第一篇：2014屆高三數(shù)學一輪復習鞏固與練習：推理與證明推理與證明

鞏固

1．下列幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A與∠B是兩條直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人數(shù)均超過50人

C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)

11D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋)(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式 2an－

1解析：選A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(大前提)

∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角(小前提)

∠A＋∠B＝180°(結論)

2．下列表述正確的是()

①歸納推理是由部分到整體的推理 ②歸納推理是由一般到一般的推理 ③演繹推理是由一般到特殊的推理 ④類比推理是由特殊到一般的推理 ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

解析：選D.歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．

3．下面使用類比推理恰當?shù)氖?)

A．“若a23＝b23，則a＝b”類推出“若a20＝b20，則a＝b”

a＋babB．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“ cc

a＋babC．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“c≠0)” ccc

nnnnnnD．“(ab)＝ab”類推出“(a＋b)＝a＋b” c

解析：選C.由類比推理的特點可知．

4．(2010年安徽省皖南八校高三調(diào)研)定義集合A，B的運算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?(A∩B)}，則A?B?A＝________.解析：如圖，A?B表示的是陰影部分，設A?B＝C，運用類比的方法可知，C?A＝B，所以A?B?A＝B

.答案：B

5．(2009年高考浙江卷)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結論有：設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，T16成等比數(shù)列． T1

2解析：由于等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關，等比數(shù)列與積商有關，因此當?shù)炔顢?shù)列依次每4項之和仍成等差數(shù)列時，類比到等比數(shù)列為依次每4項的積的商成等比數(shù)列．下面證明該結論的正確性：

設等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項為b1，則T4＝b1q，T8＝b1q＝b1q，121＋2＋?＋111266

T12＝b1q＝b1q，4681＋2＋?＋7828

T8T12422438

＝b1q，T4T8T82T12T8T12

即)2T4，故T4，成等比數(shù)列． T4T8T4T8

T8T12

答案：T4T8

6．等差數(shù)列{an}中，公差為d，前n項的和為Sn，有如下性質(zhì)：(1)通項an＝am＋(n－m)d；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數(shù)列．

∴＝b1q，請類比出等比數(shù)列的有關性質(zhì)．

解：等比數(shù)列{an}中，公比為q，前n項和為Sn，則可以推出以下性質(zhì)：

n－m

(1)an＝amq；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am2an＝ap2aq；

(3)若m＋n＝2p，則am2an＝ap；

(4)當q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數(shù)列．

練習

1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是()A．三角形B．梯形 C．平行四邊形D．矩形

解析：選C.因為平行六面體相對的兩個面互相平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊互相平行，故選C.7598139b＋mb2，>>，?若a>b>0且m>0，則()

10811102521a＋maA．相等B．前者大 C．后者大D．不確定

b＋mb

解析：選B.觀察題設規(guī)律，由歸納推理易得.a＋ma

3．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故此奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)”，上述推理是()

A．小前提錯B．結論錯 C．正確的D．大前提錯 解析：選C.大前提正確，小前提正確，故命題正確． 4．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式

x2y2

C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓＝1的面積S＝πab

ab

D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛水艇

解析：選B.從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．

5．給出下列三個類比結論．

nnnnnnn

①(ab)＝ab與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222

③(a＋b)＝a＋2ab＋b與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋2a2b＋b.其中結論正確的個數(shù)是()

A．0B．1 C．2D．3 解析：選B.③正確．

6．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓點，第n個圖案中圓點的個數(shù)是an，按此規(guī)律推斷出所有圓點總和Sn與n的關系式為（）

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2n

C．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

解析：選A.事實上由合情推理的本質(zhì)：由特殊到一般，當n＝2時有S2＝4，分別代入即可淘汰B，C，D三選項，從而選A.也可以觀察各個正方形圖案可知圓點個數(shù)可視為首項為4，公差為4的等差數(shù)列，因此所有圓點總和即為等差數(shù)列前n－1項和，即Sn＝(n－1)34(n－1)(n－2)2＋2n－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)，演繹推理過程為________． 答案：大前提：三角函數(shù)是周期函數(shù)； 小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)； 結論：y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．

