第一篇：高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識點(diǎn)及題型整理

Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實(shí)驗(yàn)、二中！

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點(diǎn)或一個最低點(diǎn)，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是越來越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設(shè)即

對應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時，解的個數(shù)是0；

當(dāng)a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當(dāng)0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；

當(dāng)a=4時，解的個數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過（外，過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

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故的最大值為，最小值為

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動點(diǎn)，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴(kuò)大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

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故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根（1）的個數(shù)：

（2）

（3）

2．無論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

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（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡，則這兩，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

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（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當(dāng)x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)

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第二篇：精簡易下載版 高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識點(diǎn)及題型整理

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一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析 1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是()（A）（B）（C）（D）分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點(diǎn)或一個最低點(diǎn)，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將

代入函數(shù)的解析式，算得對應(yīng)的函數(shù)值分別是：，其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）

2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．

觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓 分析 由平面幾何知：到定直線L：這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個數(shù)．

將圓方程變形為：

上到直線的距離為的距離為的點(diǎn)共有幾個？ 的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定，而圓心到定直線L的距離為，由此，知其圓心是C(-1,-2)，半徑判定平行于直線L且距離為的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)

圖象．

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分析 由是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù) 例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．，圖象．

=，可知函數(shù)的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注落的距離，則H與下落時間分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）． 5．若復(fù)數(shù)z滿足析 滿足，且

越來越 例 分面與，則在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是多少？

為半徑的圓面，該圓的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為：

4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大小．

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于：

解得 故原不等式的解集是 Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實(shí)驗(yàn)、二中！解法二（采用圖象法）設(shè) 對應(yīng)的曲線是以 解方程

即

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線．（如圖）

可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的交點(diǎn)個數(shù)即可．

∴當(dāng)a＜0時，解的個數(shù)是0；

當(dāng)a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2；

當(dāng)0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；

當(dāng)a=4時，解的個數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線

有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個）的直線系，雙曲線的漸近線方程為）點(diǎn)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（∴過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此外，過（且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（近線方程為 ∴過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故正確）的直線系，雙曲線的漸個不同值，此外，過（答案為（D）

例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

解得： 故 消去y得的最大值為，最小值為

例11．求函數(shù)（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動點(diǎn)，則線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即

時成立． 故y的最小值為

其中的等號在P為

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴(kuò)大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

故 整理得：

三解題訓(xùn)練 即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

1．求下列方程實(shí)根的個數(shù)：（1）（2）（3）

2．無論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 的實(shí)根個數(shù)都是（）

3．已知函數(shù)的圖象如右圖則（）

（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)4．不等式 5．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）

一定有解，則a的取值范圍是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] Peter高分英語家教火箭式提分有“秘方”，叫板育才、實(shí)驗(yàn)、二中！6．解下列不等式：（1）（2）

至向量，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)_______．

8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 10．函數(shù)（A）（–（C）（–2 11．曲線 12．曲線（A）13．已知集合 14．函數(shù)（B），–，2的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡，則這兩定點(diǎn)的坐標(biāo)是()）（）（2與直線與直線（C），的值域是（），2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2的交點(diǎn)個數(shù)是（）．（A）0（B）1（C）2（D）3

有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（）

（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

（A）（B）（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個 提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當(dāng)x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故選（A）

4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）（1）x≤-1或0

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第三篇：高考數(shù)學(xué)思想方法專題講義3--數(shù)形結(jié)合的思想

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高考數(shù)學(xué)思想方法專題講義3－－數(shù)形結(jié)合的思想

1．設(shè)f(x)?1?x2，a，b?R，且a≠b，求證：f(a)?f(b)?a?b．

2．求下列函數(shù)的最值：（1）y（2）y?2x2?5x?4?2x2?2x?1的最小值； ?x2?2x?26?x2?6x?13的最大值．

p?4的實(shí)數(shù)p，使得x2?px?4x?p?3恒成立，求x的取值范圍． 3．對于滿足0?4．已知z?1，求u?2zi?5?4i的最值．

x2?4?a?1有相異實(shí)根的個數(shù)． 5．討論方程6．已知a?1，b?1，求證：a?b?1．

1?ab?q），求它的第p?q項(xiàng)和第p?q項(xiàng)．

． 7．已知等差數(shù)列的第p項(xiàng)為q，第q項(xiàng)為P（p8．求證：2a12?a2?b12?b22?a1?b1?a2?b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求證：tg10．設(shè)z?C，a?R，且az11．已知sin??sinBC1ctg?． 229?0，求證：z?a?z?a?z為純虛數(shù)．

