第一篇：2015高考數學三輪沖刺 平面向量課時提升訓練(6)]

平面向量課時提升訓練（6）1、2、設G是△ABC重心，且

3、給定兩個長度為1的平面向量心的圓弧 上運動，若，它們的夾角為，則，如圖所示，點C在的取值范圍是_____．

4、已知△ABC所在平面內一點P（P與A、B、C都不重合），且滿足，則△=___.為圓

ACP與△BCP的面積之比為.5、如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點，DC＝2BD，則＝________．

6、如下圖，兩塊全等的等腰直角三角形拼在一起，若，則

7、OA、OB（O為原點）是圓x2+y2=2的兩條互相垂直的半徑，C是該圓上任意一點，且，則λ2+μ2=。

8、已知是邊

延長線上一點，記在9、已知

上恰有兩解，則實數

是底面

.若關于的方程的取值范圍是 的中心，是平行六面體．設

設

10、設點則

11、若則為是線段，則的中點，點

在直線的值為___▲_______． 外，若，__________。, 的 心.12、如圖，在若

中，則

于，為的中點，．

13、在中,若長度為，點，,則

分別在非負半軸和，.非負半軸上滑動，以線段的取值范圍

為

14、如圖，線段一邊，在第一象限內作矩形為坐標原點，則

是.15、設，,，則的值為_________，16、如圖，半徑為1的圓O上有定點P和兩動點A、B，AB=則的最大值為 ___________．

17、設V是全體平面向量構成的集合，若映射向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意

滿足：對任意∈R，均有

則稱映射f具有性質P。現給出如下映射： ①

②③

其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號）

18、在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則

”，設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心.如果則內角A的大小為 ；若a＝3，則△ABC的面積為。

19、已知圓點G在MP上，且滿足，上的動點，點Q在NP上，.（I）求點G的軌跡C的方程；

（II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.20、如圖，以坐標原點

為圓心的單位圓與軸正半軸相交于

點，點在單位圓上，且

（1）求的值；

（2）設的面積為，求，四邊形的最值及此時的值．

21、某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點（Ⅰ）拖動點（Ⅱ）設拋物線造直線、，發現當的頂點為

時，焦點為、，度量點的坐標，如圖．，試求拋物線，構造直線的方程；

于不同兩點、，構，交拋物線、分別交準線于，恒有

兩點，構造直線．經觀察得：沿著拋物線無論怎樣拖動點.請你證明這一結論．

（Ⅲ）為進一步研究該拋物線改變為其它“定點的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點

”，其余條件不變，發現“

與

”

不再平行”．是否

”

可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“

成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．

22、設，若，，則

A． B． C．

D．

23、已知△ABC所在平面上的動點M滿足，則M點的軌跡過△ABC的（）

A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心

24、已知非零向量、滿足，那么向量

與向量的夾角為（）

A． B． C． D．

25、已知點是重心，若，則的最小值是()A.B.C.D.26、如圖，在數中，是上的一點，若，則實的值為（）

27、對于非零向量，定義運算“”：，其中為的夾角，有兩兩不共線的三個向量，則 C．

28、若，下列結論正確的是（）A．若，則，取得最小值，上述三個點

中是 的最小值為（）B．

D．均為單位向量，且

C.1 D.A.2 B.29、①點在為是所在的平面內，且內的一點，且使得所在平面內的一點，且 ②點 ③點重心的有（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

30、定義：平面內兩條相交但不垂直的數軸構成的坐標系（兩條數軸的原點重合且單位長度相同）稱為平面斜坐標系；在平面斜坐標系斜坐標系軸、軸正方向上的單位向量，稱為點的斜坐標.如圖所示,在平面斜坐標系，點

中，若

（其中、分別是，為坐標原點），則有序實數對中，若，點，為單位圓上一點，且在平面斜坐標系中的坐標是

A.B.C.D.31、已知A、B是直線上任意兩點，O是外一點，若上一點C滿足

D．

A．

B．

C．，則的最大值是（）

32、設向量（）滿足，，則的最大值等于

A．2 B． D．1

33、設，，C．

是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若(λ∈R)，(μ∈R)，且,則稱，調和分割，,已知點C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)調和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是(A)C可能是線段AB的中點(B)D可能是線段AB的中點(C)C，D可能同時在線段AB上(D)C，D不可能同時在線段AB的延長線上

34、是所在平面內一點，動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的A.內心 B.重心 C.外心 D.垂心

