第一篇：南京大學附中2014屆高三數學一輪復習單元訓練：推理與證明

南京大學附中2014屆高三數學一輪復習單元訓練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．若P?a?a?7，Q?a?3?a?4，(a?0)則P、Q的大小關系是()

B．P＝Q

D．由a的取值確定 A．P＞Q C．P＜Q

【答案】C

2．如果正數a,b,c,d滿足a?b?cd?4，那么()

A． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值唯一

B． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值唯一

C． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

D． ab?c?d且等號成立時a,b,c,d的取值不唯一

22【答案】A 3．用反證法證明命題：“如果a?b?0，那么a?b”時，假設的內容應是()

A．a?b

C．a?b

【答案】C

4．平面內有一長度為2的線段AB和一動點P,若滿足|PA|+|PB|=8,則|PA|的取值范圍是()

A．[1,4];B．[2,6];C．[3,5 ];D． [3,6].【答案】C

5．下面哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較合適()

A．三角形B．平行四邊形

C．梯形D．矩形

【答案】B

6．下邊所示的三角形數組是我國古代數學家楊輝發現的，稱為楊輝三角形，根據圖中的數構成的規律，a所表示的數是()

A．2 B．4 C．6 D．2222B．a?b D．a?b且a?b 22222

2【答案】C

7．由7598139b?mb與之間大小關系為()?,?,?,?若a>b>0,m>0,則10811102521a?ma

B．前者大 C．后者大 D．不確定 A．相等

【答案】B

8．用反證法證明命題：“a,b,c,d?R,a?b?1,c?d

少有一個負數”時的假設為()?1,且ac?bd?1,則a,b,c,d中至

A．a,b,c,d中至少有一個正數

C．a,b,c,d中至多有一個負數 B．a,b,c,d全為正數 D．a,b,c,d全都大于等于0

【答案】D

9．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規則為:明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時,則解密得到的明文為()

A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7

【答案】C

2S10．設△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內切圓半徑為r，則r＝；類a＋b＋c

比這個結論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝()

V2VA．B．S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S

43V4VC．D． S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4

【答案】C

11．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．則假設的內容是()

A．a，b都能被5整除

C．a不能被5整除

【答案】B B．a，b都不能被5整除D．a，b有1個不能被5整除

ax?a?x

12．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數，S(x)?，2ax?a?x，其中a?0，且a?1，下面正確的運算公式是()C(x)?2

①S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

②S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

③C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

④C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

A．①③

【答案】Ｄ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

13．連結球面上兩點的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于

B．②④ C．①④ D．①②③④

．

【答案】

514．某同學在證明命題“

要證明7?7???2”時作了如下分析，請你補充完整.?6?2，只需證明____________,只需證明____________,＋2?9?2，即?,只需證明14?18,____________,展開得9

所以原不等式:7??6?2成立.22(7?2)?(6?)7?2??3【答案】,，因為14?18成立。

15．同樣規格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規律第23個圖案中需用黑色瓷磚塊

.【答案】100

16．在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是 由6顆珠寶（圖中圓圈表示珠寶）構成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾如圖2，第四件 首飾如圖3，第五件首飾如圖4，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規律增加一定數量 的珠寶，使它構成更大的正六邊形，依此推斷第7件首飾上應有____________顆珠寶。

【答案】9

1三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．已知a是整數，a2是偶數，求證：a也是偶數．

【答案】（反證法）假設a不是偶數，即a是奇數．

設a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n2?n)是偶數，∴4n2?4n?1是奇數，這與已知a2是偶數矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數．

18．有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個字母(不分大小寫),依次對應1,2,3,?,26這26個自然數,見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2' X???x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??

285+1將明文轉換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22

①按上述規定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？

【答案】①g→7→7+115+1→d;o→15→→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho

②逆變換公式為

'''??2x?1(x?N,1?x?13)x??' ''??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o；

x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e

故密文shxc的明文為love

19．設{an}和{bn}均為無窮數列．

(1）若{an}和{bn}均為等比數列，試研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比數列？請證明你的結論；若是等比數列，請寫出其前n項和公式．

(2）請類比（1），針對等差數列提出相應的真命題（不必證明），并寫出相應的等差數列的前n項和公式（用首項與公差表示）．

【答案】（1）①設cn?an?bn，則設cn2n?12n?2n?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2))(a1q1n?2?b1q2

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??(或）n?1cnan?bna1q1n?1?b1q2

當q12?q2時，對任意的n?N,n?2，cn?cn?1cn?1（或cn?1?q1）恒成立，cn

故{an?bn}為等比數列；

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n),q1?q2?1.?1?q1?