??11，cos??cos??，求tg(???)． 43?2，求z?u2?4?v2?1的最小值． 12．已知u，v，是正數(shù)，且u?v13．求函數(shù)y?14．已知m?3(x?2)?8?x的值域．

n?0，求證：m2?n2?2mn?n2?m．

215設(shè)定點(diǎn)M（－3，4），動點(diǎn)N在圓x?y2?4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為兩邊作□MONP，求P點(diǎn)的軌跡．

表示兩曲線有公共點(diǎn)，求半徑r的最值． 22??x?4y?4,16．已知?222??(x?4)?y?rx2y2217．當(dāng)m，a，b滿足什么條件時，橢圓2?2?1（a?0，b?0）與拋物線y?x?m有四個交點(diǎn)？

ab數(shù)形結(jié)合的思想?yún)⒖即鸢?/p>

1．將，1?a2，1?b2分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構(gòu)造圖2－1．設(shè)Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，則 PA

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?1?a2．在Rt△POB中，OB＝b，則

PB?1?b2．在△PAB中，PA?PB?AB，于是可得f(a)?f(b)?a?b（當(dāng)a?b結(jié)論一樣成立）

2．（1）提示：配方得y55711?2((x?)2??(x?)2?)，可視為P（x，0）分別與A（441624，74），B（?1，2?1）這兩點(diǎn)的距離之和．由于A，B分別位于x軸的上方和下方，顯然當(dāng)P在A，B連線與x軸交點(diǎn)時PA?PB最短，最小值為22AB?230?272（2）提示：配方得y?(x?1)2?52?(x?3)2?22，可視為P（x，0）分別與A（－1，5），B（3，2）的距離之差的最大值，由于A，B位于x軸的同旁，由幾何知識知，P在AB與x軸交點(diǎn)的位置上，最大值為

AP?BP最大，?AB?5．AB，直線AB的方程為y?25?217?．令，y?0，得x?x?3?1?332．故點(diǎn)P位于（173，0）時，ymax3．原不等式整理成(x?1)P?(x?4x?3)>0，設(shè)f(b)?(x?1)p?(x2?4x?3)．可視為p的一次函數(shù)，由圖象

2?f(0)?0,??x?4x?3?0,?x?3或x??1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用?即?2?f(4)?0,??x?1?04．u5?2i?z?i?22，因此，u表示單位圓

（－2，－z?1上的點(diǎn)z與點(diǎn)A

52）的距離的2倍．由幾何知識知，AB，AC分別是最小值、最大值，即

umax?2AC?2(OA?OC)?41?2，umin?2AB?2(OA?OB)?41?2

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5．提示：在同一坐標(biāo)系中作出y同的根；當(dāng)a?x2?4和y?a?1的圖象如圖，從圖象可以看出：當(dāng)a??1，a?3時，方程有兩個不?3時，方程有三個不同的根；當(dāng)?1?a?3時，方程有四個不同的根；當(dāng)a??1時，方程沒有根

a?b?1a?b(a?1)(b?1)AP1?ab6．設(shè)數(shù)軸上三點(diǎn)A，P，B的坐標(biāo)分別為－1，1，則??＝．∵ a?1，?b?1，a?b1?ab(a?1)(b?1)PB1?1?ab∴ ??0．即P是AB的內(nèi)分點(diǎn)，于是?1?7．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana?ba?b?1即?1

1?ab1?ab，B（q，p）是平?a1?(n?1)，得點(diǎn)（n，an）在直線y?a1?(x?1)d上．設(shè)A（p，q）面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則AB的直線方程為y?q?p?q(x?p)，即y?p?q?x．∵

點(diǎn)（n，an）在an這條直線上，q?p∴ an?p?q?n．于是，ap?q?0，ap?q?2q

8．提示：設(shè)A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），則原式左邊＝9．如圖，以線段BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，∵

