第一篇：高考數學總復習第三講—數形結合

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

高考數學總復習第三講：數形結合

一、專題概述---什么是數形結合的思想

數形結合的思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系．”“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題．實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀．

數形結合包括：函數與圖象、方程與曲線、復數與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系．

觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數量關系，是認識、掌握數形結合的重要進程．

例1．函數的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

分析：通過畫出函數的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數的解析式，算得對應的函數值分別是：其中只有–1是這一函數的最小值，由此可知，應選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數量關系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數量關系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發揮圖形的判定作用．

3．切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖．

數形結合的核心是“數”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯系，才能把握住每一個研究對象在數量關系上的性質與相應的圖形的特征之間的關聯，以求相輔相

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

成，相互轉化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數圖象．

分析 由=，可知函數

是偶函數，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數y單調增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數關系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復數z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

多少？

分析 滿足的復數z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應用“數”與“形”的轉化，提高思維的靈活性和創造性．

在中學數學中，數形結合的思想和方法體現最充分的是解析幾何，此外，函數與圖象之間，復數與幾何之間的相互轉化也充分體現了數形結合的思想和方法．通過聯想找到數與形之間的對應關系是實現轉化的先決條件，而強化這種轉化的訓練則是提高思維的靈活性和創造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大小．

分析 這是比較數值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數：的圖象位于y軸左側的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論：

例7 解不等式

解法一（用代數方法求解），此不等式等價于：

解得

故原不等式的解集是

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

解法二（采用圖象法）設即

對應的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果．

例8 討論方程的實數解的個數．

分析：作出函數的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數交點個數即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當a＜0時，解的個數是0；

當a=0時或a＞4時，解的個數是2；

當0＜a＜4時，解的個數是4；

當a=4時，解的個數是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

∴過（外，過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故例10．設點P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設，即y=kx為過原點的直線系，問題轉化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

故的最大值為，最小值為

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

例11．求函數值．

分析 采用代數方法求解是十分困難的，剖析函數解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解．如圖

（其中a,b,c是正常數）的最小

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數乘法的幾何意義，因此，可轉化為復數的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決．

解，設R點對應的復數為： 則，P點對應的復數為

故即由點在橢圓上可知有：

整理得：原點，焦點在y軸上

就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓．

三解題訓練

1．求下列方程實根的個數：

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

（1）

（2）

（3）

2．無論m取任何實數值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實根個數都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

（1）（2）

7．復平面內點A、B分別對應復數2，2+i，向量，則點C對應的復數是_______．

繞點A逆時針方向旋轉至向量 8．若復數z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復數z滿足

10．函數的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

定點的坐標是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–2，–），2））（–2 11．曲線與直線的交點個數是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點，則實數k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實數b的取值范圍．

14．函數的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

四、練習答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數的圖象，看交點的個數．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數解析式可變形

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）（1）x≤-1或0

可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點為圓x2+y2=1上的動點

大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料

第二篇：高考數學總復習第三講：數形結合

高考數學總復習第三講：數形結合

一、專題概述---什么是數形結合的思想

數形結合的思想，就是把問題的數量關系和空間形式結合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系．”“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題．實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀．

數形結合包括：函數與圖象、方程與曲線、復數與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數量關系．

觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數量關系，是認識、掌握數形結合的重要進程．

例1．函數的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

分析：通過畫出函數的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數的解析式，算得對應的函數值分別是：其中只有–1是這一函數的最小值，由此可知，應選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數量關系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數量關系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發揮圖形的判定作用．

3．切實把握“數”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖．

數形結合的核心是“數”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯系，才能把握住每一個研究對象在數量關系上的性質與相應的圖形的特征之間的關聯，以求相輔相

成，相互轉化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數圖象．

分析 由=，可知函數

是偶函數，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數y單調增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數關系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復數z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是

多少？

分析 滿足的復數z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應用“數”與“形”的轉化，提高思維的靈活性和創造性．

