第一篇：2013高考數學(理)一輪復習教案：第二篇 函數與基本初等函數Ⅰ第7講 函數圖象
幻燈片1
第7講 函數圖象
幻燈片2
【2013年高考會這樣考】 1．考查函數圖象的識辨． 2．考查函數圖象的變換． 3．利用函數圖象研究函數性質或求兩函數的圖象的交點個數． 【復習指導】 函數圖象是研究函數性質、方程、不等式的重要工具，是數形結合的基礎，是高考考查的熱點，復習時，應重點掌握幾種基本初等函數的圖象，并在審題、識圖上多下功夫，學會分析“數”與“形”的結合點，把幾種常見題型的解法技巧理解透徹．
幻燈片3
基礎梳理
1．圖象變換法(1)平移變換 ①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向(＋)或向(－)平移 單位而得到． ②豎直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的圖象，可由y＝f(x)的圖象向(＋)或向(－)平移 單位而得到．
左
右
a個
上
下 b個
幻燈片4
(2)對稱變換 ①y＝f(－x)與y＝f(x)的圖象關于 對稱． ②y＝－f(x)與y＝f(x)的圖象關于 對稱． ③y＝－f(－x)與y＝f(x)的圖象關于 對稱． 由對稱變換可利用y＝f(x)的圖象得到y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象．
y軸
x軸
原點
幻燈片5
①作出y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y＝|f(x)|的圖象； ②作出y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關于y軸對稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象． ①作出y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y＝|f(x)|的圖象； ②作出y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關于y軸對稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象．
幻燈片6(3)伸縮變換 ①y＝af(x)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)圖象上每點的縱坐標伸(a＞1時)或縮(a＜1時)到原來的a倍，橫坐標不變． ②y＝f(ax)(a＞0)的圖象，可將y＝f(x)的圖象上每點的橫坐標伸1(a＜1時)或縮(a＞1時)到原來的倍，縱坐標不變． a(4)翻折變換 ①作為y＝f(x)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到上方，其余部分不變，得到y＝|f(x)|的圖象； ②作為y＝f(x)在y軸上及y軸右邊的圖象部分，并作y軸右邊的圖象關于y軸對稱的圖象，即得y＝f(|x|)的圖象．
幻燈片7
2．等價變換 例如：作出函數y＝1－x2的圖象，可對解析式等價變形 ?y≥0?22y＝1－x??1－x≥0?y2＝1－x2? ??y≥0??22??y＝1－x ?x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函數的圖象為半圓．此過程可歸納為：(1)寫出函數解析式的等價組；(2)化簡等價組；(3)作圖．
幻燈片8 3．描點法作圖 方法步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數的解析式；(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數的圖象．
幻燈片9
一條主線 數形結合的思想方法是學習函數內容的一條主線，也是高考考查的熱點．作函數圖象首先要明確函數圖象的形狀和位置，而取值、列表、描點、連線只是作函數圖象的輔助手段，不可本末倒置．
幻燈片10
兩個區別(1)一個函數的圖象關于原點對稱與兩個函數的圖象關于原點對稱不同，前者是自身對稱，且為奇函數，后者是兩個不同的函數對稱．(2)一個函數的圖象關于y軸對稱與兩個函數的圖象關于y軸對稱也不同，前者也是自身對稱，且為偶函數，后者也是兩個不同函數的對稱關系．
幻燈片11 三種途徑 明確函數圖象形狀和位置的方法大致有以下三種途徑．(1)圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換．(2)函數解析式的等價變換．(3)研究函數的性質．
幻燈片12
雙基自測 x＋31．(人教A版教材習題改編)為了得到函數y＝lg10的圖象，只需把函數y＝lg x的圖象上所有的點()． A．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度 C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度 x＋3解析 y＝lg＝lg(x＋3)－1可由y＝lg x的圖象向左平移3個10單位長度，向下平移1個單位長度而得到． 答案 C
幻燈片13
2．(2011·安徽)若點(a，b)在y＝lg x圖象上，a≠1，則下列點也在此圖象上的是()． ?1?A.?a，b? ?? B．(10a,1－b)D．(a2,2b)?10?C.?a，b＋1? ??解析 本題主要考查對數運算法則及對數函數圖象，屬于簡單題．當x＝a2時，y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以點(a2,2b)在函數y＝lg x圖象上． 答案 D
幻燈片14 13．函數y＝1－的圖象是()． x－1
幻燈片15
－1解析 將y＝的圖象向右平移1個單位，再向上平移一個單x1位，即可得到函數y＝1－的圖象． x－1答案 B
幻燈片16
14．(2011·陜西)函數y＝x3的圖象是()． 解析 該題考查冪函數的圖象與性質，解決此類問題首先是考慮函數的性質，尤其是奇偶性和單調性，再與函數y＝x比較即可． 111由(－x)3＝－x3知函數是奇函數．同時由當0＜x＜1時，x3＞x，1當x＞1時，x＜x，知只有B選項符合． 3答案 B
幻燈片17
5．已知圖①中的圖象對應的函數為y＝f(x)，則圖②的圖象對應的函數為()． A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)解析 ??f?－x?，x≥0，y＝f(－|x|)＝???f?x?，x＜0.答案 C
幻燈片18
考向一 作函數圖象 【例1】?分別畫出下列函數的圖象：(1)y＝|lg x|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1； x＋2(4)y＝.x－1[審題視點] 象． 根據函數性質通過平移，對稱等變換作出函數圖
幻燈片19
解 ??lg x(1)y＝???－lg x ?x≥1?，圖象如圖①.?0＜x＜1?.(2)將y＝2x的圖象向左平移2個單位．圖象如圖②.2??x－2x－1(3)y＝?2??x＋2x－1 ?x≥0?.圖象如圖③.?x＜0? 33(4)因y＝1＋，先作出y＝的圖象，將其圖象向右平移1個xx－1x＋2單位，再向上平移1個單位，即得y＝的圖象，如圖④.x－1
幻燈片20
(1)熟練掌握幾種基本函數的圖象，如二次函數、反1比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如y＝x＋x的函數；(2)掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．
幻燈片21
【訓練1】 作出下列函數的圖象：(1)y＝2x1－1； ＋(2)y＝sin|x|；(3)y＝|log2(x＋1)|.解(1)y＝2x1－1的圖象可由y＝2x的圖象向左平移1個單位，＋得y＝2x＋1的圖象，再向下平移一個單位得到y＝2x＋1－1的圖象，如圖①所示．
幻燈片22
(2)當x≥0時，y＝sin|x|與y＝sin x的圖象完全相同，又y＝sin|x|為偶函數，其圖象關于y軸對稱，如圖②所示．(3)首先作出y＝log2x的圖象c1，然后將c1向左平移1個單位，得到y＝log2(x＋1)的圖象c2，再把c2在x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即為所求圖象c3：y＝|log2(x＋1)|.如圖③所示(實線部分)．
幻燈片23
考向二 函數圖象的識辨 【例2】?函數f(x)＝1＋log2x與g(x)＝21x在同一直角坐標系下－的圖象大致是()． [審題視點] 在同一個坐標系中判斷兩個函數的圖象，可根據 函數圖象上的特征點以及函數的單調性來判斷．
幻燈片24 解析 f(x)＝1＋log2x的圖象由函數f(x)＝log2x的圖象向上平移一個單位而得到，所以函數圖象經過(1,1)點，且為單調增函數，顯然，A項中單調遞增的函數經過點(1,0)，而不是(1,1)，故不滿足； 函數g(x)＝21－x＝2×?1???x，其圖象經過(0,2)點，且為單調減函?2?數，B項中單調遞減的函數與y軸的交點坐標為(0,1)，故不滿足；D項中兩個函數都是單調遞增的，故也不滿足． 綜上所述，排除A，B，D.故選C.答案 C
幻燈片25
函數圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復． 利用上述方法，排除、篩選錯誤與正確的選項．
幻燈片26 【訓練2】(2010·山東)函數y＝2x－x2的圖象大致是()． 解析 當x＞0時，2x＝x2有兩根x＝2,4；當x＜0時，根據圖象法易得到y＝2x與y＝x2有一個交點，則y＝2x－x2在R上有3個零點，故排除B、C；當x→－∞時，2x→0.而x2→＋∞，故y＝2x－x2＜0，故選A.答案 A
幻燈片27
考向三 函數圖象的應用 【例3】?已知函數f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函數f(x)的單調區間，并指出其增減性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四個不相等的實根}． [審題視點] 作出函數圖象，由圖象觀察． 幻燈片28
?解f(x)＝???x－2?2 －1，x∈?－∞，1]∪[3，＋∞??－?x－2?2＋1，x∈?1，3?，作出圖象如圖所示．(1)遞增區間為[1,2]和[3，＋∞)，遞減區間為(－∞，1]和[2,3]．(2)由圖象可知，y＝f(x)與y ＝m圖象，有四個不同的交點，則0＜m＜1，∴集合M＝{m|0＜m＜1}．
幻燈片29
?，(1)從圖象的左右分布，分析函數的定義域；從圖象的上下分布，分析函數的值域；從圖象的最高點、最低點，分析函數的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數的單調性、周期性等．(2)利用函數的圖象可解決方程和不等式的求解問題，比如判斷方程是否有解，有多少個解？數形結合是常用的思想方法．
幻燈片30
【訓練3】(2010·湖北)若直線y＝x＋b與曲線y＝3－4x－x2有公共點，則b的取值范圍是()． A．[－1,1＋22] B．[1－22，1＋22] C．[1－22，3] D．[1－2，3] 解析 在同一坐標系下畫出曲線y＝3－4x－x2(注：該曲線是以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓不在直線y＝3上方的部分)與
幻燈片31
直線y＝x的圖象，平移該直線，結合圖形分析可知，當直線沿y軸正方向平移到點(0,3)的過程中的任何位置相應的直線與曲線y＝3－4x－x2都有公共點；注意到與y＝x平行且過點(0,3)的直線的方程是y＝x＋3；當直線y＝x＋b與以點C(2,3)為圓心、2為半徑的圓相切時(圓不在直線y＝3上方的部分)，有|2－3＋b|＝2，b＝1－22.結合圖形可知，滿足題意的只有C選2項． 答案 C
幻燈片32
難點突破5——高考中函數圖象的考查題型
涉及函數圖象的知識點在高考中的考查形式主要有三種類型：
一、由解析式選配圖象 解決時需要從定義域、值域、奇偶性、單調性等方面綜合考查，有時也可以根據特殊情況(如特殊點、特殊位置)進行分析．
幻燈片33
x【示例】?(2011·山東)函數y＝2－2sin x的圖象大致是()．
幻燈片34
幻燈片35
二、圖象平移問題 一般地，平移按“左加右減，上正下負”進行函數式的變換． 【示例】?(2011·鄭州模擬)若函數f(x)＝kax－ax(a＞0且a≠1)－在(－∞，＋∞)上既是奇函數又是增函數，則g(x)＝loga(x＋k)的圖象是()．
幻燈片36
幻燈片37
三、圖象對稱問題 【示例】?(2011·廈門質檢)函數y＝log2|x|的圖象大致是()．
幻燈片38
單擊此處進入
活頁限時訓練
第二篇：示范教案(第2章 函數概念與基本初等函數Ⅰ 2.3.2)
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2.3.2 對數函數
整體設計
教材分析
對數函數是我們學習了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、指數函數等最簡單的函數后，在新的知識平臺上系統研究的又一類基本初等函數.對數函數的有關知識是以對數概念和運算法則、換底公式作為基礎知識來學習的.對數函數的圖象是對照指數函數的圖象，運用計算機(器)描繪出來的，通過比較分析來研究對數函數的性質，對數函數的教學可利用類比指數函數的教學進行.對數函數的概念是通過一個關于細胞分裂次數的實際問題提出的，這說明對數函數的概念來自于實踐，便于學生接受，但在教學中，學生往往容易忽略定義域，因此，要結合指數式強調說明對數函數的定義域.本章節教學的重點是對數函數的圖象和性質、會求簡單對數函數的定義域、值域.在研究對數函數的時候，底數的取值范圍對圖象的影響(即單調性的影響)是本節的一個教學難點，因此在教學過程中可以通過指數函數的的圖象對比著學習，加強學生數形結合的思想.在比較系統的學習對數函數的定義、圖象和性質的基礎上，利用對數函數的圖象和性質研究一些含有對數式的、形式上比較復雜的函數的圖象和性質、復合函數的奇偶性、單調性也成為本節的教學難點.三維目標
1.理解對數函數的概念，能正確描繪和辨別對數函數的圖象.2.掌握對數函數的性質及簡單應用.3.通過對數函數的概念、圖象和性質的學習，使學生分清指數函數和對數函數這兩類基本的初等函數在研究方法上的異同之處.使學生體會到知識之間的有機聯系以及蘊含在其中的數學思想和方法.4.通過對數函數的有關性質的研究，加深對對數函數和指數函數的性質的理解，深化學生對函數圖象變化規律的理解，培養學生觀察、分析、歸納的思維能力以及數學交流能力.5.通過對數函數的學習，樹立相互聯系、互相轉化的觀點，滲透數形結合的數學思想，增強學生的學習積極性，同時培養學生與人合作、共同探討的優良品質.重點難點
教學重點：
1.對數函數的概念、圖象、性質以及應用.2.對數函數的特性以及函數的通性在解決有關問題中的靈活使用.教學難點：
1.對數函數的底數的變化對函數圖象的影響，對于含參數的對數式滲透分類討論思想.2.函數圖象的平移、翻轉變化以及復合對數式函數的圖象研究.課時安排
3課時
教學過程
第一課時
對數函數(一)導入新課
設計思路一(復習導入)
