第一篇：〓高考物理 〓難點25 數形結合思想與圖象法解題

難點25 數形結合思想與圖象法解題 數形結合是一種重要的數學思想方法，在物理解題中有著廣泛的應用，圖象法解題便是一例.在高考命題中屢次滲透考查.●難點磁場

1.（★★★）(1999年全國高考)為了安全，在公路上行駛的汽車之間應保持必要的距離.已知某高速公路的最高限速v＝120 km／ｈ.假設前方車輛突然停止，后車司機從發現這一情況，經操縱剎車，到汽車開始減速所經歷的時間(即反應時間)t＝0/.50ｓ.剎車時汽車受到的阻力大小f為汽車重力的0.40倍.該高速公路上汽車間的距離ｓ至少應為多少?（取重力加速２度g＝10 m/s.）

2.（★★★★）一列簡諧橫波，在t=0時刻的波形如圖25-1所示，自右向左傳播，已知在t1=0.7 s時，P點出現第二次波峰（0.7 s內P點出現兩次波峰），Q點的坐標是（-7，0），則以下判斷中正確的是

A.質點A和質點B在t=0時刻的位移是相等的

B.在t=0時刻，質點C向上運動 C.在t2=0.9 s末，Q點第一次出現波峰 D.在t3=1.26 s末，Q點第一次出現波峰

圖25-1 ●案例探究 ［例1］（★★★★）一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊，設木塊對子彈的阻力恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小

C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短 命題意圖：考查對物理過程的綜合分析能力及運用數學知識靈活處理物理問題的能力.B級要求.錯解分析：考生缺乏處理問題的靈活性，不能據子彈與木塊的作用過程作出v-t圖象，來作出分析、推理和判斷.容易據常規的思路依牛頓第二定律和運動學公式去列式求解，使計算復雜化，且易出現錯誤判斷.解題方法與技巧：子彈以初速v0穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向都受恒力作用，子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25-2中實線所示，圖中OA、圖25-2 v0B分別表示子彈穿過木塊過程中木塊、子彈的運動圖象，而圖中梯形OABv0的面積為子彈相對木塊的位移即木塊長l.當子彈入射速度增大變為v0′時，子彈、木塊的運動圖象便如圖25-2中虛線所示，梯形OA′B′v0′的面積仍等于子彈相對木塊的位移即木塊長l，故梯形OABv0與梯形OA′B′v0′的面積相等，由圖可知，當子彈入射速度增加時，木塊獲得的動能變小，子彈穿過木塊的時間變短，所以本題正確答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法測一節干電池的電動勢和內電阻，伏安圖象如圖25-3所示，根據圖線回答：（1）干電池的電動勢和內電阻各多大？

（2）圖線上a點對應的外電路電阻是多大？電源此時內部熱耗功率是多少？

（3）圖線上a、b兩點對應的外電路電阻之比是多大？對應的輸出功率之比是多大？

（4）在此實驗中，電源最大輸出功率是多大？

命題意圖：考查考生認識、理解并運用物理圖象的能力.B級要求.圖25-3 錯解分析：考生對該圖象物理意義理解不深刻.無法據特殊點、斜率等找出E、r、R，無法結合直流電路的相關知識求解.解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應識圖（從對應值、斜率、截面、面積、橫縱坐標代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1.5 V，斜率表內阻，外阻為圖線上某點縱坐標與橫坐標比值；當電源內外電阻相等時，電源輸出功率最大.（1）開路時（I=0）的路端電壓即電源電動勢，因此E=1.5 V，內電阻r==0.2 Ω

也可由圖線斜率的絕對值即內阻，有r=

U1.02.51.5?1.02.5EI短=

1.57.5 Ω

Ω=0.2 Ω

（2）a點對應外電阻Ra=

aIa= Ω=0.4 Ω

此時電源內部的熱耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面積差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）電阻之比：RaRb=

