第一篇：數學高考平面向量的概念及線性運算專題復習題附答案

長度等于0的向量叫做零向量，下面的是數學高考復習近平面向量的概念及線性運算專題測試，請考生及時練習。

一、填空題

1.若O是ABC所在平面內一點，D為BC邊的中點，且2++=0，那么=________.[解析] 因為D為BC邊的中點，+=2，又2++=0，2+2=0，即=.因此=2，故=.[答案]

2.(2014鎮江質檢)若a+c與b都是非零向量，則a+b+c=0是b(a+c)的________條件.[解析] 若a+b+c=0，則b=-(a+c)，b∥(a+c);

若b(a+c)，則b=(a+c)，當-1時，a+b+c0.因此a+b+c=0是b(a+c)的充分不必要條件.[答案] 充分不必要

3.如果=e1+e2，=2e1-3e2，=3e1-ke2，且A，C，F三點共線，則k=________.[解析] =e1+e2，=2e1-3e2，=+=3e1-2e2.A，C，F三點共線，∥，從而存在實數，使得=.3e1-2e2=3e1-ke2，又e1，e2是不共線的非零向量，因此k=2.[答案]

24.(2014南京調研)在ABC中，點D是BC邊上的點，=+(，R)，則的最大值為________.[解析] D在邊BC上，且=+，0，0，且+=1，2=，當且僅當==時，取=號.[答案]

5.(2014泰州市期末考試)在ABC中，=2，若=1+2，則12的值為________.[解析] =+=+，而=-，所以=+，所以1=，2=，則12=.[答案]

6.(2014南京市調研)如圖43所示，在ABC中，D，E分別為邊BC，AC的中點，F為邊AB上的點，且=3，若=x+y，x，yR，則x+y的值為________.圖

43[解析] D為BC的中點，=(+)=(3+2)=+，故x=，y=1，x+y=.[答案]

7.(2014宿遷質檢)若點M是ABC所在平面內的一點，且滿足5=+3，則ABM與ABC的面積比為________.[解析] 設AB的中點為D，如圖所示，由5=+3得

3-3=2-2，即3=2.故C，M，D三點共線，且=.所以===.[答案]

8.(2014揚州質檢)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，||=4，|+|=|-|，則||=________.[解析] 延長AM至點D，連結BD、CD，則ABDC為平行四邊形，+=，-=，|+|=|-|，||=||=4，||=||=2.[答案]

2二、解答題

9.設兩個非零向量a與b不共線.(1)若=a+b，=2a+8b，=3(a-b)，求證：A，B，D三點共線;

(2)試確定實數k，使ka+b和a+kb共線.[解](1)=a+b，=2a+8b，=3(a-b).=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5.，共線，又它們有公共點B，A，B，D三點共線.(2)假設ka+b與a+kb共線，則存在實數，使ka+b=(a+kb)，即(k-)a=(k-1)b.又a，b是兩不共線的非零向量，k-=k-1=0.k2-1=0，k=1.10.在ABC中，=，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設=a，=b，用a、b表示向量、、、、、.圖44

[解] ==b.=-=b-a.由ADE∽△ABC，得==(b-a).又AM是ABC的中線，DEBC，得==(b-a).又=(+)=(a+b).==(a+b).

第二篇：[高二數學]平面向量的概念及運算知識總結

平面向量的概念及運算

一．【課標要求】

（1）平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

（2）向量的線性運算

①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

②通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義； ③了解向量的線性運算性質及其幾何意義（3）平面向量的基本定理及坐標表示 ①了解平面向量的基本定理及其意義； ②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示； ③會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算； ④ 理解用坐標表示的平面向量共線的條件

二．【命題走向】

本講內容屬于平面向量的基礎性內容，與平面向量的數量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值5~9分。

預測2010年高考：

（1）題型可能為1道選擇題或1道填空題；

（2）出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。

三．【要點精講】

1．向量的概念

①向量

???既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB幾何表示法AB，a；坐標表示法a?xi?yj?(x,y)。向量的大小即向量的模（長度），記作|AB|即向量的大小，記作｜a|。