35、已知向量，滿足，則對任意，的最小值

．若對每一確定的,的最大值和最小值分別為

是（）A． B． C． D．1

36、如圖，在四邊形ABCD中，則的值為，A．2 B．2．4 D．

C37、O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心

38、已知三點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠若=-1，求的值．

．（Ⅰ）求函數，k∈Z，39、設函數增區間； 的最小正周期和單調遞（Ⅱ）當程．

40、求函數f(x)=時，的最大值為2，求的值，并求出的對稱軸方的最小正周期、最大值和最小值．

1、2、B=6003、4、25、6、過點D做連接BF，設AC=1，則

, 7、1

8、或9、10、2。如圖，向量、滿足

以、未變的平行四邊形是正方形，則。

11、內

12、;13、14、15、4816、17、①③18、19、解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長半焦距，∴短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是，所以四邊形OASB為平行四邊形

（2）因為

若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由故l的斜率存在.設l的方程為

矛盾，①

② 把①、②代入

∴存在直線OASB的對角線相等.20、解：（1）依題

使得四邊形

（2）由已知點為菱形 ∴ ∵

∴∴，∴的坐標為

又，∴四邊形21、22、C

23、D

24、C

25、.C

26、D

27、D

28、D

29、D 30、A

31、C

32、A

33、【答案】D 【解析】由一條直線上，(λ∈R)，(μ∈R)知:四點，，在同因為C,D調和分割點A,B,所以A,B,C,D四點在同一直線上,且

34、B

35、A．如圖： 垂足為D，D為OA中點．為點O到圓周上點的距離，的最大值和最小值 , 故選D.作

，即

分別為

36、C

37、D

38、解：由=（cosα-3,sinα）,，當BD重合時最小．

=(cosα,sinα-3)得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1 ∴sinα+cosα= ①又得1+2sinαcosα=,2sinαcosα=-∴

由①式兩邊平方

39、（Ⅰ）；（Ⅱ），的對稱軸方程為．

第二篇：2014高考數學三輪沖刺平面向量課時提升訓練(6)

2014高考數學三輪沖刺平面向量課時提升訓練（6）1、2、設G是△ABC重心，且

3、給定兩個長度為1的平面向量動，若，它們的夾角為，則，如圖所示，點C在=___.為圓心的圓弧上運的取值范圍是_____．

4、已知△ABC所在平面內一點P（P與A、B、C都不重合），且滿足面積之比為.5、如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是邊BC上一點，DC＝2BD，則

6、如下圖，兩塊全等的等腰直角三角形拼在一起，若

7、OA、OB（O為原點）是圓x2+y2=2的兩條互相垂直的半徑，C是該圓上任意一點，且則λ2+μ2=。

8、已知是邊延長線上一點，記在9、已知

上恰有兩解，則實數

是底面

.若關于的方程的取值范圍是 的中心，，則

＝________．，則△ACP與△BCP的是平行六面體．設 1

設

10、設點是線段，則的中點，點

在直線的值為___▲_______． 外，若，則

__________。

11、若則為的 心.12、如圖，在中，則

于，為的中點，若，．

13、在中,若長度為，點，,則

分別在非負半軸和為坐標原點，則

.非負半軸上滑動，以線段

為一邊，在第一象

14、如圖，線段限內作矩形的取值范圍是.15、設，,，則的值為_________，則的最大

16、如圖，半徑為1的圓O上有定點P和兩動點A、B，AB=值為 ___________．

17、設V是全體平面向量構成的集合，若映射∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意

∈R，均有

滿足：對任意向量a=（x1，y1）

則稱映射f具有性質P。現給出如下映射： ①②

③

其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號）

18、在△ABC中有如下結論：“若點M為△ABC的重心，則”，設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，點M為△ABC的重心.如果＝3，則△ABC的面積為。

19、已知圓足.（I）求點G的軌跡C的方程；，則內角A的大小為 ；若a上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿（II）過點（2，0）作直線，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由.20、如圖，以坐標原點為圓心的單位圓與軸正半軸相交于

點，點在單位圓上，且

（1）求的值；

（2）設，求的最值及此時的值．，四邊形的面積為，21、某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線線上任意畫一個點（Ⅰ）拖動點（Ⅱ）設拋物線分別交準線于，度量點的坐標時，焦點為，如圖．，試求拋物線，構造直線、的方程；

