第一篇：數列、推理與證明

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數列、推理與證明

作者：湯小梅

來源：《數學金刊·高考版》2014年第03期

為了讓您理清數列、推理與證明的復習要點，理順數列中的一對姐妹花（等差數列與等比數列），成功穿越數列的應用，理透推理與證明的橫向聯系和縱向延伸，整合知識，提煉破解技巧，現走進經典例題，通過跟蹤練習，讓您復習數列、推理與證明so easy，輕松突破數列、推理與證明的思維瓶頸.

第二篇：數列不等式推理與證明

2012年數學一輪復習精品試題第六、七模塊 數列、不等式、推

理與證明

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

1．在等比數列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比數列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在數列{aa－n}中，a1＝1，當n≥2時，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比數列

C．各項倒數成等差數列

D．各項倒數成等比數列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數列{an}的通項公式是()

n-

1A．an＝2n－1B．a?n?1?

n??n??

C．an＝n2D．an＝n)

n2-6n

6．已知正項數列{an}的前n項的乘積等于Tn＝?的前n項和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

5?1?

??4?

(n∈N*)，bn＝log2an，則數列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()

?1??1?

A．a>bB.??

?2??2?

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．設a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11?

A．(a＋b)??ab?≥

4B．a3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b

9．當點M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(含邊界)運動時，目標函數z＝kx＋y取得最大值的一個最優解為(1,2)，則實數k的取值范圍是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

??lg|x|(x<0)10．設函數f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()

?2－1(x≥0)?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四個結論中，正確的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當n＝1時，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當n＝1時，恒為1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當n＝1時，恒為

1231232n＋1

111111

D．設f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線上． 13．已知Sn是等差數列{an}(n∈N*)的前n項和，且S6>S7>S5，有下列四個命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數列{Sn}中的最大項為S11，其中正確命題的序號是________．

14．在數列{an}中，如果對任意n∈N*都有數列，k稱為公差比．現給出下列命題：

(1)等差比數列的公差比一定不為0；(2)等差數列一定是等差比數列；

(3)若an＝－3n＋2，則數列{an}是等差比數列；(4)若等比數列是等差比數列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號為________． ＝q，(4)正確． 15．不等式

ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________． x－

1an＋2－an＋1

k(k為常數)，則稱{an}為等差比

an＋1－an

x≥0??

16．已知點P(x，y)滿足條件?y≤x

??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數)，若z＝x＋3y的最大值為8，則

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質檢)已知等差數列{an}的前三項為a－1，4,2a，記前n項和為Sn.(1)設Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)設bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各項均為正數的數列{an}的前n項和為Sn，首項為a1，且2，an，Sn成等差數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數列{cn}的前n項和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實

ax－1數x只有一個．

(1)求函數f(x)的表達式；

21(2)若數列{an}滿足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數列{bn}是等比數列，3an

并求出{bn}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x??

20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}

?

?

?

(1)求集合A，B；

(2)若B?A，求m的取值范圍．

2a2

21．(12分)解關于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工廠生產甲、乙兩種產品，每生產一噸產品所消耗的電能和煤、所需工人人數以及所得產值如表所示：

160千度，消耗煤不得超過150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產品的生產數量，才能使每天所得的產值最大，最大產值是多少．

第三篇：數列與推理證明檢測題

2013屆高三寒假作業數學章節檢測(5)

一 選擇題

()

2．已知等差數列?an?的前項和為Sn，若M,N,P三點共線，O為坐標原點，且?????????ON?aOM?1

5????

aO(P直線MP不過點O)，則S20等于（）6

A．15B．10C．40D．20

3．數列{an}中，a1?a2?1,an?2?an?1?an對所有正整數n都成立，則a10等于()A.3

4B.55

C.89

D.100

24．若數列{an}中an??n?6n?

7，則其前n項和Sn取最大值時，n?（）

A．3Ｂ．6Ｃ．7

Ｄ．6或7 5．已知數列?an?

a20=（）

A.0?