OA?OB?AB?AC?BC＝右邊

BC?10，AB?AC?8,∴

A（x0，y0）在雙曲線

．∵

55x2y2??1的右支上．從而，由焦半徑公式得AB?x0?4，AC?x0?444169ACcoCs?5?x0，＝ABcosB?5?x，∴

tgBC?ctg22

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BCBBCcos2sincos2cos22?222?2?sinB?1?cosC?BCBCC1?cosBsinCcossin2cos22sincos222225x0?4?5?x0x?114?0? 5x0?4?5?x09(x0?1)94sin?AC?ACcosCAB?ABcosB＝

10．在復(fù)平面內(nèi)，z，a，－a所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，∵

∴

A、B在實(shí)軸上．

z?0，故P不可能在坐標(biāo)原點(diǎn)，即AB的中點(diǎn)．又a?R，a?0，z?a?z?a?AP?BP?動點(diǎn)P的軌跡為線段AB的中垂線除去AB的中點(diǎn)?P點(diǎn)的軌跡為虛

16軸（除去原點(diǎn)）?z為純虛數(shù)．

11．設(shè)A（cos?，sin?），B（cos?，sin，則A，B在單位圓上，連結(jié)AB．若C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?），∠DOC＝，1），連結(jié)OC，則OC⊥AB．設(shè)D（1，0），連結(jié)OA，OB，則有∠DOA＝?，∠DOB＝?81???2tg24832∠DOC＝?，tg(???)? ?1472???1?tg26???2，tg

???2＝tg

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)（u，2），B（－v，－1），則

z?OA?OB?AB，而

u?v42AB?(u?v)2?(2?1)2?22?32?13，v?即z?13，等號成立條件u?v?2，?．即u?，2?133

時成立．故zmin

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?13

13．令x?2?t，原函數(shù)為y2?3t?10?t2（t?0），設(shè)v?y?3t，則

①??v??3t?y, ?2??v?10?t(t?0).方程①表示斜率為－3的直線，方程②表示四分之一圓．原問題轉(zhuǎn)化為過圓②上的點(diǎn)，求①中直線截距的取值范圍．如圖，過圓上

?3?0?y3?1．解得y?2∴ 10．的點(diǎn)（0，時，截距最小，ymin?10．當(dāng)直線與圓②相切時，其截距最大，即10?10）

② 10?y?210

14．如圖，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，則AC?∴ 又∵

m2?n2．∵

AC?BC?AB

m2?n2?n?m．

①

m?n?0，∴

mn?n2，2mn?2n2，2mn?n2?n2，即2mn?n2?n ②

由①、②知，m2?n2?2mn?n2?m

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16．如圖，設(shè)P點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

x?yi，M所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?3?4i，N所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，．即

z1?2．∵，∴ OP?OM?ON，∴ x?yi??3?4i?ziz1?(x?3)?(y?4)i，∵

z1?2(x?3)2?(y?4)2?4．但點(diǎn)M，O，N

46??x與x2?y2?4，解得x1?，358686868y1??；x2??，y2?．因此，所求軌跡為圓(x?3)2?(y?4)2?4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)（，?），（?，）5555555共線時，不能構(gòu)成平行四邊形，由y

x2217．將方程x?4y?4化為標(biāo)準(zhǔn)形式2?y?1，它表示中心在（0，0），長半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓．而

222方程(x?4)20）的同心圓系，如圖，可知當(dāng)2?r?6時，兩曲線有公共點(diǎn)．即rmax?6，rmin?2 ?y2?r2表示圓心在A（4，taoti.tl100.com 你的首選資源互助社區(qū)

?x2?x?m,b2b2?2222f(y)?y?y?m?b?0．要使兩曲線有四個交點(diǎn)，方程f(y)?0在（－18．由?x消去x，得y22aa?2?2?1,b?ab2b，b）內(nèi)有兩個不同的實(shí)根．由于函數(shù)f(y)為開口向上的拋物線，而對稱軸方程為y??2a2．因此，有

?b2?f(?2)?0,2a??b?2a2,22b?b?22??b??2?b,??b2即兩曲線有四個交點(diǎn)的充要條件為b?2a，且b??m?a?4a222a??b??m?a?2.4a??f(?b)?0,??f(b)?0

第四篇：高考數(shù)學(xué)解題方法數(shù)形結(jié)合

高考數(shù)學(xué)解題方法（數(shù)形結(jié)合）

一、知識整合

1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

2．實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

如等式(x?2)2?(y?1)2?4

3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

4．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。

二、例題分析

k的取值范圍。

例1.若關(guān)于x的方程x?2kx?3k?0的兩根都在?1和3之間，求

分析：令f(x)?x?2kx?3k，其圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程f(x)?0 22f(3)?0，的解，由y?f(x)的圖象可知，要使二根都在?13，之間，只需f(?1)?0，f(?b)?f(?k)?0同時成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0)2a

例2.解不等式x?2?x

解：法

一、常規(guī)解法：

?x?0?