1.在前面通過系統地學習指數和對數這兩種運算，請同學們回顧指數冪運算和對數運算的定義并說出這兩種運算的本質區別.2.回顧指數函數定義、圖象和性質，并繪制指數函數圖象，根據圖象指出指數函數的相關性質(定義域、值域、過定點、單調性).在等式ab=N(a＞0，且a≠1，N＞0)中已知底數a和指數b，求冪值N，就是指數問題；
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
已知底數a和冪值N，求指數b，就是我們前面剛剛學習過的對數問題，而且無論是求冪值N還是求指數b，結果都只有一個，有指數函數，那么也有對數函數.設計思路二(情境導入)
x
在某細胞分裂過程中，細胞個數y是分裂次數x的函數y=2.因此，當已知細胞的分裂次數x的值(即輸入值是分裂次數x)，就能求出細胞個數y的值(即輸出值是細胞個數y),這樣，就建立起細胞個數y和分裂次數x之間的一個關系式，你還記得這個函數模型的類型嗎？ 反過來，在等式y=2x中，如果我們知道了細胞個數y，求分裂次數x，這將會是我們研究的哪類問題？
x
能否根據等式y=2，把分裂次數x表示出來？
在關系式x=log2y中每輸入一個細胞個數y的值，是否一定都能得到唯一一個分裂次數x的值？
(生思考，并交流思考結果，師總結)
我們通過研究發現：在關系式x=log2y中把細胞個數y看作自變量，則每輸入一個y的值，都能得到唯一一個分裂次數x的值，根據函數的定義，分裂次數x就可以看作是細胞個數y的函數，這樣就得到我們生活中的又一類與指數函數有密切關系的函數模型——對數函數.這就是我們下面將要研究的問題.推進新課
新知探究
在前面學習中所提到的放射性物質，經過時間x(年)與物質剩留量y的關系為y=0.84x，我們也可把它寫成對數式：x=log0.84y，其中時間x(年)也可以看作物質剩留量y的函數，可見這樣的問題在實際生活中還是不少的.一般地，函數y=logax(a＞0，a≠1)叫做對數函數，由對數概念可知，對數函數y=logax的定義域是(0，+∞).合作探究：為什么對數函數的定義域是(0，+∞)？
函數y=logax和函數y=ax(a＞0，且a≠1)的定義域、值域之間有什么關系？
分析：由指數式和對數式的相互轉化可得到：對數函數的定義域就是相應指數函數的值域，對數函數的值域就是相應指數函數的定義域.由指數函數的定義域為(-∞，+∞)，值域為(0，+∞)，故對數函數的定義域為(0，+∞)，值域為(-∞，+∞).由此探究可以得出，研究對數函數的相關性質完全可以由指數函數入手研究，因為兩者之間是緊密聯系的，根據我們研究指數函數的經歷，你覺得下面應該學習什么內容了？ 請回顧一下指數函數的圖象的研究過程，根據對數的定義，列舉幾個對數函數的解析式，并嘗試在同一坐標系內作出它們的圖象.合作探究：借助于計算器或計算機在同一坐標系內畫出它們的圖象，并觀察各組函數的圖象，探究它們之間的關系.(1)y=2x，y=log2x；
(2)y=(12)x，y=log1x；
2中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
(組織學生討論，互相交流自己獲得的結論，師用多媒體顯示以上兩組函數圖象，借助
x于《幾何畫板》軟件動態演示圖象的形成過程，揭示函數y=
2、y=log2x圖象間的關系及函數y=(12)x，y=log1x圖象間的關系，得出如下結論)
2結論：(1)函數y=2和y=log2x的圖象關于直線y=x對稱；
(2)函數y=(12x)和y=log1x圖象也關于直線y=x對稱.2x
合作探究：分析你所畫的兩組函數圖象,看看一般的指數函數與對數函數圖象有什么關系？即當a＞0，且a≠1時，函數y=ax，y=logax的圖象之間有什么關系？
結論：函數y=ax和y=logax(a＞0，且a≠1)的圖象關于直線y=x對稱.觀察歸納：觀察課本第66頁圖233的函數圖象，對照指數函數的性質，你發現對數函數y=logax的哪些性質？
對數函數的圖象與性質
a＞1
0＜a＜1 圖象
(1)定義域：(0，+∞)；
性質
(2)值域：R；
(3)過點(1，0)，即當x=1時，y=0；
(4)在(0，+∞)上是單調增函數；(4)在(0，+∞)上是單調減函數
函數y=ax稱為y=logax的反函數，反之，y=logax稱為y=ax的反函數.一般地，如果函數y=f(x)存在反函數，那么它的反函數記作y=f-1(x).應用示例
例
1求下列函數的定義域：
(1)y=log0.2(4-x)；
(2)y=loga
(3)y=logx?1(a＞0，a≠1)；
12(5x?3).解：(1)由題意可得4-x＞0，解之得x＜4，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
所以函數y=log0.2(4-x)的定義域為{x|x＜4}.(2)由題意可得x?1＞0，又因為偶次根號下非負，所以x-1＞0，即x＞1，所以函數y=logax?1(a＞0，a≠1)的定義域為{x|x＞1}.(3)由題意可得要偶次根號下非負，又因為真數要大于0，?log1(5x?3)?0,?5x?3?1,??2
所以?即? 3??x?,?5x?3?0,5?
解得35＜x≤45，(5x?3)的定義域為{x|
5故函數y=log12＜x≤
45}.點評：解決有關函數求定義域的問題時可以從以下幾個方面考慮，列出相應不等式或不等式組，解之即可.①若函數解析式中含有分母，則分母不等于0；
②若函數解析式中含有根號，要注意偶次根號下非負；
③0的0次冪沒有意義；
④若函數解析式中含有對數式，要注意對數的真數大于0.求函數的定義域的本質是解不等式或不等式組.問題①：請大家課后總結在求對數函數定義域時需要注意哪些問題？ 問題②：在建立不等式組求解的過程中，你認為哪些地方比較容易出錯？
例2
比較下列各組數中兩個數的大小：
(1)log23.4，log23.8；
(2)log0.51.8，log0.52.1；
(3)log20.8，log0.52.5；
(4)loga5.1，loga5.9；
(5)log75，log67.分析：(1)(2)兩個對數是同底數的，故可直接根據單調性進行比較；(3)雖然不同底但是可以化為同底數的對數，然后再利用單調性進行比較；(4)的底數是個參數，遇到參數的題討論是必不可少的，于是分類討論，當a＞1時，函數是增函數，當0＜a＜1時，函數是減函數.(5)是上述所說情況中沒有的，不能化同底，那么只能尋求中介值進行比較，一般都找1或0作為中介值.解：(1)考查函數y=log2x，因為它的底數是2，且2＞1,所以它在(0，+∞)上是單調增函數.又因為0＜3.4＜3.8，所以log23.4＜log23.8；
(2)考查函數y=log0.5x，因為它的底數是0.5，且0＜0.5＜1,所以它在(0，+∞)上是單調減函數.又因為0＜1.8＜2.1，所以log0.51.8＞log0.52.1；
(3)考查兩個log20.8，log0.52.5的底數不相同，但是出現的是2和0.5，故可轉化同底log20.8與log20.4的大小比較，與(1)同，因為log20.8＞log20.4，所以log20.8＞log0.52.5；
(4)當a＞1時，函數y=logax在(0，+∞)上是單調遞增的,所以loga5.1＜loga5.9；當0＜a＜1時，函數y=logax在(0，+∞)上是單調遞減的,所以loga5.1＞loga5.9；
(5)考查函數y=log7x，因為它的底數是7，且7＞1,所以它在(0，+∞)上是單調增函數.又因為0＜5＜7，所以log75＜log77=1.同理log67＞log66=1，所以log75＜log67.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
點評：本例是利用對數函數的單調性來比較兩個對數式的大小的問題，一般是根據所給對數式的特征，確定一個目標函數，把需要比較大小的對數式看作是對應函數中兩個能比較大小的自變量的值對應的函數值，再根據所確定的目標函數的單調性比較對數式的大小.當底數為變量時，要分情況對底數進行討論來比較兩個對數的大小.例
3已知logm4＜logn4，試比較m，n的大小.分析：要比較的兩個對數真數相同，屬于比較底數的大小的問題，所以和前面例2很類似，但是不同的是沒有給出它的符號，所以難度要大點，但是m，n的范圍都是大于0且不等于1的實數，于是解答時要對m，n的范圍進行討論，此時要利用分類討論的思想.解：logm4＜logn4?1log4m?1log4n，當m＞1，n＞1時，有0＜
1log4m?1log4n，所以log4n＜log4m，此時m＞n＞1.當0＜m＜1，0＜n＜1時，有
1log4m?1log4n＜0，所以log4n＜log4m，此時0＜n＜m＜1.當0＜m＜1，n＞1時，有log4m＜0，0＜log4n，此時滿足.所以0＜m＜1＜n.綜上所述，m，n的大小關系為m＞n＞1或0＜n＜m＜1或0＜m＜1＜n.點評：本題也可通過作圖形進行觀察比較，在此不作詳解，請學生自己完成.例
4求下列函數的值域：
(1)y=log2x+2(x≥1)；(2)y=log1(x+1)(0＜x＜3)；
(3)y=log2(2-x)；(4)y=log2(x?1)(-3≤x≤1).分析：由對數函數的圖象可得定義域為(0，+∞)，值域為R.所以在求對數函數的值域時要結合圖象，根據對數函數的單調性來求解.對于形式上比較復雜的則要先求出定義域，根據具體的形式作出判斷，從內到外進行求解.解：(1)因為2＞1，所以函數y=log2x為增函數，當x≥1時，log2x≥0，所以函數y=log2x+2(x≥1)的值域為[2，+∞).(2)因為0＜x＜3，所以1＜x+1＜4，又函數y=log
所以log4＜log(x+1)＜log12x為減函數，1212121，即得值域為(-2，0).(3)由題意可得2-x＞0，即得當x＜2時，函數的值域為R.2
(4)令t=x+1，則當-3≤x≤1時，t∈[1，10]，故log2t∈[0，log210]，所以函數y=log2(x?1)
2(-3≤x≤1)的值域為[0，log210].點評：前面兩個比較容易接受，(3)理解有點困難，教學時要強調當x＜2時，真數2-x能取到所有的大于0的實數，所以值域為R；(4)是個根式和對數復合的函數求值域的問題，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
此時要先求根式里面的對數的范圍，再結合根式有意義最終寫出值域.知能訓練
一、課本第69頁練習1、3.2二、1.求函數y=loga(9-x)(a＞0，a≠1)的定義域.2.比較下列各題中兩個值的大小:
(1)log36_________log38；(2)log0.56_________log0.54；
(3)log0.10.5________lg0.6；(4)log1.51.6_________log20.4.3.已知下列不等式，比較正數m，n的大?。?/p>
(1)log3m＜log3n；(2)log0.3m＞log0.3n；
(3)logam＜logan(0＜a＜1)；(4)logam＞logan(a＞0，a≠1).4.將0.3，log20.5，log0.51.5由小到大排列的順序是：____________.解答：
一、1.圖略，y=log3x與y=log1x的圖象關于x軸對稱.323.(1)log35.4＜log35.5；(2)log1π＜log1e；
(3)lg0.02＜lg3.12；(4)ln0.55＜ln0.56.二、1.由對數函數的定義知：9-x2＞0，解得-3＜x＜3，所以函數y=loga(9-x2)(a＞0，a≠1)的定義域為{x|-3＜x＜3}.2.(1)＜；(2)＜；(3)＞；(4)＞.3.(1)由于3＞1，所以0＜m＜n.(2)由于0＜0.3＜1，所以0＜m＜n.(3)由于0＜a＜1，所以m＞n＞0.(4)當a＞1時，m＞n＞0；當0＜a＜1時，0＜m＜n.4.因為0＜0.3＜1，log20.5＜0，log0.51.5=log
2課堂小結
1.對數函數的概念.2.對數函數的圖象和性質.3.會求對數函數的定義域.4.利用對數函數的性質比較大小的一般方法和步驟.作業
課本第70頁習題2.3(2)1、2、3.設計感想
本節是對數函數第一課時，主要教學目標就是講解對數函數的概念，會求簡單的對數函數的定義域，根據單調性比較對數大小.教學中通過計算器列表描點或幾何畫板來刻畫對數函數圖象，在教學中讓學生在同一個坐標系畫出同底數的指數函數和對數函數圖象，將指數函數和對數函數作比較發現它們的圖象是關于直線y=x對稱的.從中發現指對數函數的定義域和值域之間的關系，即對數函數中的定義域就是指數函數中的值域，對數函數中的值域就是指數函數中的定義域.在教學中充分利用圖象，幫助學生理解底數a的取值對圖象的影響(即確定函數的單調性)，對數函數的定義域為正實數這也是個難點，學生在解題中很容易漏掉.講解定義域時，要注意函數求定義域時需要注意的一些問題，尤其是復合函數的定義域要保證每個部分都要有意義.利用對數函數的單調性進行對數的大小比較時，要讓學生觀察當底數相同時如何比較，當底數不同時又怎樣比較.對于真數相同而底不同的對數大小比較
223＜0，所以log20.5＜log0.51.5＜0.3.2中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
可以采取取倒數化同底，也可以利用圖象的特征進行觀察比較.關于對數求值域的問題，在此只要講解比較簡單的對數求值域，即利用對數函數的單調性進行觀察求解，關于含有對數式的復合函數的值域在此涉及的不多，到講含對數式復合函數的圖象和性質后再作加強訓練.(設計者：顧文艷)
第二課時
對數函數(二)
導入新課
將函數y=2的圖象通過怎樣的變換可得到y=2的圖象以及y=2+1的圖象？
xx+1x
結論：將y=2的圖象向左平移一個單位可得到y=2的圖象，將y=2的圖象向上平移一個單位可得到y=2x+1的圖象.那么如何由函數y=2的圖象得到函數y=2
(學生回答，老師顯示如下結論)
結論：(1)由函數的y=2圖象得到函數y=2的圖象的變化規律為：
當a＞0時，只需將函數y=2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數y=2x+a的圖象.當a＜0時，只需將函數y=2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數y=2x+a的圖象.(2)由函數的y=2x圖象得到函數y=2x+b的圖象的變化規律為：
當b＞0時，只需將函數y=2的圖象向上平移b個單位就可得到函數y=2+b的圖象.當b＜0時，只需將函數y=2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數y=2x+b的圖象.以上的變化規律是否對于對數函數也同樣適用？如何畫y=log2(-x)、y=-log2x、y=log2|x|、y=|log2x|等形式上比較復雜的函數圖象呢？這將是本節課我們所要討論的主要問題.推進新課
新知探究
在同一個坐標系作出下列函數圖象，并指出它們與對數函數y=log2x的圖象的關系：
(1)y=log2(x+1)與y=log2(x+2)；
(2)y=log2x+1與y=log2x+2.分析：要畫出一個函數的圖象，需要描繪圖象上的點，于是就要列表、描點然后連線.解：(1)列出下列的函數數據表：
y=log2x y=log2(x+1)y=log2(x+2)y x x x
0 1 0-1 2 1 0 4 3 2
0.5 2 2-1 2-2
x
x
x
x+a
x
x+ax
x+
1x的圖象呢？
-1 0.5-0.5-1.5
