第一篇：《向量的線性運算》的教學設計

《向量的線性運算》教學設計

一、教材分析

1、本單元的教學內容的范圍

本單元包括向量的概念、向量的加法、向量的減法、數乘向量和向量共線的條件與軸上向量坐標運算，共5小節內容。

2．本單元的教學內容在模塊內容體系中的地位和作用

站在數學學科角度來看平面向量，向量的運算（包括中學階段的平面向量與空間向量）是在數的運算的基礎上對運算的發展；向量的兩重性使得向量成為幾何問題代數化的一個重要組成部分，這對數字化時代研究幾何問題提供了一個良好的手段；平面向量為研究三角函數、解析幾何等提供了工具作用；平面向量是空間向量的基礎。

《向量的線性運算》作為平面向量的第一個單元的教學內容，既是《平面向量》這一模塊的重要知識，也是學習本模塊其他知識的基礎。3．本單元的教學內容總體教學目標

（1）通過實例，了解平面向量的實際背景。

（2）理解平面向量和相等向量的含義，理解向量的幾何表示。

（3）通過實例，掌握向量的加法、減法以及數乘向量運算及其幾何意義；理解兩個向量共線的含義。

（4）了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義。

（5）通過學習使學生初步體會向量所具有的代數和幾何的兩重性。4．本單元的教學內容重點和難點分析

本單元的教學重點包括向量的概念、向量的線性運算和平行向量基本定理；難點是向量的概念。

通過學習使學生建立起向量的概念是學習向量知識的一個重要目標，因而向量的概念是教學的一個重點內容；向量的線性運算不僅是本單元的教學重點也是本模塊的教學重點；通過學習習近平行向量基本定理不僅能加深對向量概念的理解，而且平行向量基本定理在向量知識體系和數學的其他分支中都有廣泛的應用，因此平行向量基本定理應是本單元的一個教學重點。

向量作為一個新的概念，學生開始接觸時自然會感到困難，加之2.1.1小節中不僅概念多，而且還有自由向量和位置向量的干擾，更使得向量的概念難上加難，因此向量的概念是學生學習的一個難點。當然，學生對向量的加法、減法運算及平行向量基本定理的理解會產生一定的困難，但學生如果很好的理解了向量的概念，則著幾個難點的難度會隨之降下來。5．本單元教材的編寫特色

（1）用點的相對位置和位移理解向量（自由向量），用位移的合成理解向量的加法。（2）用放大、縮小理解數乘向量。用相似三角形的性質理解數乘向量的分配率。

二、本單元所需教學資源的概述

教學中可采用幾何畫板及實物投影等輔助教學

三、本單元學時建議

本單元教學可用5課時來完成，具體分配如下： 2.1.1向量的概念1課時； 2.1.2向量的加法1課時； 2.1.3向量的減法1課時； 2.1.4數乘向量1課時；

2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標運算1課時。

四、本單元的教學內容處理的幾點想法 1．關于向量概念的教學（1）先由學生已有的位移的概念出發，引入向量的概念：

質點從A出發運動到點B，在從B點運動到點C，這時點C相對于點A的位置如何表示？

在由位移的概念引出向量的概念之后，再讓學生聯想已經學習過的力、速度、加速度等知識來加深學生對向量概念的理解。

注意這里不是先介紹物理中的力、速度或加速度，而是重點由位移出發，它的好處在于：

① 在說明某點相對于另一個點的位置時，更容易讓學生具體的想到“大小”和“方向”； ② 從點的位移的角度更便于使學生理解自由向量；

③ 從位移的角度理解向量的概念的過程也為學生理解向量的加法打下伏筆。（2）在學生建立起自由向量的概念之后，對比自由向量認識位置向量的概念。

????這里一方面要強調向量OA叫做點A相對于點O的位置向量，另一方面要指出在研究向量時，常常要把多個向量通過平移，使他們有共同的起點，這時每個向量就有其終點唯一確定。