當q1?q2時，2證法一：對任意的n?N,n?2，cn

證法二：c22?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比數列． 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比數列．

②設dn?anbn，對于任意n?N，*dn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比數列． dnanbn

?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2),qq?1.12?1?qq12?

(2）設{an}，{bn}均為等差數列，公差分別為d1，d2，則：

①{an?bn}為等差數列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)2

②當d1與d2至少有一個為0時，{anbn}是等差數列，n(n?1)a1d2； 2

n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1． 2若d1?0，Sn?a1b1n?

③當d1與d2都不為0時，{anbn}一定不是等差數列．

20．求證： 6?【答案】要證：

只需：?即證： > 22?7 ?5>22?77>22?成立，26?7??2> 2??2

只需證：13+242> 13+240

即證：42>40

∵42>40顯然成立，∴ 6?5>22?證畢。

21．△ABC的三個內角A、B、C成等差數列，a,b,c分別為三個內角A、B、C所對的邊，求證：

113??。a?bb?ca?b?c

【答案】要證

即證113a?b?ca?b?c，即需證????3。a?bb?ca?bb?ca?b?cca222??1。又需證c(b?c)?a(a?b)?(a?b)(b?c)，需證c?a?ac?b a?bb?c

∵△ABC三個內角A、B、C成等差數列?！郆=60°。由余弦定理，有b2?c2?a2?2cacos60?，即b2?c2?a2?ac。∴c2?a2?ac?b2成立，命題得證。

22．已知x?1,y?1，用分析法證明：x?y??xy.x?y??xy，即證?x?y?2??1?xy?2，22【答案】要證22即證x?y?1?xy，即證x?11?y

因為?

?2????2??0，??0，不等式得證． x?1,y?1，所以x2?1?0,1?y2?0，22所以x?11?y

第二篇：高三推理證明與數學歸納法一輪復習

第十六模塊推理證明與數學歸納法

第一部分合情推理與演繹推理

一、推理?設?前提：已知的事實或假 斷?結論：由前提推出的判

??歸納推理合情推理??

二、推理分類? ?類比推理?演繹推理?主要講三段論推理??

合情推理：前提為真，結論可能為真的推理

演繹推理：前提為真，結論必然為真的推理

合情推理的意義，可以根據條件猜測結論，為證明提供方向。

歸納推理：根據一類事物部分對象具有的性質推出這類事物所有對象都具有這種性質的推理，叫做歸納推理。

類比推理：根據兩類事物A與B有某些性質P類似（或完全相同）。若A類事物還有性質q可猜測B事物也有q的性質。

例母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會下蛋，類比推理母雞也會下蛋。

母雞與母鴨都是家禽類，母鴨會游泳，類比推理母雞也會游泳。

白母鴨與黑母鴨都是家禽類，白母鴨會游泳，類比推理黑母鴨也會游泳。

三段論推理：

大前提：一般性的判斷，如性質，公理，定理，公式，已知常識等

小前提：已知條件

結論：由大前提和小前提推出的判斷

例：用三段論推理證明下面問題

已知：AB//CD,求證：∠1=∠

22大前提：兩直線平行，同位角相等

小前提：∠1與∠2是同位角，結論：∠1=∠2

第二部分直接證明與間接證明

??綜合法?直接證明?證明方法??分析法

?間接證明：?反證法??

一、綜合法由因到果（略）

二、分析法：由果索因

若a,b,c是不全相等的正數，求證：lg

要想結論成立 只需lga?bb?cc?a?lg?lg?lga?lgb?lgc 222a?bb?cc?a..?lgabc成立 22

2由于y=lgx在x??0,???上為增函數 a?bb?cc?a..?abc①成立 222

a?bb?cc?a??ab;?;?caa,b,c?R由于a,b,c是不全相等的正數故 因為222

a?bb?cc?a..?abca,b,c是不全相等的正數，所以等號取不到 所以222故這只需??

所以①成立。

所以原命題正確

分析法套話：要想?成立

只需?成立

這只需?成立

即?成立（變形）

因為?所以?顯然成立

所以原命題正確

練習：

設a,b,c為任意三角形的三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca

試證：I2?4S

證明：要想結論成立

只需?a?b?c??4?ab?bc?ca?成立① 2

這只需

即需

即需a222?b?c?2ab?2bc?2ca?0成立② 2222?a?ab?ac???b?bc?ba???c?ca?cb??0成立③ a

2?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0成立④ 22?a?b?c,b?a?c,c?a?b ∴a?ab?ac?0,b?bc?ba?0,c?ca?cb?0顯然成立 22

分析：①?②?③?④?

