第一篇：數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵與作用

數(shù)形結(jié)合思想方法的內(nèi)涵與作用

“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，這是華羅庚教授對數(shù)形結(jié)合思想的深刻、透徹的闡釋。具體地說，就是在解決數(shù)學(xué)問題時，根據(jù)問題的背景、數(shù)量關(guān)系、圖形特征，或使“數(shù)”的問題，借助于“形”去觀察；或?qū)ⅰ靶巍钡膯栴}，借助于“數(shù)”去思考，這種解決問題的思想稱為數(shù)形結(jié)合思想。

事實(shí)上，數(shù)形結(jié)合思想，就是用聯(lián)系的觀點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的圖形，并利用圖形的性質(zhì)和規(guī)律，解決“數(shù)”的問題；或?qū)D形的部分信息或全部信息轉(zhuǎn)換成“數(shù)”的信息，弱化或消除“形”的推理，從而將“形”的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來解決。

給“數(shù)”的問題以直觀圖形的描述，揭示出問題的幾何特征，就能變抽象為直觀；給“形”的問題以數(shù)的度量，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，更能從本質(zhì)上深刻認(rèn)識“形”的幾何屬性。

數(shù)形結(jié)合思想在課本中，具有突出的地位。比如：在集合運(yùn)算中的應(yīng)用。涉及集合的運(yùn)算，常常采用文氏圖，數(shù)軸等形象、直觀的方式；在研究函數(shù)時，已知函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，再通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；或通過圖、表的分析，抽象出變量之間的規(guī)律，再通過變量之間的規(guī)律的研究，進(jìn)一步掌握圖、表的變化趨勢；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)出適當(dāng)?shù)膱D形證明不等式和解不等式往往十分簡捷。

又如，笛卡兒用數(shù)形結(jié)合思想將長期對立的代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合，創(chuàng)立了數(shù)學(xué)的一大分支——解析幾何，構(gòu)建曲線與方程的理論，集中解決了兩大問題：已知曲線求方程和通過方程研究曲線的性質(zhì)。

下面舉例說明數(shù)形結(jié)合的奇妙。

例1：已知實(shí)數(shù) 滿足，求證：

d的幾何意義是直線 ： 的點(diǎn)與定點(diǎn)M（－2，－2）的距離，由點(diǎn)M到直線 的距離為，根據(jù)平面幾何的知識知，即。

例2：已知，且，求證：。

分析：要解決本題是很容易的，但我們從“形”的角度來認(rèn)識和解決這個問題是十分有趣的。記，那么d的幾何意義是在空間直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)O（0，0，0）到平面 上任意一點(diǎn)的距離。設(shè)平面 與空間直角坐標(biāo)系的x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A、B、C，則OA=OB=OC=1，那么正三棱錐O—ABC的側(cè)棱為1，側(cè)面的頂角均為90°（如圖）。由等體積法易得，點(diǎn)O到平面ABC（即平面）的距離為。“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的兩個基本對象，“數(shù)”，屬于數(shù)學(xué)抽象思維范疇，是人的左腦思維的產(chǎn)物;而“形”主要指幾何圖形，屬于形象思維范疇，是人的右腦思維的產(chǎn)物。利用“數(shù)形結(jié)合”方法能使“數(shù)”和“形”統(tǒng)一起來，借助于“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”、運(yùn)用“數(shù)”與“式”來細(xì)致、入微地刻畫“形”的特征，直觀與抽象相互配合，取長補(bǔ)短，從而順利、有效地解決問題。

“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”形象生動、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”思想的價(jià)值，也揭示了數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。

“數(shù)形結(jié)合”的方法就是把數(shù)學(xué)問題中的運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形與圖象結(jié)合起來進(jìn)行思考，從而使“數(shù)”與“形”各展其長，優(yōu)勢互補(bǔ)，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美的統(tǒng)一起來。

