第一篇：2013高考沖刺2：數形結合

高考沖刺：數形結合熱點分析 高考動向

數形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優越性，而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數形結合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數形結合是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節作用。

具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創造了靈活運用數形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1．高考試題對數形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數圖象的應用；

（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。

2．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入參變數，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉化為熟悉的函數模型，利用函數圖象求解；

（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

4．常見的“以形助數”的方法有：

(1)借助于數軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

(2)借助于函數圖象、區域(如線性規劃)、向量本身的幾何背景；

(3)借助于方程的曲線，由方程代數式，聯想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數問題都有重要作用，應充分予以

重視。

5．常見的把數作為手段的數形結合：

主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經典例題透析

類型一：利用數形結合思想解決函數問題

1．已知的表達式。

思路點撥：依據函數定在，若的最小值記為，寫出的對稱軸與區間的位置關系，結合函數圖象確上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值。

解析：由于，所以拋物線的對稱軸為，開口向上，①當，即時，最小，即

在[t，t+1]上單調遞增（如圖①所示）。

∴當x=t時，②當，即時，在上遞減，在上遞增（如圖②）。

∴當時，最小，即。

③當，即時，在[t，t+1]上單調遞減（如圖③）。

∴當x=t+1時，最小，即，圖①

圖②

圖③

綜合①②③得。

總結升華：通過二次函數的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現了數形結合的優越性。應特別注意，對于二次函數在閉區間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區間的相對位置關系進行討論解決。首先確定其對稱軸與區間的位置關系，結合函數圖象確定在閉區間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。

舉一反三：

【變式1】已知函數

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即。

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

當x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設的單調區間；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如圖：

（1）的單調增區間：，；單調減區間：（1，2）

（2）當a≤1時，當

當，時。

【變式3】已知()

(1)若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

(2)當時，都有，時，對于給定的負數，有一個最大的正數，使得x∈[0, ]

|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

(1)若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設，∴區間[-2,2]在對稱軸的左外側或右外側，∴f(x)在[-2，2]上是單調函數，（這是不可能的）

(2)當，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當即，時（如圖1），則

所以是方程的較小根，即

(2)當

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

時,等號成立），（當且僅當

由于，因此當且僅當

時，取最大值

類型二：利用數形結合思想解決方程中的參數問題 2．若關于x的方程

有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當時，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

總結升華：

1．解決這類問題時要準確畫出函數圖象，注意函數的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩

個函數的圖象，由圖求解。

3．在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

③要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化,便于問題求解。

舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側看作兩個函數，利用函數圖象公共點的個數來確定方程根的個數。

設（x∈－1，1）

如圖：當內有1個實根。

或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程的取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數根，求實數m

解析：將原方程有兩個不同的

轉化為三角函數的圖象與直線

交點時，求a的范圍及α+β的值。

設，在同一坐標中作出這兩個函數的圖象

由圖可知，當

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為

或。

類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合解答

3．求函數的最大值和最小值

思路點撥：可變形為，故可看作是兩點和的連線斜率的解求解。

方法一：數形結合 如圖，倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數的有界性，反

可看作是單位圓上的動點，為圓外一點，由圖可知：

設直線的方程：，顯然，，解得，∴

方法二：令

，的幾何意義：

（1），總結升華：一些代數式所表示的幾何意義往往是解題的關鍵，故要熟練掌握一些代數式

表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；

（2）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；

（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。

舉一反三：

【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯想所求代數式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規劃的知識，則斜率

可看作可行域內的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。

第二篇：高考復習數形結合思想

數形結合

定義：數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

應用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。Ⅰ、再現題組：

1.設命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數且最小值為－5

B.增函數且最大值為－5 C.減函數且最小值為－5

D.減函數且最大值為－5

y?35.設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復數z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實數x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復數z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數有關的問題，即借助數軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數m的取值范圍。2z1例2.設|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數集，那么實數m的取值范圍是_________。6.設z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數a的取值范圍。

12.已知函數y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數解，求常數k的取值范圍。

第三篇：中考沖刺：數形結合問題(基礎)

中考沖刺：數形結合問題(基礎)

一、選擇題

1．（2016?棗莊）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個結論：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結論有（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

2.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲）然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）.那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積,可以驗證成立的公式為（）

A、B、C、D、二、填空題

3.實數a、b、c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子中正確的序號為____________.①b+c＞0

②a+b>a+c

③ac＜bc

④ab＞ac

4.（2016?通遼）如圖是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為直線x=﹣1，給出以下結論：