向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小

②零向量

????????長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行零向量a＝0?｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且規定0平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區別）③單位向量

模為1個單位長度的向量，向量a0為單位向量?｜a0｜＝1。

④平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相

????反的向量，稱為平行向量，記作a∥b。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的

⑤相等向量

??長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為a?b。大小相等，方向相同

?x?x2。(x1,y1)?(x2,y2)??1?y1?y22．向量的運算（1）向量加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法

設AB?a,BC?b，則a+b=AB?BC=AC。規定：

??????（1）0?a?a?0?a；

（2）向量加法滿足交換律與結合律；

向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”

（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

（2）三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。

向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：

AB?BC?CD?。?PQ?QR?AR，但這時必須“首尾相連”（2）向量的減法

??①相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

記作?a,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有：

（i）?(?a)=a；(ii)?????????????????a+(?a)=(?a)+a=0；(iii)若a、b是互為相反向量，則a=?b,b=?a,a+b=0。

②向量減法

????向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，????記作：a?b?a?(?b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法

??????③作圖法：a?b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量（a、b有共同起點）。（3）實數與向量的積

??①實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：

??（Ⅰ）?a???a；

（Ⅱ）當??0時，λa的方向與a的方向相同；當??0時，λa的方向與a的方向相

??????反；當??0時，?a?0，方向是任意的。

②數乘向量滿足交換律、結合律與分配律 3．兩個向量共線定理：

????向量b與非零向量a共線?有且只有一個實數?，使得b=?a。

4．平面向量的基本定理

如果e1,e2是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數?1,?2使：a??1e1??2e2其中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底

5．平面向量的坐標表示

（1）平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量a可表示成由于a與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)，a?xi?yj，其中x叫作a在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標。

規定：

（1）相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；

（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系。

（2）平面向量的坐標運算：

①若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a?b??x1?x2,y1?y2?； ②若A?x1,y1?,B?x2,y2?，則AB??x2?x1,y2?y1?； ③若a=(x,y)，則?a=(?x, ?y)；

④若a??x1,y1?,b??x2,y2?，則a//b?x1y2?x2y1?0。6．向量的數量積

（1）兩個非零向量的夾角

已知非零向量a與a，作OA＝a，OB＝b，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a與b的夾角； 說明：（1）當θ＝０時，a與b同向；（2）當θ＝π時，a與b反向； ????????（3）當θ＝?時，a與b垂直，記a⊥b； 2（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0?≤?≤180?。

（2）數量積的概念

已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與b的數量積（或內積）。規定0?a?0；

向量的投影：︱b︱cos?=為射影；

（3）數量積的幾何意義： a·b等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積（4）向量數量積的性質

①向量的模與平方的關系：a?a?a2?|a|2。②乘法公式成立

a?b∈R，稱為向量b在a方向上的投影。投影的絕對值稱|a|?a?b???a?b??a?b?a?a?b??a?2a?b?b?a222222?b； ?2a?b?b；

222③平面向量數量積的運算律 交換律成立：a?b?b?a；

?????R?；

分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?。對實數的結合律成立：??a??b??a?b?a??b④向量的夾角：cos?=cos?a,b????a?ba?b=

x1x2?y1y2x1?y1?x2?y22222。

當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，θ=00，當且僅當a與b反方向時θ=1800，同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題

（5）兩個向量的數量積的坐標運算 已知兩個向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，則a·b=x1x2?y1y2。（6）垂直：如果a與b的夾角為900則稱a與b垂直，記作a⊥b。

????兩個非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0，平面向量數量積的性質。

（7）平面內兩點間的距離公式

設a?(x,y)，則|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。

如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面內兩點間的距離公式)

2．向量的應用

（1）向量在幾何中的應用；（2）向量在物理中的應用。

五．【思維總結】

數學教材是學習數學基礎知識、形成基本技能的“藍本”,能力是在知識傳授和學習過程中得到培養和發展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習題相同或相似，雖然只是個別小題，但它對學習具有指導意義，教學中重視教材的使用應有不可估量的作用。因此，學習階段要在掌握教材的基礎上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系。