第二篇：如何課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法

如何課堂教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法很多其中數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合是通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過形象化的方法，轉(zhuǎn)化為圖形，從圖形中直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決問題。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，既能培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，又促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。下面就我在教學(xué)中如何滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法的做法和體會：

一、在觀察中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。觀察是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)，是學(xué)生獲取知識的開始。教師在低年級就應(yīng)該有意識地讓學(xué)生觀察數(shù)與形之間的聯(lián)系。如：如在教學(xué)進(jìn)位加法時，“42+58= ”我通過演示42根小棒加58根小棒兩次滿十進(jìn)一的過程使學(xué)生理解相同數(shù)位對齊、滿十進(jìn)一的道理。通過演示小棒的方法教學(xué)，2和8加起來時10，又是1捆，4捆加5捆再加剛剛的1捆是10捆，可以捆成一大捆即100。學(xué)生的整個觀察過程展現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在關(guān)系，幫助學(xué)生理解的進(jìn)位加法的意義。同時激發(fā)了學(xué)生的興趣。

二、在操作中滲透數(shù)形結(jié)合的思想。小學(xué)生思維以具體形象為主，教材為學(xué)生提供了許多實(shí)踐操作的機(jī)會，我們要重視學(xué)生操作，真正的放手讓學(xué)生操作。讓操作與思維聯(lián)系起來，讓知識在學(xué)生操作中產(chǎn)生。比如，低年級有一道題：“小兔從家出發(fā)，已經(jīng)走了52米，這時看到路標(biāo)上寫著離商店還有21米，小兔家離學(xué)校有多少米？”我發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生能列出52+21=73（米），但是他們不能清晰地解釋為什么要兩個數(shù)相加。于是教學(xué)時，先讓學(xué)生在作業(yè)本上用筆畫出整條路線，再用筆尖模仿小兔的行走路線到路邊的廣告牌時，停下別動。問學(xué)生：“離商店還有21米”是那一段？為什么52+21=73（米）的問題就迎刃而解了，重要的是學(xué)生在操作中體驗(yàn)領(lǐng)悟到了數(shù)形結(jié)合的思想。高年級解決問題的題型中，用線段圖幫助分析題意。例如：“小強(qiáng)每分鐘走65米，小麗每分鐘走70米，經(jīng)過4分鐘，兩人在校門口相遇，他們兩家相距多遠(yuǎn)？” 我讓學(xué)生畫出線段圖，通過畫線段圖幫助學(xué)生分析題中的數(shù)量關(guān)系，理清解題思路。從線段圖中，可以清楚地看到他們兩家相距的路程就是小強(qiáng)家到學(xué)校的路程加上小麗家到學(xué)校的路程。由于小強(qiáng)到學(xué)校用了4分鐘，即4個65米，就是65×4米。小麗到學(xué)校的路程用了4分鐘，每分鐘70米，即4個70米，就是70×4米，他們兩家的路程就是65×4＋70×4米；也可以這樣看：他們兩個同時走1分鐘的路程是（65＋70）米，同時走4分鐘的路程是（60＋70）×4米。通過了數(shù)形結(jié)合的思想方法，能輕松地讓學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系。我認(rèn)為老師要分階段、有目的地培養(yǎng)學(xué)生畫圖分析數(shù)量關(guān)系。如果從低年級到高年級，教師都注重培養(yǎng)學(xué)生分析已知條件和問題，從低年級的看圖、說圖意、畫基本簡單的線段圖，到中高年級畫稍為復(fù)雜的線段圖、較復(fù)雜的線段圖。學(xué)生的解題方法、解題能力都會得到提高。

通過數(shù)形結(jié)合，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的記憶。幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系、數(shù)學(xué)概念，使問題簡明直觀，甚至使一些較難的問題迎刃而解。既培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，又促進(jìn)邏輯思維能力的發(fā)展。

第三篇：學(xué)習(xí)心得數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合學(xué)習(xí)心得