①abc＜0

②b2﹣4ac＞0

③4b+c＜0

④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）為函數圖象上的兩點，則y1＞y2

⑤當﹣3≤x≤1時，y≥0，其中正確的結論是（填寫代表正確結論的序號）______．

三、解答題

5.某醫藥研究所開發了一種新藥,在試驗藥效時發現,如果成人按規定劑量服用,那么2個小時時血液中含藥最高,達每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接著逐步衰減,10小時時血液中含藥量為每毫升3微克,每毫升血液中含藥量y(微克)隨時間x(小時)的變化如圖所示.當成人按規定劑量服藥后.（1）分別求出x≤2和x≥2時y與x的函數解析式；

（2）如果每毫升血液中含量為4微克或4微克以上時,在治療疾病時是有效的,那么這個有效時間有多長?

6．圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于

_____；

（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．①

______②_______；

（3）觀察圖2你能寫出下列三個代數式之間的等量關系嗎？

（4）運用你所得到的公式，計算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值．

（5）用完全平方公式和非負數的性質求代數式x2+2x+y2-4y+7的最小值．

7.為發展電信事業，方便用戶，電信公司對移動電話采取不同的收費方式，其中，所使用的“便民卡”與“如意卡”在某市范圍內每月（30天）的通話時間x（min）與通話費y（元）的關系如圖所示：

（1）分別求出通話費y1，y2與通話時間x之間的函數關系式；

（2）請幫用戶計算，在一個月內使用哪一種卡便宜．

8.（長寧區二模）如圖，一次函數y=ax﹣1（a≠0）的圖象與反比例函數y=（k≠0）的圖象相交于A、B兩點且點A的坐標為（2，1），點B的坐標（﹣1，n）．

（1）分別求兩個函數的解析式；

（2）求△AOB的面積．

9.請同學們仔細閱讀如圖所示的計算機程序框架圖，回答下列問題：

（1）如果輸入值為2，那么輸出值是多少？

（2）若要使輸入的x的值只經過一次運行就能輸出結果，求x的取值范圍；

（3）若要使開始輸入的x的值經過兩次運行才能輸出結果，那么x的取值范圍又是多少？

10.觀察如圖所包含規律（圖中三角形均是直角三角形，且一條直角邊始終為1，四邊形均為正方形．S1，S2，S3，…Sn依次表示正方形的面積，每個正方形邊長與它左邊相鄰的直角三角形斜邊相等），再回答下列問題．

（1）填表：

直角邊

A1B1

A2B2

A3B3

A4B4

…

AnBn

長度

…

（2）當s1+s2+s3+s4+…+sn=465時，求n．

11.某報社為了了解讀者對該報社一種報紙四個版面的認可情況，對讀者做了一次問卷凋查，要求讀者選出自己最喜歡的一個版面，并將調查結果繪制成如下的統計圖，請你根據圖中提供的信息解答下列問題．

（1）在這次活動中一共調查了多少讀者？

（2）在扇形統計圖中，計算第一版所在扇形的圓心角度數；

（3）請你求出喜歡第四版的人數，并將條形統計圖補充完整．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1．【答案】C；

【解析】∵二次函數y=ax2+bx+c圖象經過原點，∴c=0，∴abc=0∴①正確；

∵x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正確；

∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正確；

∵二次函數y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正確；

綜上可得，正確結論有3個：①③④．

2．【答案】D；

二、填空題

3．【答案】②③④；

4．【答案】②③⑤；

【解析】由圖象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①錯誤．

∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故②正確．

∵拋物線對稱軸為x=﹣1，與x軸交于A（﹣3，0），∴拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正確．

∵B（，y1）、C（，y2）為函數圖象上的兩點，點C離對稱軸近，∴y1＜y2，故④錯誤，由圖象可知，﹣3≤x≤1時，y≥0，故⑤正確．

∴②③⑤正確.三、解答題

5．【答案與解析】

解：

（1）當x≤2時，設y=kx，把（2，6）代入上式，得k=3，∴x≤2時，y=3x；

當

x≥2時，設y=kx+b，把（2，6），（10，3）代入上式，得

k=，b=

∴x≥2時，y=x+

（2）把y=4代入y=3x，得x1=

把y=4代入y=x+

得x2=

則x2-x1=6（小時）．

答：這個有效時間為6小時．

6．【答案與解析】

解：

（1）由圖可知，陰影部分小正方形的邊長為：m-n；

（2）根據正方形的面積公式，陰影部分的面積為（m-n）2，還可以表示為（m+n）2-4mn；

（3）根據陰影部分的面積相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；

（4）∵mn=-2，m-n=4，∴（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；

（5）x2+2x+y2-4y+7，=x2+2x+1+y2-4y+4+2，=（x+1）2+（y-2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2≥2，∴當x=-1，y=2時，代數式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2．