1.0/2.50.5/5.0=

輸出功率之比：PaPb=

1.0?2.50.5?5.0=

11（4）電源最大輸出功率出現在內、外電阻相等時，此時路端電壓U=E/2，干路電流 I=I短/2，因而最大輸出功率P當然直接用P也可以求出此值.●錦囊妙計

數形結合是一種重要的數學方法，其應用大致可分為兩種情況：或借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系.圖象法解題便是一例.由于圖象在中學物理中有著廣泛應用：（1）能形象地表述物理規律；（2）能直觀地描述物理過程；（3）鮮明地表示物理量之間的相互關系及變化趨勢.所以有關以圖象及其運用為背景的命題，成為歷屆高考考查的熱點，它要求考生能做到三會：（1）會識圖：認識圖象，理解圖象的物理意義；（2）會做圖：依據物理現象、物理過程、物理規律作出圖象，且能對圖象變形或轉換；（3）會用圖：能用圖象分析實驗，用圖象描述復雜的物理過程，用圖象法來解決物理問題.出m

出m

=

1.52×

7.52 W=2.81 W =E/4r計算或由對稱性找乘積IU（對應于圖線上的面積）的最大值，2通常我們遇到的圖象問題可以分為圖象的選擇、描繪、變換、分析和計算，以及運用圖象法求解物理問題幾大類：

（1）求解物理圖象的選擇（可稱之為“選圖題”）類問題可用“排除法”.即排除與題目要求相違背的圖象，留下正確圖象；也可用“對照法”，即按照題目要求畫出正確草圖，再與選項對照解決此類問題的關鍵就是把握圖象特點、分析相關物理量的函數關系或物理過程的變化規律.（2）求解物理圖象的描繪（可稱之為“作圖題”）問題的方法是，首先和解常規題一樣，仔細分析物理現象，弄清物理過程，求解有關物理量或分析其與相關物理量間的變化關系，然后正確無誤地作出圖象.在描繪圖象時，要注意物理量的單位，坐標軸標度的適當選擇及函數圖象的特征等.（3）處理有關圖象的變換問題，首先要識圖，即讀懂已知圖象表示的物理規律或物理過程，然后再根據所求圖象與已知圖象的聯系，進行圖象間的變換.（4）在定性分析物理圖象時，要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，要區分圖象中相關物理量的正負值物理意義，要注意分析各段不同函數形式的圖線所表征的物理過程.要弄清圖象物理意義，借助有關的物理概念、公式、定理和定律作出分析判斷，而對物理圖象定量計算時，要搞清圖象所揭示的物理規律或物理量間的函數關系，要善于挖掘圖象中的隱含條件.明確有關圖線所包圍的面積、圖象在某位置的斜率（或其絕對值）、圖線在縱軸和橫軸上的截距所表示的物理意義.根據圖象所描繪的物理過程，運用相應的物理規律計算求解.（5）在利用圖象法求解物理問題（可稱之為“用圖題”）時，要根據題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理間的代數關系轉化為幾何關系、運用圖象直觀、簡明的特點，分析解決物理問題.●殲滅難點訓練 1.（★★★）一列橫波在t=0時刻的波形如圖25-4中實線所示，在t=1 ｓ時刻的波形如圖中虛線所示.由此可以判定此波的

A.波長一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ

C.振幅一定是2 cm D.傳播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如圖25-5所示，豎直放置的螺線管與導線abcd構成回路，導線所圍區域內有一垂直紙面向里的勻強磁場，螺線管下方水平桌面上有一導體圓環，導線abcd所圍區域內磁場的磁感應強度按圖25-6中哪一種圖線隨時間變化時，導體圓環將受到向上的磁場力

圖25-5 圖25-4

圖25-6

3.（★★★★★）如圖25-7所示電路中，S是閉合的，此時流過線圈L的電流為i1，流過燈泡A的電流為i2，且i1＞i2，在t1時刻將S斷開，那么流過燈泡的電流隨時間變化的圖象是圖25-8中的哪一個

圖25-7

圖25-8

4.（★★★★）如圖25-9所示，作入射光線AB的折射光線.圖25-9

5.（★★★★）如圖25-10，一水平飛行的子彈恰能穿過用輕質銷釘銷住，并置于光滑水平面上的A、B兩木塊，且木塊B獲得的動能為Ek1.若拔去銷釘C，仍讓這顆子彈水平射入A、B兩木塊，木塊B獲得的動能為Ek2，則

A.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2

圖25-10 B.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 C.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 D.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s豎直上拋一個小球A，經時間Δt后又以初速度vB= 20 m/s豎直上拋另一個小球B.為了使兩球在空中相遇（取g=10 m/s2），試分析Δt應滿足什么條件.難點25 數形結合思想與圖象法解題