低年段數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想很多。例如：在教學(xué)100以內(nèi)進(jìn)位加法時，我通過課件演示28根小棒加72根小棒兩次滿十進(jìn)一的過程使學(xué)生理解相同數(shù)位對齊、滿十進(jìn)一的道理。通過多媒體教學(xué)，既充分展現(xiàn)數(shù)與形之間的內(nèi)在關(guān)系，又激發(fā)了學(xué)生的好奇心和求知欲，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的興趣提供了可靠的保證。

又例如：在教學(xué)有余數(shù)的除法時，我是利用7根小棒來完成的教學(xué)的。首先出示7根小棒，問能拼成幾個三角形？要求學(xué)生用除法算式表示拼三角形的過程。像這樣，把算式形象化，學(xué)生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解算理。

再如：教學(xué)連除應(yīng)用題時，課一始，呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學(xué)生嘗試解決時，教師要求學(xué)生在正方形中表示出各種算式的意思。學(xué)生們經(jīng)過思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。

30÷2÷3，學(xué)生畫了右圖：平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。

30÷3÷2，學(xué)生畫了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。

30÷（3×2），學(xué)生畫了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

在教學(xué)中我要求學(xué)生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎(chǔ)上的演變和創(chuàng)造。因?yàn)檎叫问嵌S的，通過在二維圖中的表達(dá)，讓學(xué)生很容易地表達(dá)出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關(guān)系。通過數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學(xué)生理解。在教學(xué)實(shí)踐中，這樣的例子多不勝數(shù)。數(shù)形結(jié)合，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉(zhuǎn)化，發(fā)展學(xué)生的思維。數(shù)形結(jié)合是學(xué)生建構(gòu)知識的一個拐杖，有了這根拐杖，學(xué)生們才能走得更穩(wěn)、更好。

第四篇：高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識點(diǎn)及題型整理

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想．

恩格斯說：“純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

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分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點(diǎn)或一個最低點(diǎn)，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓個？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性以性識圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應(yīng)關(guān)系，熟知這些對應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢應(yīng)是越來越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大小．

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計(jì)算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設(shè)即

對應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時，解的個數(shù)是0；

當(dāng)a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當(dāng)0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；

當(dāng)a=4時，解的個數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過（外，過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，此時k取兩個不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動，求

是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

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故的最大值為，最小值為

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動點(diǎn)，則

其中的等號在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴(kuò)大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

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故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根（1）的個數(shù)：

（2）

（3）

2．無論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

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（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對值等于定長的點(diǎn)的軌跡，則這兩，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

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（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個（2）63個（3）2個

提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當(dāng)x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：鐵西區(qū)富工二街36號1門 電話：31688948 31801965 25769625

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12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)

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第五篇：高考數(shù)學(xué)思想方法專題講義3--數(shù)形結(jié)合的思想

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高考數(shù)學(xué)思想方法專題講義3－－數(shù)形結(jié)合的思想

1．設(shè)f(x)?1?x2，a，b?R，且a≠b，求證：f(a)?f(b)?a?b．

2．求下列函數(shù)的最值：（1）y（2）y?2x2?5x?4?2x2?2x?1的最小值； ?x2?2x?26?x2?6x?13的最大值．

p?4的實(shí)數(shù)p，使得x2?px?4x?p?3恒成立，求x的取值范圍． 3．對于滿足0?4．已知z?1，求u?2zi?5?4i的最值．

x2?4?a?1有相異實(shí)根的個數(shù)． 5．討論方程6．已知a?1，b?1，求證：a?b?1．

1?ab?q），求它的第p?q項(xiàng)和第p?q項(xiàng)．

． 7．已知等差數(shù)列的第p項(xiàng)為q，第q項(xiàng)為P（p8．求證：2a12?a2?b12?b22?a1?b1?a2?b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求證：tg10．設(shè)z?C，a?R，且az11．已知sin??sinBC1ctg?． 229?0，求證：z?a?z?a?z為純虛數(shù)．

