第一篇：2015屆高考數學總復習第七章 推理與證明第3課時 數學歸納法課時訓練
1117.設f(n)＝＋?＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________． 2nn＋1n＋
211答案： 2n＋12n＋2
解析：f(n＋1)－f(n)
11111＝?（n＋1）＋1＋（n＋1）＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2（n＋1）? ??
111－?n＋1＋n＋2＋?＋2n ??
11111＝－.2n＋12（n＋1）n＋12n＋12n＋2
－8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋?＋n×3n1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為____________．
11答案：a＝，b＝c＝2
4解析：∵ 等式對一切n∈N*均成立，∴ n＝1，2，3時等式成立，?1＝3（a－b）＋c，?2即?1＋2×3＝3（2a－b）＋c，??1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，3a－3b＋c＝1，??11整理得?18a－9b＋c＝7，解得ab＝c 24??81a－27b＋c＝34，9.已知正項數列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋
*a(n∈N*)．用數學歸納法證明：an a3證明：當n＝1時，a2＝1＋，a1 2ak＋1ak＋1時，ak 1ak＋1－ak?1＋a?＝?1＋ak?（1＋ak）（1＋ak＋1）>0，所以n＝k＋1時，不等式成立．綜上所述，不等式 an ＋－10.求證：an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)． 證明：① 當n＝1時，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即當n＝1時原命題成立． ＋－＋② 假設n＝k(k∈N*)時，ak1＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除．則當n＝k＋1時，ak2 ＋＋－＋－－＋(a＋1)2k1＝a·ak1＋(a＋1)2·(a＋1)2k1＝a·ak1＋a·(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k1＝ [ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可a· ＋＋知，ak2＋(a＋1)2k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命題也成立． 根據①和②可知，對于任意的n∈N*，原命題成立． 11.設數列{an}的前n項和Sn＝2n－an，先計算數列的前4項，后猜想an并證明之． 3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，2 n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝－.482 下面用數學歸納法證明猜想正確： 2n－121－1① 當n＝1時，左邊a1＝1，右邊＝－－1，猜想成立． 22 k2－12k－1② 假設當n＝k時，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.則當n＝22 1k＋1時，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2 kk＋12－1?2－11＝k＋12k－－?＝（＋）－ 2?2?2 這就是說，當n＝k＋1時，等式也成立． 2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2 12.已知△ABC的三邊長為有理數，求證： (1)cos A是有理數； (2)對任意正整數n，cosnA是有理數． AB2＋AC2－BC2 證明：(1)由AB、BC、AC為有理數及余弦定理知cosA＝ 2AB·AC (2)用數學歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數． ① 當n＝1時，由(1)知cosA是有理數，從而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理數． ② 假設當n＝k(k≥1)時，coskA和sinA·sinkA都是有理數． 當n＝k＋1時，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及歸納假設，知cos(k＋1)A與sin A·sin(k＋1)A都是有理數． 即當n＝k＋1時，結論成立． 綜合①②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數． n－mb答案： a解析：等差數列中bn和am可以類比等比數列中的bn和am，等差數列中bn－am可以類 n－m bbn－ambn 比等比數列中的，等差數列中.an－max7.設函數f(x)，觀察： x＋ 2xxxf1(x)＝f(x)f2(x)＝f(f1(x))f3(x)＝f(f2(x))x＋23x＋47x＋8 xf4(x)＝f(f3(x))15x＋16 根據以上事實，由歸納推理可得：當n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________． x答案：（2－1）x＋2 解析：觀察知四個等式等號右邊的分母為x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x n＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以歸納出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母為(2－1)x x＋2n，故當n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))（2－1）x＋238.