；

V水

學生得出：船的實際速度應是船行駛速度和水的速度的合成。如圖

教師小結：速度是一個看矢量，矢量的合成與數量相加不同，要同時考慮方向。提問，根據已有知識你還能舉出一些有關矢量合成的例子嗎？

3、師生共同探究

學生舉例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如圖：某對象從A點經B點到C點，兩次位移點的位移 結果相同。

，的結果，與A點直接到C

（2）如圖：表示橡皮條在兩個力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結果相同。

教師：兩個既有大小又有方向的量的合成運算，物理上叫做矢量的合成，在數學上叫做向量的加法。

二、形成概念，歸納方法。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

1、提問：對于平面上任意兩個向量，如何定義它們的加法？ 同學們任意作出兩個向量試一試。

2、學生自主探究 學生可能答案：

（1）共起點的兩個向量相加，用平行四邊形法則；

（2）首尾相接的兩個向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意兩個向量相加，先平移到共點，再作出和向量；（4）共線的兩個向量相加（同向或反向）

3、交流、研討、辯析 投影同學們的研究成果，引導學生對幾種作圖方法進行辯析，它們有什么共同和不同之處？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何變化？能否對作圖過程進行語言表達。

4、歸納總結

在師生、生生的互動交流中，形成以下共識：

一、向量加法的定義

1、三角形法則：

已知非零向量a、ｂ.在平面內任取一點和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，則向量

叫做a與ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型

2平行四邊形法則

以同一點O為起點的兩個已知向量a、ｂ，為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線就是與的和。

力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。對于零向量與任一向量我們規定：

提問：你能從向量加法的幾何意義，說明規定的合理性嗎？

思考：當在數軸表示兩個共線向量時，它們的加法與數的加法有什么關系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|與||+||的大小關系：

當向量與不共線時，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、處于什么位置時，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、實踐探索 形成能力

1、探究：數的加法滿足交換侓和結合侓，即對任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也滿足交換侓和結合侓？（1）讓學生通過畫圖探索驗證：+=+（2）提問：你能否驗證：

有

(+)+=+(+)

小結：向量的加法滿足交換律：+=+ 向量的加法滿足結合律：(+)+=+(+)

2、練習P93 3、4題

3、例2：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，如圖2.2-12所示，一艘船從長江南岸A點出發，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數字）；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）（引導學生正確理解題意，把問題化歸為向量的加法運算。注意規范學生的解題格式。）

4、鞏固作業

（1）P103習題2。2：第２，３，4（1）（2）（3）題（2）選做題：在△ABC中，求證：

四、歸納小結：內化知識

通過本節課的學習，同學們談談自己體會最深刻的是什么？

1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，當且僅當方向相同時取等號.

第三篇：《向量的加法運算及其幾何意義》教案

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

知識目標：

1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；

2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的 和，培養數形結合解決問題的能力；

3、通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向

量加法運算的交換律和結合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法； 教學重點與難點: 教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個

向量的和向量.教學難點：理解向量加法的定義.教學過程

一、復習引入

問題1：向量的定義以及相等向量的定義是什么？

1、什么叫向量？

2、長度為零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、長度等于一個單位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、長度相等且方向相同的向量叫做。

強調：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關的自由向量，即任何向量

可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 問題2：數能進行運算,向量是否也能進行運算呢？

二、探究新知 活動一

元旦假期將到，某人計劃外出去三亞旅游，從重慶（記作A）到昆明（記作B），再從B到三亞（記作C），這兩次的位移和可以用哪個向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定義

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法則(1)向量加法的三角形法則

如圖3,已知非零向量a、b,在平面內任取一點A,作AB=a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=AB+BC=AC.這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則(2)向量加法的平行四邊形法則

如圖4,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O為起點的對角線OC就是a與b的和.把這種求向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.問題4： 對于零向量與任一向量的加法,結果又是怎樣的呢？ 對于零向量與任意向量a，我們規定：a+0=0+a=a.總結: 三角形法則:

圖4

①要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.②適用于任何兩個非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.平行四邊形法則: ①適用于兩個不共線向量求和，且兩向量要共起點； ②力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.三、應用舉例

例1 如圖5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法則）：

作法2（平行四邊形法則）：

a 圖5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關系？（1）當向量a與b不共線時，|a+b| |a|+|b|；（2）當a與b同向時，則a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；當a與b反向時，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b| |b|-|a|.結論：一般地：

四、練習鞏固： 教材84頁1、2題

五、小結 1.向量加法的定義 2.向量加法的兩種法則：(1)三角形法則：首尾相接

(2)平行四邊形法則：作平移,共起點,四邊形,連對角

六、作業：

高考調研課時作業十七

????a?b?|a?b|?|a|?|b|

第四篇：2017向量減法運算及其幾何意義教案.doc

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

一、教學分析

向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等于加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系,提高學生的應用意識.二、教學目標：

1、知識與技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。

2、過程與方法：

通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。

3、情感態度與價值觀：

通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想。

三、重點難點

教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導

減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結

合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。

五、教學設想

（一）導入新課

思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等于加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導學生思考,相反向量有哪些性質? 由于方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結果:①AB=b-a.②略.（三）應用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平

移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C

例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練

1.(2005高考模擬)已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為: ①當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結