于不同兩點、，構造直線，恒有，在拋物，發現當的頂點為

交拋物線、.、兩點，構造直線．經觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點請你證明這一結論．

（Ⅲ）為進一步研究該拋物線點的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點

與

”改變為其它“定”，其余條件不變，發現“使得仍有“不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．

22、設，若，，則A．

B． C．

D．

23、已知△ABC所在平面上的動點M滿足，則M點的軌跡過△ABC的（）

A．內心 B．垂心 C．重心 D．外心

24、已知非零向量、滿足，那么向量

與向量的夾角為（）

A． B．

C．

D．

25、已知點是重心，若, 則的最小值是()A.B.C.D.26、如圖，在中，是上的一點，若，則實數的值為（）

27、對于非零向量個向量，定義運算“”：，其中為的夾角，有兩兩不共線的三，則，下列結論正確的是（）A．若，則，取得最小值 B． C．

28、若 D．均為單位向量，且的最小值為（）

A.2 B.29、①點在為是 C.1 D.所在的平面內，且內的一點，且使得所在平面內的一點，且

②點 ③點，上述三個點中是重心的有（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 30、定義：平面內兩條相交但不垂直的數軸構成的坐標系（兩條數軸的原點重合且單位長度相同）稱為平面斜坐標系；在平面斜坐標系位向量，中，若中，若

（其中、分別是斜坐標系軸、軸正方向上的單，為坐標原點），則有序實數對，點，稱為點的斜坐標.如圖所示,在平面斜坐標系，點

在平面斜坐標系中的坐標是

為單位圓上一點，且A.B.C.D.，則

31、已知A、B是直線上任意兩點，O是外一點，若上一點C滿足的最大值是（）A． B． C．

D．

32、設向量滿足，C．，則的最大值等于（）

A．2 B．

33、設，，D．1

(λ∈R)，(μ是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若∈R)，且,則稱，調和分割，,已知點C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)調和分割點A(0，0)，B(1，0)，則下面說法正確的是(A)C可能是線段AB的中點(B)D可能是線段AB的中點(C)C，D可能同時在線段AB上

(D)C，D不可能同時在線段AB的延長線上

34、是所在平面內一點，動點P滿足的A.內心 B.重心 C.外，則動點P的軌跡一定通過心 D.垂心

35、已知向量,別為,則對任意,滿足，,．若對每一確定的,的最大值和最小值分的最小值是

（）A． B． C． D．1

36、如圖，在四邊形ABCD中，則的值為，6

A．2 B．2 D．

C．4

37、O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的A．外心 B．垂心 C．內心 D．重心

38、已知三點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(0，3)C(cosα，sinα)，α≠的值．

39、設函數

．（Ⅰ）求函數的最小正周期和單調遞增區間；，k∈Z，若

=-1，求（Ⅱ）當時，的最大值為2，求的值，并求出的對稱軸方程．

40、求函數f(x)=的最小正周期、最大值和最小值．

1、[－2,]

2、B=6003、4、25、6、過點D做連接BF，設AC=1，則

, 7、1

8、或9、10、2。

如圖，向量、滿足

以、未變的平行四邊形是正方形，則。

11、內

12、;13、14、15、4816、17、①③18、19、解：（1）Q為PN的中點且GQ⊥PN GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|，半焦距，∴ ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，其長半軸長短半軸長b=2，∴點G的軌跡方程是邊形

若存在l使得||=|

（2）因為，所以四邊形OASB為平行四|，則四邊形OASB為矩形若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，由矛盾，故l的斜率存在.設l的方程為

①

② 把①、②代入線

使得四邊形OASB的對角線相等.∴存在直 8

20、解：（1）依題

（2）由已知點∴的坐標為

又，∴四邊形，∴

為菱形

∵

∴∴21、22、C

23、D

24、C

25、.C

26、D

27、D

28、D

29、D 30、A

31、C

32、A

33、【答案】 D

【解析】由(λ∈R)，(μ∈R)知:四點，，在同一條直線上, 因為C,D調和分割點A,B,所以A,B,C,D四點在同一直線上,且

34、B

35、A．如圖： 垂足為D，D為OA中點．的距離，的最大值和最小值 , 故選D.作

，即為點O到圓周上點 分別為

36、C

37、D

38、解：由=（cosα-3,sinα）,，當BD重合時最小．

=(cosα,sinα-3)得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1 ∴sinα+cosα= ①又=,2sinαcosα=-∴