觀察：① sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝ sin26°＋cos236°＋sin 6° 43cos36°＝4 由上面兩題的結構規律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想． 3解：猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°).4 證明如下： 2左邊＝sinα＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sinα] ＝sin2α＋?α－1sinα??α＋1α? ?2??2?22313＝sin2α＋22α＝ 444 所以，猜想是正確的． 9.在Rt△ABC中，兩直角邊的長分別為a、b，直角頂點C到斜邊的距離為h，則易證11 1.在四面體S－ABC中，側棱SA、SB、SC兩兩垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，hab點S到平面ABC的距離為h，類比上述結論，寫出h與a、b、c之間的等式關系并證明． 1111解：類比得到：＋.habc 證明：過S作△ABC所在平面的垂線，垂足為O，連結CO并延長交AB于D，連結SD，∵SO⊥平面ABC，∴SO⊥AB.∵SC⊥SA，SC⊥SB，∴SC⊥平面ABC，∴SC⊥AB，SC⊥SD，∴AB⊥平面SCD，∴ AB⊥SD.在Rt△ABS中，有 111111中，有＝＋＋.hSDcabc111，在Rt△CDSSDab 2210.老師布置了一道作業題“已知圓C的方程是x＋y＝r，求證：經過圓C上一點 2M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r”，聰明的小明很快就完成了，完成后覺得該題很有意 思，經過認真思考后大膽猜想出如下結論：若圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則經過圓 2C上一點M(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.你認為小明的猜想正確 嗎？若正確，請給出證明；若不正確，請說明理由． 解：小明的猜想正確． (證法1)若x0≠a，y0≠b，則因圓C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，M(x0，y0)是圓C上 y0－b一點，所以直線MC的斜率為k1＝，設過M(x0，y0)的切線斜率為k，因直線MC與切x0－a x0－ax0－a1線l垂直，所以k＝－＝－所以過M(x0，y0)的切線l方程為y－y0(x－x0)，k1y0－by0－b 22整理得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝(x0－a)＋(y0－b).又點M(x0，y0)在圓C上，所以有(x0 222－a)＋(y0－b)＝r，故此時過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)2＝r.若x0＝a或y0＝b(同時成立不合題意)，則切線的斜率不存在或為0，可直觀看出：|y0－b|＝r或|x0－a|＝r，此時切線方程分別為y＝y0或x＝x0，適合(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)22＝r.綜上所述，過M(x0，y0)的圓C的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r.→→→(證法2)設P(x，y)為切線上任一點，則PM＝(x0－x，y0－y)，CM＝(x0－a，y0－b)．又PM →→→⊥CM，∴ PM·CM＝0，即(x0－x)(x0－a)＋(y0－y)(y0－b)＝0.又(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，化簡得(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2為所求切線． 11.某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形． (1)求出f(5)的值； (2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式； 1111(3)＋＋?＋的值． f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－1 解：(1)f(5)＝41.(2)因為f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，?，由上式規律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因為f(n＋1)－f(n)＝4nf(n＋ 1)＝f(n)＋4nf(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝?＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋?＋4＝2n2－2n＋1.11111?，(3)當n≥2＝? f（n）－12n（n－1）2?n－1n? 1111所以＋＋?＋ f（1）f（2）－1f（3）－1f（n）－111111111＝1＋(1－＋－?＋)222334n－1n 1131＝1＋1－＝－2n22n 高考總復習推理與證明 一、選擇題 0，1這三個整數中取值的數列，若a1?a2???a50?9，1．設a1，a2，?，a50是從?1，且(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?107，則a1，a2，?，a0 5A．10B．11C．12D．13 中為0的個數為（） 2．平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區域，則f(n)的表達式為（） A． n?1B． 2n 2C ． n?n?1 3．某人進行了如下的“三段論”推理：如果f'(x0)?0，則x?x0是函數f(x)的極值 33點，因為函數f(x)?x在x?0處的導數值f'(0)?0，所以x?0是函數f(x)?x的極值點。你認為以上推理的A.大前提錯誤B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤D.