8．對于非零實數(shù)a，b，以下四個命題都成立：

12222

①aa＋b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a＝ab，則a

a

＝b.那么，對于非零復數(shù)a，b，仍然成立的命題的所有序號是________．

解析：對于①，當a＝i時，ai＋i－i＝0，故①不成立；

ai

對于②④，由復數(shù)四則運算的性質(zhì)知，仍然成立．

對于③，取a＝1，b＝i，則|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立． 答案：②④

9．已知數(shù)列2008,2009,1，－2008，－2009，?，這個數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前2009項之和S2009等于________．

解析：數(shù)列前幾項依次為2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，?每6項一循環(huán)，前6項之和為0，故前2009項包含334個周期和前5個數(shù)，故其和為2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：1

10．用三段論的形式寫出下列演繹推理．

(1)若兩角是對頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對頂角；(2)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等． 解：(1)兩個角是對頂角

則兩角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是對頂角.結論

(2)每一個矩形的對角線相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的對角線相等.結論 11.觀察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論． 解：若銳角α，β，γ滿足α＋β＋γ＝90°，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，首項a1＝5.(1)求數(shù)列{an}的前n項和Sn；

(2)設Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律．

解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)2d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)．

(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴Tn＝4n＋n.22

∴T1＝5，T2＝432＋2＝18，T3＝433＋3＝39，T4＝4342＋4＝68，T5＝4352＋5＝105.S1＝5，S2＝23(2＋4)＝12，S3＝33(3＋4)＝21，S4＝43(4＋4)＝32，S5＝53(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當n≥2時，Sn

第二篇：高三推理與證明專題復習

推理與證明專題復習

中心發(fā)言人：王 鑫

時間：2013年04月22日

教學目標

推理與證明

重點與難點

合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

教學過程

知識要點

1．推理

(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征(或性質(zhì))，推出該類事物的全部對象都具有這些特征(或性質(zhì))的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)．歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理．

(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡稱類比)．類比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)演繹推理：根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)導出特殊性命題為真的推理．常用模式“三段論”：大前提、小前提、結論．

2．數(shù)學證明

(1)直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法．

①分析法：從欲證結論出發(fā)，對結論進行等價變形，建立未知結論和已知的“條件，結論”因果關系；

②綜合法：從已知條件和結論出發(fā)，以演繹推理中的“三段論”規(guī)則為工具，推出未知結論；

說明：分析法是倒溯，綜合法是順推．分析法側(cè)重于結論提供的信息，綜合法則側(cè)重于條件提供的信息，把兩者結合起來，全方位地收集、儲存、加工和運用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路．沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎，它們相輔相成是對立統(tǒng)一的．

(2)間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而肯定命題的結論．證明欲證命題的等價命題—逆否命題.典例解析

f(x)?

例

1設，先分別求f(0)?f(1),f(?1)?f(2),f(?2)?f(3),，然后歸納猜想

一般性結論，并給出證明。

分析：由f(x)?計算各和式?得出結論?歸納猜想?證明

f(0)?f(1)?

?

?

?，同理可得

：

解

：

f(?1)?

f(2)?

f(?2)?f(3)?

證明：設x1?x2?

1,f(x1?x2)?

?

?

?

?

?

?

???,1?上是增函數(shù)；

例2（1）證明函數(shù)f(x)??x?2x在（2）當x?[?5,?2]時，f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)？

分析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù)f(x)滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值

x1,x

2且

x1?x2，f(x1)?f(x2)，小前提是函數(shù)

f(x)??x?2x，x∈

???,1?，結論滿足增函數(shù)定義。（2）關鍵是看[?5,?2]與f(x)的增區(qū)間或減區(qū)間的關系.證明：（1）

方法一：

任取

x1,x2

∈

???,1?，x1?x2

則

f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x2?x1?2),?x1?x2?1,?x2?x1?2?0,?f(x1)?f(x2)?0,f(x1)?f(x2)

于是，根據(jù)“三段論”可知，方法二：

'

f(x)??x?2x

在???,1?上是增函數(shù).'

?f(x)??2x?2??2(x?1),當x?(??,1)時，x?1?0,??2(x?1)?0,?f(x)?0在x?(??,1)上恒成立.故f(x)在(??,1]上是增函數(shù)。

???,1?的子區(qū)間，∴f(x)在解（2）∵f(x)在(??,1]上是增函數(shù)，而[?5,?2]是區(qū)間

[?5,?2]

上是增函數(shù).例3設P為?ABC內(nèi)一點，?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有

lAhA

?lBhB

?lChC

?