由①式兩邊平方得1+2sinαcosα

39、（Ⅰ）；（Ⅱ），的對稱軸方程為．

第三篇：2014高考數學復習：平面向量

高考數學內部交流資料【1--4】

2014高考數學復習：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關系式中，正確的個數是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當m為何值時，c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線？

第四篇：07--12年浙江省高考數學平面向量題

2010（16）已知平面向量a,?(a?0,a??)滿足??1,且a與??a的夾角為120°則a。

2009（7）設向量a,b滿足︱a︱=3,︱b︱=4,a?b=0.以a,b,a-b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為

（A）3（B）4（C）5（D）6

2008（9）已知a、b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a?c)?(b?c)的最大值是

（A）1（B）2（C）?0,則|c| 2（D）22

2007（7）若非零向量a，b滿足a?b?b，則（）Ａ．2a??a?b Ｂ．2a?2a?bＣ．2b?a??bＤ． 2b?a?2b

2012（5）.設a，b是兩個非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b

B.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數λ，使得b=λa

D.若存在實數λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

2012（15）.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則

=________.

第五篇：近五年高考數學真題分類05平面向量

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

五、平面向量

一、多選題

1．（2021·全國新高考1）已知為坐標原點，點，，則（）

A．

B．

C．

D．

二、單選題

2．（2021·浙江）已知非零向量，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

3．（2020·海南）在中，D是AB邊上的中點，則=（）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·海南）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2020·全國2（理））已知向量，滿足，，則（）

A．

B．

C．

D．

6．（2020·全國3（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2019·全國2（文））已知向量，則

A．

B．2

C．5

D．50

8．（2019·全國1（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．

9．（2019·全國2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

10．（2018·北京（理））設向量均為單位向量，則“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

11．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是

A．

B．

C．2

D．

12．（2018·天津（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為

A．

B．

C．

D．

13．（2018·全國1（文））在△中，為邊上的中線，為的中點，則

A．

B．

C．

D．

14．（2018·全國2（文））已知向量滿足，則

A．4

B．3

C．2

D．0

15．（2018·天津（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為

A．

B．

C．

D．0

16．（2017·浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記，，則

A．I１

B．I１

C．I３<

I１

D．I２

17．（2017·全國2（理））已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是

A．

B．

C．

D．

18．（2017·北京（文））設m,n為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

19．（2017·全國2（文））設非零向量，滿足，則

A．⊥

B．

C．∥

D．

三、填空題

20．（2021·浙江）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.21．（2021·全國甲（文））若向量滿足，則_________.22．（2021·全國甲（理））已知向量．若，則________．

23．（2021·全國乙（理））已知向量，若，則__________．

24．（2021·全國乙（文））已知向量，若，則_________．

25．（2020·浙江）設，為單位向量，滿足，，設，的夾角為，則的最小值為_______．

26．（2020·江蘇）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是________．

27．（2020·全國1（文））設向量，若，則__________.28．（2020·全國1（理））設為單位向量，且，則__________.29．（2020·全國1（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.30．（2019·江蘇）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.31．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.32．（2019·全國3（文））已知向量，則___________.33．（2019·全國（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.34．（2019·天津（文））

在四邊形中，，，點在線段的延長線上，且，則__________.35．（2019·上海）在橢圓上任意一點，與關于軸對稱，若有，則與的夾角范圍為____________

36．（2018·上海）已知實數、、、滿足：，，則的最大值為______．

37．（2018·江蘇）在平面直角坐標系中，為直線上在第一象限內的點，以為直徑的圓與直線交于另一點．若，則點的橫坐標為________．

38．（2018·北京（文））設向量

=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.39．（2018·全國3（理））已知向量，．若，則________．

40．（2017·上海）如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點、、、以及四個標記為“#”的點在正方形的頂點處，設集合，點，過作直線，使得不在上的“#”的點分布在的兩側.用和分別表示一側和另一側的“#”的點到的距離之和.若過的直線中有且只有一條滿足，則中所有這樣的為________

41．（2017·北京（文））已知點在圓上，點的坐標為，為原點，則的最大值為_________．

42．（2017·全國1（理））已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|

+2

|=

______

.43．（2017·天津（文））設拋物線的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為____________

.44．（2017·天津（文））在中，，.若，且，則的值為______________.45．（2017·山東（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．

46．（2017·全國3（文））已知向量，且，則_______.47．（2017·全國1（文））已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若，則m=_________．