分析法的每一步只要找上一步成立的充分性條件即可

⑵是否存在常數c,使得不等式xyxy??c??對任意的x,y恒成2x?yx?2yx?2y2x?y

立？試證明你的結論

分析：特值法找到c,再利用分析法證明

三、反證法：

1、證明格式：首先做出與問題結論相反的假設

從假設出發，經過推理論證得出矛盾

所以假設不成立，原命題正確

注：這里的矛盾指的是與已知的矛盾，與假設矛盾，與公理，性質，定理矛盾。例已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0

求證：a>0,b>0,c>0

師生活動：把“全（都）”，“不全（都）”，“至多”，“至少”化成恰好，找到原命題結論的否定結論。

A,b,c有3個數大于0，有0個數小于或等于0

a,b,c有2個數大于0，有1個數小于或等于0

a,b,c有1個數大于0，有2個數小于或等于0

a,b,c有0個數大于0，有3個數小于或等于0

從上面的分析可以看出，a,b,c全都大于0的反面是a,b,c至少有一個數小于或等于0 不妨設c≤0

由于abc>0故c≠0,故c<0以下略

第三部分數學歸納法

一、數學歸納法證明步驟

1、奠基步：驗證n?n時命題成立（n是使命題成立的最小自然數）002、遞推步：假設n=k時命題正確（此時默認

納假設）

驗證n=k+1時命題正確

3、綜上：n?n0?n?k時命題正確，所以這一步也叫做歸n,n?N0?命題成立

?等式問題?不等式問題??

二、數學歸納法類型題?數列問題

?整除問題???幾何問題

（一）等式問題

例求證：?n?1??n?2???n?n??

分析：⑴當n=1(從哪看出來？)

左=？怎么算？兩頭代中間夾。

右=？兩頭代中間夾

∴左=右

∴n=1時命題正確

⑵假設n=k時命題正確。即?k?1??k?2???k?k??2n?1?2??2n?1?n?N ???2k?1?3??2k?1?k?N ???

（把n換成k抄一遍）

當n=k+1時

左=？直接代入，再用“兩頭代中間夾”變形技巧把歸納假設找出來，用歸納假設證明問題。右=？直接代入

∴n=k+1時命題正確

綜上n?N*命題成立

證明：⑴當n=1時

左=1+1=2，右=2?1?

22k1∴左=右 ∴n=1時命題正確 ⑵假設n=k時命題正確。即?k?1??k?2???k?k??

當n=k+1時

右??1?3??2k?1?k?N ???2k?1?1?3??2k?1?

左=?k?2??k?3???2k?2?

??k?2???k?k??2k??2k?1???2k?2?

??k?1??k?2???k?k???2k?1??2

?2?1?3??2k?1? k?

1=右

∴n=k+1時命題正確

綜上n?N*命題成立

㈡ 不等式問題

用數學歸納法證明

1?111*????n?nn?N,n?1 232?1

11? 23??證明：當n=2時 左=1?

右=2

∴左<右

∴n=2時命題正確

假設n=k時命題正確，即1?

當n=k+1時 111????k?k成立 232?1

左=1?111????k?1 232?1

?1?11111???k?k??k?1 232?122?1

∴n=k+1命題成立

∴n?2,n?N*命題成立

練習：

1、用數學歸納法證明n?㈢ 數列問題

㈣ 整除問題 N*時，111n ????2n?12n?12n?11?33?

5是否存在正整數m使得f?n???2n?7?3n?9對任何n?N能被m整除？若存在，求*

出最大m的值，若不存在說明理由

解釋“最大”的含義

例6,8,12能被1,2整除，其中最大的且能整除這3個數是2，這個 2也叫6,8,12最大公約數。其中本題“最大的m”指所有項的最大公約數

f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360

猜想m=36

下證f?n???2n?7?3n?9能被36整除

證明：n=1時顯然成立

假設n=k時命題成立，即f?k???2k?7?

當n=k+1時 3k?9能被36整除

f?k?1???2?k?1??7?

3kk?1?9 ?1 ?3??2k?7??9?3?183

由二項式定理 ?k?1?

3k?1?1??2?1?

0k?11k?1?1 1k?21?Ck?1

2顯然1?Ck?121??Ck?121k?21k?2?Ck?121?1 k?10k?13k?1?1能被2整除

∴18?3k?1?1能被36整除 ?