類比到空間中，設P是四面體ABCD內(nèi)一點，四頂點到對面的距離

分別為hA,hB,hC,hD，P到四個面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：解析：面積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?1；體積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?lDhD

?1

??a?b

?????

例 4（分析法）已知非零向量a,b，且a?b，求證：|a?b|.?2?2

????a?a

b?0。同意注意，分析：a?b?a?，將要證式子變形平方即可獲證。

??a?b

????

?????a?b?a?b||a?b|a?ba?

b?0證明：∵∴，要證，只需證，只需證 ?2???2?2???2?2???2?2?2

a?2ab?b?2(a?2a?b?b),只需證a?2ab?b?2a?2b，?2?2????

只需證a?b?2ab?0，即（a?b）?0，上式顯然成立，故原不等式得證。

13.例5（綜合法）已知x+y+z=1，求證

x?y?z?

222

分析：利用a2?b2?2ab，同時變形利用x+y+z=1，從而(x?y?z)2=1可證。證明：

?x?y?2xy,x?z?2xz,y?z?2yz,222222

?2x?2y?z?2xy?2xz?2yz.?3x?3y?3z?x?y?z?2xy?2xz?2yz?3(x?y?z)?(x?y?z)?1?x?y?z?

31??

?x?R,x??ax?1?a?x?1

.例6（反證法）給定實數(shù)a,a?0且a?1，設函數(shù)y?

求證：經(jīng)過該函數(shù)圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸.證明：假設y1?

y2(x1?x2)，即：

x1?1ax1?1

?x2?1ax2?1

?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)

?(a?1)(x1?x2)?0

.因為x1?x2，所以x1?x2?0，則a?1?0，即a?1這與已知條件相矛盾，故原命題成立.綜合訓練

1.下列表述正確的是（D）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2．分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使結論成立的（A）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b??

平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，?

這是因為（A）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 4．實數(shù)a、b、c不全為0的條件是（A）

A．a(chǎn)、b、c均不為0；B．a(chǎn)、b、c中至少有一個為0； C．a(chǎn)、b、c至多有一個為0； D．a(chǎn)、b、c至少有一個不為0.5．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列

1251017

|||| 4 — 361118||| 9 — 8 — 71219|| 16—15— 14 —1320| 25—24— 23 — 22 — 21

則上起第2 007行，左起第2 008列的數(shù)為(D)

A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007D．2 007×2 008 6．對大于或等于2的自然數(shù)m的n次方冪有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，則5＝1＋3＋5＋7＋9；若m(m∈N)的分解中最小的數(shù)是21，則m的值為5.7．在?ABC中，?A,?B,?C成等差數(shù)列，其對邊分別為a,b,c.求證：（提示：變形為

ca?b

?

aa?c

?1?a?c?ac?b

23*

1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.；?B?600，用余弦定理即可）.?lg

b?c2

?lg

c?a2

?lga?lgb?lgc

8.若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

a?b2

.14

9.若a,b,c都是小于1的正數(shù)，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數(shù)不可能同時大于.

第三篇：推理與證明練習

推理與證明課后練習

一、選擇題

1．觀察下列各式：1?1，2?3?4?3，3?4?5?6?7?5，4?5?6?7?8?9?10?7，以得出的一般結論是()

A．n?(n?1)?(n?2)?

B．n?(n?1)?(n?2)?

C．n?(n?1)?(n?2)?

D．n?(n?1)?(n?2)??(3n?2)?n2?(3n?2)?(2n?1)2 ?(3n?1)?n2 2222，可?(3n?1)?(2n?1)

22．求證：3?7?25，下述證明過程應用了()

A．綜合法 B．綜合法、分析法配合使用 C．分析法 D．間接證法 證明過程：因為3?7和2都是正數(shù)，所以為了證明3?7?2 只需證明?7???25?，展開得10?22221?20,21?5，只需證明21?25.因為21?25，所以不等式3?7?