原不等式等價于(I)?x?2?0?x?2?x2??x?0或(II)?

?x?2?0

解(I)，得0?x?2；解(II)，得?2?x?0

綜上可知，原不等式的解集為{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

法

二、數(shù)形結(jié)合解法：

令y1?x?2，y2?x，則不等式x?2?x的解，就是使y1?x?2的圖象

在y2?x的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo)，如下圖，不等式的解集為{x|xA?x?xB}

而xB可由x?2?x，解得，xB?2，xA??2，故不等式的解集為{x|?2?x?2}。

例3.已知0?a?1，則方程a|x|?|logax|的實(shí)根個數(shù)為（A.1個 B.2個

C.3個

D.1個或2個或3個)

分析：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象y?a|x|與y?|logax|的交點(diǎn)個數(shù)，畫 出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點(diǎn)，故方程有2個實(shí)根，選（B）。

例4.如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x?2)?y?3，則22y的最大值為(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x?2)?y?3有明顯的幾何意義，它表坐標(biāo)平面上的一個圓，圓心為(2，0)，半徑r?3，(如圖)，而yy?0?則表示圓上的點(diǎn)(x，y)與坐 xx?0標(biāo)原點(diǎn)(0，0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點(diǎn)A

在以(2，0)為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖 可見，當(dāng)∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最

大值為tg60°?3

x2y2??1，求y?3x的最大值與最小值

例5.已知x，y滿足1625x2y2??1下求最值問題，常采用

分析：對于二元函數(shù)y?3x在限定條件1625構(gòu)造直線的截距的方法來求之。

令y?3x?b，則y?3x?b，x2y2??1上求一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的直線斜率為3，原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓162

5且在y軸上的截距最大或最小，x2y2??1相切時，有最大截距與最小

由圖形知，當(dāng)直線y?3x?b與橢圓1625截距。

?y?3x?b?

?x2?169x2?96bx?16b2?400?0 y2?16?25?1?

由??0，得b?±13，故y?3x的最大值為13，最小值為?13。???x?3cos???(0????)?，集合N?{(x，y)|y?x?b}

例6.若集合M??(x，y)????y?3sin???且M?N≠?，則b的取值范圍為。

分析：M?{(x，y)|x2?y2?9，0?y?1}，顯然，M表示以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

距為b，由圖形易知，欲使M?N≠?，即是使直線y?x?b與半圓有公共點(diǎn)，顯然b的最小逼近值為?3，最大值為32，即?3?b?32

x2y2??1上一點(diǎn)，它到其中一個焦點(diǎn)F1的距離為2，N為

例7.點(diǎn)M是橢圓2516MF1的中點(diǎn)，O表示原點(diǎn)，則|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2，（如圖），則|MF1|?|MF2|?2a，而a?5

|MF1|?2，∴|MF2|?8

又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn)，∴ON是△MF1F2的中位線，∴|ON|?11|MF2|?×8?4 2

2②若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復(fù)雜。

例8.已知復(fù)數(shù)z滿足|z?2?2i|?2，求z的模的最大值、最小值的范圍。

分析：由于|z?2?2i|?|z?(2?2i)|，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的

點(diǎn)到復(fù)數(shù)2+2i對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，因此滿足|z?(2?2i)|?2的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn) Z，在以(2，2)為圓心，半徑為2的圓上，(如下圖)，而|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的 點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離，顯然，當(dāng)點(diǎn)Z、圓心C、點(diǎn)O三點(diǎn)共線時，|z|取得最值，|z|min?2，|z|max?32，∴|z|的取值范圍為[2，32]

sinx?2的值域。

cosx?2sinx?2得ycosx?2y?sinx?2，解法一（代數(shù)法）：則y?cosx?