［難點磁場］ 1.1.6×102 m 2.BC ［殲滅難點訓練］ 1.AC 2.CD 3.D 4.如圖25′-1

圖25′-1 圖25′-2

5.拔去銷釘前，子彈剛好穿過木塊，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25′-2所示，三角形OCv的面積即為AB木塊總長度.拔去銷釘后，木塊AB先一起向右加速，設經過時間t′后子彈進入木塊B，子彈進入木塊B后，木塊B的加速度比拔去銷釘前的加速度大，故木塊B的運動圖象如圖中OA、AB所示.從圖中不難看出：拔去銷釘后，子彈與木塊B能達到共同速度vB2，相對A和B的總路程為四邊形OABv的面積，由于vB2＞vB1，四邊形OABv的面積小于三角形OCv的面積，故子彈不能穿過B木塊，且Ek1＜Ek2，應選B.6.兩球在空中運動的時間分別為：

tA=2vAg2vBg=8(s）

tB==4(s）

圖25′-3 根據定性畫出的h-t圖象（如圖25′-3）可以看出：兩球在空中相遇，即h-t圖線交點的縱坐標不為0的條件為 ： tA＞Δt＞tA-tB

8s＞Δt＞4 s

第二篇：09高考物理數形結合思想與圖象法解題

3eud教育網 http://www.tmdps.cn 2.（★★★★）一列簡諧橫波，在t=0時刻的波形如圖25-1所示，自右向左傳播，已知在t1=0.7 s時，P點出現第二次波峰（0.7 s內P點出現兩次波峰），Q點的坐標是（-7，0），則以下判斷中正確的是

A.質點A和質點B在t=0時刻的位移是相等的 B.在t=0時刻，質點C向上運動 C.在t2=0.9 s末，Q點第一次出現波峰 D.在t3=1.26 s出現波峰

●案例探究

［例1］（★★★★）一顆速度較大的子彈，水平擊穿原來靜止在光滑水平面上的木塊，設木塊對子彈的阻力恒定，則當子彈入射速度增大時，下列說法正確的是

A.木塊獲得的動能變大

B.木塊獲得的動能變小 C.子彈穿過木塊的時間變長

D.子彈穿過木塊的時間變短

命題意圖：考查對物理過程的綜合分析能力及運用數學知識靈活處理物理問題的能力.B3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！

末，Q點第一次

圖25-1 3eud教育網 http://www.3edu.net 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

級要求.錯解分析：考生缺乏處理問題的靈活性，不能據子彈與木塊的作用過程作出v-t圖象，來作出分析、推理和判斷.容易據常規的思路依牛頓第二定律和運動學公式去列式求解，使計算復雜化，且易出現錯誤判斷.解題方法與技巧：子彈以初速v0穿透木塊過程中，子彈、木塊在水平方向都受恒力作用，子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運動，子彈、木塊運動的圖25-2 v-t圖如圖25-2中實線所示，圖中OA、v0B分別表示子彈穿過木塊過程中木塊、子彈的運動圖象，而圖中梯形OABv0的面積為子彈相對木塊的位移即木塊長l.當子彈入射速度增大變為v0′時，子彈、木塊的運動圖象便如圖25-2中虛線所示，梯形OA′B′v0′的面積仍等于子彈相對木塊的位移即木塊長l，故梯形OABv0與梯形OA′B′v0′的面積相等，由圖可知，當子彈入射速度增加時，木塊獲得的動能變小，子彈穿過木塊的時間變短，所以本題正確答案是B、D.［例2］（★★★★）用伏安法測一節干電池的電動勢和內電阻，伏安圖象如圖25-3所示，根據圖線回答：

（1）干電池的電動勢和內電阻各多大？

（2）圖線上a點對應的外電路電阻是多大？電源此時內部熱耗功率是多少？

（3）圖線上a、b兩點對應的外電路電阻之比是多大？對應的輸出功率之比是多大？

（4）在此實驗中，電源最大輸出功率是多大？

命題意圖：考查考生認識、理解并運用物理圖象的能力.B級要求.錯解分析：考生對該圖象物理意義理解不深刻.無法據特殊點、斜率等找出E、r、R，無法結合直流電路的相關知識求解.解題方法與技巧：利用題目給予圖象回答問題，首先應識圖（從對應值、斜率、截面、面積、橫縱坐標代表的物理量等），理解圖象的物理意義及描述的物理過程：由U-I圖象知E=1.5 V，斜率表內阻，外阻為圖線上某點縱坐標與橫坐標比值；當電源內外電阻相等時，電源輸出功率最大.（1）開路時（I=0）的路端電壓即電源電動勢，因此E=1.5 V，內電阻r=