（3）教材中P78第22行“由以上分析，一個平面向量的直觀形象是平面上‘同向且等長的有向線段的集合’”這一說法值得商榷。2．關于向量加法的教學

（1）結合位移的概念（右圖為向量第一節課圖形）理解向量的加法的三角形法則和多邊形法則。這樣可使學生理解起來更加自然，從而達到降低難度的目的。

（2）把向量加法的平行四邊形法則放在三角形法則之后，一方面可深化學生對向量加法的理解，也為學生日后學習向量的分解作知識準備。

????（3）關于加法交換率a?b?b?a的證明，采用下面的方法學生接受起來可能會比課本上的方法更自然（以兩個向量不共線的情形為例）：

??????????????????已知向量a,b。如圖，作AB?a,BC?b，則AC?a?b。?????作CD?a，則四邊形ABDC為平行四邊形，???????????????BD?AC?a?b，?a?b?b?a。

教學過程中，可考慮采取小組探究的方式，讓學生尋找證明的方法。3．關于向量減法的教學

（1）類比數的運算理解向量減法的兩種定義方式

方法1：實數的減法是加法的逆運算?向量減法是向量加法的逆運算；

方法2：減去一個數等于加上這個數的相反數?減去一個向量等于加上這個向量的相反向 量。

（2）從三角形法則和平行四邊形法則兩個角度理解兩個定義

方法1：向量的減法作為加法的逆運算。從三角形法則角度看，兩個向量的減法是把兩個向量的始點放在一起，他們的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量（下面圖形中的左圖）；

方法2：在相反向量的基礎上通過加法定義向量的減法，用平行四邊形法則理解更自然（下面圖形中的右圖）。

（3）可選配如下類型的例題、習題加深學生對向量加法和減法運算的例解: 化簡：

????????????????????????①CD?ED；②AB?DE?DB?EB。

4．關于數乘向量的教學

（1）類比數的乘法導入，并從圖形的“放大”“縮小”來直觀的理解數乘向量。

（2）對于數乘向量的三個運算率，一般不要求學生證明。對于分配律可指導學生課后閱讀，對于前兩個運算率，學生程度好的學?？蛇x取其中之一給出證明，而另外一個讓有興趣的學生嘗試課后給出證明方法。因為這個問題的證明有兩個重要作用： ①強化從“大小”和“方向”兩個角度把握向量概念的意識； ②培養學生分類討論的數學思想。（3）對于例3也可采取下面的解法：

???????????????????///?OA?3OA,AB?3AB，???????????????????///?OA?3OA,AB?3AB，?OA/B/??OAB，??????OAB??OAB，?OB?3OB。/,/??????????????????//?OB與OB方向相同，?OB?3OB。

本例從向量的形式表現了“兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似”。5．關于向量共線的條件與軸上向量的坐標運算的教學

（1）平行向量基本定理的證明要求學生理解其中嚴謹的邏輯關系

????當a??b時，由數乘向量的定義知a//b；

????????當a//b時，若a?0，由于b?0，顯然存在唯一的實數??0使得a??b成立；

??bb????????若a?0且a,b方向相同，取???，則a??b，即存在???使得a??b成立。

aa????????現假設有兩個實數?1,?2使得a??1b和a??2b成立，于是?1b??1b，???1??2?b?0。

???b?0，??1??2?0,??1??2。???????a?0且a,b方向相同時，存在唯一的實數?，使得a??b成立；

??????類似地可證明當a?0且a,b方向相反時，存在唯一的實數?，使得a??b成立?。

（2）通過例1的教學要引導學生體會以下兩點

①由向量相等的一個條件可為我們帶來“長度上的相等”和“方向上的平行”兩個方面的結果；

②研究兩個向量的關系（相等）時，常常要把兩個向量用平面上不共線的兩個向量來表示。（3）通過例2的教學要讓學生掌握平行于同一個向量的兩個向量平行。（4）軸上向量的坐標的教學要圍繞平形向量基本定理的應用展開。

??（5）教材中P91第11行“反過來，任意給定一個實數x，我們總能作一個向量a?xe，使它的長度等于這個實數x的絕對值，方向與實數的符號一致”，這里的“方向與實數的符號一致”是不是改成“方向與實數的符號所確定的方向一致”更合適些。