故答案為：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．（4）8

（5）

最小值是2.7.【答案與解析】

解：

（1）設y1=kx+b，將（0，29），（30，35）代入，解得k=，b=29，∴y1=x+29，又24×60×30=43200（min）（屬于隱含條件）

∴y1=x+29

（0≤x≤43200），同樣求得y2=x

(0≤x≤43200)；

（2）當y1=y2時，x+29=x，x=；

當y1＜y2時，x+29＜x，x＞．

所以，當通話時間等于min時，兩種卡的收費一致，當通話時間小于?min時，“如意卡便宜”，當通話時間大于?min時，“便民卡”便宜．

8.【答案與解析】

解：（1）一次函數y=ax﹣1（a≠0）的圖象與反比例函數y=（k≠0）的圖象相交于A、B兩點且點A的坐標為（2，1），解得

一次函數的解析式是y=x﹣1，反比例函數的解析式是y=；

（2）當x=0時，y=﹣1，S三角形AOB=|﹣1|×2+|﹣1|×|﹣1|

=1+

=．

9.【答案與解析】

解：

（1）依據題中的計算程序列出算式：3×2+1，∵3×2+1=7，7＜9，∴應該按照計算程序繼續計算，3×7+1=22＞9，∴如果輸入值為2，那么輸出值是22．

（2）依題意，有3x+1＞9，解得

x＞；

（3）依題意，有

解得＜x≤.10.【答案與解析】

解：

（1），直角邊

A1B1

A2B2

A3B3

A4B4

…

AnBn

長度

…

（2）S1=（）2=2，S2=（）2=3，S3=22=4，S4=（）2=5，……..Sn=（）2=n+1；

由

s1+s2+s3+s4+…+sn=465可得：1+2+3+4+5+…+n=465，(1+n)

×n=465

解得：n=-31（不合題意舍去）或n=30，故：

n=30．

11.【答案與解析】

解：

（1）這次活動中一共調查了500÷10%=5000（人）；

（2）第一版所在扇形的圓心角度數=360°×（1-20%-40%-10%）=108°；

（3）喜歡第四版的人數是：5000×20%=1000（人），如下圖所示：

第四篇：中考沖刺：數形結合問題(提高)

中考沖刺：數形結合問題(提高)

一、選擇題

1．（2016?黃岡模擬）如圖1為深50cm的圓柱形容器，底部放入一個長方體的鐵塊，現在以一定的速度向容器內注水，圖2為容器頂部離水面的距離y（cm）隨時間t（分鐘）的變化圖象，則（）

A．注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水

B．放人的長方體的高度為30cm

C．該容器注滿水所用的時間為21分鐘

D．此長方體的體積為此容器的體積的2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅圖像分別表示變量之間的關系，請按圖像所給順序，將下面的①、②、③、④對應順序.①

小車從光滑的斜面上滑下(小車的速度與時間的關系)

②

一個彈簧不掛重物到逐漸掛重物(彈簧長度與所掛重物的重量的關系)

③

運動員推出去的鉛球(鉛球的高度與時間的關系)

④

小楊從A到B后，停留一段時間，然后按原速度返回(路程與時間的關系)

正確的順序是

（）

A．③④②①

B．①②③④　　　C．②③①④

D．④①③②

二

填空題

3.如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點P沿直線AB從右向左移動，當出現點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點距離相等時，就會發出警報，則直線AB上會發出警報的點P有______個.4.（2015秋?江陰市期中）如圖1，圓的周長為4個單位．在該圓的4等分點處分別標上字母m、n、p、q．如圖2，先將圓周上表示p的點與數軸原點重合，然后將該圓沿著數軸的負方向滾動，則數軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是______．

5.（2016?鄂州一模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發，點P沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒，設P、Q同時出發t秒時，△BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數關系圖象如圖（2），當t=____________時，△ABE與△BQP相似．

三、解答題

6.將如圖所示的長方體石塊（a＞b＞c）放入一圓柱形水槽內，并向水槽內勻速注水，速度為v?cm3/s，直至注滿水槽為止．石塊可以用三種不同的方式完全放入水槽內，如圖所示．