-2 0.25-0.75-1.75
通過上面的數據表，進行描點連線可以得到函數y=log2(x+1)和y=log2(x+2)的圖象，如圖(1).由圖象上點的特征可以得出如下結論：
若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0-1，y0)必在函數y=log2(x+1)的圖象上.于是函數y=log2(x+1)的圖象就是由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位得到.若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0-2，y0)必在函數y=log2(x+2)的圖象上.于是函數y=log2(x+2)的圖象就是由函數y=log2x的圖象向左平移2個單位得到.(2)列出下列函數數據表：
函數 Y=log2x y=log2x+1 x y y 1 0 1 0.5-1 0 2 1 2 4 2 3 0.25-2-1 8 3 4
中鴻智業信息技術有限公司 http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
y=log2x+2 y 2 1 3 4 0 5
通過上面的數據表，進行描點連線可以得到函數y=log2x+1和y=log2x+2的圖象，如圖(2).由圖象上點的特征可以得出如下結論:若點(x0，y0)在函數y=log2x的圖象上，那么對應點(x0，y0+1)在函數y=log2x+1的圖象上；對應點(x0，y0+2)在函數y=log2x+2的圖象上,于是，函數y=log2x+1的圖象可由函數y=log2x的圖象向上平移1個單位；函數y=log2x+2的圖象可由函數y=log2x的圖象向上平移2個單位得到.圖(1)
圖(2)
點評：通過列表、描點、連線繪圖的三步驟，可以畫出函數的圖象，并由圖形上點的特征觀察圖象之間的轉化關系.這樣便于學生學習和掌握圖象變化的規律.可參照課本第68頁例3.思考
如何由函數y=log2x的圖象得到函數y=log2(x-1)與函數y=log2x-1的圖象呢？并說出函數y=log2(x+a)和函數y=log2x+b的圖象以及函數y=log2(x+a)+b的圖象可由函數y=log2x的圖象經過怎樣的變換得到？
解：函數y=log2(x-1),y=log2x-1的圖象與函數y=log2x的圖象的變化規律如下：函數y=log2(x-1)的圖象是由函數y=log2x的圖象向右平移1個單位就得到；函數y=log2x-1的圖象是由函數y=log2x的圖象向下平移1單位就得到.由函數的y=log2x圖象得到函數y=log2(x+a)的圖象的變化規律為：
當a＞0時，只需將函數y=log2x的圖象向左平移a個單位就可得到函數y=log2(x+a)的圖象.當a＜0時，只需將函數y=log2x的圖象向右平移|a|個單位就可得到函數y=log2(x+a)的圖象.由函數的y=log2x圖象得到函數y=log2x+b的圖象的變化規律為：
當b＞0時，只需將函數y=log2x的圖象向上平移b個單位就可得到函數y=log2x+b的圖象.當b＜0時，只需將函數y=log2x的圖象向下平移|b|個單位就可得到函數y=log2x+b的圖象.由函數y=log2x的圖象得到函數y=log2(x+a)+b的圖象的變化規律為：
先將函數y=log2x的圖象向左(當a＞0時)或向右(當a＜0時)平移|a|個單位，得到函數y=log2(x+a)的圖象，再將函數y=log2(x+a)的圖象向上(當b＞0時)或向下(當b＜0時)平移|b|個單位就可得到函數y=log2(x+a)+b的圖象.點評：由列表繪制的圖象同樣可觀察出對應圖象上點之間的關系，從而得出函數圖象之間的變換關系.當函數y=log2x中的自變量x變為x+a的時候，此時函數y=log2(x+a)的圖象就是由函數y=log2x的圖象進行左右平移得到，即a＞0(左移)和a＜0(右移).當在函數整體后變化時，即f(x)變為f(x)+b時，此時函數y=log2x+b的圖象是由函數y=log2x的圖象進行上下平移，即b＞0(上移)和b＜0(下移).對于圖象進行多次平移變換所得的函數圖象，則要將上述的兩種情況合起來，先進行左右平移，再將所得圖象進行上下平移，對于平移的先后順序
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
是沒有影響的.應用示例
例
1探究函數y=-logax、y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象之間的關系.分析：我們需找出函數圖象上對應點的坐標之間的關系.若點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數y=-logax的圖象上，所以函數y=-logax的圖象和函數y=logax的圖象關于x軸對稱；若點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(-x0，y0)在函數y=loga(-x)的圖象上，所以函數y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象關于y軸對稱.(有條件的學?？梢岳脦缀萎嫲遄寣W生直接觀察得出結論)
解：設點(x0，y0)是函數y=logax上任意一點，則點(x0，-y0)在函數y=-logax的圖象上；點(-x0，y0)在函數y=loga(-x)的圖象上，所以函數y=-logax的圖象和函數y=logax的圖象關于x軸對稱；函數y=loga(-x)的圖象和函數y=logax的圖象關于y軸對稱.點評：函數圖象上的對應點若關于x軸對稱，則函數圖象就關于x軸對稱；若函數圖象上的對應點關于y軸對稱，則函數圖象就關于y軸對稱.例
2畫出函數y=log2|x|的圖象，并根據圖象寫出它的單調區間.分析：對于遇到含絕對值的問題的時候，基本思想方法是去掉絕對值，于是就要用到分類討論的思想方法，將函數y=log2|x|寫成分段函數的形式，然后在畫圖象就比較簡單了，那么在本題中如何去掉絕對值呢？去掉絕對值以后又該怎么辦呢？
(學生回答，老師板書如下)
?log2x,x?0,解：由于y=log2|x|=?
log(?x),x?0.2?
當x＞0時，畫出函數y=log2x的圖象；當x＜0時，畫出函數y=log2(-x)的圖象.如圖所示：
由圖象可得函數y=log2|x|的單調增區間為：(0，+∞)；單調減區間為(-∞，0).探究：在例2中除了利用去掉絕對值畫出圖象，你還能想到用其他的方法解答嗎？
(學生相互交流)
結論：由于函數y=log2|x|是偶函數，所以只要先畫出函數y=log2x(x＞0)的圖象，再將函數y=log2x(x＞0)的圖象關于坐標軸y軸對稱過來，就可得到y=log2|x|(x＜0時)的圖象，兩部分合起來就是函數y=log2|x|的圖象.例
3已知函數f(x)=log12(1-x)，(1)求此函數的定義域，值域；(2)判斷它的單調性并證明你的結論，并指出單調區間.分析：對數函數的定義域只要真數大于0，值域必須在定義域的范圍內先求內函數的值域，然后根據底數的取值確定外函數的單調性，根據外函數的單調性把值域求出即可.對于函數單調性的證明，要在定義域內任取兩個值，然后根據函數單調性的證明方法和步驟對函數值進行作差或作商比較，進而判斷單調性，求出單調區間.解：(1)因為1-x＞0，即x＜1，所以函數f(x)=log12(1-x)的定義域為(-∞,1)；
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
因為函數f(x)=log值域為：R.(2)函數f(x)=log1212(1-x)的定義域為(-∞，1)，當x∈(-∞,1)時，有1-x＞0，所以函數的(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調遞增.證明：任取x1,x2∈(-∞,1)且x1＜x2，則有
f(x1)-f(x2)=log1(1-x1)-log212(1-x2)=log1?x1121?x21?x11?x2，因為x1＜x2＜1，所以1-x1＞1-x2＞0，得
＞1，所以f(x1)-f(x2)=log
所以函數f(x)=log1?x1121?x2＜0，即f(x1)＜f(x2)，12(1-x)在定義域(-∞,1)上為單調遞增.例
4判斷下列函數的奇偶性:
(1)函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)；
(2)函數f(x)=ln(x+1)+ln(1-x).分析：判斷函數奇偶性的方法和步驟請學生回顧一下，首先定義域要關于原點對稱，然后看f(-x)與f(x)之間的關系，解答如下：
解：(1)由題意可得??x?1?0,?x?1?0即??x??1,?x?1,解得x＞1，所以函數f(x)的定義域為(1，+∞)，不關于原點對稱，所以函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)是非奇非偶函數.?x?1?0,?x??1,(2)由題意可得?即?解得-1＜x＜1，所以函數f(x)的定義域為(-1，1)，1?x?0x?1,??定義域關于原點對稱，而f(-x)=ln(-x+1)+ln(1+x)=f(x)，所以函數f(x)=ln(x+1)+ln(1-x)是偶函數.點評：在判斷函數奇偶性的時候，一定要保證定義域關于原點對稱，這點學生在解題時很容易遺漏，所以老師在講解時一定要強調.有些學生會根據對數函數的運算法則將函數進行化簡，這個想法很好，但是一定要注意在化簡的時候注意不要改變函數的定義域，化簡的基本要求是實施的是等價變形.如(1)，有學生會發生下面出現的錯解：
因為函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)=lg(x2-1)，由x2-1＞0得其定義域為x∈(-∞，-1)∪(1,+∞)，又f(-x)=lg(x2-1)=f(x)，所以函數f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)為偶函數.因此老師在講解時特別要注意這一點，避免出現上述不該出現的錯誤.知能訓練
課本第69頁練習2、4、5.解答：
2.(1)因為2x+1＞0，所以x＞?1212，所以函數y=log2(2x+1)的定義域為(?，+∞).中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2因為y=log2(2x+1)=1+log2(x+函數y=log2(x+1212)，所以先將函數y=log2x的圖形向左平移
12個單位得到)的圖象，再將函數y=log2(x+)的圖象向上平移1個單位就可得到函數y=log2(2x+1)的圖象.如圖(一).圖(一)
圖(二)
(2)因為1x?11x?11x?1＞0，所以x＞1，所以函數y=lg的定義域為(1，+∞).因為y=lg=-lg(x-1)，所以將函數y=lgx的圖形向右平移1個單位得到函數y=lg(x-1)的圖象，再將函數y=lg(x-1)的圖象作關于x軸對稱所得到的圖象就是所求函數的圖象.如圖(二).4.解：(1)由題意可得：3x=2x+1＞0，解得x=1.?2x?1?0??x=3.(2)由題意可得：?x2?2?0?2?2x?1?x?2?x?1?0?x=2.(3)由題意可得：??x?1?x?
15.解：(1)由題意可得3x+5=3?x=-
23.12
(2)由題意可得2x=log212=2+log23?x=1+
(3)由題意可得1-x=log32?x=1-log32.log23.課堂小結
前面一節課主要學習了對數函數的概念，那么這節課主要是為了加深對對數函數圖象以及性質的學習而給出的.講解了對數函數的圖象變換，即左右平移和上下平移以及關于軸對稱和關于原點對稱圖象的畫法，會作出函數圖象并能根據圖象準確地求出函數的單調區間；能根據定義判斷含對數式的復合函數的奇偶性和單調性，定義域一定要首先考慮.作業
1.課本第70頁習題2.3(2)、4、5、6、8.2.請大家利用計算機作出函數y=logax，y=loga(x+m)，y=logax+n的圖象，加深對函數圖象變換的規律的理解；隨意畫一個函數y=f(x)的圖象，觀察函數y=f(|x|)的圖象和函數y=|f(x)|的圖象，看看它們的圖象之間的變換關系又如何.是否與本節課得到的變化規律一致.寫出你的結論，并加以相關的解釋說明.設計感想
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
這節課的圖象比較多，所以在剛開始的時候針對不同層次的學生，在這里直接給出幾個函數的圖象和圖象上相關點的坐標，讓他們從圖象上一些具體的點觀察圖象之間的關系并得出結論，然后由具體的例子從特殊性推廣到一般性，從而達到對知識的學習和掌握.例1和例2給出了圖象關于軸對稱的關系式和畫法，例3和例4解決了含對數式的復合函數的定義域、值域的求解和單調性、奇偶性的判斷，講解時要利用相關的數學工具作出圖象讓學生從直觀上掌握圖形變換，也為以后我們學習圖象的變換打下堅實的基礎.(設計者：趙家法)
第三課時
對數函數(三)導入新課
回顧前面所學有關對數函數的相關內容：
1.對數函數的概念.2.對數函數的圖象和性質以及相應指數函數圖象之間的關系.3.利用對數函數的單調性進行對數大小比較.4.求解對數函數的定義域要注意真數大于0，遇到對數函數的復合形式要注意根據條件建立不等式組進行求解；求對數函數的值域要根據單調性進行求解.5.掌握對數函數圖象平移的變化規律以及圖象的翻轉，并能根據圖象寫出單調區間.6.利用定義判斷對數函數的單調性和奇偶性.今天我們來繼續學習對數函數的性質，并利用對數函數的性質解決一些比較復雜的綜合問題.在指數函數的學習過程中，我們學習了利用指數函數的單調性求解不等式，以及指數函數和其他函數復合形式的相關問題，如復合函數的單調性的判斷以及單調區間的求解問題.我們已經學習了一些對數函數基本的性質，這節課我們來學習對數函數的單調性在對數方程以及對數不等式中的應用；復合函數單調區間的求解等復合函數的綜合應用.應用示例
例
1解下列方程：
(1)4x-3×2x-4=0；(2)(log2x)2-2log2x-3=0.解：(1)原方程可化為(2x)2-3×2x-4=0，令t=2x(t＞0)，則t2-3t-4=0，解得t=-1或t=4，因為t＞0，所以t=4，即2x=4.解得x=2，所以原方程的解集為{x|x=2}.2(2)令t=log2x，則原方程可化為t-2t-3=0，解得t=-1或t=3，因為t=log2x，所以log2x=-1或log2x=3，解得x=12或x=8，1
2所以原方程的解集為{x|x=或x=8}.點評：本例題是解指對數方程的問題，遇到這種類型的題目時，應設法將方程化為可解的代數方程的形式，利用換元法將方程轉化為我們比較熟悉的代數方程進行求解，最后再求出本題的解，其中要對求出的解進行檢驗，這一點要對學生多強調.例2
求下列不等式的解集.(1)log2(x+1)＞log2(2x-1)；
(2)logx(3x-2)＞2.分析：解對數不等式時，若底數相同則直接根據對數的單調性建立不等式組，注意真數大于0不要遺漏；若對數的底數不相同，則根據運算法則化為底數相同，然后建立不等式組進行求解；若底數是個參數，則要進行分類討論.解：(1)因為a=2＞1，所以函數y=log2x為單調遞增函數，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
?x??1?x?1?0?11??