結論正確 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)＝() A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x) 5x?N*），猜想f(x）的表達式為（） 6．用反證法證明命題“三角形的內角中最多只有一個內角是鈍角”時，應先假設（） A.沒有一個內角是鈍角B.有兩個內角是鈍角 C.有三個內角是鈍角D.至少有兩個內角是鈍角 '''f(x)?sinx,f(x)?f(x),f(x)?f(x),?,f(x)?f(x),n?N，則01021n?1n7．設 f200(7x)?（） A.sinxB.?sinxC.cosxD.?cosx 8．已知整數對按如下規律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），??，則第60個數對是（） A（10，2）B.（2，10）C.（5，7）D.（7，5） 9．設數列{an}的前n項和為Sn，Taa??，稱n為數列1，2，試卷第1頁，總4頁 an的“理想數”aaaa，已知數列1，2，??，500的“理想數”為2004，那么數列2，1，a2，??，a500的“理想數”為（） A、2008B、2004C、2002D、2000 10．對于任意的兩個實數對(a,b)和(c,d)，規定：(a,b)?(c,d)，當且僅當a?c,b?d；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，設p,q?R，若(1,2)?(p,q)?(5,0)，則(1,2)?(p,q)????（）A ．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,?4) 二、填空題 11．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設是 照此規律，計算1?2?2?3???n(n?1)? （n?Ｎ）.13．在平面幾何里，已知直角三角形ABC中，角C為90?，AC=b,BC=a,運用類比方法探求空間中三棱錐的有關結論：有三角形的勾股定理，給出空間中三棱錐的有關結論：________ * 若三角形ABC________ 14．將全體正奇數排成一個三角形數陣： 1 3 57911 13151719 ?? 按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3個數為． 15．如圖所示,從中間陰影算起，圖1表示蜂巢有1層只有一個室,圖2表示蜂巢有2層共有7個室,圖3表示蜂巢有3層共有19個室,圖4表示蜂巢有4層共有37個室.觀察蜂巢的室的規律，指出蜂巢有n層時共有_______個室.試卷第2頁，總4頁 三、解答題 17．a,b,c 至少有一個大于0.18．已 知a,b,c中，求證：關于x的三個方程x?4ax?3?4a?0，x2??a?1?x?a2?0，x2?4ax?15a?4?0中至少有一個方程有實數根.19．已知a，b，c 試卷第3頁，總4頁 20．已知a＞0,b＞0,且a+b=1,21．已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數列{bn}是等比數列；（2）設cn ?),求證：數列{cn}是等差數列； （3）求數列{an}的通項公式及前n項和公式.22.設數列 （1）猜想（2）設的前 項和為，且滿足，.的通項公式，并加以證明；，且，證明： .試卷第4頁，總4頁 參考答案 1．B2．C3．A4．D5．B6．D7．D8．C9．C10．B 11．三角形的內角都大于60度12 2222 13．在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，則S?OAB?S?OAC?S?OBC?S?ABC；在三棱 錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，且三條側棱長分別為a,b,c,則其外接球的半徑為 14．n?n?515．3n2?3n?1 16． 首先，我們知道 則有，所以，同理，得 則有，．，17．證明略18．見解析19．證明見解析20．證明略 21．（1）證明略（2）證明略（3）{an}的前n項和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2 22.(1)由 即∵∴ ∴，得，即，兩式作差得，是首項為1，公差為1的等差數列，∴，（2）要證只要證代入，即證 即證 ∵，且∴ 即得證 答案第1頁，總1頁 安徽財經大學附中2013版高考數學二輪復習專題訓練：推理與證明 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．則假設的內容是() A．a，b都能被5整除 C．a不能被5整除【答案】B 2．設n為正整數,f(n)?1? f(16)?3,f(32)? 212?13?...? 1n B．a，b都不能被5整除 D．a，b有1個不能被5整除 52,經計算得f(2)?,f(4)?2,f(8)?，觀察上述結果,可推測出一般結論() A． f(2n)?【答案】B 2n?12 n B．f(2)? n?22 2C． f(n)? n?22 D．以上都不對 3．用反證法證明命題“若a2?b2?0，則a,b全為0”其反設正確的是() A．a,b至少有一個不為0 C． a,b全不為0【答案】A 4．給出下面四個類比結論： ①實數a,b,若ab?0則a?0或b?0；類比向量a,b,若a?b?0，則a?0或b?0 ②實數a,b,有(a?b)?a?2ab?b;類比向量a,b,有(a?b)?a?2a?b?b B． a,b至少有一個為0 D． a,b中只有一個為0 ③向量a ?a；類比復數z，有z ?z 2222 ④實數a,b有a?b?0，則a?b?0；類比復數z，z2有z1?z2?0，則z1?z2?0 其中類比結論正確的命題個數為()A．0 【答案】B B． 1C．2 D． 35．若定義在正整數有序對集合上的二元函數f(x,y)滿足：①f(x,x)?x，②f(x,y)?f(y,x)③ (x?y)f(x,y)?yf(x,x?y)，則f(12,16)的值是() A．12 B． 16 C．24 D．48 【答案】D 6．用反證法證明命題：“若整數系數一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么 a,b,c中至少有一個是偶數”時，應假設() A．