∴f（k+1）能被36整除

∴n=k+1時命題成立

綜上n?

三常見問題 N*命題成立

1、投機取巧：奠基步不證明，例當n?n時，左邊=右邊，所以n?n時命題正確 002、把歸納假設證明了

3、格式不完整，缺少最后總結語

4、推理中沒有用到歸納假設。在變形中一定要把假設變出來再用假設證明問題。

第三篇：2014屆高三數學一輪復習鞏固與練習：推理與證明推理與證明

鞏固

1．下列幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內角互補，如果∠A與∠B是兩條直線的同旁內角，則∠A＋∠B＝180°

B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人數均超過50人

C．由平面三角形的性質，推測空間四面體的性質

11D．在數列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋)(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式 2an－

1解析：選A.兩條直線平行，同旁內角互補(大前提)

∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角(小前提)

∠A＋∠B＝180°(結論)

2．下列表述正確的是()

①歸納推理是由部分到整體的推理 ②歸納推理是由一般到一般的推理 ③演繹推理是由一般到特殊的推理 ④類比推理是由特殊到一般的推理 ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理

A．①②③B．②③④

C．②④⑤D．①③⑤

解析：選D.歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．

3．下面使用類比推理恰當的是()

A．“若a23＝b23，則a＝b”類推出“若a20＝b20，則a＝b”

a＋babB．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“ cc

a＋babC．“(a＋b)c＝ac＋bc”類推出“c≠0)” ccc

nnnnnnD．“(ab)＝ab”類推出“(a＋b)＝a＋b” c

解析：選C.由類比推理的特點可知．

4．(2010年安徽省皖南八校高三調研)定義集合A，B的運算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?(A∩B)}，則A?B?A＝________.解析：如圖，A?B表示的是陰影部分，設A?B＝C，運用類比的方法可知，C?A＝B，所以A?B?A＝B

.答案：B

5．(2009年高考浙江卷)設等差數列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數列．類比以上結論有：設等比數列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，T16成等比數列． T1

2解析：由于等差數列與等比數列具有類比性，且等差數列與和差有關，等比數列與積商有關，因此當等差數列依次每4項之和仍成等差數列時，類比到等比數列為依次每4項的積的商成等比數列．下面證明該結論的正確性：

設等比數列{bn}的公比為q，首項為b1，則T4＝b1q，T8＝b1q＝b1q，121＋2＋?＋111266

T12＝b1q＝b1q，4681＋2＋?＋7828

T8T12422438

＝b1q，T4T8T82T12T8T12

即)2T4，故T4，成等比數列． T4T8T4T8

T8T12

答案：T4T8

6．等差數列{an}中，公差為d，前n項的和為Sn，有如下性質：(1)通項an＝am＋(n－m)d；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am＋an＝ap＋aq；(3)若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；

(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等差數列．

∴＝b1q，請類比出等比數列的有關性質．

解：等比數列{an}中，公比為q，前n項和為Sn，則可以推出以下性質：

n－m

(1)an＝amq；

*

(2)若m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N，則am2an＝ap2aq；

(3)若m＋n＝2p，則am2an＝ap；

(4)當q≠－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成等比數列．

練習

1．下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是()A．三角形B．梯形 C．平行四邊形D．矩形

解析：選C.因為平行六面體相對的兩個面互相平行，類比平面圖形，則相對的兩條邊互相平行，故選C.7598139b＋mb2，>>，?若a>b>0且m>0，則()

10811102521a＋maA．相等B．前者大 C．后者大D．不確定

b＋mb

解析：選B.觀察題設規律，由歸納推理易得.a＋ma

3．“所有9的倍數(M)都是3的倍數(P)，某奇數(S)是9的倍數(M)，故此奇數(S)是3的倍數(P)”，上述推理是()

A．小前提錯B．結論錯 C．正確的D．大前提錯 解析：選C.大前提正確，小前提正確，故命題正確． 4．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的軌跡為橢圓

B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數列的前n項和Sn的表達式

x2y2

C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓＝1的面積S＝πab

ab

D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛水艇

解析：選B.從S1，S2，S3猜想出數列的前n項和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．

5．給出下列三個類比結論．

nnnnnnn

①(ab)＝ab與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋b；

②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；

2222222

③(a＋b)＝a＋2ab＋b與(a＋b)類比，則有(a＋b)＝a＋2a2b＋b.其中結論正確的個數是()

A．0B．1 C．2D．3 解析：選B.③正確．

6．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個圓點，第n個圖案中圓點的個數是an，按此規律推斷出所有圓點總和Sn與n的關系式為（）

