第一篇：推理與證明隨堂練習

第二章 推理與證明隨堂練習

例

1、.對于任意正實數a,b

成立的一個條件可以是____.例

2、已知拋物線有性質：過拋物線的焦點作一直線與拋物線交于A、B兩點，則當AB與拋物線的對稱軸垂直時，AB的長度最短；試將上述命題類比到其他曲線，寫出相應的一個真命題為．

例

3、定義[x]為不超過x的最大整數，則[-2.1]=

例

4、通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結論，并證明結論的真假。sin2150?sin2750?sin21350?33202020；sin30?sin90?sin150?；2

233202020；sin60?sin120?sin180?22sin2450?sin21050?sin21650?

例

5、(2008佛山二模文、理)對大于或等于2的自然數m的n次方冪有如下分解方式： 22?1?332?1?3?542?1?3?5?7

23?3?533?7?9?1143?13?15?17?19根據上述分解規律，則52?1?3?5?7?9, 若m3(m?N*)的分解中最小的數是73，則m值為.例

6、(2008惠州調研二理)函數f(x)由下表定義：

x5321

4f(x)1 2 3 4 5若a0?5，an?1?f(an)，n?0,1,2,...，則a2007?

例

7、(2008深圳調研)圖（1）、（2）、（3）、（4）分別包含1個、5個、13個、25個第二十九屆北京奧運會吉祥物“福娃迎迎”，按同樣的方式構造圖形，設第n個圖形包含f(n)個“福娃迎迎”，則f(5)?；f(n)?f(n?1)?．（答案用數字或n的解析式表示）

例

8、現有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內有兩個邊長都是a的正方形，其a

2中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為．類比到空間，4有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為．

例

9、在平面直角坐標系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)?(y?y0)?r；則類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為 1 22

2________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.例

10、（1）已知等差數列的定義為:在一個數列中，從第二項起,如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數，那么這個數叫做等差數列，這個常數叫做該數列的公差．

類比等差數列的定義給出“等和數列”的定義：；

（2）已知數列an是等和數列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為____________．這個數列的前n項和Sn的計算公式為_____________________________________．

例

11、已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函數f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由；

（2）設函數f(x)=ax（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明： f(x)=ax∈M；

（3）若函數f(x)=sinkx∈M ,求實數k的取值范圍.??????例

12、定義a*b是向量a和b的“向量積”，它的長度|a*b|?|a|?|b|?sin?,其中?為向??????量a和b的夾角，若u?(2,0),u?v?(1,則|u*(u?v)|=.例

13、為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16．當接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

例

14、對于任意的兩個實數對(a,b)和(c,d)，規定：(a,b)?(c,d)，當且僅當a?c,b?d；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，設p,q?R，若(1,2)?(p,q)?(5,0)，則(1,2)?(p,q)????（）

A．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,?4)

例

15、對于集合A,B,定義運算A?B?{x|x?A且x?B}，則A?(A?B)=（）

A.BB.AC.A?BD.A?B

例

16、給出下面類比推理命題（其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集）：

①“若a、b?R，則a?b?0?a?b”類比推出“a、c?C,則a?b?0?a?b”②“若a、b、c、d?R，則復數a?bi?c?di?a?c,b?d”類比推出 “a、b、c、d?Q，則a?b2?c?d2?a?c,b?d”

③“若a、b、?R，則a?b?0?a?b”類比推出“若a、b?C,則a?b?0?a?b”

④“若x?R，則|x|?1??1?x?1”類比推出“若z?C，則|z|?1??1?z?1”其中類比結論正確的個數有 ．．．．

A．1 B．2C．3D．4（）

例

17、如果函數f(x)在區間D上是凸函數，那么對于區間D內的任意x1，x2，?，xn，f(x1)?f(x2)???f(xn)x?x2???xn?f(1).若y?sinx在區間(0,?)上是nn

凸函數，那么在?ABC中，sinA?sinB?sinC的最大值是________________.1?x例

18、設 f?x??，又記f1?x??f?x?,fk?1?x??f?fk?x??,k?1,2,?, 則1?x

f2008?x??（）

1?xx?11A．；B．；C．x；D．?； 1?xx?1x

a?a2???an例

19、（1）已知等差數列?an?，bn?1（n?N），求證：?bn?仍為等差n都有

數列；

（2）已知等比數列?cn?，cn?0（n?N），類比上述性質，寫出一個真命題并加以證明．

例20、我們將具有下列性質的所有函數組成集合M：函數y?f(x)(x?D)，對任意

x?yx?y1?D均滿足f()?[f(x)?f(y)]，當且僅當x?y時等號成立。22

2（1）若定義在(0，＋∞)上的函數f(x)∈M，試比較f(3)?f(5)與2f(4)大小.x,y,（2）設函數g(x)＝－x2，求證：g(x)∈M.例21、對于定義域為?0,1?的函數f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x??0,1?，)(1?；總有f(x)?0；②f1③若x1?0,x2?0,x1?x2?1，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)