圖25-3

E1.5= ΩI短7.5=0.2 Ω

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也可由圖線斜率的絕對值即內阻，有r=

1.5?1.0 Ω=0.2 Ω 2.5（2）a點對應外電阻Ra=

Ua1.0= Ω=0.4 Ω Ia2.5此時電源內部的熱耗功率Pr=Ia2r=2.52×0.2=1.25 W，也可以由面積差求得Pr=IaE-IaUa=2.5×(1.5-1.0)W=1.25 W（3）電阻之比：Ra1.0/2.54== Rb0.5/5.01輸出功率之比：Pa1.0?2.51== Pb0.5?5.01（4）電源最大輸出功率出現在內、外電阻相等時，此時路端電壓U=E/2，干路電流 I=I短/2，因而最大輸出功率P出m=

1.57.5× W=2.81 W 22當然直接用P出m=E2/4r計算或由對稱性找乘積IU（對應于圖線上的面積）的最大值，也可以求出此值.●錦囊妙計

數形結合是一種重要的數學方法，其應用大致可分為兩種情況：或借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或借助于形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系.圖象法解題便是一例.由于圖象在中學物理中有著廣泛應用：（1）能形象地表述物理規律；（2）能直觀地描述物理過程；（3）鮮明地表示物理量之間的相互關系及變化趨勢.所以有關以圖象及其運用為背景的命題，成為歷屆高考考查的熱點，它要求考生能做到三會：（1）會識圖：認識圖象，理解圖象的物理意義；（2）會做圖：依據物理現象、物理過程、物理規律作出圖象，且能對圖象變形或轉換；（3）會用圖：能用圖象分析實驗，用圖象描述復雜的物理過程，用圖象法來解決物理問題.通常我們遇到的圖象問題可以分為圖象的選擇、描繪、變換、分析和計算，以及運用圖象法求解物理問題幾大類：

（1）求解物理圖象的選擇（可稱之為“選圖題”）類問題可用“排除法”.即排除與題目要求相違背的圖象，留下正確圖象；也可用“對照法”，即按照題目要求畫出正確草圖，再與選項對照解決此類問題的關鍵就是把握圖象特點、分析相關物理量的函數關系或物理過程的變化規律.（2）求解物理圖象的描繪（可稱之為“作圖題”）問題的方法是，首先和解常規題3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網 http://www.3edu.net 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

一樣，仔細分析物理現象，弄清物理過程，求解有關物理量或分析其與相關物理量間的變化關系，然后正確無誤地作出圖象.在描繪圖象時，要注意物理量的單位，坐標軸標度的適當選擇及函數圖象的特征等.（3）處理有關圖象的變換問題，首先要識圖，即讀懂已知圖象表示的物理規律或物理過程，然后再根據所求圖象與已知圖象的聯系，進行圖象間的變換.（4）在定性分析物理圖象時，要明確圖象中的橫軸與縱軸所代表的物理量，要區分圖象中相關物理量的正負值物理意義，要注意分析各段不同函數形式的圖線所表征的物理過程.要弄清圖象物理意義，借助有關的物理概念、公式、定理和定律作出分析判斷，而對物理圖象定量計算時，要搞清圖象所揭示的物理規律或物理量間的函數關系，要善于挖掘圖象中的隱含條件.明確有關圖線所包圍的面積、圖象在某位置的斜率（或其絕對值）、圖線在縱軸和橫軸上的截距所表示的物理意義.根據圖象所描繪的物理過程，運用相應的物理規律計算求解.（5）在利用圖象法求解物理問題（可稱之為“用圖題”）時，要根據題意把抽象的物理過程用圖線表示出來，將物理間的代數關系轉化為幾何關系、運用圖象直觀、簡明的特點，分析解決物理問題.●殲滅難點訓練

1.（★★★）一列橫波在t=0時刻的波形如圖25-4中實線所示，在t=1 ｓ時刻的波形如圖中虛線所示.由此可以判定此波的

A.波長一定是4 cm B.周期一定是4 ｓ C.振幅一定是2 cm D.傳播速度一定是1 cm/s 2.（★★★★）如圖25-5所示，豎直放置的螺線管與導線abcd構成回路，導線所圍區域內有一垂直紙面向里的勻強磁場，螺線管下方水平桌面上有一導體圓環，導線abcd所圍區域內磁場的磁感應強度