學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點

（1）向量的加法與減法是互逆運算；

（2）相等向量與平行向量有區別，向量平行是向量相等的必要條件；（3）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況；

（4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系

第三篇：《平面向量的線性運算》教學反思

復習本節課，應該說是輕松的，復習目標無非是1，向量概念的梳理，2向量的線性運算，3，共線向量定理的應用，《平面向量的線性運算》教學反思。但實際上課過程中，我感覺很累，主要問題自己想了一下，主要是以下幾點：1，自身對向量的概念還沒有真正理解透，像有向線段只是向量的一種表現形式，但并不是向量，我不知道對于學生，我有沒有讓學生真正理解；2，板書不是強項，看到別的老師拿著三角板進行作圖，本身自己作圖就不太好，還隨手畫，對于學生不是一個好現象；3，時間的把握上，7班明明只有35分，我還是發現自己有些廢話太多，導致沒有像在8班完整上完，教學反思《《平面向量的線性運算》教學反思》。

第四篇：2014高考數學復習：平面向量

高考數學內部交流資料【1--4】

2014高考數學復習：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關系式中，正確的個數是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當m為何值時，c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線？

第五篇：高一數學-54平面向量的坐標運算

5．4平面向量的坐標運算

知識要點精講

知識點1平面向量的坐標表示

在直角坐標系內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底．任作一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x、y，使得

a＝xi＋yj ①

我們把（x，y）叫做向量a的直角坐標，記作：a＝（x，y）②

其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標，②式叫做向量的坐標表示，與a相等的向量的坐標也為（x，y）．

解題方法、技巧培養

出題方向1 求向量的坐標

（1）已知A（1，3），B（－3，2），求a的坐標；

（2）已知A（2，－1），a＝（4，1），求B點坐標；

（3）已知B（－1，2），a＝（5，－2），求A點坐標．

點撥 只有起點在坐標原點的向量才能用終點坐標表示，其它向量的坐標都要用其終點坐標減去其起點坐標表示．

出題方向2 向量的坐標運算

例2 已知a＝（1，2），b＝（3，4），求－2a＋3b，4a－2b的坐標．

［答案］ ∵ －2a＝（－2，－4），3b＝（9，12），∴ －2a＋3b＝（－2，－4）＋（9，12）＝（7，8）．

∵ 4a＝（4，8），2b＝（6，8），∴ 4a－2b＝（4，8）－（6，8）＝（－2，0）．出題方向3 由向量相等則它們的坐標相等來求某些點的坐標

［答案］ 設頂點D的坐標為（x，y），點撥平面向量相等的代數表示溝通了數與形的聯系．

例4 已知向量a＝（3，－2），b＝（－2，1），c＝（7，－4），若c＝ma＋nb，求m，n．［解析］ 先求ma＋nb，再根據向量相等即向量坐標對應相等，列出方程組求m，n．［答案］ ma＋nb＝m（3，－2）＋n（－2，1）＝（3m－2n，n－2m）．

∵ c＝ma＋nb，∴（7，－4）＝（3m－2n，n－2m）．

出題方向4 利用向量共線的坐標表示的充要條件解決有關直線平行、三點共線問題例5 已知a＝（2，k），b＝（2k，3k＋1），若a∥b，求k的值．

［解法二］ ∵ a∥b，∴ 2（3k＋1）－k（2k）＝0，即k2－3k－1＝0．

點撥 兩種表達式不同，但實質是一樣的．

點撥 在證明必要性時，不需要像證明充分性一樣，將A、B、C三點所在直線與坐標軸垂直的情況單獨證明，因為那是顯然成立的．

易錯易混點警示

（1）混淆向量坐標與點的坐標是向量坐標運算中常見的錯誤之一；

（3）向量平行的充要條件與后面向量垂直的充要條件混淆．

學法導引

1．理解向量的坐標表示的含義：向量的坐標表示是向量的一種表示形式

向量坐標表示的背景是平面向量基本定理；每一個向量都可用唯一一個有序數對來表示：向量的坐標與向量的起點、終點無關，只與起點終點的相對位置有關．

2．向量的坐標運算與前面所學的坐標運算是一樣的，只要計算時細心．