2a?b”假設的內(nèi)容應是()a?b3．用反證法證明“如果，那么

A．a(chǎn)?bB．a(chǎn)?b

3333333a?ba?ba?b?bC． 且D． 或

4．用反證法證明：將9個球分別染成紅色或白色，那么無論怎么染，至少有5個球是同色的。其假設應是()

A．至少有5個球是同色的 B．至少有5個球不是同色的C． 至多有4個球是同色的 D．至少有4個球不是同色的5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

3按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()

A．6n?2 B．8n?2 C．6n?2 D．8n?2

2347?49,7?343,7?2401，?則72011的末兩位數(shù)字為()6．觀察下列各式

A．01 B．43 C．07 D．49

7.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，至第七個

疊放的圖形中，小正方體木塊總數(shù)就是()

A．25 B．66 C．91 D．120

二、解答題

1?b1?aa?0,b?0且a?b?2,求證:,ab中至少有一個小于2.8．已知

9．求證： ?5 > 22?7

10.若a、b、c是不全相等的正數(shù)．

求證：lg（a＋b）/2＋lg(b＋c)/2＋lg(c＋a)/2>lga＋lgb＋lgc.11.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則|FP1|、|FP2|、|FP3|之間有什么關系（梯形中位線）。

12.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an,并證明。

第四篇：推理與證明 復習

山東省xx一中20xx級

高二數(shù)學課時學案（文）

班級小組姓名________使用時間______年______月______日編號05

第2頁

第3頁

第4頁

第五篇：高三推理證明與數(shù)學歸納法一輪復習

第十六模塊推理證明與數(shù)學歸納法

第一部分合情推理與演繹推理

一、推理?設?前提：已知的事實或假 斷?結論：由前提推出的判

??歸納推理合情推理??

二、推理分類? ?類比推理?演繹推理?主要講三段論推理??

合情推理：前提為真，結論可能為真的推理

演繹推理：前提為真，結論必然為真的推理

合情推理的意義，可以根據(jù)條件猜測結論，為證明提供方向。

歸納推理：根據(jù)一類事物部分對象具有的性質(zhì)推出這類事物所有對象都具有這種性質(zhì)的推理，叫做歸納推理。

類比推理：根據(jù)兩類事物A與B有某些性質(zhì)P類似（或完全相同）。若A類事物還有性質(zhì)q可猜測B事物也有q的性質(zhì)。

例母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會下蛋，類比推理母雞也會下蛋。

母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會游泳，類比推理母雞也會游泳。

白母鴨與黑母鴨都是家禽類，白母鴨會游泳，類比推理黑母鴨也會游泳。

三段論推理：

大前提：一般性的判斷，如性質(zhì)，公理，定理，公式，已知常識等

小前提：已知條件

結論：由大前提和小前提推出的判斷

例：用三段論推理證明下面問題

已知：AB//CD,求證：∠1=∠

22大前提：兩直線平行，同位角相等

小前提：∠1與∠2是同位角，結論：∠1=∠2

第二部分直接證明與間接證明

??綜合法?直接證明?證明方法??分析法

?間接證明：?反證法??

一、綜合法由因到果（略）

二、分析法：由果索因

若a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

要想結論成立 只需lga?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc 222a?bb?cc?a..?lgabc成立 22

2由于y=lgx在x??0,???上為增函數(shù) a?bb?cc?a..?abc①成立 222

a?bb?cc?a??ab;?;?caa,b,c?R由于a,b,c是不全相等的正數(shù)故 因為222

a?bb?cc?a..?abca,b,c是不全相等的正數(shù)，所以等號取不到 所以222故這只需??

所以①成立。

所以原命題正確

分析法套話：要想?成立

只需?成立

這只需?成立

即?成立（變形）

因為?所以?顯然成立

所以原命題正確

練習：

設a,b,c為任意三角形的三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca

試證：I2?4S

證明：要想結論成立

只需?a?b?c??4?ab?bc?ca?成立① 2

這只需

即需

即需a222?b?c?2ab?2bc?2ca?0成立② 2222?a?ab?ac???b?bc?ba???c?ca?cb??0成立③ a

2?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0成立④ 22?a?b?c,b?a?c,c?a?b ∴a?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0顯然成立 22

分析：①?②?③?④?