a,b,c中至多一個是偶數 C． a,b,c中全是奇數 【答案】C 7．由 710 ?5811,9?81025,13 ?921 B． a,b,c中至少一個是奇數 D． a,b,c中恰有一個偶數,?若a>b>0,m>0,則 b?ma?m 與 ba 之間大小關系為()D．不確定 A．相等 B．前者大 C．后者大 【答案】B 8．下面幾種推理過程是演繹推理的是() A．兩條直線平行，同旁內角互補，如果?A和?B是兩條平行直線的同旁內角，則?A??B?180?． B．由平面三角形的性質，推測空間四面體性質． C．某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人． D．在數列?an?中，a1?1,an?【答案】A 9．在求證“數列2，3，,5 不可能為等比數列”時最好采用() A．分析法 B．綜合法 C．反證法 D．直接法 1?1? a??n?1??n?2?，由此歸納出?an?的通項公式． 2?an?1? 【答案】C 10．下列哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象比較合適() A．三角形 C．平行四邊形 B．梯形 D．矩形 【答案】C 11．給出下列四個推導過程： ①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2②∵x，y∈Ｒ＋，∴lgx+lgy≥2 ; =2; ③∵a∈R，a≠0， ∴（4／a）+a≥2 ④∵x，y∈R，xy＜0，=4; ∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2其中正確的是()A．①② 【答案】D B．②③ C．③④ D．①④ =-2.12．在證明命題“對于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過程： “cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應用了()A．分析法 B．綜合法 D．間接證法 C．分析法和綜合法綜合使用 【答案】Ｂ 第Ⅱ卷(非選擇題 共90分) 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．觀察下列式子：1? 2? 32，1+ ? 3? 54，1? ? ? ? ???，由此可歸納出的一般結 論是． 【答案】 14．三段論推理的規則為____________ ①如果p?q,p真，則q真;②如果b?c,a?b則a?c;③如果a//b,b//c, 則a//c④如果a?b,b?c,則a?c 【答案】② a2b2ab 15．若a、b是正常數，a≠b，x、y∈(0，＋∞)＝xyxy49?? 1論，可以得到函數f(x)＝x∈0，?的最小值為____________． x1－2x??2??【答案】3 516．同樣規格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規律第23個圖案中需用黑色瓷磚 塊 .【答案】100 三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．如圖，已知PA?矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點． 求證：（1）MN∥平面PAD；（2）MN?CD． 【答案】（1）取PD的中點E，連結AE，NE． 分別為PC，PD的中點． ∴EN為△PCD的中位線，∵N，E ∥∴EN CD，AM? AB，而ABCD為矩形，∴CD∥AB∴EN∥AM∴AENM，且CD?AB．，且EN?AM． ． 為平行四邊形，MN∥AE，而MN?平面PAC，AE?平面PAD，∴MN∥平面PAD∴CD?PA (2）∵PA?矩形ABCD所在平面，而CD?AD，PA與AD是平面PAD內的兩條直交直線，∴CD?平面PAD，而AE?平面PAD，． 又∵MN∥AE，∴MN?CD． ∴AE?CD 18．若x,y都是正實數，且x?y?2, 求證： 1?xy 1?xy ?2 與 1?yx ?2中至少有一個成立.【答案】假設 ?2 和 1?yx ?2都不成立，則有 1?xy ?2和 1?yx ?2同時成立，因為x?0且y?0，所以1?x?2y且1?y?2x 兩式相加，得2?x?y?2x?2y.所以x?y?2，這與已知條件x?y?2矛盾.因此 1?xy ?2 和 1?yx ?2中至少有一個成立.19．有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個字母(不分大小寫),依次對應1,2,3,?,26這26個自然數,見如下表格 : 給出如下變換公式: ?x?1 (x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2' X?? ?x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??2 85+1 將明文轉換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22①按上述規定，將明文good譯成的密文是什么？ ②按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？ 【答案】①g→7→ 7+115+1 =4→d;o→15→=8→h;d→o;22 則明文good的密文為dhho ②逆變換公式為 ''' ??2x?1(x?N,1?x?13) x?? ''' ??2x?26(x?N,14?x?26) 則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o； x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e 故密文shxc的明文為love 20．已知a是整數，a2是偶數，求證：a也是偶數． 【答案】（反證法）假設a不是偶數，即a是奇數． 設a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1． ∵4(n?n)是偶數，22 ∴4n?4n?1是奇數，這與已知a是偶數矛盾． 由上述矛盾可知，a一定是偶數． ?a?b?c)． 