在這三種情況下,水槽內的水深h（cm）與注水時間?t（s）的函數關系如上圖1-6所示,根據圖象完成下列問題

（1）請分別將三種放置方式的示意圖和與之相對應的函數關系圖象用線連接起來；

（2）水槽的高h=______cm；石塊的長a=______cm；寬b=______cm；高c=______cm；

（3）求圖5中直線CD的函數關系式；

（4）求圓柱形水槽的底面積S．

7.在數學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計如圖1所示的幾何圖形．

（1）請你利用這個幾何圖形求的值為_______；

（2）請你利用圖2，再設計一個能求的值的幾何圖形．

8.（2015秋?北京校級期中）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B是y軸正半軸上一個定點，D是BO的中點．點C在x軸上，A在第一象限，且滿足AB=AO，N是x軸負半軸上一點，∠BCN=∠BAO=α．

（1）當點C在x軸正半軸上移動時，求∠BCA；（結果用含α的式子表示）

（2）當某一時刻A（20，17）時，求OC+BC的值；

（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，α=______，此時

以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數的所有可能值有______．（直接寫出結果）

9．閱讀材料，解答問題．

利用圖象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

解：設y=x2﹣2x﹣3，則y是x的二次函數．∵a=1＞0，∴拋物線開口向上．

又∵當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∴由此得拋物線y=x2﹣2x﹣3的大致圖象如圖所示．

觀察函數圖象可知：當x＜﹣1或x＞3時，y＞0．

∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．

（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是　_________　；

（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0（畫出草圖）.10．（1）夜晚，小明在路燈下散步．已知小明身高1.5米，路燈的燈柱高4.5米．①如圖1，若小明在相距10米的兩路燈AB、CD之間行走（不含兩端），他前后的兩個影子長分別為FM=x米，FN=y米，試求y與x之間的函數關系式，并指出自變量x的取值范圍？

②有言道：形影不離．其原意為：人的影子與自己緊密相伴，無法分離．但在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的！如圖2，若小明在燈柱PQ前，朝著影子的方向（如圖箭頭），以0.8米/秒的速度勻速行走，試求他影子的頂端R在地面上移動的速度．

（2）我們知道，函數圖象能直觀地刻畫因變量與自變量之間的變化關系．相信，大家都聽說過龜兔賽跑的故事吧．現有一新版龜兔賽跑的故事：由于兔子上次比賽過后不服氣，于是單挑烏龜再來另一場比賽，不過這次路線由烏龜確定…比賽開始，在同一起點出發，按照規定路線，兔子飛馳而出，極速奔跑，直至跑到一條小河邊，遙望著河對岸的終點，兔子呆坐在那里，一時不知怎么辦．過了許久，烏龜一路跚跚而來，跳入河中，以比在陸地上更快的速度游到對岸，抵達終點，再次獲勝．根據新版龜兔賽跑的故事情節，請在同一坐標系內（如圖3），畫出烏龜、兔子離開終點的距離s與出發時間t的函數圖象示意圖（實線表示烏龜，虛線表示兔子）.答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】設AB的解析式為y=k1t+b1，BC的解析式為y=k2t+b2，由題意得，解得：，∴y=，A、當0≤t≤3時，注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水，當3＜t≤21時，注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水；

B、由圖象知，那樣放置在圓柱體容器內的長方體的高為50﹣30=20cm；

C、令y=0，則﹣x+35=0，解得：x=21，∴該容器注滿水的時間為21秒．

D、設每秒鐘的注水量為mcm3．

則下底面中未被長方體覆蓋部分的面積是：m÷=（cm2），圓柱體的底面積為：m÷=cm2．

二者比為：=1：4，∴長方體底面積：圓柱體底面積=3：4．

∵圓柱高：長方體高=20：50=2：5，∴長方體體積：圓柱體體積=6：20=3：10，∴圓柱體的體積為長方體容器體積的；

故選C．

2.【答案】A；

二、填空題

3.【答案】5.【解析】如圖，分別以一頂點為定點，連接其與另一頂點的連線，在此圖形中根據平行線分線段成比例定理

可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，根據垂直平分線的性質及正六邊形的性質可知,相互平行的一組線段的垂直平分線相等，在這五組

平行線段

中AE、BD與AB垂直，其中垂直平分線必與AB平行，故無交點．

故直線

AB上會發出警報的點P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分線與直線AB的交點，共五個．

4.【答案】m

【解析】∵由題意可得，q、m、n、p第一次在數軸上對應的點為﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，即每四個為一個循環，∴2014÷4=503…2