成立，則稱函數f(x)為理想函數．

(1)若函數f(x)為理想函數，求f(0)的值；

(2)判斷函數g(x)?2?1（x?[0,1]）是否為理想函數，并予以證明；例

22、證明:若a,b?0,則lgxa?blga?lgb? 2

2例23.在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC 例24.已知a?b?0,求證a??a?b

例25.若a?b?c?d?0且a?d?b?c，求證：d?a??c

例26.已知a,b?R,a?b?1，求證：(a?2)?(b?2)?

例27.已知f(x)?a?x2225 2x?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根 x?

1*例28.某個命題與正整數n有關，若n?k(k?N)時該命題成立，那么可推得n?k?1時

該命題也成立，現在已知當n?5時該命題不成立，那么可推得

A.當n?6時，該命題不成立B.當n?6時，該命題成立

C.當n?4時，該命題不成立D.當n?4時，該命題成立

例29．已知a、b、c成等差數列且公差d?0，求證：111、、不可能成等差數列 abc

a?2x?a?2例30.設函數f(x)?為奇函數.2x?1

（Ⅰ）求實數a的值；（Ⅱ）用定義法判斷f(x)在其定義域上為增函數

例31.設,為非零向量，且,不平行，求證?，?不平行

例32.已知?為銳角，且tan??

22?1，函數f(x)?xtan2??x?sin(2???

4)，數列{an}的首項a1?1,an?1?f(an).2

⑴ 求函數f(x)的表達式； ⑵ 求證：an?1?an；

111?????2(n?2,n?N*)⑶ 求證：1?1?a11?a21?an

例33．（1）已知n是正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設n=k（k?2且為偶數）時命題為真，則還需證明（）

A.n=k+1時命題成立B.n=k+2時命題成立

C.n=2k+2時命題成立D.n=2（k+2）時命題成立

（2）用數學歸納法證明(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?3???(2n?1)(n?N?)，從“k到k+1”左端需乘的代數式是（）

2k?12k?3D.k?1k?1

111?n,(n?N?,n?1)時，（3）用數學歸納法證明：1+++??n在第二步證明從n=k232?1A.2k+1B.2(2k?1)C.到n=k+1成立時，左邊增加的項數是（）

A.2B.2?1C.2kkk?1D.2?1 k

1(n?1)2 2

11111111????...?例35.用數學歸納法證明等式：1????...? 2342n?12nn?1n?22n例34．用數學歸納法證明不等式?2?2?3???n(n?1)?

5an例36.數列{an}中，a1?,an?1?用數學歸納法證明：an?2(n?N?)(n?N?)，22(an?1)

例37.在數列{an}中，a1?tanx,an?1?21?an，1?an

（1）寫出a1,a2,a3；（2）求數列{an}的通項公式

n(n?1)(2n?1)6

例39.證明：1?(x?3)n,(n?N?)能被x?2整除 例38.求證：1?2???n?222例40.數列?an?滿足a1?1且an?1?(1?11)a?(n?1).，用數學歸納法證明：n2nn?n2an?2(n?2)；

第二篇：推理與證明練習

推理與證明課后練習

一、選擇題

1．觀察下列各式：1?1，2?3?4?3，3?4?5?6?7?5，4?5?6?7?8?9?10?7，以得出的一般結論是()

A．n?(n?1)?(n?2)?

B．n?(n?1)?(n?2)?

C．n?(n?1)?(n?2)?

D．n?(n?1)?(n?2)??(3n?2)?n2?(3n?2)?(2n?1)2 ?(3n?1)?n2 2222，可?(3n?1)?(2n?1)

22．求證：3?7?25，下述證明過程應用了()

A．綜合法 B．綜合法、分析法配合使用 C．分析法 D．間接證法 證明過程：因為3?7和2都是正數，所以為了證明3?7?2 只需證明?7???25?，展開得10?22221?20,21?5，只需證明21?25.因為21?25，所以不等式3?7?