分析法的每一步只要找上一步成立的充分性條件即可

⑵是否存在常數(shù)c,使得不等式xyxy??c??對任意的x,y恒成2x?yx?2yx?2y2x?y

立？試證明你的結論

分析：特值法找到c,再利用分析法證明

三、反證法：

1、證明格式：首先做出與問題結論相反的假設

從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾

所以假設不成立，原命題正確

注：這里的矛盾指的是與已知的矛盾，與假設矛盾，與公理，性質(zhì)，定理矛盾。例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

求證：a>0,b>0,c>0

師生活動：把“全（都）”，“不全（都）”，“至多”，“至少”化成恰好，找到原命題結論的否定結論。

A,b,c有3個數(shù)大于0，有0個數(shù)小于或等于0

a,b,c有2個數(shù)大于0，有1個數(shù)小于或等于0

a,b,c有1個數(shù)大于0，有2個數(shù)小于或等于0

a,b,c有0個數(shù)大于0，有3個數(shù)小于或等于0

從上面的分析可以看出，a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一個數(shù)小于或等于0 不妨設c≤0

由于abc>0故c≠0,故c<0以下略

第三部分數(shù)學歸納法

一、數(shù)學歸納法證明步驟

1、奠基步：驗證n?n時命題成立（n是使命題成立的最小自然數(shù)）002、遞推步：假設n=k時命題正確（此時默認

納假設）

驗證n=k+1時命題正確

3、綜上：n?n0?n?k時命題正確，所以這一步也叫做歸n,n?N0?命題成立

?等式問題?不等式問題??

二、數(shù)學歸納法類型題?數(shù)列問題

?整除問題???幾何問題

（一）等式問題

例求證：?n?1??n?2???n?n??

分析：⑴當n=1(從哪看出來？)

左=？怎么算？兩頭代中間夾。

右=？兩頭代中間夾

∴左=右

∴n=1時命題正確

⑵假設n=k時命題正確。即?k?1??k?2???k?k??2n?1?2??2n?1?n?N ???2k?1?3??2k?1?k?N ???

（把n換成k抄一遍）

當n=k+1時

左=？直接代入，再用“兩頭代中間夾”變形技巧把歸納假設找出來，用歸納假設證明問題。右=？直接代入

∴n=k+1時命題正確

綜上n?N*命題成立

證明：⑴當n=1時

左=1+1=2，右=2?1?

22k1∴左=右 ∴n=1時命題正確 ⑵假設n=k時命題正確。即?k?1??k?2???k?k??

當n=k+1時

右??1?3??2k?1?k?N ???2k?1?1?3??2k?1?

左=?k?2??k?3???2k?2?

??k?2???k?k??2k??2k?1???2k?2?

??k?1??k?2???k?k???2k?1??2

?2?1?3??2k?1? k?

1=右

∴n=k+1時命題正確

綜上n?N*命題成立

㈡ 不等式問題

用數(shù)學歸納法證明

1?111*????n?nn?N,n?1 232?1

11? 23??證明：當n=2時 左=1?

右=2

∴左<右

∴n=2時命題正確

假設n=k時命題正確，即1?

當n=k+1時 111????k?k成立 232?1

左=1?111????k?1 232?1

?1?11111???k?k??k?1 232?122?1

∴n=k+1命題成立

∴n?2,n?N*命題成立

練習：

1、用數(shù)學歸納法證明n?㈢ 數(shù)列問題

㈣ 整除問題 N*時，111n ????2n?12n?12n?11?33?

5是否存在正整數(shù)m使得f?n???2n?7?3n?9對任何n?N能被m整除？若存在，求*

出最大m的值，若不存在說明理由

解釋“最大”的含義

例6,8,12能被1,2整除，其中最大的且能整除這3個數(shù)是2，這個 2也叫6,8,12最大公約數(shù)。其中本題“最大的m”指所有項的最大公約數(shù)

f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360

猜想m=36

下證f?n???2n?7?3n?9能被36整除

證明：n=1時顯然成立

假設n=k時命題成立，即f?k???2k?7?

當n=k+1時 3k?9能被36整除

f?k?1???2?k?1??7?

3kk?1?9 ?1 ?3??2k?7??9?3?183

由二項式定理 ?k?1?

3k?1?1??2?1?

0k?11k?1?1 1k?21?Ck?1

2顯然1?Ck?121??Ck?121k?21k?2?Ck?121?1 k?10k?13k?1?1能被2整除

∴18?3k?1?1能被36整除 ?

∴f（k+1）能被36整除

∴n=k+1時命題成立

綜上n?

三常見問題 N*命題成立

1、投機取巧：奠基步不證明，例當n?n時，左邊=右邊，所以n?n時命題正確 002、把歸納假設證明了

3、格式不完整，缺少最后總結語

4、推理中沒有用到歸納假設。在變形中一定要把假設變出來再用假設證明問題。