A．Sn＝2n－2nB．Sn＝2n

C．Sn＝4n－3nD．Sn＝2n＋2n

解析：選A.事實上由合情推理的本質：由特殊到一般，當n＝2時有S2＝4，分別代入即可淘汰B，C，D三選項，從而選A.也可以觀察各個正方形圖案可知圓點個數可視為首項為4，公差為4的等差數列，因此所有圓點總和即為等差數列前n－1項和，即Sn＝(n－1)34(n－1)(n－2)2＋2n－2n.7．y＝cosx(x∈R)是周期函數，演繹推理過程為________． 答案：大前提：三角函數是周期函數； 小前提：y＝cosx(x∈R)是三角函數； 結論：y＝cosx(x∈R)是周期函數．

8．對于非零實數a，b，以下四個命題都成立：

12222

①aa＋b)＝a＋2ab＋b；③若|a|＝|b|，則a＝±b；④若a＝ab，則a

a

＝b.那么，對于非零復數a，b，仍然成立的命題的所有序號是________．

解析：對于①，當a＝i時，ai＋i－i＝0，故①不成立；

ai

對于②④，由復數四則運算的性質知，仍然成立．

對于③，取a＝1，b＝i，則|a|＝|b|，但a≠±b，故③不成立． 答案：②④

9．已知數列2008,2009,1，－2008，－2009，?，這個數列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2009項之和S2009等于________．

解析：數列前幾項依次為2008,2009,1，－2008，－2009，－1,2008,2009，?每6項一循環，前6項之和為0，故前2009項包含334個周期和前5個數，故其和為2008＋2009＋1－2008－2009＝1.答案：1

10．用三段論的形式寫出下列演繹推理．

(1)若兩角是對頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對頂角；(2)矩形的對角線相等，正方形是矩形，所以，正方形的對角線相等． 解：(1)兩個角是對頂角

則兩角相等，大前提 ∠1和∠2不相等，小前提 ∠1和∠2不是對頂角.結論

(2)每一個矩形的對角線相等，大前提 正方形是矩形，小前提 正方形的對角線相等.結論 11.觀察：

(1)tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝1；

(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°tan5°＝1.由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論． 解：若銳角α，β，γ滿足α＋β＋γ＝90°，則tanαtanβ＋tanβtanγ＋tanαtanγ＝1.12．已知等差數列{an}的公差d＝2，首項a1＝5.(1)求數列{an}的前n項和Sn；

(2)設Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規律．

解：(1)由已知a1＝5，d＝2，∴an＝a1＋(n－1)2d＝5＋2(n－1)＝2n＋3.∴Sn＝n(n＋4)．

(2)Tn＝n(2an－5)＝n[2(2n＋3)－5]，∴Tn＝4n＋n.22

∴T1＝5，T2＝432＋2＝18，T3＝433＋3＝39，T4＝4342＋4＝68，T5＝4352＋5＝105.S1＝5，S2＝23(2＋4)＝12，S3＝33(3＋4)＝21，S4＝43(4＋4)＝32，S5＝53(5＋4)＝45.由此可知S1＝T1，當n≥2時，Sn

第四篇：高三推理與證明專題復習

推理與證明專題復習

中心發言人：王 鑫

時間：2013年04月22日

教學目標

推理與證明

重點與難點

合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

教學過程

知識要點

1．推理

(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征(或性質)，推出該類事物的全部對象都具有這些特征(或性質)的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，叫做歸納推理(簡稱歸納)．歸納推理是由特殊到一般、部分到整體的推理．

(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫做類比推理(簡稱類比)．類比推理是由特殊到特殊的推理．

(3)演繹推理：根據一般性的真命題(或邏輯規則)導出特殊性命題為真的推理．常用模式“三段論”：大前提、小前提、結論．

2．數學證明

(1)直接證明：分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法．

①分析法：從欲證結論出發，對結論進行等價變形，建立未知結論和已知的“條件，結論”因果關系；

②綜合法：從已知條件和結論出發，以演繹推理中的“三段論”規則為工具，推出未知結論；

說明：分析法是倒溯，綜合法是順推．分析法側重于結論提供的信息，綜合法則側重于條件提供的信息，把兩者結合起來，全方位地收集、儲存、加工和運用題目提供的全部信息，才能找到合理的解題思路．沒有分析，就沒有綜合，分析是綜合的基礎，它們相輔相成是對立統一的．

(2)間接證明：反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結論的反面出發，引出矛盾，從而肯定命題的結論．證明欲證命題的等價命題—逆否命題.典例解析

f(x)?