圖25-5 按圖25-6中哪一種圖線隨時間變化時，導體圓環將受到向上的磁場力

圖25-4

圖25-6 3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網 http://www.3edu.net 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

3.（★★★★★）如圖25-7所示電路中，S是閉合的，此時流過線圈L的電流為i1，流過燈泡A的電流為i2，且i1＞i2，在t1時刻將S斷開，那么流過燈泡的電流隨時間變化

圖25-7 的圖象是圖25-8中的哪一個

圖25-8

4.（★★★★）如圖25-9所示，作入射光線AB的折射光線.5.（★★★★）如圖25-10，一水平飛行的子彈恰能穿過用輕質銷釘銷住，并置于光滑水平面上的A、B兩木塊，且木塊B獲得的動能

圖25-10 為Ek1.若拔去銷釘C，仍讓這顆子彈水平射入A、B兩木塊，木塊B獲得的動能為Ek2，則

A.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 B.子彈不能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2 C.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＞Ek2 D.子彈仍能穿過木塊B，且Ek1＜Ek2

6.（★★★★★）以初速度vA=40 m/s豎直上拋一個小球A，經時間Δt后又以初速度vB= 20 m/s豎直上拋另一個小球B.為了使兩球在空中相遇（取g=10 m/s2），試分析Δt應滿足什么條件.圖25-9

3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網 http://www.3edu.net 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

參考答案

［難點展臺］ 1.1.6×102 m 2.BC ［殲滅難點訓練］ 1.AC 2.CD 3.D 3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！3eud教育網 http://www.3edu.net 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

4.如圖25′-1

5.拔去銷釘前，子彈剛好穿過木塊，子彈、木塊運動的v-t圖如圖25′-2所示，三角形OCv的面積即為AB木塊總長度.拔去銷釘后，木塊AB先一起向右加速，設經過時間t′后子彈進入木塊B，子彈進入木塊B后，木塊B的加速度比拔去銷釘前的加速度大，故木塊B的運動圖象如圖中OA、AB所示.從圖中不難看出：拔去銷釘后，子彈與木塊B能達到共同速度vB2，相對A和B的總路程為四邊形OABv的面積，由于vB2＞vB1，四邊形OABv的面積小于三角形OCv的面積，故子彈不能穿過B木塊，且Ek1＜Ek2，應選B.6.兩球在空中運動的時間分別為： tA=

圖25′-1

圖25′-2 2vA=8(s）

g2vB=4(s）g圖25′-3 tB=根據定性畫出的h-t圖象（如圖25′-3）可以看出：兩球在空中相遇，即h-t圖線交點的縱坐標不為0的條件為 ： tA＞Δt＞tA-tB

8s＞Δt＞4 s 3eud教育網 http://www.3edu.net 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！

第三篇：高考數學解題方法數形結合

高考數學解題方法（數形結合）

一、知識整合

1．數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。

2．實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。

如等式(x?2)2?(y?1)2?4

3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。

4．數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野。

二、例題分析

k的取值范圍。

例1.若關于x的方程x?2kx?3k?0的兩根都在?1和3之間，求

分析：令f(x)?x?2kx?3k，其圖象與x軸交點的橫坐標就是方程f(x)?0 22f(3)?0，的解，由y?f(x)的圖象可知，要使二根都在?13，之間，只需f(?1)?0，f(?b)?f(?k)?0同時成立，解得?1?k?0，故k?(?1，0)2a

例2.解不等式x?2?x

解：法

一、常規解法：

?x?0?

原不等式等價于(I)?x?2?0?x?2?x2??x?0或(II)?

?x?2?0

解(I)，得0?x?2；解(II)，得?2?x?0

綜上可知，原不等式的解集為{x|?2?x?0或0?x?2}?{x|?2?x?2}

法

二、數形結合解法：

令y1?x?2，y2?x，則不等式x?2?x的解，就是使y1?x?2的圖象

在y2?x的上方的那段對應的橫坐標，如下圖，不等式的解集為{x|xA?x?xB}

而xB可由x?2?x，解得，xB?2，xA??2，故不等式的解集為{x|?2?x?2}。

例3.已知0?a?1，則方程a|x|?|logax|的實根個數為（A.1個 B.2個

C.3個

D.1個或2個或3個)