則有?2x?1?0＜x＜2.??x??22?x?1?2x?1????x?2
所以不等式的解集為{x|
12＜x＜2}.(2)由題意可知要對x進行分類討論，?x?1?
當底數大于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?1＜x＜2；
?2?3x?2?x?0?x?12?
當底數大于0且小于1時，有下列不等式組：?3x?2?0?＜x＜1.3?2?3x?2?x
綜上可得，原不等式的解集為{x|
23＜x＜2且x≠1}.點評：利用對數函數的單調性求解對數不等式時，要注意以下幾點：定義域要考慮；利用單調性得到正確的不等式；當底數為自變量x時，對x進行討論所得不等式的解集最后要合并；當底數為參數a時，對a討論所得不等式的解集不能合并，要分開給出.老師在講解時一定要強調這一點，因為學生對最后的結果該如何寫掌握的還不是很好.例
3已知x∈[2，4]，求函數y=log12x-log1x+5的值域.4
4分析：本題采用換元法將函數化為一元二次函數，然后利用單調性求函數的最值.解：令u=log1x，由x∈[2，4]，得log14≤log14x≤log12，即-1≤u≤?444412.又y=u2-u+5=(u?當u=?1212)2+
194?，在u∈[-1，12]上單調遞減，所以當u=-1即x=4時，ymax=7；
234即x=2時，ymin=
234，所以函數的值域為[，7].點評：利用函數單調性是求函數的最值或值域的主要方法之一，而換元法是化歸的常用手段.若函數形式比較復雜則要通過相關變換找出換元的部分，然后利用單調性進行最值的求解，進而求出函數的值域.例4
求函數y=log0.2(x-x2)的單調區間.分析：對于復合函數單調區間的求解問題，要先求函數的定義域，再利用復合函數的單調性求解.解：設t=x-x=-(x?2
12)+
14，則有y=log0.2t.由x-x2＞0解得函數的定義域為(0,1).在(0，12]上t隨x的增大而增大，而y隨t的增大而減小，所以y隨x的增大而減小，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
即函數在區間(0，12]上是減函數；在[
12，1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減
12小，所以y隨x的增大而增大，即函數在區間[
所以函數y=log0.2(x-x2)的增區間為[
12，1)上是增函數.12，1)，減區間為(0，].點評：判斷復合函數單調性以及求單調區間的時候，要注意先求函數的定義域，然后依據復合函數單調性的判斷方法，遵循增、增為增，減、減為增，增、減為減的原則.當對數函數的底數為參數時，則要對底數進行分類討論.例
5求證：函數f(x)=loga
1?x1?x(0＜a＜1)是減函數.分析：對于函數單調性的證明一般利用定義來證明.證明：由
設g(x)= 1?x＞0可得-1＜x＜1，即函數的定義域為(-1，1).，任取x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2，1?x11?x11?x21?x22(x1?x2)(1?x1)(1?x2)1?x1?x1?x
則有g(x1)-g(x2)=??.因為-1＜x1＜x2＜1，所以x1-x2＜0，1-x1＞0，1-x2＞0，所以g(x1)-g(x2)＜0，即0＜g(x1)＜g(x2).因為0＜a＜1，所以logag(x1)＞logag(x2)，即f(x1)＞f(x2).所以函數f(x)=loga1?x1?x在定義域(-1，1)上是減函數.點評：本例是對數函數單調性的證明問題，利用定義直接證明即可，但是要考慮到定義域.本題中給出了底數的范圍，即0＜a＜1，由此可知外函數是單調遞減的.若沒有給出底數的具體范圍則要對底數進行討論.知能訓練
1.解下列方程：(1)9x?xx?123=81；(2)45x=54x.2解：(1)原方程可化為
32x?2x3x?1=34，即32x?3x?12=34
于是有2x2-3x+1=4，解得x=543?433.(2)原方程可化為(45)x=1，所以x=0.2.函數y=logax在區間[2，10]上的最大值與最小值的差為1，則常數a=__________.解：當a＞1時，ymax=loga10，ymin=loga2，則有loga10-loga2=loga
102=loga5=1，所以a=5；
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
210
當0＜a＜1時，ymax=loga2，ymin=loga10，則有loga2-loga10=loga
3.函數y=log
A.(-∞,3212=loga
15=1，所以a=
15.(x-3x+2)的遞增區間是（）
322]
B.(-∞,1)
C.[,+∞)
D.(2,+∞)
解：由x2-3x+2＞0，可得x＜1或x＞2，即函數的定義域為(-∞,1)∪(2,+∞)
設t=x2-3x+2，則y=log以函數y=log1212t在(-∞,1)上t隨x的增大而減小，而y隨t的增大而減小，所(x2-3x+2)在區間(-∞,1)上是增函數；在(2,+∞)上t隨x的增大而增大，而y隨
(x2-3x+2)在區間(2，+∞)上是減函數.綜上可得函數t的增大而減小，所以函數y=logy=log1212(x2-3x+2)的遞增區間是(-∞,1)，故選B.4.已知y=loga(2-x)是x的增函數,則a的取值范圍是（）
A.(0，2)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,+∞)
解：由2-x＞0，解得函數的定義域為(-∞,2)，令t=2-x,則y=logat.在區間(-∞,2)上t隨x的增大而減小，而y是x的增函數,所以y隨t的增大而減小,即y是t的減函數，故0＜a＜1,選B.點評：此練習是針對本節課所講的內容而設計的，即對數方程的求解、對數不等式的求解、復合對數函數單調性的判斷以及單調區間的求解等問題.對學生的訓練很有幫助，通過練習使學生熟練掌握對數函數的相關性質，并學會思考問題，提高解決問題的能力.課堂小結
本節課是對對數函數性質的進一步學習，體會對數函數的單調性在解對數方程和對數不等式中的應用，加強分類討論思想在解題中的應用.添加了對數函數和二次函數的兩種復合以及和一次函數的復合問題，掌握復合函數單調區間的求法，先求定義域，再根據復合函數單調性的判斷方法進行判斷.作業
1.課本第70頁習題2、3(2)7、9、10、11、12.2.試總結求解對數方程、對數不等式、復合函數單調性的判斷以及單調區間的方法和步驟.設計感想
本節課是對對數函數的進一步學習，主要解決利用對數函數的單調性進行對數方程求解、對數不等式的求解，以及復合函數等相關問題.設計的題目有的比較簡單，基礎一般的學生比較容易接受和掌握；也有在難度上有所加深的題目，尤其加強了分類討論思想的應用.對于復合函數的問題，老師可根據所教班級的不同有所選擇地進行教學.教學中要注意強調對數函數的定義域，不管是在求解對數不等式還是求復合函數單調區間.接下來通過練習的訓練加深對本節課的學習，教學中老師可讓學生板演并進行點評，這樣效果會更好些.習題詳解
課本第70頁習題2.3(2)
1.這兩個函數的圖象關于x軸對稱.共同點為：定義域是(0，+∞)，值域是R，都過點(1，0)；不同點：函數y=log4x是定義域上的增函數，函數y=log1x是定義域上的減函數.4中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2.(1)由已知可知3x-1＞0，所以x＞知可知24x?313，所以函數y=ln(3x-1)的定義域是（3413,+∞).(2)由已＞0，所以4x-3＞0，即x＞，所以函數的定義域是（3423，+∞).3.(1)log57.8＜log57.9；(2)log0.33＜log0.32；(3)ln0.32＜lg2；(4)log65＜log78.4.證明：函數y=log0.5(3x-2)的定義域是（3x1?23x2?223，+∞)，任取x1、x2∈（23，+∞)，且x1＜x2，則log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5，因為
＜x1＜x2，所以0＜3x1-2＜3x2-2.所以0＜3x1?23x2?2＜1，可得到
log0.5(3x1-2)-log0.5(3x2-2)=log0.5
3x1?23x2?2＞log0.51=0，即log0.5(3x1-2)＞log0.5(3x2-2).所以函數y=log0.5(3x-2)在定義域上是單調減函數.5.證明：設f(x)=lg1?x1?x，由
1?x1?x＞0得-1＜x＜1，即函數的定義域為(-1，1)，又對于
1?x1?x定義域(-1，1)內任意的x，都有f(-x)=lg=-lg
1?x1?x=-f(x)，所以函數y=lg
1?x1?x是奇函數.6.函數y=log2(x+1)的圖象可以由函數y=log2x的圖象向左平移1個單位得到；函數y=log2(x-1)的圖象可以由函數y=log2x的圖象向右平移1個單位得到，這樣，將函數y=log2(x+1)的圖象向右平移2個單位就能得到函數y=log2(x-1)的圖象，或將函數y=log2(x-1)的圖象向左平移2個單位就能得到函數y=log2(x+1)的圖象，如圖所示.7.因為log25＞log24=2，log58=log525=2，所以
log25＞log24=2=log525＞log58，即log25＞log58.8.由圖可知，函數y=loga(x+b)的圖象過(0,2)點和(-2,0)點，將這兩點的坐標代入函數解析式可得：
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
?a?3(?3舍去),?b?a2?logab? ? ?????loga(b?2)?0?b?2?1?b?3.9.比較對數函數底數的大小，只要作直線y=1，其交點的橫坐標的大小就是對數函數底數的大小，由圖可知，有以下關系：0＜b＜a＜1＜d＜c.10.因為x出現在指數位置，所以本題要利用指數式與對數式的互化公式對x進行求解.(1)由方程21-x=5，可得1-x=log25，所以x=1-log25.(2)由方程2×5x+1-9=0，可得5x+1=
所以x+1=log5923-x
92，所以x=log5x+2
92-1.11.(1)由不等式5＞2，可得x+2＞log52，所以x＞log52-2；
(2)由不等式3＜6，可得3-x＜log36=1+log32，所以x＞2-log32；
(3)由不等式log3(x+2)＞3，可得x+2＞27，所以x＞25；
(4)由不等式lg(x-1)＜1,可得0＜x-1＜10，所以1＜x＜11.(定義域要考慮)
12.證明：對任意的x1、x2∈(0,+∞)，由f(x)=lgx，有
f(x1)?f(x2)2x1?x22?lgx1?lgx2212?lgx1x2,f（x1?x22)=lg
x1?x22，因為?x1x2=(x1?x2)≥0，所以
2x1?x22≥
x1x2，又因為f(x)=lgx
x1?x22是(0,+∞)上的增函數，所以lg
x1?x22≥lg
x1x2，即
f(x1)?f(x2)2≤f().中鴻智業信息技術有限公司
第三篇：示范教案(第2章 函數概念與基本初等函數Ⅰ 2.5.2)
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2.5.2 用二分法求方程的近似解
整體設計
教材分析
本課題內容是高中數學課程中新增加的內容，是《函數與方程》這一節內容的深入探究.二分法是研究方程問題的新的方法，是數形結合這一數學思想的體現，也是創新思想的體現，新課改內容的顯露.對于這些內容，教師要把握標準，教學時通過學生對已有知識的掌握和函數的圖象來實現對二分法的理解.我們知道方程的根也叫做函數的零點，從幾何圖形的方面看，是函數圖象與x軸的交點的橫坐標，并且在課本內容的最后，我們得到一個結論：如果二次函數y=f(x)對于實數m、n,m＜n，有f(m)·f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0.我們把這個結論推廣，對于一般的函數y=f(x)，只要在(m,n)上圖象連續，就也有相同的結論，這個結論就是用二分法求方程的近似解的理論支持.求方程的根是常見的數學問題，在這之前，我們掌握了諸多就方程的根的代數方法，但沒有得到所有求方程的根的通法.本節課試圖從另外一個角度來研究代數問題，即從數形結合的思想出發，利用現代化的計算工具求方程的近似解.二分法盡管也不是一個通法，但是它對方程的形式要求比較低，只需在(m,n)上圖象連續且f(m)·f(n)＜0即可.新課標明確提出了在數學教學中應該恰當運用現代信息技術，提高教學質量.這就是說我們必須重視信息技術與數學課程內容的有機整合，而這種整合的原則是有利于對數學本質的認識，即信息技術為數學服務，而不是數學課圍繞著信息技術來展開，教師在教學中應予以關注.信息技術與數學課程內容的整合還有較大的開發空間，教師可在這方面進行積極的、有意義的探索，恰當使用信息技術，改善學生的學習方式，引導學生借助信息技術學習有關數學內容，探索、研究一些有意義、有價值的數學問題.三維目標
1.通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，并能夠根據這樣的過程進行實際求解.了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數與方程之間的聯系及其在實際問題中的應用.2.通過學生的自主探究，了解逼近思想和極限思想；
3.適當借助現代化的科學工具解決問題，變人工計算為機器運算，把人從繁重的重復勞動中解脫出來.使學生體會到正面解決問題困難時可以采取迂回曲折的辦法從側面解決.重點難點
教學重點：
二分法的理解和操作流程.教學難點：
逼近思想的理解和近似解的取值.課時安排
1課時
教學過程
導入新課
設計思路一(情境導入)
播放錄像(CCTV－2《幸運52》片斷)
主持人李詠：……規則：30秒內猜出這件商品的價格，計價單位：元，……計時開始！(禮儀小姐給現場觀眾展示價格：1678元)
幸運觀眾：2000.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
主持人：高了！
觀眾：1000.主持人：低了！觀眾：1800.主持人：高了！
觀眾：1300.主持人：低了！
觀眾：1400.主持人：低了！
觀眾：1700.主持人：高了！
……
觀眾：1670.(剩余時間5秒)
主持人：低了！
觀眾：1671.主持人：低了！
觀眾：1672.主持人：低了！
觀眾：1673.(剩余時間3秒，現在觀眾和學生都高呼：“快！跳過去??！”)
主持人：低了！
觀眾：1674.(學生替他著急)
主持人：低了！
觀眾：1675.(學生：“快！”)主持人：低了！觀眾：1676.主持人：時間到！(學生嘆息！)
他為什么游戲失?。?/p>
學生甲：他一元一元往上加，太慢了，應該幅度大一點.那應該怎么加？
學生甲：剛剛開始猜的時候還可以，變化幅度比較大，后來不好.他過早開始1元1元往上加了，應該先100元100元加，再50元50元加，再10元10元，再5元5元，再2元2元，最后1元1元加.學生乙：還不好，應該每次猜的價錢都是前面最近的一次“高了”的價錢和“低了”的價錢的中點.大家說剛才兩位同學的方法哪位更加好？