例

1設，先分別求f(0)?f(1),f(?1)?f(2),f(?2)?f(3),，然后歸納猜想

一般性結論，并給出證明。

分析：由f(x)?計算各和式?得出結論?歸納猜想?證明

f(0)?f(1)?

?

?

?，同理可得

：

解

：

f(?1)?

f(2)?

f(?2)?f(3)?

證明：設x1?x2?

1,f(x1?x2)?

?

?

?

?

?

?

???,1?上是增函數；

例2（1）證明函數f(x)??x?2x在（2）當x?[?5,?2]時，f(x)是增函數還是減函數？

分析：（1）證明本題的大前提是增函數的定義，即增函數f(x)滿足：在給定區間內任取自變量的兩個值

x1,x

2且

x1?x2，f(x1)?f(x2)，小前提是函數

f(x)??x?2x，x∈

???,1?，結論滿足增函數定義。（2）關鍵是看[?5,?2]與f(x)的增區間或減區間的關系.證明：（1）

方法一：

任取

x1,x2

∈

???,1?，x1?x2

則

f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x2?x1?2),?x1?x2?1,?x2?x1?2?0,?f(x1)?f(x2)?0,f(x1)?f(x2)

于是，根據“三段論”可知，方法二：

'

f(x)??x?2x

在???,1?上是增函數.'

?f(x)??2x?2??2(x?1),當x?(??,1)時，x?1?0,??2(x?1)?0,?f(x)?0在x?(??,1)上恒成立.故f(x)在(??,1]上是增函數。

???,1?的子區間，∴f(x)在解（2）∵f(x)在(??,1]上是增函數，而[?5,?2]是區間

[?5,?2]

上是增函數.例3設P為?ABC內一點，?ABC三邊上的高為hA,hB,hC，P到三邊的距離為lA,lB,lC，則有

lAhA

?lBhB

?lChC

?

類比到空間中，設P是四面體ABCD內一點，四頂點到對面的距離

分別為hA,hB,hC,hD，P到四個面的距離為lA,lB,lC,lD，則有：解析：面積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?1；體積法：

lAhA

?lBhB

?lChC

?lDhD

?1

??a?b

?????

例 4（分析法）已知非零向量a,b，且a?b，求證：|a?b|.?2?2

????a?a

b?0。同意注意，分析：a?b?a?，將要證式子變形平方即可獲證。

??a?b

????

?????a?b?a?b||a?b|a?ba?

b?0證明：∵∴，要證，只需證，只需證 ?2???2?2???2?2???2?2?2

a?2ab?b?2(a?2a?b?b),只需證a?2ab?b?2a?2b，?2?2????

只需證a?b?2ab?0，即（a?b）?0，上式顯然成立，故原不等式得證。

13.例5（綜合法）已知x+y+z=1，求證

x?y?z?

222

分析：利用a2?b2?2ab，同時變形利用x+y+z=1，從而(x?y?z)2=1可證。證明：

?x?y?2xy,x?z?2xz,y?z?2yz,222222

?2x?2y?z?2xy?2xz?2yz.?3x?3y?3z?x?y?z?2xy?2xz?2yz?3(x?y?z)?(x?y?z)?1?x?y?z?

31??

?x?R,x??ax?1?a?x?1

.例6（反證法）給定實數a,a?0且a?1，設函數y?

求證：經過該函數圖象上任意兩個不同點的直線不平行于x軸.證明：假設y1?

y2(x1?x2)，即：

x1?1ax1?1

?x2?1ax2?1

?(x1?1)(ax2?1)?(x2?1)(ax1?1)

?(a?1)(x1?x2)?0

.因為x1?x2，所以x1?x2?0，則a?1?0，即a?1這與已知條件相矛盾，故原命題成立.綜合訓練

1.下列表述正確的是（D）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；

⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的（A）Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??

平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，?

這是因為（A）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤 4．實數a、b、c不全為0的條件是（A）

A．a、b、c均不為0；B．a、b、c中至少有一個為0； C．a、b、c至多有一個為0； D．a、b、c至少有一個不為0.5．自然數按下表的規律排列

1251017

|||| 4 — 361118||| 9 — 8 — 71219|| 16—15— 14 —1320| 25—24— 23 — 22 — 21

則上起第2 007行，左起第2 008列的數為(D)

A．2 0072B．2 0082C．2 006×2 007D．2 007×2 008 6．對大于或等于2的自然數m的n次方冪有如下分解方式：

22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據上述分解規律，則5＝1＋3＋5＋7＋9；若m(m∈N)的分解中最小的數是21，則m的值為5.7．在?ABC中，?A,?B,?C成等差數列，其對邊分別為a,b,c.求證：（提示：變形為

ca?b

?

aa?c

?1?a?c?ac?b

23*

1a?b

?