??11，cos??cos??，求tg(???)． 43?2，求z?u2?4?v2?1的最小值． 12．已知u，v，是正數(shù)，且u?v13．求函數(shù)y?14．已知m?3(x?2)?8?x的值域．

n?0，求證：m2?n2?2mn?n2?m．

215設(shè)定點(diǎn)M（－3，4），動點(diǎn)N在圓x?y2?4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為兩邊作□MONP，求P點(diǎn)的軌跡．

表示兩曲線有公共點(diǎn)，求半徑r的最值． 22??x?4y?4,16．已知?222??(x?4)?y?rx2y2217．當(dāng)m，a，b滿足什么條件時，橢圓2?2?1（a?0，b?0）與拋物線y?x?m有四個交點(diǎn)？

ab數(shù)形結(jié)合的思想?yún)⒖即鸢?/p>

1．將，1?a2，1?b2分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構(gòu)造圖2－1．設(shè)Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，則 PA

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?1?a2．在Rt△POB中，OB＝b，則

PB?1?b2．在△PAB中，PA?PB?AB，于是可得f(a)?f(b)?a?b（當(dāng)a?b結(jié)論一樣成立）

2．（1）提示：配方得y55711?2((x?)2??(x?)2?)，可視為P（x，0）分別與A（441624，74），B（?1，2?1）這兩點(diǎn)的距離之和．由于A，B分別位于x軸的上方和下方，顯然當(dāng)P在A，B連線與x軸交點(diǎn)時PA?PB最短，最小值為22AB?230?272（2）提示：配方得y?(x?1)2?52?(x?3)2?22，可視為P（x，0）分別與A（－1，5），B（3，2）的距離之差的最大值，由于A，B位于x軸的同旁，由幾何知識知，P在AB與x軸交點(diǎn)的位置上，最大值為

AP?BP最大，?AB?5．AB，直線AB的方程為y?25?217?．令，y?0，得x?x?3?1?332．故點(diǎn)P位于（173，0）時，ymax3．原不等式整理成(x?1)P?(x?4x?3)>0，設(shè)f(b)?(x?1)p?(x2?4x?3)．可視為p的一次函數(shù)，由圖象

2?f(0)?0,??x?4x?3?0,?x?3或x??1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用?即?2?f(4)?0,??x?1?04．u5?2i?z?i?22，因此，u表示單位圓

（－2，－z?1上的點(diǎn)z與點(diǎn)A

52）的距離的2倍．由幾何知識知，AB，AC分別是最小值、最大值，即

umax?2AC?2(OA?OC)?41?2，umin?2AB?2(OA?OB)?41?2

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5．提示：在同一坐標(biāo)系中作出y同的根；當(dāng)a?x2?4和y?a?1的圖象如圖，從圖象可以看出：當(dāng)a??1，a?3時，方程有兩個不?3時，方程有三個不同的根；當(dāng)?1?a?3時，方程有四個不同的根；當(dāng)a??1時，方程沒有根

a?b?1a?b(a?1)(b?1)AP1?ab6．設(shè)數(shù)軸上三點(diǎn)A，P，B的坐標(biāo)分別為－1，1，則??＝．∵ a?1，?b?1，a?b1?ab(a?1)(b?1)PB1?1?ab∴ ??0．即P是AB的內(nèi)分點(diǎn)，于是?1?7．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana?ba?b?1即?1

1?ab1?ab，B（q，p）是平?a1?(n?1)，得點(diǎn)（n，an）在直線y?a1?(x?1)d上．設(shè)A（p，q）面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則AB的直線方程為y?q?p?q(x?p)，即y?p?q?x．∵

點(diǎn)（n，an）在an這條直線上，q?p∴ an?p?q?n．于是，ap?q?0，ap?q?2q

8．提示：設(shè)A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），則原式左邊＝9．如圖，以線段BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，∵