第二篇：《平面向量的線性運算》教學反思

復習本節課，應該說是輕松的，復習目標無非是1，向量概念的梳理，2向量的線性運算，3，共線向量定理的應用，《平面向量的線性運算》教學反思。但實際上課過程中，我感覺很累，主要問題自己想了一下，主要是以下幾點：1，自身對向量的概念還沒有真正理解透，像有向線段只是向量的一種表現形式，但并不是向量，我不知道對于學生，我有沒有讓學生真正理解；2，板書不是強項，看到別的老師拿著三角板進行作圖，本身自己作圖就不太好，還隨手畫，對于學生不是一個好現象；3，時間的把握上，7班明明只有35分，我還是發現自己有些廢話太多，導致沒有像在8班完整上完，教學反思《《平面向量的線性運算》教學反思》。

第三篇：向量的線性運算競教心得體會

課題：向量的線性運算

教學反思

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，有著極其豐富的實際背景。平面向量理論性強，內容抽象，解題方法獨特，對于學生來說比較困難。

向量是高中重要內容之一，是解決幾何問題、函數問題等重要工具。本節內容是平面向量的基礎，向量的概念，向量的加法和減法，實數與向量的積，兩個向量共線的充要條件是本節的重點內容，也是高考的熱點內容。根據近幾年向量高考試題分析發現，考查主要以選擇題、填空題形式出現,側重于對向量的基本概念、向量運算的關系的考查;與函數、解析幾何交匯命題則以解答題為主，所以復習時以基礎內容為主，進行適當的拓展練習。2014?考綱點擊：

1.了解向量的實際背景；

2.理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示；

4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；

5.掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義； 6.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.根據高考考綱要求，“平面向量的線性運算”的學習要求是:掌握向量加、減法和數乘運算，了解向量的線性運算的性質及其幾何意義。向量是溝通代數、幾何與三角函數的一種工具，理解平面向量的基本概念和幾何表示，掌握向量的線性運算是解決這些問題的最重要的工具之一，同時也將為后續的空間向量的學習奠定良好的基礎。向量的三類運算：

（一）幾何運算：數形結合是求解向量問題的基本方法。向量加法重點講解了三角形法則、平行四邊形法則，減法講解了三角形法則。利用這些法則，可以很好地解決向量中的幾何運算問題，充分體現了數形結合的數學思想。

（二）代數運算：

1、加法、減法的運算法則；

2、實數與向量乘法法則；

3、向量數量積運算法則。

（三）坐標運算：平面向量的坐標運算是聯結幾何運算與數量運算的橋梁，在直角坐標系中，向量的坐標運算有加、減、數乘運算、數量積運算。通過向量的坐標運算將向量的幾何運算與代數運算有機結合起來，充分體現了解析幾何的思想，讓學生初步利用“解析法”來解決實際問題，也為以后學習解析幾何及立體幾何相關知識打下了基礎，作好了鋪墊。

本節的特點：

1、運用類比、數形結合思想解決問題。

2、利用“向量法”解決實際問題。向量與幾何之間存在著密切聯系；向量又有加、減、數乘積及數量積等運算，也有平面向量的坐標運算，因而向量具有幾何和代數的雙重屬性，能聯系幾何與代數，從而給了我們一種新的數學方法--向量法。向量法能將技巧性解題化成算法性解題，為以后學習解析幾何與立體幾何打下了基礎。

3、強化數學能力。指導學生綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；能應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表述和說明，即實踐能力。根據本節課的特點，我確定一下重、難點，重點：掌握向量的加法、減法及數乘向量的運算；難點：理解向量加法、減法及數乘向量的幾何意義；基于本堂課的 教學重、難點和我班學生認知水平，本堂課我采用講練結合的教學方法，引導學生自主探究、合作交流。新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生的引導者、組織者、合作者和促進者，因此本節課以學生動手練習為主題展開教學工作，在教師的引導和組織下，通過自主實踐來抓住本節課的重點，進而突破本節課的難點。

教學體會

1、認真研究《考試大綱》及教學要求和目標，分析本章節特點，根據學生原有知識結構對學習本章可能會產生的正負遷移作用，有針對性地設計教學計劃，組織教學過程，做好學法指導。