1b?c

?

3a?b?c

.；?B?600，用余弦定理即可）.?lg

b?c2

?lg

c?a2

?lga?lgb?lgc

8.若a,b,c是不全相等的正數，求證：lg

a?b2

.14

9.若a,b,c都是小于1的正數，求證：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數不可能同時大于.

第五篇：2013版高考數學二輪復習專題訓練 推理與證明

安徽財經大學附中2013版高考數學二輪復習專題訓練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)

1．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．則假設的內容是()

A．a，b都能被5整除 C．a不能被5整除【答案】B

2．設n為正整數,f(n)?1?

f(16)?3,f(32)?

212?13?...?

1n

B．a，b都不能被5整除

D．a，b有1個不能被5整除

52,經計算得f(2)?,f(4)?2,f(8)?，觀察上述結果,可推測出一般結論()

A． f(2n)?【答案】B

2n?12

n

B．f(2)?

n?22

2C． f(n)?

n?22

D．以上都不對

3．用反證法證明命題“若a2?b2?0，則a,b全為0”其反設正確的是()

A．a,b至少有一個不為0 C． a,b全不為0【答案】A

4．給出下面四個類比結論：

①實數a,b,若ab?0則a?0或b?0；類比向量a,b,若a?b?0，則a?0或b?0 ②實數a,b,有(a?b)?a?2ab?b;類比向量a,b,有(a?b)?a?2a?b?b

B． a,b至少有一個為0

D． a,b中只有一個為0

③向量a

?a；類比復數z，有z

?z

2222

④實數a,b有a?b?0，則a?b?0；類比復數z，z2有z1?z2?0，則z1?z2?0

其中類比結論正確的命題個數為()A．0 【答案】B

B．

1C．2

D．

35．若定義在正整數有序對集合上的二元函數f(x,y)滿足：①f(x,x)?x，②f(x,y)?f(y,x)③

(x?y)f(x,y)?yf(x,x?y)，則f(12,16)的值是()

A．12 B． 16 C．24 D．48 【答案】D

6．用反證法證明命題：“若整數系數一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么 a,b,c中至少有一個是偶數”時，應假設()

A．a,b,c中至多一個是偶數 C． a,b,c中全是奇數 【答案】C 7．由

710

?5811,9?81025,13

?921

B． a,b,c中至少一個是奇數

D． a,b,c中恰有一個偶數,?若a>b>0,m>0,則

b?ma?m

與

ba

之間大小關系為()D．不確定

A．相等 B．前者大 C．后者大

【答案】B

8．下面幾種推理過程是演繹推理的是()

A．兩條直線平行，同旁內角互補，如果?A和?B是兩條平行直線的同旁內角，則?A??B?180?． B．由平面三角形的性質，推測空間四面體性質．

C．某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人． D．在數列?an?中，a1?1,an?【答案】A

9．在求證“數列2，3，,5 不可能為等比數列”時最好采用()

A．分析法

B．綜合法

C．反證法

D．直接法

1?1?

a??n?1??n?2?，由此歸納出?an?的通項公式． 2?an?1?

【答案】C

10．下列哪個平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象比較合適()

A．三角形

C．平行四邊形

B．梯形 D．矩形

【答案】C

11．給出下列四個推導過程：

①∵a，b∈Ｒ＋，∴（b／a）+（a／b）≥2②∵x，y∈Ｒ＋，∴lgx+lgy≥2

;

=2;

③∵a∈R，a≠0， ∴（4／a）+a≥2 ④∵x，y∈R，xy＜0，=4;

∴（x／y）+（y／x）=-［（-（x／y））+（-（y／x））］≤-2其中正確的是()A．①② 【答案】D

B．②③

C．③④

D．①④

=-2.12．在證明命題“對于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過程：

“cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應用了()A．分析法

B．綜合法 D．間接證法

C．分析法和綜合法綜合使用 【答案】Ｂ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．觀察下列式子：1?

2?

32，1+

?

3?

54，1?

?

?

?