【答案】因為a2?b2≥2ab，所以2(a2?b2)≥a2?b2?2ab（此處省略了大前提），?b≥2，a?b)（兩次省略了大前提，小前提） 同理，b?c)2 c?a)，a?b?c)． ?(省略了大前提，小前提） n 22．設 f(x)＝x＋a.記f(x)＝f(x)，f(x)＝f(f n－1 (x))，n＝1，2，3，?，1n M＝{a∈R|對所有正整數n，|f(0)|≤2}．證明，M＝[－2，]． 4【答案】⑴ 如果a＜－2，則|f(0)|＝|a|＞2，a∈/M． 11nn－12 ⑵ 如果－2≤a≤f(0)＝a，f(0)＝(f(0))＋a，n＝2，3，??．則 411n ① 當0≤a≤|f(0)|≤，(?n≥1).42 事實上，當n＝1時，|f(0)|＝|a|≤，設n＝k－1時成立(k≥2為某整數），21112 則對n＝k，|fk(0)|≤|fk－1(0)|＋a≤(2＋． 242 ② 當－2≤a＜0時，|f(0)|≤|a|，(?n≥1)． 事實上，當n＝1時，|f1(0)|≤|a|，設n＝k－1時成立(k≥2為某整數)，則對n＝k，有 n －|a|＝a≤(fk－1(0))＋a≤a2＋a 注意到當－2≤a＜0時，總有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．從而有|fk(0)|≤|a|．由歸納法，推出[－2，1 ?M． 4 ⑶ 當a＞時，記an＝fn(0)，21n＋1n 則對于任意n≥1，an＞aan＋1＝f(0)＝f(f(0))＝f(an)＝an＋a． 21111 對于任意n≥1，an＋1－an＝an－an＋a＝(an)2＋a－a－．則an＋1－an≥a－． 2444 12－a1 所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a)．當n＞時，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，414 a－ 即fn＋1(0)＞2．因此a∈/M．綜合⑴，⑵，⑶，我們有M＝[－2，4 推理與證明總復習 編寫人：楊素華審核：高二數學組（1） 一、知識結構框圖 二、考綱分解解讀 1合情推理與演繹推理 （1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用. （2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異. 2直接證明與間接證明 （1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點. （2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點. 3數學歸納法 了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.三、基礎知識 （一）合情推理與演繹推理 1推理的概念 根據一個或幾個已知事實（或假設）得出一個判斷，這種___________叫做推理.從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設）叫做___________，一部分是由已知推出的判斷，叫做___________. 2合情推理 根據已有的事實，經過___________、___________、___________、___________，再進行___________、___________，然后提出___________的推理稱為合情推理.合情推理又具體分為歸納推理和類比推理兩類. (1)歸納推理：由某類事物的___________對象具有某些特征，推出該類事物的___________對象具有這些特征的推理；或者由___________事實概括出___________的推理稱為歸納推 1理.簡言之，歸納推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，歸納推理簡稱歸納.(2)類比推理：由兩類對象具有___________和其中一類對象的某些___________，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理.簡言之，類比推理是由___________到___________的推理，類比推理簡稱類比. 3演繹推理 （1）從___________出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由___________到___________的推理. （2）三段論是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③結論——________________________________.（二）直接證明與間接證明 1．直接證明 （1）綜合法：從題設的____________出發，運用一系列有關_______________作為推理的依據，逐步推演而得到要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由____________到____________，表現為____________，綜合法的解題步驟用符號表示是：_____________________. 特點:“由因導果”，因此綜合法又叫____________法． （2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，論證中步步尋求使其成立的____________，如此逐步歸結到已知的條件和已經成立的事實，從而使命題得證，表現為____________，分析法的證題步驟用符號表示為_____________________________.特點：“執果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法. 2．間接證明 假設原命題的結論不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法． （1）反證法的解題步驟：____________——推演過程中引出矛盾——____________. （2）反證法的理論依據是：原命題為真，則它的____________為真，在直接證明有困難時，就可以轉化為證明它的____________成立. （3）反證法證明一個命題常采用以下步驟： ①假定命題的結論不成立. ②進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的. ④肯定原來命題的結論是正確的. 