1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論.（五）作業

第五篇：2.2 向量加法運算及其幾何意義 教學設計 (北師大必修4)

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

一．教學內容和內容分析

本節課是《普通高中課程標準實驗教科書數學》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節《平面向量的線性運算》的第一課時，內容是向量加法運算及其幾何意義。

向量是數學中重要和基本的數學概念之一，是溝通代數與幾何的橋梁。向量的加法運算是通過類比數的加法，以位移的合成、力的合力兩個物理模型為背景引入的，主要內容是向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個法則作兩個向量和的方法，介紹了向量加法滿足的運算率，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運算是學生對向量運算體系所進行的第一次探索和嘗試，學好本節課將為后面學習向量的其他知識奠定基礎，為用“數”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。

因此，本節的教學重點是掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算率。

二． 教學目標和目標分析（一)教學目標

1.掌握用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和以及向量加法的運算律。

2.理解向量加法及其幾何意義。

3.通過類比、觀察、歸納等方法提高發現問題、分析問題、解決問題的能力。

（二）教學目標分析

1.用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個向量的和向量時，體會在平面內任取一點O的依據，它體現了向量起點的任意性，用平行四邊形法則作圖時強調向量的起點放在一起，而用三角形法則作圖則要求首尾相連。

2.通過對向量的大小、方向的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。

3.從位移的合成、力的合成總結出向量加法法則；從向量的大小與方向探究出向量加法性質；從實數加法的運算律類比向量加法的運算律。三．教學問題診斷分析

本節課學生在學習過程中可能遇到以下疑惑和困難： 1.對三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個向量的加法。

2.在實際生活中，抽象、識別出向量加法的模型。

為此在教學中，讓學生認識到三角形法則的實質是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構成三角形。通過對應用題的討論，拉近學生與抽象數學知識之間的距離，激發他們的興趣，增強他們學習數學的動力。

因此，本節的教學難點是：理解向量加法及其幾何意義。四．教法分析

偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機誘導”。本節課以學生為中心，以問題為載體，采用啟發、引導、探究相結合的教學方法。1.設置情景，激發學生解決問題的欲望。

2.提供交流探究機會，引導學生獨立思考，有效調動學生思維，在開放的活動中獲取知識。

3.在教學中體現“重過程、重情感、重生活”的理念。4.讓學生經歷“學數學、做數學、用數學”的過程。

五、教學過程設計

根據學生現有的的認知水平和規律，結合本節課的內容特點，分以下五個環節展開教學： 創設情境、引入課題；獨思共議、總結法則；合作交流、探究性質；典例分析、深化認識；課堂小結、拓展延伸。

1、創設情境 引入課題

情景：原來從浙江的嘉興到寧波的慈溪，需先從嘉興到杭州，再從杭州到慈溪，現在建好了杭州灣跨海大橋，可以從嘉興直接到達慈溪。

這兩種方式的位移是一樣的。然后將圖片中的問題抽象出來，也就是從點O到

【設計意圖】熟練兩個法則的作圖技能，讓學生開展小組合作、自主探究，特別是向量共線時，通過研究向量的方向以及模之間的關系，培養學生勇于探索、敢于創新的個性品質，使他們在輕松愉快的氛圍中突破難點，在過程中收獲自信，體驗成功！通過學生展示講解，鍛煉學生的組織能力和語言表達能力。通過教師點撥，強化重、難點，形成規律，加深理解。４、典例分析，深化認識

bc，請作出a+b,b+a,b+c例1:如圖，已知a, , a+(b+c),(a+b)+c.向量加法的運算律交換律：a?b?b?acabaa+bc??aa?bb??b?c結合律：(a?b)?c?a?(b?c)ba?b?cb+aba

例2.在長江南岸某渡口處,江水以12.5km/h的速度向東流,渡船的速度為25km/h,渡船要垂直地渡過長江,求渡船的航向.解設AB、AD、AC分別表示水流的速度,渡船的速度, 渡船實際垂直過江的速度.因為AB+AD=AC,所以四邊形ABCD為平行四邊形.在RtΔACD中, ACD=90O,B|DC|=|AB|=12.5, |AD|=25,所以CAD=30.o o練.O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心,求下列向量:(1)OA1+OA3(2)A2A3+A6A5(3)OA1+A6A5(4)A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6A1A2A6A5OA4A3DCA思考：在(4)的基礎上你能得到更為一般的結論嗎？推廣1：A1A2 +A2A3+A3A4+······+An-1An=A1An答: 渡船要垂直地渡過長江,其航向應為北偏西30.【設計意圖】通過“類比”的方法引入向量的加法運算律，是符合建構主義的認識的．同時，對于結論的驗證使學生進一步認識的數學的嚴謹之美，也欣賞到了兩個法則的和諧統一之美．由特殊到一般，讓學生通過練習歸納向量加法的三角形法則的推廣-----多邊形法則。然后生活中有向量，生活中用向量，通過對應用題的討論，拉近了學生和抽象的數學知識之間的距離，激發了他們學習的興趣，同時增強了他們學習好數學的動力．

5、課堂小結，拓展延伸

（1）讓學生自己從所學的數學知識、數學思想方法兩個方面進行總結，提高學生的