OA?OB?AB?AC?BC＝右邊

BC?10，AB?AC?8,∴

A（x0，y0）在雙曲線

．∵

55x2y2??1的右支上．從而，由焦半徑公式得AB?x0?4，AC?x0?444169ACcoCs?5?x0，＝ABcosB?5?x，∴

tgBC?ctg22

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BCBBCcos2sincos2cos22?222?2?sinB?1?cosC?BCBCC1?cosBsinCcossin2cos22sincos222225x0?4?5?x0x?114?0? 5x0?4?5?x09(x0?1)94sin?AC?ACcosCAB?ABcosB＝

10．在復(fù)平面內(nèi)，z，a，－a所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，∵

∴

A、B在實(shí)軸上．

z?0，故P不可能在坐標(biāo)原點(diǎn)，即AB的中點(diǎn)．又a?R，a?0，z?a?z?a?AP?BP?動點(diǎn)P的軌跡為線段AB的中垂線除去AB的中點(diǎn)?P點(diǎn)的軌跡為虛

16軸（除去原點(diǎn)）?z為純虛數(shù)．

11．設(shè)A（cos?，sin?），B（cos?，sin，則A，B在單位圓上，連結(jié)AB．若C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?），∠DOC＝，1），連結(jié)OC，則OC⊥AB．設(shè)D（1，0），連結(jié)OA，OB，則有∠DOA＝?，∠DOB＝?81???2tg24832∠DOC＝?，tg(???)? ?1472???1?tg26???2，tg

???2＝tg

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)（u，2），B（－v，－1），則

z?OA?OB?AB，而

u?v42AB?(u?v)2?(2?1)2?22?32?13，v?即z?13，等號成立條件u?v?2，?．即u?，2?133

時成立．故zmin

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?13

13．令x?2?t，原函數(shù)為y2?3t?10?t2（t?0），設(shè)v?y?3t，則

①??v??3t?y, ?2??v?10?t(t?0).方程①表示斜率為－3的直線，方程②表示四分之一圓．原問題轉(zhuǎn)化為過圓②上的點(diǎn)，求①中直線截距的取值范圍．如圖，過圓上

?3?0?y3?1．解得y?2∴ 10．的點(diǎn)（0，時，截距最小，ymin?10．當(dāng)直線與圓②相切時，其截距最大，即10?10）

② 10?y?210

14．如圖，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，則AC?∴ 又∵

m2?n2．∵

AC?BC?AB

m2?n2?n?m．

①

m?n?0，∴

mn?n2，2mn?2n2，2mn?n2?n2，即2mn?n2?n ②

由①、②知，m2?n2?2mn?n2?m

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16．如圖，設(shè)P點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為

x?yi，M所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為?3?4i，N所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，．即

z1?2．∵，∴ OP?OM?ON，∴ x?yi??3?4i?ziz1?(x?3)?(y?4)i，∵

z1?2(x?3)2?(y?4)2?4．但點(diǎn)M，O，N

46??x與x2?y2?4，解得x1?，358686868y1??；x2??，y2?．因此，所求軌跡為圓(x?3)2?(y?4)2?4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)（，?），（?，）5555555共線時，不能構(gòu)成平行四邊形，由y

x2217．將方程x?4y?4化為標(biāo)準(zhǔn)形式2?y?1，它表示中心在（0，0），長半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓．而

222方程(x?4)20）的同心圓系，如圖，可知當(dāng)2?r?6時，兩曲線有公共點(diǎn)．即rmax?6，rmin?2 ?y2?r2表示圓心在A（4，taoti.tl100.com 你的首選資源互助社區(qū)

?x2?x?m,b2b2?2222f(y)?y?y?m?b?0．要使兩曲線有四個交點(diǎn)，方程f(y)?0在（－18．由?x消去x，得y22aa?2?2?1,b?ab2b，b）內(nèi)有兩個不同的實(shí)根．由于函數(shù)f(y)為開口向上的拋物線，而對稱軸方程為y??2a2．因此，有

?b2?f(?2)?0,2a??b?2a2,22b?b?22??b??2?b,??b2即兩曲線有四個交點(diǎn)的充要條件為b?2a，且b??m?a?4a222a??b??m?a?2.4a??f(?b)?0,??f(b)?0