分析：判斷方程的根的個數就是判斷圖象y?a|x|與y?|logax|的交點個數，畫 出兩個函數圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。

例4.如果實數x、y滿足(x?2)?y?3，則22y的最大值為(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x?2)?y?3有明顯的幾何意義，它表坐標平面上的一個圓，圓心為(2，0)，半徑r?3，(如圖)，而yy?0?則表示圓上的點(x，y)與坐 xx?0標原點(0，0)的連線的斜率。如此以來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點A

在以(2，0)為圓心，以3為半徑的圓上移動，求直線OA的斜率的最大值，由圖 可見，當∠A在第一象限，且與圓相切時，OA的斜率最大，經簡單計算，得最

大值為tg60°?3

x2y2??1，求y?3x的最大值與最小值

例5.已知x，y滿足1625x2y2??1下求最值問題，常采用

分析：對于二元函數y?3x在限定條件1625構造直線的截距的方法來求之。

令y?3x?b，則y?3x?b，x2y2??1上求一點，使過該點的直線斜率為3，原問題轉化為：在橢圓162

5且在y軸上的截距最大或最小，x2y2??1相切時，有最大截距與最小

由圖形知，當直線y?3x?b與橢圓1625截距。

?y?3x?b?

?x2?169x2?96bx?16b2?400?0 y2?16?25?1?

由??0，得b?±13，故y?3x的最大值為13，最小值為?13。???x?3cos???(0????)?，集合N?{(x，y)|y?x?b}

例6.若集合M??(x，y)????y?3sin???且M?N≠?，則b的取值范圍為。

分析：M?{(x，y)|x2?y2?9，0?y?1}，顯然，M表示以(0，0)為圓心，以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截

距為b，由圖形易知，欲使M?N≠?，即是使直線y?x?b與半圓有公共點，顯然b的最小逼近值為?3，最大值為32，即?3?b?32

x2y2??1上一點，它到其中一個焦點F1的距離為2，N為

例7.點M是橢圓2516MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①設橢圓另一焦點為F2，（如圖），則|MF1|?|MF2|?2a，而a?5

|MF1|?2，∴|MF2|?8

又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，∴ON是△MF1F2的中位線，∴|ON|?11|MF2|?×8?4 2

2②若聯想到第二定義，可以確定點M的坐標，進而求MF1中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復雜。

例8.已知復數z滿足|z?2?2i|?2，求z的模的最大值、最小值的范圍。

分析：由于|z?2?2i|?|z?(2?2i)|，有明顯的幾何意義，它表示復數z對應的

點到復數2+2i對應的點之間的距離，因此滿足|z?(2?2i)|?2的復數z對應點 Z，在以(2，2)為圓心，半徑為2的圓上，(如下圖)，而|z|表示復數z對應的 點Z到原點O的距離，顯然，當點Z、圓心C、點O三點共線時，|z|取得最值，|z|min?2，|z|max?32，∴|z|的取值范圍為[2，32]

sinx?2的值域。

cosx?2sinx?2得ycosx?2y?sinx?2，解法一（代數法）：則y?cosx?

2例9.求函數y?x?ycosx??2y?2，y2?1sinx(??)??2y?2

sin

∴sin(x??)??2y?2y?12，而|sin(x??)|?1

?4?7?4?7?y? 3 ∴|?2y?2y2?1|?1，解不等式得

∴函數的值域為[?4?7?4?7，] 33y?y1sinx?2 的形式類似于斜率公式y?2cosx?2x2?x

1解法二（幾何法）：y?

y?sinx?2表示過兩點P0(2，?2)，P(cosx，sinx)的直線斜率

cosx?2

由于點P在單位圓x2?y2?1上，如圖,顯然，kP0A?y?kP0B

設過P0的圓的切線方程為y?2?k(x?2)

則有|2k?2|k2?1?1，解得k??4±73即kP0A??4?7?4?7，kP0B?

33∴?4?7?4?7?4?7?4?7，] ?y?