6．數列?an?滿足：an?2?an?1-an（n?N），且a2?1，若數列的前2011項之和為2012，則前2012項的和等于

A．0B． 1C．2012 7．用正偶數按下表排列

D．201

3則2008在第行第列.（）A．第 251 行第 5 列 B．第 251 行第 1列

C．第 250 行第 3 列

D．第 251 行第 5 列或第 252 行第 5列

8．黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規律拼成若干個圖案，則第五個圖案中有白色地面磚（）塊.A.21B.22C.20D.23

9．某個命題與正整數有關，若當n?k(k?N*)時該命題成立，那么可推得當n?k?1時該命題也成立，現已知當n?5時該命題不成立，那么可推得()

A、當n?6時，該命題不成立

C、當n?4時，該命題成立 10． 設數列{an}的前n項和為Sn，稱Tn為數列a1，a2，?，an

a1，的“理想數”，已知數列a1，a2，??，a502的“理想數”為2012，那么數列2，?，a2，a502的“理想數”為（）

A．2010B．2011C．2012D．201

311．一同學在電腦中打出如下若干個圓：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?，若依此規律繼續下去，得到一系列的圓，則在前2 012個圓中共有●的個數是（）A．61B．6

2【答案】A

C．63D．6

412．已知數列?an?的通項為an?

2n?1，Sn為數列?

an?的前n

數列

?bn?的前n項和的取值范圍為()

A二 填空題

．設等差數列?an?的前n項和為Sn，若a1?0，S5?S12，則當Sn取得最大值時，n的值為14n項和Sn

15．若{an}是遞增數列λ對于任意自然數n,an?n??n恒成立，求實數λ的取值范圍是

【答案】λ>－3

15數列?a

n?中，Sn?n,某三角形三邊之比為a2:a3:a4，則該三角形最大角為

16在Rt△ABC中，CA⊥CB，斜邊AB上的高為h1圖，在四面體P—ABC中，若PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，則h與PA, PB, PC

有關系式：．

D

O

三解答題

17．（本小題滿分12分）

等比數列{an}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N?，點(n,Sn)均在函數

y?b?r(b?0且b?1,b,r均為常數)的圖像上.x

（1）求r的值；（2）當b?

2{bn}的前n項和Tn.18．某少數民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖（1）、（2）、（3）、（4）她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮;現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形

（Ⅰ）求出f(5)的值；

（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n?1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式；

.19.（本小題14分）

在等差數列{an}中，a10?30,a20?50.(1)求數列{an}的通項an；(2)令bn?2a

n

?10，證明：數列{bn}為等比數列；

（3）求數列{nbn}的前n項和Tn.20

（Ⅰ）求f(x)?f(1?x),x?R的值；

(n?N*)，求數列{an}的通項公式；

（Ⅲ）若數列?bn?滿足bn?2n?1?an，Sn是數列?bn?的前n項和，是否存在正實數k，使不等式knSn?4bn對于一切的n?N?恒成立？若存在，請求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

21．已知數列?a

n?n項和S

n

（1）求數列?an?的通項公式；（222．（本小題滿分14分）已知數列?an?是各項均不為0的等差數列，公差為d，Sn為其前

n項和，且滿足an2?S2n?1，n?N*．數列?b

n?和．

（1）求a1、d和Tn；

Tn為數列?bn?的前n項

n

（2）若對任意的n?N*，不等式?Tn?n?8?(?1)恒成立，求實數?的取值范圍；

（3）是否存在正整數m,n(1?m?n)，使得T1,Tm,Tn成等比數列？若存在，求出所有

m,n的值；若不存在，請說明理由．

第四篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調整為40，45，54，61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數字為（）

8、（2006?遼寧）設⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數集 B、整數集 C、有理數集 D、無理數集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數對（a，b）和（c，d），規定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數陣叫“萊布尼茲調和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數（從左往右數）為（）A、B、C、D、14、根據給出的數塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續自然數按規律排成右表，根據規律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現正面的概率為0.5；（2）函數f（x）=x2-|x|為偶函數；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第五篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內容比較少，也就是教材中的直觀幾何內容。很快便轉向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統的歐式幾何受到沖擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉變換、對稱變換，投影等內容。老師們對內容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養，體現了逐步發展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內容，怎樣上好這部分內容，對老師、對學生而言，都是一個創新的機會。至于課題學習的評價方式，到現在為止，大多數省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現形式，是一種區別于傳統的、全新的，具有挑戰性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰性和綜合性問題的解決，經歷數學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發展。

4.讓學生體驗數學知識的內在聯系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數學的信心。

5.使數學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關注知識的價值，淡化數學術語，讓學生充分經歷數學化的過程，激發學生參與的熱情，使其體會到學習數學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務的。