學生：乙的好.對！如果他早一點用同學乙的辦法，那么獎品就非他莫屬了.這個方法在我們數學上有沒有理論依據？我們有沒有學過和這個方法類似的知識？ 我們當然知道，游戲中的正確價格就在一次“高了”和一次“低了”的價格之間，這就像我們剛剛學過函數和方程的內容：如果一個函數y=f(x)對于實數m、n，m＜n，有f(m)f(n)＜0，那么一定存在x0∈(m,n)，使得f(x0)=0，也就是說，方程f(x)=0的根一定在區間(m,n)上.由于f(m)·f(n)＜0，相當于游戲中幸運觀眾猜的兩次價格為m和n，這時主持人告訴我們一次“高了”和一次“低了”，正確價格就是那個x0.所以這個方法可以給我們提供一個解方程的思路：每次把方程的根(游戲中的正確價格)的所在區間縮小一半，最后確定出方程的近似解.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
引入課題：用二分法求方程的近似解
設計思路二(事例導入)
在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障，這是一條10 km長的電話線路，每隔50 m有一根電線桿，維修工人需爬上電線桿測試，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段地查找，困難很多，每查一個電線桿都要爬一次電線桿呢.想一想，你能幫他找到一個簡單易行的方法嗎？(鼓勵學生設計方案)
思路引導：如圖所示，他首先從中點C開始查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發現AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點D，這次發現BD段正常，可見故障在CD段，再到CD段中點E來查.像這樣每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半.設計思路三(問題導入)
在我們掌握的數學知識中，解方程既是一個重要知識和考查重點，又是解決其他數學問題的工具，我們已經掌握了不少類型方程的求解方法，但是還有許多方程我們仍然無法求解，例如方程lgx=3-x，要求出這個方程的解是較為困難的,我們能否求出這個方程的近似解呢?這節課我們就來研究這個問題.(引入課題)推進新課
新知探究
求方程x-2x-1=0的根.2當然我們可以用一元二次方程的求根公式來解，這時求得方程的精確解為x1,2=?b?b?4ac2a2=
2?2?422=1±2，精確到0.1的近似解為2.4和－0.4.現在我們作出函數f(x)=x2-2x-1的圖象〔如圖(1)〕，同學們能夠估計根是多少嗎？
根據前面的知識，我們知道，方程x2-2x-1=0的根就是函數f(x)=x2-2x-1的零點，由函數f(x)=x2-2x-1的圖象〔圖(１)〕，我們可以知道方程x2-2x-1=0的正根大概是多少？由于我們從圖中可以看出f(2)＜0,f(3)＞0，所以這個根是2點幾.這時如果我們要求方程的根精確到0.1，是不是可以確定根的近似值了？不行！現在我們把(2,3)的部分局部放大，看圖(2)，我們發現f(因為f(2?322?32)＞0，這時可以把方程的根限定在比(2，3)更小的范圍內嗎？為什么？)＞0，f(2)＜0，所以方程的根就在區間(2,2.5)內，我們繼續下去，這樣就可以把方程的根進一步縮小范圍.定義：像這樣每次取中點，將區間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個子區間的方法叫二分法，也叫對分法.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
當我們用二分法來求方程的近似解的時候，怎么樣的區間才滿足精確度的要求？對于這個問題，同學們要注意“精確到0.1”和“誤差不超過0.1”是不一樣的，只有當區間左右端點精確到0.1的近似值相等時，這個區間才滿足精確到的要求，而不是區間長度小于0.1就可以了.(這一點要向同學們交待清楚，因為許多參考書都把上面兩種說法混為一談了)
現在請同學們用二分法來解決引例(這里作為例１).下面我們利用計算器來求方程x-2x-1=0的一個近似解(精確到0.1).解：令f(x)=x2-2x-1，設方程x2-2x-1=0的正根為x1，作出函數的簡圖〔“新知探究”中圖(1)和(2)〕.因為f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0，所以x1∈(2,3)，取2和3的平均數
因為f(2.5)=0.25＞0，又f(2)＜0，所以x1∈(2,2.5)，取2和2.5的平均數
2?2.522
2?32=2.5，=2.25，因為f(2.25)=-0.437 5＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.25,2.5)，取2.25和2.5的平均數
因為f(2.375)=-0.109 375＜0，又f(2.5)＞0，所以x1∈(2.375,2.5)，取2.437 5和2.5的平均數
2.375?2.522.25?2.52=2.375
=2.437 5，因為f(2.437 5)=0.066 406 25＞0，又f(2.375)＜0，所以x1∈(2.375,2.437 5).因為區間(2.375，2.437 5)的左右端點精確到0.1的近似值都是2.4，所以此方程精確到0.1的近似解為x1≈2.4.利用同樣方法，我們還可以求出方程的另一個根的近似值.為了書寫簡便，也為了看起來更加清晰，我們用下面更簡潔的方法來表示：
令f(x)=x2-2x-1，設方程x2-2x-1=0的另一個根為x2，f(-1)＞0,f(0)＜0?x2∈(-1,0)，f(-0.5)＞0,f(0)＜0?x2∈(-0.5,0)，f(-0.5)＞0,f(-0.25)＜0?x2∈(-0.5,-0.25)，f(-0.5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.5,-0.375)，f(-0.437 5)＞0,f(-0.375)＜0?x2∈(-0.437 5,-0.375).因為－0.437 5與－0.375精確到0.1的近似值都為－0.4，所以此方程的近似解為 x2≈-0.4.錯誤解法：由于學生第一次接觸二分法，計算又煩瑣，所以容易把自己繞進去，對到底取哪個區間無所適從，最后算到什么程度結束也茫然，容易認為最后的區間長度小于0.1就是符合條件的范圍，例如解出x1∈(2.375,2.5)時，由于區間中點為2.437 5，與區間兩端的誤差都小于0.1，所以就認為x1≈2.4.這個結果盡管正確，但是思路是有問題的，正確思路應該是區間兩端的近似值相等.點評：二分法求方程的近似解的方法從一開始就必須嚴格按照要求一步一步求解，不能為了貪圖方便而隨意省略步驟.具體步驟如下：
1.尋找最初起步區間；(方法：函數圖象法、函數特征法)
2.取區間中點，求中點的函數值；
3.選擇符合要求的半區間作為新的區間；(其中的一個端點是中點，另一個端點是函數
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
值與中點處的函數值異號的原區間的端點)
4.判斷這個半區間是否滿足精確度；(要求是左右端點的近似值相等)
5.若符合，這個相等的近似值就是方程的近似解，若不符合，回到步驟2繼續計算，最后得到結論.為了幫助同學們理解這個過程，教師可以在解例１時用右圖來輔助確定子區間，圖中負號“-”表示此點所對應的函數值為負，正號“+”表示此點所對應的函數值為正.從圖中可以更加清晰地看出根所在區間的不斷減半縮小的過程.應用示例
例
1利用計算器，求方程lgx=3-x的近似解(精確到0.1).分析：例2與例１有明顯的不同，例１的方程對應的函數圖象容易作出，所以根據圖象初步判斷方程的根的起步區間比較容易，而例2中，方程可以化為lgx-3+x=0，對應的函數是f(x)=lgx-3+x，無法作出它的圖象.但是我們考慮原方程兩邊的對應函數都是我們熟悉的形式，分別是對數函數y=lgx和一次函數y=3-x，我們分別畫出y=lgx和y=3-x的圖象，如圖所示.在兩個函數圖象的交點處，函數值相等即y值相等.因此，這個點的橫坐標就是方程lgx=3-x的解.由函數y=lgx與y=3-x的圖象可以發現，方程lgx=3-x有唯一解，記為x1，并且這個解在區間(2，3)內.然后如同例１，利用二分法，多次把區間縮小，取其中符合條件的半區間，直到精確到符合要求為止.解：在同一坐標系內作出函數y=lgx和函數y=3-x的圖象(如上圖)，因為函數y=lgx是定義域內的增函數，函數y=3-x是定義域內的減函數，由圖象可知，方程的根在區間(2,3)內，且只有這一個根.設方程的根為x1，令f(x)=lgx-3+x，用計算器計算，得
f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0,f(2.625)＞0?x1∈(2.562 5,2.625).因為2.562 5與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，所以原方程的近似解為x1≈2.6.點評：同樣，在解題過程中，要提醒同學們注意保證計算的準確率，取近似解時的最后一個區間應該是哪一個，怎樣判斷我們的計算已經符合精確度的要求了.例
2作出函數y=x3與y=3x-1的圖象,并寫出方程x3=3x-1的近似解(精確到0.1).中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn
3或http://www.tmdps.cn
解：函數y=x與y=3x-1的圖象如圖所示,在兩個函數圖象的交點處,函數值相等.因此,這三個交點的橫坐標就是方程x=3x-1的解.3由圖象可以知道,方程x3=3x-1的解分別在區間(-2,-1),(0,1)和(1,2)內.那么,對于區間(-2,-1),(0,1)和(1,2)分別利用二分法就可以求得它精確到0.1的近似解為
x1≈-1.9，x2≈0.3, x3≈1.5.例3
求方程2x+x=4的近似解(精確到0.1).解：方程2x+x=4可以化為2x=4-x.分別畫函數y=2x與y=4-x的圖象,如右圖所示.由圖象可以知道,方程2x+x=4的解在區間(1,2)內,那么對于區間(1,2),利用二分法就可以求得它的近似解為x≈1.4.知能訓練
課本第79頁練習1、2.課本第81頁練習1、2.解答：
課本第79頁練習
1.設f(x)=x3+3x-1.因為f(0)=-1＜0，f(1)=3＞0，所以方程x3+3x-1=0在(0,1)內有解.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2.略
3.用二分法求方程f(x)=0近似解的一般步驟.第一步：取一個區間(a,b)，使f(a)·f(b)＜0，令a0=a,b0=b；
第二步：取區間(a0,b0)的中點，x0=
12(a0+b0)；
第三步：計算f(x0)，①若f(x0)=0，則x0就是f(x)=0的解，計算終止；②若f(a)·f(x0)＜0，則解位于區間(a0,x0)中，令a1=a0，b1=x0；③若f(x0)·f(b0)＜0，則解位于區間(a0,b0)中，令a1=x0，b1=b0；
第四步：取區間(a1,b1)的中點，x1=程的解總位于區間(an,bn)內；
第五步：當an、bn精確到規定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.課本第81頁練習
1.解法1：由2x2=3x-1，得2x2-3x+1=0，即(2x-1)(x-1)=0，所以x1=1，x2=解法2：由2x=3x-1，得2x-3x+1=0，即(x-
32212(a1+b1)，重復第二步和第三步，直到第n步，方
1234.-142
34)=
116，所以x1=
34+
14=1，x2=
=
12.2.設f(x)=x-2x-1.因為f(-1)=0，所以x1=-1是方程的解.所以f(x)=(x+1)(x-x-1).由x-x-1=0，得x=1?25，即x2≈-0.6，x3≈1.6.課堂小結
二分法是求方程的近似解一種方法，但是并不能求所有方程的解，只有在零點兩側函數值異號并且圖象連續的函數，才能用二分法求解.求解時先根據圖象或函數性質得到初始區間，然后取區間中點，求中點函數值，再取其中的一個子區間，如此循環，直到區間兩端的近似值相等為止.當然，如果在求中點函數值的時候結果恰為0，則運算立即終止，中點值就是方程的零點.作業
課本第81頁習題2.5 3、5.設計感想
《普通高中數學課程標準》要求能“根據具體函數的圖象，能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法”.因此在教學過程中，教師應該引導學生甲聯系的觀點理解知識，溝通函數、方程、不等式及算法等內容，體現知識與知識之間、知識與實際之間的聯系，使學生能夠感受到多方面的聯系，從整體上把握所學的數學知識，加強學生的應用意識，提高學生的數學創造力.函數應用的一個重要內容就是利用函數的性質和圖象求解函數對應方程的根，二分法就是體現這種應用的方法.通過對二分法的學習，不僅使學生掌握一種求方程近似解的方法，而且通過對二分法的步驟的理解，開始懂得“有步驟、程序化”是算法思想的重要特征，為必修3中學習算法內容埋下伏筆.在本節課的教學中，我們通過求具體的方程的近似解介紹“二分法”并總結其實施步驟，注意讓學生歸納概括所發現的結論或規律，并用準確的數學語言表述出來.近似的思想和逼近的思想在以往傳統的數學學習中被忽視了，好像數學不講究近似，其實這兩種數學思想很重要.通過本節課的學習，可以使學生體會到函數與方程之間的緊密聯系.有了函數的觀點，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
對方程的認識和理解將會更加深入.二分法就是函數知識的一個應用，通過它可以求得方程的近似解.在選定的初始區間時，注意分析函數圖象的變化趨勢，通過試驗確定端點.初始區間可以選的不同，不影響最終計算結果.二分法只是求方程近似解的一種方法，類似的還有0.618法、牛頓法與迭代法等.在教學過程中，我們要聯系函數的零點與方程根的關系，利用函數的有關知識，求相應方程的近似解.培養學生“函數與方程的思想方法”，即對于某些函數的問題，從方程的角度去解決，或方程的問題用函數的觀點去解決，充分體現函數與方程的有機聯系.很多參考資料是源于人教版教材，而人教版(A)中的精確度是這樣定義的：給定精度ε，若|a-b|＜ε，則得到零點近似值a(或b).教材第105頁給出例2，要求“精確到0.1”，解答中提到“由于|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，此時區間(1.375－1.437 5)的兩個端點精確到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精確到0.1的近似解為1.4”，所以兩套教材并不矛盾.人教版(B)中精確度的定義與(A)版一致，在教材第79頁給出一個例題，要求是“誤差不超過0.1”，所以用|a-b|＜ε也是正確的.但是按照蘇教版精確度的定義，正確的處理方法應該是“區間兩個端點的近似值相等”.習題詳解
課本第81頁習題2.5
1.解法1：∵Δ=12-4×1×1=-3＜0，∴方程x2+x+1=0沒有實數根.解法2：令f(x)=x2+x+1它的圖象是開口向上，對稱軸為直線x=?