在中學數學中，數形結合的思想和方法體現最充分的是解析幾何，此外，函數與圖象之間，復數與幾何之間的相互轉化也充分體現了數形結合的思想和方法．通過聯想找到數與形之間的對應關系是實現轉化的先決條件，而強化這種轉化的訓練則是提高思維的靈活性和創造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大小．

分析 這是比較數值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數：的圖象位于y軸左側的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論：

例7 解不等式

解法一（用代數方法求解），此不等式等價于：

解得

故原不等式的解集是

解法二（采用圖象法）設即

對應的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果．

例8 討論方程的實數解的個數．

分析：作出函數的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數交點個數即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當a＜0時，解的個數是0；

當a=0時或a＞4時，解的個數是2； 當0＜a＜4時，解的個數是4；

當a=4時，解的個數是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故例10．設點P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設，即y=kx為過原點的直線系，問題轉化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

故的最大值為，最小值為

例11．求函數值．

（其中a,b,c是正常數）的最小 分析 采用代數方法求解是十分困難的，剖析函數解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解．如圖

設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數乘法的幾何意義，因此，可轉化為復數的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決． 解，設R點對應的復數為： 則，P點對應的復數為

故即由點在橢圓上可知有：

整理得：原點，焦點在y軸上

就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓．

三解題訓練

1．求下列方程實根的個數：

（1）

（2）

（3）

2．無論m取任何實數值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實根個數都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

（1）（2）

7．復平面內點A、B分別對應復數2，2+i，向量，則點C對應的復數是_______．

繞點A逆時針方向旋轉至向量 8．若復數z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復數z滿足

10．函數的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩

定點的坐標是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點個數是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點，則實數k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實數b的取值范圍．

14．函數的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

四、練習答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數的圖象，看交點的個數．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數解析式可變形

f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點為圓x2+y2=1上的動點

第三篇：高考數學專題復習：數形結合思想

高考沖刺：數形結合

編稿：林景飛

審稿：張揚

責編：辛文升 熱點分析 高考動向

數形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優越性，而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數形結合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數形結合是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節作用。

具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創造了靈活運用數形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1．高考試題對數形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數圖象的應用；

（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。

2．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入參變數，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉化為熟悉的函數模型，利用函數圖象求解；

（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數”的方法有：

（1）借助于數軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數圖象、區域(如線性規劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數式，聯想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數問題都有重要作用，應充分予

以重視。

5．常見的把數作為手段的數形結合：

主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經典例題透析

類型一：利用數形結合思想解決函數問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數.∴

舉一反三：

【變式1】已知函數

.選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

當x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設的單調區間；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如圖：

（1）的單調增區間：

，；單調減區間：（1，2）

時。

（2）當a≤1時，當

當

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當]時，都

，時，對于給定的負數，有一個最大的正數，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設，∴區間[-2,2]在對稱軸的左外側或右外側，∴f(x)在[-2，2]上是單調函數，（這是不可能的）

（2）當，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

(2)當

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當且僅當

時，等號成立），由于，因此當且僅當時，取最大值

類型二：利用數形結合思想解決方程中的參數問題 2．若關于x的方程有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當時，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

總結升華：

1．解決這類問題時要準確畫出函數圖象，注意函數的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩

個函數的圖象，由圖求解。

3．在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

③要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側看作兩個函數，利用函數圖象公共點的個數來確定方程根的個數。

設（x∈－1，1）

如圖：當內有1個實根。

或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數根，求實數m的解析：將原方程

與直線

轉化為三角函數的圖象

有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。

設，在同一坐標中作出這兩個函數的圖象

由圖可知，當

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。

類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設頂點，則函數的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負方向滾動，使P點落在x軸上的點，此點即是函數的一個零點（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點B位于x軸上，頂點P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點C位于x軸上，頂點P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 函數的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯想所求代數式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規劃的知識，則斜率