48．（2017·山東（文））已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,則

____________.49．（2017·江蘇）在同一個平面內，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．

50．（2020·天津）如圖，在四邊形中，，且，則實數的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．

51．（2020·北京）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．

52．（2019·浙江）已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.53．（2017·浙江）已知向量滿足，則的最小值是___________，最大值是______．

四、解答題

54．（2017·江蘇）已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）記，求函數y＝f（x）的最大值和最小值及對應的x的值．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

五、平面向量（答案解析）

1．AC

【解析】

A：，所以，故，正確；

B：，所以同理，故不一定相等，錯誤；

C：由題意得：，正確；

D：由題意得：，故一般來說故錯誤；

2．B

【解析】

若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件

3．C

【解析】

4．A

【解析】的模為2，根據正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，5．D

【解析】，，.，因此，.6．D

【解析】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；

B：因為，所以本選項不符合題意；

C：因為，所以本選項不符合題意；

D：因為，所以本選項符合題意.7．A

【解析】由已知，所以，8．B

【解析】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．

9．C

【解析】由，得，則，．故選C．

10．C

【解析】因為向量均為單位向量

所以

所以“”是“”的充要條件

11．A

【解析】設，則由得，由得

因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.12．A

【解析】連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形。設

=

所以當時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數求最值。

13．A

【解析】根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.14．B

【解析】因為

15．C

【解析】如圖所示，連結MN，由

可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，結合數量積的運算法則可得：

.本題選擇C選項.16．C

【解析】因為，，所以，故選C．

17．B

【解析】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，設，則，，則

當，時，取得最小值，故選：．

18．A

【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負數，使得，所以是充分而不必要條件，故選A.19．A

【解析】

由平方得，即，則

20．【解析】由題意，設，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.21．

【解析】∵

∴

∴.22．.【解析】,，解得,故答案為：.23．

【解析】因為，所以由可得，解得．故答案為：．

24．【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.25．

【解析】，，.26．或0

【解析】∵三點共線，∴可設，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵，，∴，設，則，.∴根據余弦定理可得，∵，∴，解得，∴的長度為.當時，重合，此時的長度為，當時，重合，此時，不合題意，舍去.27．5

【解析】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.28．

【解析】因為為單位向量，所以

所以，解得：

所以，故答案為：

29．【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．

30．.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.31．8.【解析】向量則.32．

【解析】．

33．.【解析】因為，所以，所以，所以

．

34．.【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，．

因為∥，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．

由得，所以．

所以．

35．【解析】由題意：，設，因為，則

與結合，又

與結合，消去，可得：

所以

36．【解析】設A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為+．

37．3

【解析】設，則由圓心為中點得易得，與聯立解得點的橫坐標所以.所以，由得或，因為，所以

38．-1.【解析】，由得：，即.39．

【解析】由題可得，,即，故答案為

40．、、【解析】建立平面直角坐標系，如圖所示；

則記為“▲”的四個點是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），線段AB，BC，CD，DA的中點分別為E，F，G，H，易知EFGH為平行四邊形，如圖所示；

設四邊形重心為M（x，y），則，由此求得M（3，2），即為平行四邊形EFGH的對角線交于點，則符合條件的直線一定經過點，且過點的直線有無數條；

由過點和的直線有且僅有1條，過點和的直線有且僅有1條，過點和的直線有且僅有1條，所以符合條件的點是、、．

41．6

【解析】所以最大值是6.42．

【解析】∵平面向量與的夾角為，∴.∴

故答案為.43．

【解析】設圓心坐標為，則，焦點，由于圓與軸得正半軸相切，則取，所求圓得圓心為，半徑為1.44．

【解析】,則

.45．

【解析】由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；

又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．

46．2

【解析】由題意可得解得.47．7

【解析】由題得，因為，所以，解得．

48．-3

【解析】由可得

49．【解析】以為軸，建立直角坐標系，則，由的模為與與的夾角為，且知，可得，由可得，故答案為.50．

【解析】，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，所以，當時，取得最小值.51．

【解析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，則點，，因此，.52．0

【解析】正方形ABCD的邊長為1，可得，?0，要使的最小，只需要，此時只需要取

此時

等號成立當且僅當均非負或者均非正，并且均非負或者均非正．

比如

則.53．4

【解析】

設向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據此可得：，即的最小值是4，最大值是．

54．【解析】

（1）∵向量．

由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，∴

∴當時，即x＝0時f（x）max＝3；

當，即時．