∴當x=?1212的拋物線，時，y有最小值ymin=f(?12)=(?12)2+(?12)+1=
34＞0.∴函數的圖象全部在x軸上方，∴方程x2+x+1=0沒有實數根.2.令f(x)=5x2-7x-1
∵f(-1)·f(0)=(5+7-1)×(-1)=-11＜0，∴方程的一個根在區間(－1，0)內.同理f(1)·f(2)=(5-7-1)×(5×22-7×2-1)=-15＜0，∴方程的另一個根在區間(1，2)內.2
3.令f(x)=x-2x-2，作出函數的示意圖，設函數的一個零點為x1，由圖象可知，f(2)＜0,f(3)＞0.用計算器計算，得
f(2)＜0,f(3)＞0?x1∈(2,3)，f(2.5)＜0,f(3)＞0?x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.5,2.75)，f(2.625)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.625,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.75)＞0?x1∈(2.718 75,2.75)，f(2.718 75)＜0,f(2.734 375)＞0?x1∈(2.718 75,2.734 375).中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
因為2.718 75與2.734 375精確到0.1的近似值都為2.7，所以原方程的近似解為x1≈2.7.類似地可以求得另一個近似解為x2≈-0.7.點評：本題嚴格按照要求嚴格這樣算，但是在具體計算過程中，可少算一步.當計算得到x1∈(2.718 75,2.75)時，盡管區間兩端的近似值不同，左端點的近似值為2.7，右端點的近似值為2.8，但是由于x1＜2.75，所以只要比2.75小任何一點點，近似值都只能是2.7，所以到這一步其實我們已經可以確定x1的近似值只能是2.7了.至于另一個根x2，我們完全可以利用二次函數的對稱性得到，因為函數的對稱軸為直線x=1，所以x1+x2=2，所以x2≈-0.7，而沒有必要再進行如此重復的運算了.所以這里可以告誡學生，知識是死的，方法是活的，我們應該靈活應用所掌握的知識.4.解法1：由x2-3x-10=0，得(x-5)(x+2)=0，所以x1=-2，x2=5.解法2：由x-3x-10=0，得x=2
3?9?402?3?72，所以x1=-2，x2=5.5.(1)作出函數y=lg2x和函數y=-x+1的圖象〔圖(1)〕
圖(1)
令f(x)=lg2x+x-1，由圖象可知，函數只有一個零點在區間(0.5，1)內.由計算器計算，可得：
f(0.5)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.5,1), f(0.75)＜0,f(1)＞0?x1∈(0.75,1)，f(0.75)＜0,f(0.875)＞0?x1∈(0.75,0.875)，f(0.75)＜0,f(0.812 5)＞0?x1∈(0.75,0.812 5)，因為0.75與0.812 5精確到0.1的近似值都為0.8，所以原方程的近似解為x1≈0.8.x
(2)作出函數y=3和函數y=x+4的圖象〔圖(2)〕.令f(x)=3x-x-4，由圖象可知，函數的一個零點在區間(1，2)內，設其為x1
圖(2)
由計算器計算，可得：
f(1)＜0,f(2)＞0?x1∈(1,2)，f(1.5)＜0,f(2)＞0?x1∈(1.5,2)，f(1.5)＜0,f(1.75)＞0?x1∈(1.5,1.75)，f(1.5)＜0,f(1.625)＞0?x1∈(1.5,1.625)，f(1.5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.5,1.562 5)，f(1.531 25)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.531 25,1.562 5)，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
f(1.546 875)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.546 875,1.562 5)，f(1.554 687 5)＜0,f(1.562 5)＞0?x1∈(1.554 687 5,1.5625).因為1.554 687 5與1.562 5精確到0.1的近似值都為1.6，所以原方程的近似解為x1≈1.6.類似地可以求得另一個近似解為x2≈-4.0.中鴻智業信息技術有限公司
第四篇：示范教案(第2章 函數概念與基本初等函數Ⅰ習題課(二))
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
習題課(二)
(函數的概念和圖象)
教學過程
復習(教師引導，學生回答)
1.函數單調性的定義.2.證明函數單調性的基本步驟.3.函數奇、偶性的定義.4.根據定義判定函數奇、偶性的步驟.5.根據奇偶性可以把函數分為四類：奇函數；偶函數；既是奇函數，也是偶函數；既不是奇函數，也不是偶函數.6.既是奇函數，也是偶函數的函數有無數個，解析式都為f(x)=0，只要定義域關于原點對稱即可.7.映射的定義.8.映射f:A→B說的是兩個集合A與B間的一種對應，兩個集合是有序的.映射是由集合A、集合B和對應法則三部分組成的一個整體，判斷一個對應是不是映射應該抓住關鍵：A中之任一對B中之唯一.A中不能有多余的元素，應該一個不剩，而B中元素沒有這個要求，可以允許有剩余；映射只能是“一對一”或“多對一”，而不能是“一對多”或“多對多”，A到B的映射與B到A的映射往往不是同一個映射.映射所涉及兩個集合A、B，可以是數集，也可以是點集或其他類元素構成的集合.導入新課
前面一段，我們一起研究了函數的單調性、奇偶性以及映射有關概念及問題，并掌握了一定的分析問題、解決問題的方法，這一節，我們將對這部分內容集中訓練一下，使大家進一步熟悉函數的有關概念、基本方法與基本的解題思想；并通過典型例題進一步提高大家的分析問題、解決問題的能力.推進新課
基礎訓練
思路1
1.對應①：A={x|x∈R}，B={y||y|＞0}，對應法則f:
1→y； x
對應②：A={(x,y)||x|＜2,|y|＜2,x∈Z,y∈Z}，B={-2,-1,0,1,2}，對應法則f:(x,y)→x+y，下列判斷正確的是（）
A.只有①為映射
B.只有②為映射
C.①和②都是映射
D.①和②都不是映射
2.已知f(x)、g(x)是定義在R上的兩個不恒為零的函數，若f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，則f(x)·g(x)是（）
A.奇函數
B.偶函數
C.既是奇函數又是偶函數
D.非奇非偶函數
3.設f(x)、g(x)都是單調函數，有如下四個命題：
①若f(x)單調遞增，g(x)單調遞增，則f(x)-g(x)單調遞增；
②若f(x)單調遞增，g(x)單調遞減，則f(x)-g(x)單調遞增；
③若f(x)單調遞減，g(x)單調遞增，則f(x)-g(x)單調遞減；
④若f(x)單調遞減，g(x)單調遞減，則f(x)-g(x)單調遞減.其中正確的命題是（）
A.①和③
B.①和④
C.②和③
D.②和④
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
4.指出下列函數的單調區間，并說明在單調區間上函數是增函數還是減函數：
(1)f(x)=-x2+x-6;(2)f(x)=?
解答：1.A 2.A 3.C
4.(1)函數f(x)=-x2+x-6單調區間為(-∞，(-∞，x;(3)f(x)=-x3+1.11]，[，+∞)，f(x)在 2211]上為增函數，f(x)在[，+∞)上為減函數.2
2(2)f(x)=?x單調區間是[0，+∞)，f(x)在[0，+∞)上是減函數；
(3)f(x)=-x3+1單調區間為(-∞，+∞)，f(x)在(-∞,+∞)上是減函數.思路2
1.映射f:X→Y是定義域X到值域Y上的函數，則下面四個結論中正確的是…（）
A.Y中元素在X中不一定有元素與之對應
B.X中不同的元素在Y中有不同的元素與之對應
C.Y可以是空集
D.以上結論都不對
2.下列函數中，既非奇函數又非偶函數，并且在(-∞,0)上是增函數的是（）
A.f(x)=5x+2
B.f(x)=
C.f(x)=
x
1-1
D.f(x)=x2 x
3.設f(x)為定義在數集A上的增函數，且f(x)＞0，有下列函數：①y=3-2f(x)；②y=
1；f(x)③y=[f(x)]2；④y=f(x).其中減函數的個數為（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
1?x2
4.函數f(x)=（）x
A.是偶函數
B.是奇函數
C.既是奇函數又是偶函數
D.既不是奇函數也不是偶函數
5.函數f(x)=a(a≠0)在區間(-∞,0)上是（）x
A.增函數
B.減函數
C.a＞0時是增函數，a＜0時是減函數
D.a＞0時是減函數，a＜0時是增函數
6.對于定義在R上的函數f(x)，有下列判斷：
(1)f(x)是單調遞增的奇函數；
(2)f(x)是單調遞減的奇函數；
(3)f(x)是單調遞增的偶函數；
(4)f(x)是單調遞減的偶函數.其中一定不成立的是_________________.解答：1.D 2.A 3.B 4.B 5.D 6.(3)(4)
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
應用示例
思路1
例
1若函數f(x)=x2+bx+c對任意實數x都有f(2+x)=f(2-x)，那么…（）
A.f(2)＜f(1)＜f(4)
B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1)
D.f(4)＜f(2)＜f(1)
分析：此題解決的關鍵是將函數的對稱語言轉化為對稱軸方程.解法一：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數f(x)=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，由二次函數f(x)開口方向向上，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)，因為當x＜2時，y=f(x)為單調減函數，又因為0＜1＜2，所以f(0)＞f(1)＞f(2)，即f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.解法二：由f(2+x)=f(2-x)可知：函數f(x)=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2，由二次函數f(x)開口方向向上，畫出函數f(x)=x2+bx+c的草圖如右圖所示：
由草圖易知：f(2)＜f(1)＜f(4)，故選A.點評：(1)解法一是先將要比較大小的幾個數對應的自變量通過函數圖象的對稱軸化到該函數的同一個單調區間內，然后再利用該函數在該區間內的單調性來比較這幾個數的大小；解法二是根據所給條件畫出函數的草圖，只需將要比較大小的幾個數對應的自變量進行比較大小即可，當然，這與函數圖象的開口方向也有關.記憶技巧：若函數圖象開口向上，則當自變量離對稱軸越遠時函數值越大；
若函數圖象開口向下，則當自變量離對稱軸越遠時函數值越小.(2)通過此題可將對稱語言推廣如下：
①若對任意實數x，都有f(a+x)=f(a-x)成立，則x=a是函數f(x)的對稱軸；
②若對任意實數x，都有f(a+x)=f(b-x)成立，則x=
a?b是函數f(x)的對稱軸.2
例2
有下列說法：
①函數f(x)在兩個區間A、B上都是單調減函數，則函數f(x)在A∪B上也是單調減函數；
②反比例函數y=1在定義域內是單調減函數； x
③函數y=-x在R上是減函數；
④函數f(x)在定義域內是單調增函數，則y=[f(x)]2在定義域內也是單調增函數.其中正確的說法有（）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
分析：本題是有關函數單調性的選擇題，解決時采取各個擊破的方法.解：①不正確.因為函數f(x)=
1在區間A=(-∞,0)，B=(0,+∞)上都是單調減函數，但f(x)x在區間A∪B=(-∞,0)∪(0,+∞)上是沒有單調性的，所以①不正確、②不正確.反比例函數y=
1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內是沒有單調性的、x中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
③正確、④不正確.因為函數f(x)=x在定義域(-∞,+∞)內是單調增函數，但是函數y=[f(x)]2=x2在區間(-∞,0]上單調減，在區間[0,+∞)上單調增，而在定義域(-∞,+∞)內是沒有單調性的，所以④不正確.所以正確的說法只有1個，故本題選A.點評：(1)在“反比例函數y=
1在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)內是沒有單調性”這一點上，學生x經常會出錯，教師應向學生強調.(2)對于要讓我們判斷正確與否的問題，要學會通過舉反例的方法來判斷.(3)要判斷某個說法正確，需要嚴密的推理論證；要判斷某個說法不正確，只需要取出一個反例即可.例
3定義在(-1,1)上的奇函數f(x)在整個定義域上是減函數，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數a的取值范圍.分析：本題所給函數為抽象函數，沒有具體的函數解析式，要求實數a的取值范圍，關鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調區間上，利用函數的單調性使問題獲得解決.解：因為f(x)的定義域為(-1,1)，所以???1?1?a?1,2解得0＜a＜.①
3??1?1?3a?1,原不等式f(1-a)+f(1-3a)＜0化為f(1-3a)＜-f(1-a)，因為f(x)是奇函數，所以-f(1-a)=f(a-1)，所以原不等式化為f(1-3a)＜f(a-1)，因為f(x)是減函數，所以1-3a＞a-1，即a＜
由①和②得實數a的取值范圍為(0,1.② 21).2點評：(1)學生容易忘記定義域的限制，因此要重視定義域在解題中的作用.(2)解關于抽象函數的函數方程或函數不等式，基本思路是依據函數的單調性脫去“f”，要注意函數單調性定義與奇偶性定義的正確運用.若函數f(x)在區間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A；
?x1?x2?x1,x2?A
若函數f(x)在區間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?.x?x2?