∴函數值域為[3333例10.求函數u?2t?4?6?t的最值。

分析：由于等號右端根號內t同為t的一次式，故作簡單換元2t?4?m，無法 轉化出一元二次函數求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。

解：設x?2t?4，y?6?t，則u?x?y

且x2?2y2?16(0?x?4，0?y?22)

所給函數化為以u為參數的直線方程y??x?u，它與橢圓x2?2y2?16在 第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）

umin?22

相切于第一象限時，u取最大值

?y??x?u22

?2?3x?4ux?2u?16?0 2?x?2y?16

解???，得u?±26，取u?26

∴umax?26

三、總結提煉

數形結合思想是解答數學試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發揮著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。

四、強化訓練

見優化設計。【模擬試題】

一、選擇題：

1.方程lgx?sinx的實根的個數為（）

A.1個 B.2個

C.3個

D.4個

2.函數y?a|x|與y?x?a的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（）

A.(1，??)

B.(?1，1)

D.(??，?1)?(1，??)

C.(??，?1]?[1，??)

3.設命題甲：0?x?3，命題乙：|x?1|?4，則甲是乙成立的（）

A.充分不必要條件

C.充要條件

B.必要不充分條件 D.不充分也不必要條件

4.適合|z?1|?1且argz?

A.0個

?4的復數z的個數為（）

C.2個

D.4個 B.1個

5.若不等式x?a?x(a?0)的解集為{x|m?x?n}，且|m?n|?2a，則a的值為（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知復數z1?3?i，|z2|?2，則|z1?z2|的最大值為（）

A.10?

2B.5

C.2?10

2D.2?22

7.若x?(1，2)時，不等式(x?1)?logax恒成立，則a的取值范圍為（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定義在R上的函數y?f(x)在(??，2)上為增函數，且函數y?f(x?2)的圖象的對稱軸為x?0，則（）

A.f(?1)?f(3)

C.f(?1)?f(?3)

二、填空題：

9.若復數z滿足|z|?2，則|z?1?i|的最大值為___________。

210.若f(x)?x?bx?c對任意實數t，都有f(2?t)?f(2?t)，則f(1)、f(?3)、B.f(0)?f(3)D.f(2)?f(3)

f(4)由小到大依次為___________。

11.若關于x的方程x2?4|x|?5?m有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為___________。

12.函數y?x2?2x?2?x2?6x?13的最小值為___________。

13.若直線y?x?m與曲線y?1?x2有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是___________。

三、解答題：

14.若方程lg(?x2?3x?m)?lg(3?x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范圍。

15.若不等式4x?x2?(a?1)x的解集為A，且A?{x|0?x?2}，求a的取值范圍。

16.設a?0且a≠1，試求下述方程有解時k的取值范圍。

log((x?a)ax?ak)?loga222【試題答案】

一、選擇題

1.C

提示：畫出y?sinx，y?lgx在同一坐標系中的圖象，即可。

2.D

提示：畫出y?a|x|與y?x?a的圖象

情形1：??a?0?a?1 a?1?

情形2：?

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應的復數滿足條?a?0?a??1

?a??1件argz??，另外，點O對應的復數O，因其輻角是多值，它也滿足argz??，故滿足44條件的z有兩個。

5.B

提示：畫出y?x?ay?x的圖象，依題意，m??a，n?a，a?a?a?a?0或2。

6.C

提示：由|z2|?2可知，z2對應的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，而|z1?z2|?|z2?(?z1)|?|z2?(?3?i)|

表示復數z2與?3?i對應的點的距離，結合圖形，易知，此距離的最大值為：

|PO|?r?(?3?0)2?(1?0)2?2?10?2

7.C

提示：令y1?(x?1)2，y2?logax，若a>1，兩函數圖象如下圖所示，顯然當x?(1，2)時，從而

要使y1?y2，只需使loga2?(2?1)2，即a?2，綜上可知

當1?a?2時，不等式(x?1)2?logax對x?(1，2)恒成立。

若0?a?1，兩函數圖象如下圖所示，顯然當x?(1，2)時，不等式(x?1)2?logax恒不成立。

可見應選C

8.A

提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在（??，2）上為增函數，可知，f(x)在(2，??)上為減函數，依此易比較函數值的大小。

二、填空題：

9.2?2

提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復數Z對應的點在圓O上運動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復數Z與－1+i對應的兩點的距離。

由圖形，易知，該距離的最大值為2?2。

10.f(1)?f(4)?f(?3)

提示：由f(2?t)?f(2?t)知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又f(x)?x2?bx?c為二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知f(1)、f(?3)、f(4)的大小。

11.m?(1，5)

提示：設y1?x2?4|x|?5y2?m，畫出兩函數圖象示意圖，要使方程x2?4|x|?5?m有四個不相等實根，只需使1?m?5

12.最小值為13

2提示：對x?2x?2?(x?1)??1?(x?1)2?(1?0)2，聯想到兩點的距離公

(x?3)2?(1?3)2表示點（x，2式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，x?6x?13?1）到點（3，3）的距離，于是y?x2?2x?2?x2?6x?13表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得ymin?13。

13.m?(?2，?1]

提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而y?1?x2則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距?m?[1，2)，即m?(?2，?1]。

三、解答題：

??x2?3x?m?0??x2?3x?m?0???3?x?0

14.解：原方程等價于? ??0?x?30?x?3???x2?4x?3?m???x2?3x?m?3?x?