2例9.求函數(shù)y?x?ycosx??2y?2，y2?1sinx(??)??2y?2

sin

∴sin(x??)??2y?2y?12，而|sin(x??)|?1

?4?7?4?7?y? 3 ∴|?2y?2y2?1|?1，解不等式得

∴函數(shù)的值域?yàn)閇?4?7?4?7，] 33y?y1sinx?2 的形式類似于斜率公式y(tǒng)?2cosx?2x2?x

1解法二（幾何法）：y?

y?sinx?2表示過兩點(diǎn)P0(2，?2)，P(cosx，sinx)的直線斜率

cosx?2

由于點(diǎn)P在單位圓x2?y2?1上，如圖,顯然，kP0A?y?kP0B

設(shè)過P0的圓的切線方程為y?2?k(x?2)

則有|2k?2|k2?1?1，解得k??4±73即kP0A??4?7?4?7，kP0B?

33∴?4?7?4?7?4?7?4?7，] ?y?

∴函數(shù)值域?yàn)閇3333例10.求函數(shù)u?2t?4?6?t的最值。

分析：由于等號右端根號內(nèi)t同為t的一次式，故作簡單換元2t?4?m，無法 轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。

解：設(shè)x?2t?4，y?6?t，則u?x?y

且x2?2y2?16(0?x?4，0?y?22)

所給函數(shù)化為以u為參數(shù)的直線方程y??x?u，它與橢圓x2?2y2?16在 第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖）

umin?22

相切于第一象限時，u取最大值

?y??x?u22

?2?3x?4ux?2u?16?0 2?x?2y?16

解???，得u?±26，取u?26

∴umax?26

三、總結(jié)提煉

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。

四、強(qiáng)化訓(xùn)練

見優(yōu)化設(shè)計。【模擬試題】

一、選擇題：

1.方程lgx?sinx的實(shí)根的個數(shù)為（）

A.1個 B.2個

C.3個

D.4個

2.函數(shù)y?a|x|與y?x?a的圖象恰有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(1，??)

B.(?1，1)

D.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1]?[1，??)

3.設(shè)命題甲：0?x?3，命題乙：|x?1|?4，則甲是乙成立的（）

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

4.適合|z?1|?1且argz?

A.0個

?4的復(fù)數(shù)z的個數(shù)為（）

C.2個

D.4個 B.1個

5.若不等式x?a?x(a?0)的解集為{x|m?x?n}，且|m?n|?2a，則a的值為（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知復(fù)數(shù)z1?3?i，|z2|?2，則|z1?z2|的最大值為（）

A.10?

2B.5

C.2?10

2D.2?22

7.若x?(1，2)時，不等式(x?1)?logax恒成立，則a的取值范圍為（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定義在R上的函數(shù)y?f(x)在(??，2)上為增函數(shù)，且函數(shù)y?f(x?2)的圖象的對稱軸為x?0，則（）

A.f(?1)?f(3)

C.f(?1)?f(?3)

二、填空題：

9.若復(fù)數(shù)z滿足|z|?2，則|z?1?i|的最大值為___________。

210.若f(x)?x?bx?c對任意實(shí)數(shù)t，都有f(2?t)?f(2?t)，則f(1)、f(?3)、B.f(0)?f(3)D.f(2)?f(3)

f(4)由小到大依次為___________。

11.若關(guān)于x的方程x2?4|x|?5?m有四個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________。

12.函數(shù)y?x2?2x?2?x2?6x?13的最小值為___________。

13.若直線y?x?m與曲線y?1?x2有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________。

三、解答題：

14.若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。

15.若不等式4x?x2?(a?1)x的解集為A，且A?{x|0?x?2}，求a的取值范圍。

16.設(shè)a?0且a≠1，試求下述方程有解時k的取值范圍。

log((x?a)ax?ak)?loga222【試題答案】

一、選擇題

1.C

提示：畫出y?sinx，y?lgx在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。

2.D

提示：畫出y?a|x|與y?x?a的圖象

情形1：??a?0?a?1 a?1?

情形2：?