1變式訓練
問題：請對題目條件作適當改變，并寫出解答過程.(學生有可能會得出如下變式)
(錯誤)變式一：定義在(-1,1)上的偶函數f(x)在整個定義域上是減函數，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數a的取值范圍.點撥：教師引導學生發現此變式一是錯誤的，因為偶函數f(x)在整個定義域上不可能是單調函數(圖象關于ｙ軸對稱)，鼓勵學生再改.(不當)變式二：定義在(-1，1)上的偶函數f(x)在(-1,0]上是減函數，若f(1-a)+f(1-3a)＜0，求實數a的取值范圍.點撥：教師引導學生發現此變式二的題目是正確的，但是沒有辦法解決.因為解決此類問題是依據函數的單調性脫去“f”，由f(1-a)+f(1-3a)＜0，得f(1-a)＜-f(1-3a)，不等式右邊的中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
負號沒有辦法去掉.例3中的函數f(x)為奇函數，不等式右邊的負號可以拿到括號里面，再根據函數f(x)的單調性來解決即可，而變式二中的函數f(x)為偶函數，不等式右邊的負號去不掉就沒有辦法利用函數f(x)的單調性來解決.拓展探究：
(正確)變式三：定義在(-1,1)上的偶函數f(x)在(-1,0]上是減函數，若f(1-a)＜f(1-3a)，求實數a的取值范圍.例
4已知函數f(x)=ax3+bx+1，常數a、b∈R，且f(4)=0，則f(-4)=____________.分析：本題所給的函數雖然給出了函數解析式，但解析式中含有兩個參數.想要將這兩個參數全部求出來再來求解顯然是不可能的，因為題目中只給出了一個條件，根據一個條件想要求出兩個未知數的值是辦不到的.因此嘗試著用整體思想來解決本題.解：(方法一)設g(x)=ax3+bx，則f(x)=g(x)+1.因為g(-x)=a(-x)3+b(-x)=-ax3-bx=-g(x)，所以g(x)是奇函數.因為f(4)=g(4)+1=0，所以g(4)=-1；又因為g(x)是奇函數，所以g(-4)=-g(4)=1，所以f(-4)=g(-4)+1=2.(方法二)因為f(x)=ax3+bx+1，所以f(-x)=a(-x)3+b(-x)+1=-ax3-bx+1，則f(-x)+f(x)=-ax3-bx+1+ax3+bx+1=2，即f(-x)=2-f(x)，所以f(-4)=2-f(4)=2-0=2.點評：(1)審題要重視問題的特征；(2)整體代換是解決此類問題常用的思想方法.例
5求函數f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最小值.分析：本題中的函數是二次函數，求二次函數在閉區間上的最值問題按照“配方——草圖——有效圖象”三部進行.解：因為函數f(x)的對稱軸是x=a，可分以下三種情況：
(1)當a＜2時，f(x)在[2，4]上為增函數，所以f(x)min=f(2)=6-4a；
(2)當2≤a≤4時，f(x)min=f(a)=2-a2；
(3)當a＞4時，f(x)在[2，4]上為減函數，所以f(x)min=f(4)=18-8a.(a?2),?6?7a,?
2綜上所述：f(x)min=?2?a,(2?a?4)，?18?8a,(a?2).?
點評：本題屬于二次函數在給定區間上的最值問題，由于二次函數的系數含有參數，對稱軸是變動的，屬于“軸動區間定”，由于圖象開口向上，所以求最小值要根據對稱軸x=a與區間[2，4]的位置關系，分三種情況討論；最大值在端點取得時，只須比較f(2)與f(4)的大小，按兩種情況討論即可，實質上是討論對稱軸位于區間中點的左、右兩種情況.變式訓練
1.求函數f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最大值.解：由例5可知f(x)max為f(2)與f(4)中較大者，根據函數f(x)=x2-2ax+2的草圖可知：
(1)當a≥3時，f(2)≥f(4)，則f(x)max=f(2)=6-4a；
(2)當a＜3時，f(2)＜f(4)，則f(x)max=f(4)=18-8a.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
故f(x)max=??6?4a,(a?3)，?8?8a,(a?3).2.求函數f(x)=x2-2ax+2在[2，4]上的最值.解：因為f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2，函數f(x)的對稱軸是x=a，(1)當a≤2時，f(x)min=f(2)=6-4a，f(x)max=f(4)=18-8a;
(2)當2＜a＜3時，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(4)=18-8a；
(3)當3≤a＜4，f(x)min=f(a)=2-a2，f(x)max=f(2)=6-4a；
(4)當a≥4時，f(x)min=f(4)=18-8a，f(x)max=f(2)=6-4a.例6
設x1，x2為方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，當m為何實數值時，x12+x22有最小值，并求這個最小值.錯解：因為x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，m?2.4m?2117
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-=(m-)2-.4162117
所以當m=時，x12+x22有最小值，且最小值為-.416
由韋達定理，得x1+x2=m，x1·x2=
分析：關于x的一元二次方程4x2-4mx+m+2=0有兩個實根，則它的判別式：Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，即m∈(-∞-1]∪[2,+∞)，m取不到
1，不能忽視一元二次方程有實根4的充要條件.正解：因為x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實根，由韋達定理，得x1+x2=m，x1·x2=m?2.4m?2117=(m-)2-.41621217)-的416
所以x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=m2-
又因為Δ=(-4m)2-4×4(m+2)≥0，解得m≤-1或m≥2.可根據二次函數f(m)=(m-草圖，知當m=-1時，ymin=
1.2
點評：求函數值域、最值，解方程、不等式等均要考慮字母的取值范圍，有些問題的定義域非常隱蔽.因此，我們要注意充分挖掘題目中的隱含條件.思路2
例
1是否存在實數λ，使函數f(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ在區間(-∞,-2]上是減函數，而在區間[-1,0)上是增函數？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由.分析：已知函數在規定區間上的單調性，運用定義可得出λ與所設的x1、x2的不等關系式，再根據變量x1、x2的兩個范圍，求出λ的范圍，由兩個已知條件求出λ的兩個范圍，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
若有公共部分則λ存在，若無公共部分，則λ不存在.解：因為f(x1)-f(x2)=x14-x24+(2-λ)(x12-x22)=(x12-x22)(x12+x22+2-λ).若x1＜x2≤-2，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＞4+4+2=10，所以當且僅當λ≤10時，f(x1)-f(x2)＞0恒成立，從而f(x)在區間(-∞,-2]上是減函數.若-1≤x1＜x2＜0，則x12-x22＞0，且x12+x22+2＜1+1+2=4，所以當且僅當λ≥4時，f(x1)-f(x2)＜0恒成立，從而f(x)在區間[-1,0)上是增函數.綜上所述，存在實數λ使f(x)在區間(-∞,-2]上是減函數，而在區間[-1,0)上是增函數，且實數λ的取值范圍為[4,10].點評：本題是一道探索性命題，是一道求函數單調性的逆向問題，定義是解決此類問題的最佳方法.例
2設定義在R上的偶函數y=f(x)在區間[0,+∞)上是減函數，若實數x滿足f(x)＞f(2x+1)，試求x的取值范圍.分析：要求x的取值范圍，關鍵是脫去“f”，因此要通過討論，在f(x)的單調區間上，利用函數的單調性使問題獲得解決.解：可分為三類來加以討論：
(1)若x≥0，則2x+1＞0，由題設，函數y=f(x)在區間[0,+∞)上是減函數，得0≤x＜2x+1，解之得x≥0.(2)若??x?0,1即x＜-，由于函數y=f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x)，故f(x)＞
2?2x?1?0,f(2x+1)f(-x)＞f(-2x-1)，而-x＞0，-2x-1＞0,且函數y=f(x)在區間[0,+∞)上是減函數，得1?x??,?解之，得x＜-1.2????x??2x?1,?x?0,1(3)若?即-＜x＜0，仿上可得f(x)＞f(2x+1)f(-x)＞f(2x+1)，22x?1?0,??11???x?0,有?2解之，得?＜x＜0.3???x?2x?1,綜上所述，x的取值范圍是(-∞,-1)∪(?1,+∞).3點評：(1)解關于抽象函數的函數方程或函數不等式，基本思路是依據函數的單調性脫去“f”，要注意函數單調性定義的正確運用；
若f(x)在區間A上遞增，且f(x1)＜f(x2)，則??x1,x2?A，x?x,2?1?x1,x2?A,若f(x)在區間A上遞減，且f(x1)＜f(x2)，則?
x?x,2?1
(2)若能注意到偶函數y=f(x)具有如下性質：f(x)=f(|x|)，則由題意可得，f(x)=f(|2x+1|)，從而有|x|＞|2x+1|，本題的求解可避開討論，過程更為簡捷.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
例3
設函數y=f(x)的定義域為R，且對于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，又當x＞0時，f(x)＜0,f(1)=-
1.求函數y=f(x)在區間[-4,4]上的最大值和最小值.2
分析：問題中的函數解析式沒有給出，求最值應從哪里入手呢？只要知道了函數的單調性，問題也就迎刃而解了.解：由題意知，對于任意x1,x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)①
在①中，令x1=x2=0，可得f(0)=0.在①中，令x1=x,x2=-x，可得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x).設x1,x2∈R且x1＜x2，則f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).因為x2-x1＞0，由題設知f(x2-x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，所以函數y=f(x)在R上是減函數，因此在區間[-4,4]上，有f(4)≤f(x)≤f(-4).又因為f(1)=-1，2
所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-1,f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)=-2，則f(-4)=-f(4)=2.故在區間[-4,4]上函數y=f(x)的最大值為2，最小值為-2.點評：(1)求解有關抽象函數的問題時，賦值法是常用的方法，給自變量x賦以一些特殊的數值，構造出含有某個函數值的方程，通過解方程使問題獲解；
(2)根據函數的單調性求函數的最值是常用方法之一，如果函數y=f(x)在區間[a,b]上是增(或減)函數，那么函數y=f(x)在區間[a,b]上的最大值為f(b)〔或f(a)〕，最小值為f(a)[或f(b)].例
4有甲、乙兩種商品，經營、銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次為P萬元和Q萬元，它們與投入資金x萬元的關系有經驗公式P=
13x，現有3萬元資金投入經營x，Q=
55甲、乙兩種商品，設其中有x萬元投入經營甲種商品，這時所獲得的總利潤為y萬元.(1)試將y表示為x的函數；
(2)為使所獲得的總利潤最大，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別為多少萬元？這時的最大利潤是多少萬元？
分析：這是一道實際應用問題，建立恰當的函數關系式是實現問題解決的基礎，要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.解：(1)當有x萬元投入經營甲種商品時，則有(3-x)萬元投入經營乙種商品，根據題意得：y=13x?3?x(x∈[0,3]).5
5這就是所求的函數關系式.(2)設y=3?x=t，則x=3-t2(t∈[0,3])，于是原函數關系式可化為123131(3-t)+t=-(t?)2+20(t∈[0,3]).555223213339
當t=時，ymax=.此時，x=3-()2=，3-x=3-=.220244
4因此，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金投入應分別投入0.75萬元和2.25萬元，所獲最大利潤是1.05萬元.點評：(1)遇到實際應用問題，建立恰當的函數關系式是實現問題解決的基礎，另外要注意：充分利用題目中所給的信息，不要忘記定義域.(2)求函數的最大值和最小值，方法比較靈活，對一些復雜的函數關系式，通過換元，中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
將其轉化為熟悉的函數來求解，體現了化歸思想的運用，值得我們好好地加以體會.本題中通過換元，將十分復雜的函數關系式轉化為我們較為熟悉的二次函數，求函數的最值就變得輕而易舉了.ax2?1
5例5
已知函數f(x)=是奇函數，且f(1)=2,f(2)=.2bx?c
(1)求函數f(x)的表達式；
(2)當x＞0時，討論函數f(x)的單調性，并寫出證明過程.分析：用方程確定a,b,c的值，用定義來證明函數單調性.解：(1)由f(-x)=-f(x)得-bx+c=-(bx+c)，所以c=0.又f(1)=2，即a+1=2b.因為f(2)=
5，所2?a?1,x2?14a?15?以=，得a=1，故?b?1,從而得f(x)=.a?12x?c?0,?x2?1
1(2)f(x)==x+在(0,1]上是單調減函數，在[1,+∞)上是單調增函數.證明如下：
xx任取0＜x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=(x1+
(x?x2)(x1x2?1)11111)-(x2+)=(x1-x2)+()=1.?)=(x1-x2)(1-x1x2x1x2x1x2x1x21x1x
①若0＜x1＜x2≤1，則x1-x2＜0,0＜x1x2＜1，于是f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以y=x+在區間(0,1]上是單調減函數.②若1≤x1＜x2，所以x1-x2＜0,x1x2＞1，于是f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).所以y=x+在區間[1,+∞)上是單調增函數.x2?11