2、在教學中重基礎知識，重基本方法，重基本技能，重教材，重應用，重工具作用，不拔高，不選偏題和難題，遵循學生認知規律和按大綱要求進行。

3、抓住向量的數形結合和具有幾何與代數的雙重屬性的特點，提高“向量法”的運用能力，充分發揮工具作用。

4、強化數形結合的思想，化歸的思想，分類與討論的思想，方程的思想等；加強學生運算能力的培養，提高引導學生發現問題、分析問題及解決問題的能力。

第四篇：3.1空間向量及其運算 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法

（2）過程與方法：通過高一學習的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法

（3）情感態度與價值觀：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習，運用向量的概念和運算解決問題，培養學生的開拓創新能力。

2.教學重點/難點

【教學重點】：空間向量的概念和加減運算 【教學難點】：空間向量的應用

3.教學用具

多媒體

4.標簽

3.1.1空間向量及其加減運算

教學過程

課堂小結 1．空間向量的概念： 2．空間向量的加減運算

課后習題

第五篇：3.1空間向量及其運算 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能：理解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示，會在簡單問題中選用空間三個不共面向量作為基底表示其他向量。

2、過程與方法：通過類比、推廣等思想方法，啟動觀察、分析、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會類比、推廣的思想方法，對向量加深理解。

3、情感、態度與價值觀：通過本節課的學習，養成積極主動思考，勇于探索，不斷拓展創新的學習習慣和品質。

2.教學重點/難點

重點：理解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示； 難點：理解空間向量基本定理；

3.教學用具

多媒體設備

4.標簽

教學過程

教學過程設計

（一）.復習引入

1、共線向量定理：

2、共面向量定理：

3、平面向量基本定理：

4、平面向量的正交分解：

（二）、新課探究： 探究一.空間向量基本定理

2、空間向量基本定理

3、注意：對于基底{a,b,c},除了應知道向量a,b,c不共面，還應明確（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底。

（2）由于零向量可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以三個向量不共面，就隱含著它們都不是零向量。

（3）一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量，二者是相關連的不同概念。

4、應用舉例析： 知識點一向量基底的判斷

例1.已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，那么向量a＋b，a－b，c能構成空間的一個基底嗎？為什么？

解

∵a＋b，a－b，c不共面，能構成空間一個基底．

假設a＋b，a－b，c共面，則存在x，y，使c＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴c＝(x＋y)a＋(x－y)b.從而由共面向量定理知，c與a，b共面．

這與a、b、c不共面矛盾．

∴a＋b，a－b，c不共面．

【反思感悟】

解有關基底的題，關鍵是正確理解概念，只有空間中三個不共面的向量才能構成空間向量的一個基底．

知識點二用基底表示向量

（學生獨立思考，然后講解，板演解題過程）

【反思感悟】

利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出所有向量．注意結合圖形，靈活應用三角形法則、平行四邊形法則．

探究二.空間向量的直角坐標系

1.單位正交基底：如果空間一個基底的三個基向量互相垂直，且長度都為1，則這個基底叫做單位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示．

單位——三個基向量的長度都為1；正交——三個基向量互相垂直． 選取空間一點O和一個單位正交基底｛i,j,k｝，以點O為原點，分別以i,j,k的方向為正方向建立三條坐標軸：x軸、y軸、z軸，得到空間直角坐標系O-xyz，3.空間向量的坐標表示：給定一個空間直角坐標系和向量a，且設i、j、k為坐標向量，則存在唯一的有序實數組，使a＝a1i＋a2j＋a3k.以i，j，k為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系．

【反思感悟】

空間直角坐標系的建立必須尋求三條兩兩垂直的直線．在空間體中不具備此條件時，建系后要注意坐標軸與空間體中相關直線的夾角．

課堂小結

1、師生共同回憶本節的學習內容:(1)、空間向量的正交分解；(2)、空間向量基本定理；(3）、空間向量直角坐標系； 強調以下兩個注意點：

2．空間的一個基底是空間任意三個不共面的向量，空間的基底可以有無窮多個．一個基底是不共面的三個向量構成的一個向量組，一個基向量指一個基底的某一個向量．

3．對于基底{a，b，c}除了應知道a，b，c不共面，還應明確：

(1)空間任意三個不共面向量都可以作為空間向量的一個基底，基底選定以后，空間的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可視為與任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面，所以，三個向量不共面，就隱含著它們都不是0.課后習題 當堂檢測

作業：請同學們獨立完成配套課后練習題。

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