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條?a?0?a??1

?a??1件argz??，另外，點(diǎn)O對應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足argz??，故滿足44條件的z有兩個。

5.B

提示：畫出y?x?ay?x的圖象，依題意，m??a，n?a，a?a?a?a?0或2。

6.C

提示：由|z2|?2可知，z2對應(yīng)的點(diǎn)在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，而|z1?z2|?|z2?(?z1)|?|z2?(?3?i)|

表示復(fù)數(shù)z2與?3?i對應(yīng)的點(diǎn)的距離，結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為：

|PO|?r?(?3?0)2?(1?0)2?2?10?2

7.C

提示：令y1?(x?1)2，y2?logax，若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x?(1，2)時，從而

要使y1?y2，只需使loga2?(2?1)2，即a?2，綜上可知

當(dāng)1?a?2時，不等式(x?1)2?logax對x?(1，2)恒成立。

若0?a?1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)x?(1，2)時，不等式(x?1)2?logax恒不成立。

可見應(yīng)選C

8.A

提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，由f(x)在（??，2）上為增函數(shù)，可知，f(x)在(2，??)上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。

二、填空題：

9.2?2

提示：|Z|=2表示以原點(diǎn)為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)在圓O上運(yùn)動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與－1+i對應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。

由圖形，易知，該距離的最大值為2?2。

10.f(1)?f(4)?f(?3)

提示：由f(2?t)?f(2?t)知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，又f(x)?x2?bx?c為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f(1)、f(?3)、f(4)的大小。

11.m?(1，5)

提示：設(shè)y1?x2?4|x|?5y2?m，畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程x2?4|x|?5?m有四個不相等實(shí)根，只需使1?m?5

12.最小值為13

2提示：對x?2x?2?(x?1)??1?(x?1)2?(1?0)2，聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公

(x?3)2?(1?3)2表示點(diǎn)（x，2式，它表示點(diǎn)（x，1）到（1，0）的距離，x?6x?13?1）到點(diǎn)（3，3）的距離，于是y?x2?2x?2?x2?6x?13表示動點(diǎn)（x，1）到兩個定點(diǎn)（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得ymin?13。

13.m?(?2，?1]

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而y?1?x2則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距?m?[1，2)，即m?(?2，?1]。

三、解答題：

??x2?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0

14.解：原方程等價于? ??0?x?30?x?3???x2?4x?3?m???x2?3x?m?3?x?

令y1??x2?4x?3，y2?m，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫出它們的圖象，其中注意0?x?3，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0，3）上有唯一公共點(diǎn)時，原方程有唯一解，由下圖可見，當(dāng)m=1，或?3?m?0時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]?{1}。

注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。

15.解：令y1?4x?x2，y2?(a?1)x，其中y1?4x?x2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，y2?(a?1)x表示過原點(diǎn)的直線系，不等式4x?x2?(a?1)x的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對應(yīng)的x值。

由于不等式解集A?{x|0?x?2}

因此，只需要a?1?1，∴a?2

∴a的取值范圍為（2，+?）。

16.解：將原方程化為：loga(x?ak)?loga

∴x?ak?x2?a2，x2?a2，且x?ak?0，x2?a2?0

令y1?x?ak，它表示傾角為45°的直線系，y1?0

令y2?（a，0）的等軸雙曲線在x2?a2，它表示焦點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)為（－a，0）x軸上方的部分，y2?0

∵原方程有解，∴兩個函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，由下圖，知

?ak?a或?a??ak?0

∴k??1或0?k?1

∴k的取值范圍為(??，?1)?(0，1)

第五篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚(yáng)

責(zé)編：辛文升 熱點(diǎn)分析 高考動向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時應(yīng)設(shè)法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點(diǎn)，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析

類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

.選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時。

（2）當(dāng)a≤1時，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時，都

，時，對于給定的負(fù)數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

(2)當(dāng)

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，取最大值

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡化運(yùn)算。

解析：畫出

和的圖象，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時，兩圖象有兩個交點(diǎn)。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)

又直線，則過切點(diǎn)，即，得，解得切點(diǎn)，∴當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，即方程有兩個不等實(shí)根。

誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類問題時要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點(diǎn)：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個實(shí)根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個實(shí)根。

或時，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實(shí)根的和。

有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個不同的交點(diǎn)時，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點(diǎn)，即對應(yīng)方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設(shè)原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實(shí)根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實(shí)根的和為或。

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設(shè)頂點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動，使P點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個零點(diǎn)（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點(diǎn)B位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點(diǎn)C位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點(diǎn)P位于x軸上，為點(diǎn)，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點(diǎn).∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個零點(diǎn)間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的 則，選C。