即“反設——歸謬——結論”. （4）一般情況下，有如下幾種情況的求證題目常常采用反證法： 第一，問題共有n種情況，現要證明其中的一種情況成立時，可以想到用反證法把其它的 n-1種情況都排除，從而肯定這種情況成立； 第二，命題是以否定命題的形式敘述的； 第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的； 第四，當命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的.（三）數學歸納法 1．數學歸納法 對于某些與正整數n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立，證明當________時命 題也成立，這種證明方法就叫做________． 2．用數學歸納法證明一個與正整數(或自然數)有關的命題的步驟 (1)(歸納奠基)當n取第一個值________________________時，證明命題成立； (2)(歸納遞推)假設當_______________________時結論正確，證明當________時結論也正確． 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確． 3．特點注意 用數學歸納法來證明與正整數有關的命題時，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉． 四、題型歸納 （一）歸納推理 例1平面內的１條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無三條共點的直線，可把平面分成多少部分？ 分析：可通過畫圖當直線條數n為3，4，5時，分別計算出它們將平面分成的區域數Sn，從中發現規律，再歸納出結論. 解析：設平面被n條直線分成Sn部分，則 當n=1時，S1 =1+1=2； 當n=2時，S2 =1+1+2=4； 當n=3時，S3 =1+1+2+3=7； 當n=4時，S4 =1+1+2+3+4=11． 據此猜想，得Sn=1+ n(n?1) 2n?n?222=. 點評：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然后尋找規律，概括出整體的情況． （二）類比推理 例2（2009年微山模擬）在平面幾何中，對于Rt△ABC，設AB=c,AC=b,BC=a，則 （1）a2+b2=c2； 22（2）cos2A+cos2B=1； a?b （3）Rt△ABC的外接圓半徑為r= 2. 把上面的結論類比到空間寫出相類似的結論.分析：我們在空間中選取3個面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象，考慮面積，二面角，及外接球的半徑即可得.解析：（1）設3個兩兩垂直的側面的面積 分別為S1,S2,S3，底面面積為S，則 S12+S22+S32=S2. (2)設3個兩兩垂直的側面與底面所成的角 分別為α,β,γ，則 cosα+cosβ+cosγ=1. (3)設3個兩兩垂直的側面形成的側棱長分 別為a,b,c，則這個四面體的外接球的半徑 為R=a2222?b 32?c2. （三）演繹推理 演繹推理是證明數學問題的基本推理形式，因此在高考中經常出現，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實并且推理形式正確的前提下，其結論就必然真實.2例3證明：函數f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是減函數.（四）用綜合法證明數學命題 例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A,B的任一點，過A點作AE⊥PC于點E，如右圖所示.求證：AE⊥平面PBC.（五）用分析法證明數學命題 例5若a>0，求證： a2?1?2a （六）用反證法證明數學命題 例6已知：a3+b3=2,求證：a+b≤2.分析：本題直接證明命題較困難，宜用反證法. 證明：假設a+b>2,則b>2-a. 于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a =6(a-1)2+2≥2.與已知相矛盾，所以 a+b≤2.（七）數學歸納法 ⅰ歸納、猜想、證明 例7在各項為正的數列{an}中，數列的前n項和Sn滿足 (1)求a1，a2，a3.ⅱ用數學歸納法證明恒等式1?1??an?.Sn＝ 2 ?a ?? n??333322?a?1a?2.(2)由(1)猜想數列{an}的通項公式，并且用數學歸納法證明你的猜想． 22例8用數學歸納法證明：??n(n?1)2?n(n?1)(3n1 ? 2?2?3? 12 2?11n?10) ⅲ用數學歸納法證明整除問題 例9用數學歸納法證明：對于任意自然數n，數11n＋2＋122n＋1是133的倍數． ⅳ用數學歸納法證明不等式問題 例10設函數f(x)?x?xlnx．數列?an?滿足0?a1?1，an?1?f(an)．（Ⅰ）證明：函數f(x)在區間(0，1)是增函數； （Ⅱ）證明：an?an?1?1； 1)，整數k≥（Ⅲ）設b?(a1，a1?ba1lnb．證明：ak?1?b． 解： （I）當0 f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0 所以函數f(x)在區間（0,1）是增函數，（II）當0 又由（I）有f(x)在x=1處連續知，當0 因此，當0 下面用數學歸納法證明： 0 (i)由0 則由①可得0 故當n=k+1時，不等式②也成立 綜合(i)(ii)證得：an (III)由（II）知，{an}逐項遞增，故若存在正整數m≤k,使得am≥b,則ak+1>am≥b 否則，若am ak+1=ak-aklnak =ak-1-ak-1lnak-1-aklnak …… k =a1-?amlnam m?1 k 由③知?amlnam m?1 于是ak+1>a1+k|a1lnb| ≥a1+(b-a1)=b第二篇：2015屆高考數學總復習第七章 推理與證明第1課時 合情推理與演繹推理課時訓練
第三篇：高中數學高考總復習推理與證明
第四篇：2013版高考數學二輪復習專題訓練 推理與證明
第五篇：推理與證明總復習
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