綜上所述，函數f(x)==x+在(0,1]上是單調減函數，在[1,+∞)上是單調增函數.xx
點評：解題時值得注意的是奇(偶)函數條件的使用，函數是奇函數(或偶函數)也就意味著等式f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)]對于定義域內的任意x都成立，通過恒等式有關知識尋求等量關系.求函數單調區間一般有三種方法：(1)圖象法；(2)定義法；(3)利用已知函數的單調性法.本例圖象不易作出，利用函數y=x和y=
1的單調性也不行，故只能使用函數單調性的定x義來確定.例6
已知y=f(x)是定義在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數，且在(0,+∞)上是增函數，f(1)=0.(1)解不等式f(x)≥0；
(2)設函數g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1],m∈R)，集合M={m|g(x)＜0}，集合N={m|f[g(x)]＜0}，求M∩N.分析：本題中的函數f(x)是抽象函數，因此只能由函數的性質，結合函數的草圖來解決本題.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
解：(1)因為f(x)為定義在區間(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數且f(1)=0，所以f(-x)=-f(x)，則f(-1)=-f(1)=0；
當x∈(0,+∞)時，因為f(x)在(0,+∞)上是增函數，由f(x)≥0得x≥1；
因為奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同，又f(x)在(0,+∞)上是增函數，所以f(x)在區間(-∞,0)上也是增函數，又因為f(-1)=0，所以當x∈(-∞,0)時，由f(x)≥0得-1≤x＜0.綜上所述，不等式f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞).(2)由(1)可知f(x)≥0的解集為[-1,0)∪[1,+∞)，因為f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，所以f(x)＜0的解集為(-∞,-1)∪(0,1).所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜-1或0＜g(x)＜1，即N={m|g(x)＜-1或0＜g(x)＜1}，因為M={m|g(x)＜0}，所以M∩N={m|g(x)＜-1}.因為g(x)=-x2+mx-2m(x∈[0,1])，所以g(x)＜-1化為-x2+mx-2m+1＜0，即(x-2)m+1-x2＜0，因為x∈[0,1]，所以m＞x2?1(x?2)2?4(x?2)?333?=(x-2)++4=-[(2-x)+]+4，當x∈[0,1]時，2-x＞0，x?22?xx?2x?2根據函數h(t)=t+的圖象可知：-[(2-x)+m＞?21t3]+4≤?23+4，當x=2?3時取等號，所以2?x3+4.點評：本題所給函數是抽象函數，具有一定的綜合性；在解決第一問時可以借助函數的單調性與奇偶性畫出草圖來幫助我們解題；在解決第二問時，可能有學生會分別求出集合M與N，然后再取交集，教師應該引導學生按照以上解答過程來解決省時省力.鞏固訓練
思路1
1.已知函數f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數，則f(x)在區間(-5，-2)上是（）
A.增函數
B.減函數
C.部分為增函數，部分為減函數
D.無法確定增減性
解答：A
2.設函數f(x)=ax3+cx+5，已知f(-3)=3，則f(3)等于（）
A.3
B.-3
C.2
D.7
解答：D
3.已知偶函數y=f(x)在區間[0，4]上是增函數，則f(-3)和f(π)的大小關系是（）
A.f(-3)＞f(π)
B.f(-3)＜f(π)
C.f(-3)=f(π)
D.無法確定
解答：B
4.已知f(x)=x2+1在[-3，-2]上是減函數，下面結論正確的是（）|x|
A.f(x)是偶函數，在[2，3]上單調遞減
B.f(x)是奇函數，在[2，3]上單調遞減
C.f(x)是偶函數，在[2，3]上單調遞增
D.f(x)是奇函數，在[2，3]上單調遞增
解答：C
5.已知f(x)是奇函數，當x＞0時，f(x)=x(1-x)，則當x＜0時，f(x)等于 …（）
A.x(x+1)
B.x(x-1)
C.x(1-x)
D.-x(1+x)
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
解答：A
6.定義在R上的函數f(x)、g(x)都是奇函數，函數F(x)=af(x)+bg(x)+3在區間(0，+∞)上的最大值為10，那么函數F(x)在(-∞，0)上的最小值是.解答：-4
7.函數f(x)=x3+bx2+cx是奇函數，函數g(x)=x2+(c-2)x+5是偶函數，則b=__________，c=__________.解答：0 2
8.函數f(x)=|x-a|-|x+a|(a∈R)的奇偶性是__________.解答：a≠0奇函數，a=0既是奇函數又是偶函數
9.偶函數f(x)是定義在R上的函數，且在(0，+∞)上單調遞減，則f(-
3)和f(a2-a+1)的大4小關系是__________.10.f(x)是(-∞，+∞)上的奇函數，且在(-∞，+∞)上是減函數，那么滿足f(a)+f(a2)＞0的實數a的取值范圍是__________.解答：f(-3)≥f(a2-a+1)10.-1＜a＜0
4點評：本組練習以基礎題為主，難度不大.思路2
1.已知二次函數y=f(x)滿足條件f(0)=1及f(x+1)-f(x)=2x.(1)求y=f(x)的表達式；
(2)求y=f(x)在區間[-1,1]上的最大值和最小值.2.已知y=f(x)是定義在R上的偶函數，且f(x+2)=?1，若當2≤x≤3時，f(x)=x，則f(x)f(5.5)＝___________.3.某產品的總成本y萬元與產量x臺之間的函數關系式是y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本的最低產量為多少？
4.已知函數f(x)=ax2+a2x+2b-a3，(1)當x∈(-2，6)時，其值為正；x∈(-∞,-2)∪(6,+∞)時，其值為負，求a,b的值及f(x)的表達式；
(2)設F(x)=?kf(x)+4(k+1)x+2(6k-1)，k為何值時，函數F(x)的值恒為負值.4a10a，該集團今年計劃對這兩項生產共投入,Q=
35.某農工貿集團開發的養殖業和養殖加工生產業的年利潤分別是T和Q(萬元)，這兩項生產與投入的獎金a(萬元)的關系是P=獎金60萬元，為獲得最大利潤，對養殖業與養殖加工生產業投入應各為多少萬元？最大利潤為多少萬元？
解答：
1.解：(1)由題意可設f(x)=ax2+bx+1，則f(x+1)-f(x)=2ax+a+b=2x，因此a=1,b=-1, 所以f(x)=x2-x+1.123)+，x∈[-1,1], 2413
所以ymax=f(-1)=3，ymin=f()=.24
(2)因為f(x)=x2-x+1=(x-
中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
2.解：因為f(x+2)=?11，所以f(x+4)=?=f(x)，f(x?2)f(x)
則f(5.5)=f(1.5)，f(1.5)=f(-2.5)，又因為y=f(x)是定義在R上的偶函數，且當2≤x≤3時，f(x)=x，所以f(-2.5)=f(2.5)=2.5，因此f(5.5)=2.5.3.解：因為25x≥3 000+20x-0.1x2，即x2+50x-30 000≥0，所以x≥150(x≤-200舍去)，所以最低產量為150臺.23??f(?2)?4a?2a?2b?a?0,4.解：(1)由已知?解得：32a+8a2=0(a＜0)，所以a=-4，23??f(6)?36a?6a?2b?a?0,從而b=-8，所以f(x)=-4x2+16x+48.(2)F(x)=?k(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2，要使F(x)＜0，只要4?k?0,得k＜-2.????16?8k?0,5.解：設投入養殖業為x萬元，則投入養殖加工生產業為60-x萬元
x10?60?x(0≤x≤60)，設t=60?x,則0≤t≤60，x=60-t2，則33110185P+Q=(60-t2)+t=-(t-5)2+，33338
5所以當t=5，即x=35時，(P+Q)max=.385
因此對養殖業投入35萬元，對養殖加工生產業投入25萬元，可獲最大利潤萬元.3由題意，P+Q=
點評：本組練習對學生的能力要求比較高.課堂小結
函數的基本性質中單調性與奇偶性是緊密地聯系在一起的，在許多問題中常常需要結合在一起加以運用，因此，學習函數時，要正確理解函數的單調性和奇偶性，把握其本質特征，學會靈活地運用函數的單調性和奇偶性解題.研究函數問題時，要重視函數圖象的功能，掌握數形結合的思想方法，培養數形結合解題的意識，提高數形結合解題的能力.作業
課本第43頁習題2.1(3)
3、11.設計感想
深刻理解函數的有關性質：
概念是數學理論的基礎、概念性強是中學數學中函數理論的一個顯著特征，函數的單調性，奇偶性，最大(小)值等是函數有關概念的重要內容.本章學習的內容中數學概念較多，正確地理解數學概念在于準確把握概念的本質特征.函數的單調性是函數重要概念之一，應明確：
(1)它是一個區間概念，即函數的單調性是針對定義域內的區間而言的，談到函數的單調性必須指明區間(可以是定義域，也可以是定義域內某個區間)
(2)用函數單調性定義來確定函數在某區間是增函數還是減函數的一般方法步驟是：取值——作差——變形——定號——結論.中鴻智業信息技術有限公司
http://www.tmdps.cn 或http://www.tmdps.cn
(3)由函數單調性的定義知，當自變量由小到大，函數值也由小到大時，則為增函數，反之，為減函數；由于函數圖象的走向能直觀反映函數的變化趨勢，所以當函數的圖象(曲線)從左到右是逐漸上升的，它是增函數，反之為減函數.函數的奇偶性：奇偶性是對于函數的整個定義域而言的.判斷函數是否具有奇偶性時，首先要檢查其定義域是否關于原點對稱，然后再根據定義求出f(-x)并判斷它與f(x)的關系.函數圖象可直觀、生動地反映函數的某些性質，因此在研究函數性質時，應密切結合函數圖象的特征，對應研究函數的性質.函數是用以描述客觀世界中量的存在關系的數學概念，函數思想的實質是用聯系與變化的觀點提出數學對象，抽象數量特征，建立函數關系、解決各種問題.縱觀近幾年的高考試題，考查函數的思想方法已放在一個突出的位置上，特別是近三年加大了應用題的考查力度，選用的題目都要應用函數的思想、知識、方法才能解答的，因此在函數的學習中，一定要認識函數思想的實質，一定要強化應用意識.中鴻智業信息技術有限公司
第五篇：第1課時 正比例函數的圖象與性質
4.3 一次函數的圖象
第1課時 正比例函數的圖象與性質
【學習目標】
1．會作正比例函數的圖象．
2．通過作圖歸納正比例函數圖象的性質． 【學習重點】 作正比例函數圖象． 【學習難點】
正比例函數圖象和性質及應用．
學習行為提示：讓學生通過閱讀教材后，獨立完成“自學互研”的所有內容，并要求做完了的小組長督促組員迅速完成．
學習行為提示：認真閱讀課本，獨立完成“自學互研”中的題目．在探究練習的指導下，自主的完成有關的練習，并在練習中發現規律，從猜測到探索到理解知識．
說明：加強學生用描點法畫正比例函數圖象的能力，體會函數圖象上的點都滿足函數關系式，并通過觀察得出正比例函數圖象的特點．情景導入 生成問題
把一次函數自變量的每一個值與對應的函數值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系內描出相應的點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象．前面第1節就是摩天輪上一點的高度h(m)與旋轉時間t(min)之間函數關系的圖象．
正比例函數y＝kx的圖象是怎樣的呢？它具有哪些性質呢？下面，我們一起去研究吧！【說明】 給出函數圖象的定義，學生一目了然，結合實例便于學生理解它的含義，為下面學習畫函數圖象指明了方向．
自學互研 生成能力
知識模塊一 正比例函數圖象的畫法
先閱讀教材第83頁例1及解答過程．
思考：(1)你準備用什么方法畫出正比例函數y＝2x的圖象？(2)畫出函數圖象的一般步驟有哪些？
【說明】 讓學生經歷列表、描點、連線等畫函數圖象的具體過程，既可以加深對圖象意義的認識，了解圖象上點的橫、縱坐標與自變量值、函數值之間的對應關系，又為學習如何畫函數圖象及對用描點法畫函數圖象的一般步驟進行歸納做了準備．
【歸納結論】 畫函數圖象的一般步驟：列表、描點、連線．
與同伴合作交流完成教材第83頁“做一做”的學習與探究． 做一做：
(1)畫出正比例函數y＝－3x的圖象．
(2)在所畫的圖象上任意取幾個點，找出它們的橫坐標和縱坐標，并驗證它們是否都滿足關系式y＝－3x.討論：(1)滿足關系式y＝－3x的x，y所對應的點(x，y)都在正比例函數y＝－3x的圖象上嗎？(2)正比例函數y＝－3x的圖象上的點(x，y)都滿足關系式y＝－3x嗎？(3)正比例函數y＝kx的圖象有何特點？你是怎樣理解的？
【歸納結論】 正比例函數y＝kx的圖象是一條經過原點(0，0)的直線．因此，畫正比例函數圖象時，只需要確定一個點，過這點和原點畫直線就可以了．
知識模塊二 正比例函數圖象的性質
做一做：
1在同一直角坐標系內畫出正比例函數y＝x，y＝3x，y＝－x和y＝－4x的圖象．
學習行為提示：教會學生怎么交流．先對學，再群學．充分在小組內展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解決(可按結對子學—幫扶學—組內群學來開展)．在群學后期教師可有意安排每組展示問題，并給學生板書題目和組內演練的時間．
思考：上述四個函數中，隨著x值的增大，y的值如何變化？
【說明】 利用正比例函數的圖象，學生很直觀地歸納出正比例函數的增減性，注意不要受算術中正比例概念的影響，片面地認為正比例函數總是隨著自變量的增加而增加，它的增或減是由k的正或負決定的．
【歸納結論】 在正比例函數y＝kx中，當k>0時，y的值隨著x值的增大而增大；當k<0時，y的值隨著x值的增大而減?。?/p>
討論：
(1)正比例函數y＝x和y＝3x中，隨著x值的增大，y的值都增加了，其中哪一個增加得更快？你能解釋其中的道理嗎？
1(2)類似地，正比例函數y＝－x和y＝－4x中，隨著x的增大，y的值都減小了，其中哪一個
2減小得更快？你是如何判斷的？
【說明】 通過圖象讓學生進一步體會正比例函數增減的快慢是由|k|決定的，加深了對正比例函數圖象性質的理解．
交流展示 生成新知
1．將閱讀教材時“生成的問題”和通過“自主探究、合作探究”得出的“結論”展示在各小組的小黑板上，并將疑難問題也板演到黑板上，再一次通過小組間就上述疑難問題相互釋疑．
2．各小組由組長統一分配展示任務，由代表將“問題和結論”展示在黑板上，通過交流“生成新知”．
知識模塊一 正比例函數圖象的畫法 知識模塊二 正比例函數圖象的性質
檢測反饋 達成目標
【當堂檢測】見所贈光盤和學生用書；【課后檢測】見學生用書．
課后反思 查漏補缺
1．收獲：________________________________________________________________________ 2．
存
在困
惑
：________________________________________________________________________
點擊咨詢 