令y1??x2?4x?3，y2?m，在同一坐標系內，畫出它們的圖象，其中注意0?x?3，當且僅當兩函數的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當m=1，或?3?m?0時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]?{1}。

注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數圖象的直觀性研究方程的解的情況。

15.解：令y1?4x?x2，y2?(a?1)x，其中y1?4x?x2表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，y2?(a?1)x表示過原點的直線系，不等式4x?x2?(a?1)x的解即是兩函數圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。

由于不等式解集A?{x|0?x?2}

因此，只需要a?1?1，∴a?2

∴a的取值范圍為（2，+?）。

16.解：將原方程化為：loga(x?ak)?loga

∴x?ak?x2?a2，x2?a2，且x?ak?0，x2?a2?0

令y1?x?ak，它表示傾角為45°的直線系，y1?0

令y2?（a，0）的等軸雙曲線在x2?a2，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）x軸上方的部分，y2?0

∵原方程有解，∴兩個函數的圖象有交點，由下圖，知

?ak?a或?a??ak?0

∴k??1或0?k?1

∴k的取值范圍為(??，?1)?(0，1)

第四篇：高考復習數形結合思想

數形結合

定義：數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面。

應用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。Ⅰ、再現題組：

1.設命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數f(x)在區間[3,7]上是增函數且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數且最小值為－5

B.增函數且最大值為－5 C.減函數且最小值為－5

D.減函數且最大值為－5

y?35.設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復數z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實數x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復數z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數有關的問題，即借助數軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數m的取值范圍。2z1例2.設|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數集，那么實數m的取值范圍是_________。6.設z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數a的取值范圍。

12.已知函數y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數解，求常數k的取值范圍。

第五篇：高考數學專題復習：數形結合思想

高考沖刺：數形結合

編稿：林景飛

審稿：張揚

責編：辛文升 熱點分析 高考動向

數形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優越性，而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數形結合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數形結合是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節作用。

具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創造了靈活運用數形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1．高考試題對數形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數圖象的應用；

（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。

2．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入參變數，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉化為熟悉的函數模型，利用函數圖象求解；

（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數”的方法有：

（1）借助于數軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數圖象、區域(如線性規劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數式，聯想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數問題都有重要作用，應充分予

以重視。

5．常見的把數作為手段的數形結合：

主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經典例題透析

類型一：利用數形結合思想解決函數問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數.∴

舉一反三：

【變式1】已知函數

.選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

當x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設的單調區間；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如圖：

（1）的單調增區間：

，；單調減區間：（1，2）

時。

（2）當a≤1時，當

當

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當]時，都

，時，對于給定的負數，有一個最大的正數，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設，∴區間[-2,2]在對稱軸的左外側或右外側，∴f(x)在[-2，2]上是單調函數，（這是不可能的）

（2）當，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

(2)當

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當且僅當

時，等號成立），由于，因此當且僅當時，取最大值

類型二：利用數形結合思想解決方程中的參數問題 2．若關于x的方程有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當時，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

總結升華：

1．解決這類問題時要準確畫出函數圖象，注意函數的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩

個函數的圖象，由圖求解。

3．在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

③要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側看作兩個函數，利用函數圖象公共點的個數來確定方程根的個數。

設（x∈－1，1）

如圖：當內有1個實根。

或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數根，求實數m的解析：將原方程

與直線

轉化為三角函數的圖象

有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。

設，在同一坐標中作出這兩個函數的圖象

由圖可知，當

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。

類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設頂點，則函數的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負方向滾動，使P點落在x軸上的點，此點即是函數的一個零點（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點B位于x軸上，頂點P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點C位于x軸上，頂點P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 函數的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯想所求代數式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規劃的知識，則斜率

可看作可行域內的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。