???，由此可歸納出的一般結

論是．

【答案】

14．三段論推理的規則為____________ ①如果p?q,p真，則q真;②如果b?c,a?b則a?c;③如果a//b,b//c, 則a//c④如果a?b,b?c,則a?c 【答案】②

a2b2ab

15．若a、b是正常數，a≠b，x、y∈(0，＋∞)＝xyxy49??

1論，可以得到函數f(x)＝x∈0，?的最小值為____________．

x1－2x??2??【答案】3

516．同樣規格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設的若干圖案，則按此規律第23個圖案中需用黑色瓷磚

塊

.【答案】100

三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．如圖，已知PA?矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點． 求證：（1）MN∥平面PAD；（2）MN?CD．

【答案】（1）取PD的中點E，連結AE，NE． 分別為PC，PD的中點． ∴EN為△PCD的中位線，∵N，E

∥∴EN

CD，AM?

AB，而ABCD為矩形，∴CD∥AB∴EN∥AM∴AENM，且CD?AB．，且EN?AM．

．

為平行四邊形，MN∥AE，而MN?平面PAC，AE?平面PAD，∴MN∥平面PAD∴CD?PA

(2）∵PA?矩形ABCD所在平面，而CD?AD，PA與AD是平面PAD內的兩條直交直線，∴CD?平面PAD，而AE?平面PAD，．

又∵MN∥AE，∴MN?CD．

∴AE?CD

18．若x,y都是正實數，且x?y?2, 求證：

1?xy

1?xy

?2

與

1?yx

?2中至少有一個成立.【答案】假設

?2

和

1?yx

?2都不成立，則有

1?xy

?2和

1?yx

?2同時成立，因為x?0且y?0，所以1?x?2y且1?y?2x 兩式相加，得2?x?y?2x?2y.所以x?y?2，這與已知條件x?y?2矛盾.因此

1?xy

?2

和

1?yx

?2中至少有一個成立.19．有一種密英文的明文(真實文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個字母(不分大小寫),依次對應1,2,3,?,26這26個自然數,見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1

(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2'

X??

?x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??2

85+1

將明文轉換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22①按上述規定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？ 【答案】①g→7→

7+115+1

=4→d;o→15→=8→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho ②逆變換公式為

'''

??2x?1(x?N,1?x?13)

x??

'''

??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o； x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e 故密文shxc的明文為love

20．已知a是整數，a2是偶數，求證：a也是偶數． 【答案】（反證法）假設a不是偶數，即a是奇數．

設a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n?n)是偶數，22

∴4n?4n?1是奇數，這與已知a是偶數矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數．

?a?b?c)．

【答案】因為a2?b2≥2ab，所以2(a2?b2)≥a2?b2?2ab（此處省略了大前提），?b≥2，a?b)（兩次省略了大前提，小前提）

同理，b?c)2

c?a)，a?b?c)．

?(省略了大前提，小前提）

n

22．設 f(x)＝x＋a.記f(x)＝f(x)，f(x)＝f(f

n－1

(x))，n＝1，2，3，?，1n

M＝{a∈R|對所有正整數n，|f(0)|≤2}．證明，M＝[－2，]．

4【答案】⑴ 如果a＜－2，則|f(0)|＝|a|＞2，a∈/M．

11nn－12

⑵ 如果－2≤a≤f(0)＝a，f(0)＝(f(0))＋a，n＝2，3，??．則

411n

① 當0≤a≤|f(0)|≤，(?n≥1).42

事實上，當n＝1時，|f(0)|＝|a|≤，設n＝k－1時成立(k≥2為某整數），21112

則對n＝k，|fk(0)|≤|fk－1(0)|＋a≤(2＋．

242

② 當－2≤a＜0時，|f(0)|≤|a|，(?n≥1)．

事實上，當n＝1時，|f1(0)|≤|a|，設n＝k－1時成立(k≥2為某整數)，則對n＝k，有

n

－|a|＝a≤(fk－1(0))＋a≤a2＋a

注意到當－2≤a＜0時，總有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．從而有|fk(0)|≤|a|．由歸納法，推出[－2，1

?M． 4

⑶ 當a＞時，記an＝fn(0)，21n＋1n

則對于任意n≥1，an＞aan＋1＝f(0)＝f(f(0))＝f(an)＝an＋a．

21111

對于任意n≥1，an＋1－an＝an－an＋a＝(an)2＋a－a－．則an＋1－an≥a－．

2444

12－a1

所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a)．當n＞時，an＋1＞n(a－)＋a＞2－a＋a＝2，414

a－

即fn＋1(0)＞2．因此a∈/M．綜合⑴，⑵，⑶，我們有M＝[－2，4