可看作可行域內的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。

第四篇：高考復習數形結合思想

數形結合

定義：數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

應用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。Ⅰ、再現題組：

1.設命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數且最小值為－5

B.增函數且最大值為－5 C.減函數且最小值為－5

D.減函數且最大值為－5

y?35.設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復數z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實數x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復數z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數有關的問題，即借助數軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數m的取值范圍。2z1例2.設|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數集，那么實數m的取值范圍是_________。6.設z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數a的取值范圍。

12.已知函數y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數解，求常數k的取值范圍。

第五篇：初中數學復習數形結合談數軸

數形結合談數軸

一、閱讀與思考

數學是研究數和形的學科，在數學里數和形是有密切聯系的。我們常用代數的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數問題，尋找解題思路，這種數與形之間的相互作用叫數形結合，是一種重要的數學思想。

運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，現階段數軸是數形結合的有力工具，主要體現在以下幾個方面：

1、利用數軸能形象地表示有理數；

2、利用數軸能直觀地解釋相反數；

3、利用數軸比較有理數的大小；

4、利用數軸解決與絕對值相關的問題。

二、知識點反饋

1、利用數軸能形象地表示有理數；

例1：已知有理數在數軸上原點的右方，有理數在原點的左方，那么（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓練：

1、如圖為數軸上的兩點表示的有理數，在中，負數的個數有（）

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

A．1

B．2

C．3

D．43、把滿足中的整數表示在數軸上，并用不等號連接。

2、利用數軸能直觀地解釋相反數；

例2：如果數軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。

拓廣訓練：

1、在數軸上表示數的點到原點的距離為3，則

2、已知數軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于

。（北京市“迎春杯”競賽題）

3、利用數軸比較有理數的大小；

例3：已知且，那么有理數的大小關系是

。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題）

拓廣訓練：

1、若且，比較的大小，并用“”號連接。

例4：已知比較與4的大小

拓廣訓練：

1、已知，試討論與3的大小

2、已知兩數，如果比大，試判斷與的大小

4、利用數軸解決與絕對值相關的問題。

例5：

有理數在數軸上的位置如圖所示，式子化簡結果為（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓練：

1、有理數在數軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為。

2、已知，在數軸上給出關于的四種情況如圖所示，則成立的是。

①

②

③

④

3、已知有理數在數軸上的對應的位置如下圖：則化簡后的結果是（）

（湖北省初中數學競賽選撥賽試題）

A．

B．

C．

D．

三、培優訓練

1、已知是有理數，且，那以的值是（）

A．

B．

C．或

D．或

0

A

B

C2、（07樂山）如圖，數軸上一動點向左移動2個單位長度到達點，再向右移動5個單位長度到達點．若點表示的數為1，則點表示的數為（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3、如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數分別是整數且，那么數軸的原點應是（）

A．A點

B．B點

C．C點

D．D點

4、數所對應的點A，B，C，D在數軸上的位置如圖所示，那么與的大小關系是（）

A．

B．

C．

D．不確定的5、不相等的有理數在數軸上對應點分別為A，B，C，若，那么點B（）

A．在A、C點右邊

B．在A、C點左邊

C．在A、C點之間

D．以上均有可能

6、設，則下面四個結論中正確的是（）（全國初中數學聯賽題）

A．沒有最小值

B．只一個使取最小值

C．有限個（不止一個）使取最小值

D．有無窮多個使取最小值

7、在數軸上，點A，B分別表示和，則線段AB的中點所表示的數是。

8、若，則使成立的的取值范圍是。

9、是有理數，則的最小值是。

10、已知為有理數，在數軸上的位置如圖所示：

且求的值。

11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：

點A、B在數軸上分別表示實數，A、B兩點這間的距離表示為，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，；當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊；

③如圖4，點A、B在原點的兩邊。

綜上，數軸上A、B兩點之間的距離。

（2）回答下列問題：

①數軸上表示2和5兩點之間的距離是，數軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；

②數軸上表示和-1的兩點A和B之間的距離是，如果，那么為；

③當代數式取最小值時，相應的的取值范圍是；

④求的最小值。