∴數軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是m．

故答案為：m．

5.【答案】秒；

【解析】由圖象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，∵△ABE與△BQP相似，∴點E只有在CD上，且滿足=，∴=，∴CQ=．

∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4﹣）=．

三、解答題

6.【答案與解析】

（1）（1）圖1與圖4相對應，圖2與圖6相對應，圖3與圖5相對應；

（2）10；

a=10；

b=9；

c=6.（3）由題意可知C點的坐標為（45，9），D點的坐標為（53，10），設直線CD的函數關系式為h=kt+b，∴

解得

∴直線CD的函數關系式為h=；

（4）石塊的體積為abc=540cm3，根據圖4和圖6可得：.解得S=160（cm2）.7.【答案與解析】

（1）設總面積為：1，最后余下的面積為：，故幾何圖形的值為：的值為.故答案為：.8.【答案與解析】

解：（1）過A分別作AM⊥BC于E，AF⊥x軸于F，則∠AMB=∠AFO=90°，設AO與BC交于點P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，∴∠ABP=∠COP，即∠ABM=∠AOF，在△ABM和△AOF中，∴△ABM≌△AOF（AAS），∴AM=AF，∴CA平分∠BCF，∴．

∵∠BCN=α，∴∠BCM=180°﹣α，∴；

（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，∴BM=OF，CM=CF，∵OC+BC=OC+BM+CM，∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，∵A（20，17），∴OF=20，∴OC+BC=40；

（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，∵x軸與y軸垂直，∴α=90°，此時

以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數的所有可能值有∠AED=45°或135°．

故答案為：90°；45°或135°．

9．【答案與解析】

解：（1）-1＜x＜3；

（2）設y=x2-1，則y是x的二次函數，∵a=1＞0，∴拋物線開口向上．

又

∵當y=0時，x2-1=0，解得

x1=-1，x2=1．

∴由此得拋物線y=x2-1的大致圖象如圖所示．

觀察函數圖象可知：當

x＜-1或x＞1時，y＞0．

∴x2-1＞0的解集是：x＜-1或x＞1．

10.【答案與解析】

解：（1）∵EF∥AB，∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．

∴△MEF∽△MAB．

①?===．

∴=，MB=3x

BF=3x-x=2x．

同理，DF=2y．

∵BD=10，∴2x+2y=10，∴y=-x+5，∵當EF接近AB時，影長FM接近0；

當EF接近CD時，影長FM接近5，∴0＜x＜，②如圖2所示，設運動時間為t秒，則EE′=FF′=0.8t,∵EF∥PQ,∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP,∴△REF∽△RPQ,∴

∴

∵EE′∥RR′,∴∠PEE＇=∠PRR＇，∠PE′E=∠PR′R,∴△PEE′∽△PRR′,∴

∴

∴RR＇=1.2t

∴.（2）如圖3所示．

第五篇：學習心得數形結合

數形結合學習心得

低年段數學中的數形結合思想很多。例如：在教學100以內進位加法時，我通過課件演示28根小棒加72根小棒兩次滿十進一的過程使學生理解相同數位對齊、滿十進一的道理。通過多媒體教學，既充分展現數與形之間的內在關系，又激發了學生的好奇心和求知欲，為培養學生數形結合的興趣提供了可靠的保證。

又例如：在教學有余數的除法時，我是利用7根小棒來完成的教學的。首先出示7根小棒，問能拼成幾個三角形？要求學生用除法算式表示拼三角形的過程。像這樣，把算式形象化，學生看到算式就聯想到圖形，看到圖形能聯想到算式，更加有效地理解算理。

再如：教學連除應用題時，課一始，呈現了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學生嘗試解決時，教師要求學生在正方形中表示出各種算式的意思。學生們經過思考交流，呈現了精彩的答案。

30÷2÷3，學生畫了右圖：平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。

30÷3÷2，學生畫了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。

30÷（3×2），學生畫了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

在教學中我要求學生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎上的演變和創造。因為正方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學生很容易地表達出了小猴的只數、吃的天數與桃子個數之間的關系。通過數形結合，讓抽象的數量關系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學生理解。在教學實踐中，這樣的例子多不勝數。數形結合，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形聯系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數和形之間的內在聯系，實現抽象概念和具體形象、表象之間的轉化，發展學生的思維。數形結合是學生建構知識的一個拐杖，有了這根拐杖，學生們才能走得更穩、更好。