2a?b”假設的內容應是()a?b3．用反證法證明“如果，那么

A．a?bB．a?b

3333333a?ba?ba?b?bC． 且D． 或

4．用反證法證明：將9個球分別染成紅色或白色，那么無論怎么染，至少有5個球是同色的。其假設應是()

A．至少有5個球是同色的 B．至少有5個球不是同色的C． 至多有4個球是同色的 D．至少有4個球不是同色的5．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：

3按照上面的規律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數為()

A．6n?2 B．8n?2 C．6n?2 D．8n?2

2347?49,7?343,7?2401，?則72011的末兩位數字為()6．觀察下列各式

A．01 B．43 C．07 D．49

7.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規律放下去，至第七個

疊放的圖形中，小正方體木塊總數就是()

A．25 B．66 C．91 D．120

二、解答題

1?b1?aa?0,b?0且a?b?2,求證:,ab中至少有一個小于2.8．已知

9．求證： ?5 > 22?7

10.若a、b、c是不全相等的正數．

求證：lg（a＋b）/2＋lg(b＋c)/2＋lg(c＋a)/2>lga＋lgb＋lgc.11.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點P1(x1，y1)、P2(x2，y2)、P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2＝x1＋x3，則|FP1|、|FP2|、|FP3|之間有什么關系（梯形中位線）。

12.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2、a3、a4，猜想an,并證明。

第三篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調整為40，45，54，61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數字為（）

8、（2006?遼寧）設⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數集 B、整數集 C、有理數集 D、無理數集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數對（a，b）和（c，d），規定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數（從左往右數）為（）A、B、C、D、14、根據給出的數塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續自然數按規律排成右表，根據規律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現正面的概率為0.5；（2）函數f（x）=x2-|x|為偶函數；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第四篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內容比較少，也就是教材中的直觀幾何內容。很快便轉向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統的歐式幾何受到沖擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉變換、對稱變換，投影等內容。老師們對內容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養，體現了逐步發展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內容，怎樣上好這部分內容，對老師、對學生而言，都是一個創新的機會。至于課題學習的評價方式，到現在為止，大多數省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現形式，是一種區別于傳統的、全新的，具有挑戰性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰性和綜合性問題的解決，經歷數學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發展。

4.讓學生體驗數學知識的內在聯系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數學的信心。

5.使數學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關注知識的價值，淡化數學術語，讓學生充分經歷數學化的過程，激發學生參與的熱情，使其體會到學習數學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務的。

第五篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個

圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規律畫出的一列“樹型”圖：

設第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內兩個不共線的向量，那么對于平面內任一向量a，有且只有一對實數?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內任一向量a，有且只有一對實數

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數的步驟是： 大前提． 小前提結論

滿足f(?x)??f(x)的函數是奇函數，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數．結論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數學歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數學歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當n=k+1時左端應在n=k的基礎上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當m?n?20

9．在數列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數列通項an的表達式為?

．

若三角形內切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據類比推理的方法，若一個四面體的內切球的半徑為R，四個面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根.假設x0是f(x)?0的負數根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負數根.12．已知命題：“若數列?an?是等比數列，且an?

0，則數列bn?

n?N)

?

也是等

比數列”．類比這一性質，你能得到關于等差數列的一個什么性質？并證明你的結論．

解：類比等比數列的性質，可以得到等差數列的一個性質是：若數列?an?是等差數列，則數列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設等差數列?an?的公差為d，則bn?所以數列?bn?是以a1為首項，13．用數學歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當n?1時，由以上可知等式成立；

（2）假設當n?k時，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當n?k?1時，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數列．

n?

n

對一切正整數n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結一切正整數 都成立．

14．用數學歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當n=1時，4+3=91能被13整除.(2)假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當n=k+1時也成立.由（1）（2）知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數學歸納法證明：對一切大于1的自然數，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當n=2時，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當n=k+1時，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數n,不等式都成立.16。試證明：不論正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時，均有：an+cn＞2bn.設a、b、c為等比數列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設a、b、c為等差數列，則2b=a+c猜想下面用數學歸納法證明：

①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設n=k時成立，即則當n=k+1時，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明：（1）當n?1時，一個圓把平面分成兩個區域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k?k?2個區域．

當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區域分成了兩部分，因此增加了2k個區域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區域． ∴n=k+1時，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影為M，則有什么結論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結DM，并延長交BC于E，連結AE，則有DE?BC． 因為AD?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數列{bn}是等比數列；（2）設cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數列{cn}是等差數列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數列{bn}是公比為2的等比數列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數列{cn}是公差為的等差數列，它的首項c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131