第一篇：人教版2013屆高三一輪復習課時訓練38：直接證明與間接證明

人教版2013屆高三一輪復習課時訓練38

直接證明與間接證明

x－y1．若|x|<1，|y|<1，試用分析法證明：|1－xy

x－y證明：要證1－xy

x－y2只需證：|<1?|x－y|2<|1－xy|2 1－xy

22?x＋y－2xy<1－2xy＋x2y

2?x2＋y2－1－x2y2<0

?(y2－1)(1－x2)<0

?(1－y2)(1－x2)>0.因為|x|<1，|y|<1，所以x2<1，y2<1，x－y從而(1－y2)(1－x2)>0成立，故|1－xy

sinB＋sinC2．在△ABC中，sinA＝，試判斷△ABC的形狀并證明． cosB＋cosC

解：△ABC是直角三角形，證明如下：

sinB＋sinC∵sinA＝A＋B＋C＝π，cosB＋cosC

∴sinAcosB＋sinAcosC＝sin(A＋C)＋sin(B＋A)．

∴sinCcosA＋sinBcosA＝0，即(sinC＋sinB)cosA＝0.π又∵sinC＋sinB≠0，∴cosA＝0，∴A＝ 2

∴△ABC是直角三角形．

一、選擇題

1．(2012·洛陽調研)用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為()

A．a，b，c中至少有兩個偶數

B．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數

C．a，b，c都是奇數

D．a，b，c都是偶數

解析：選B.自然數a，b，c中為偶數的情況為：a，b，c全為偶數；a，b，c中有兩個數為偶數；a，b，c全為奇數；a，b，c中恰有一個數為偶數，所以反設為：a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數．

2．若a，b，c為實數，且a

A．ac2ab>b

211baC. abab

2解析：選B.a－ab＝a(a－b)，∵a0，∴a2>ab.①

又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②

由①②得a2>ab>b2.1113．設a，b，c∈(－∞，0)，則ab＋c)bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個不大于－2D．至少有一個不小于－2

111解析：選C.因為a＋＋b＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.bca

4．若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是()

A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)

aa＋1C．a2＋3ab>2b2D.

1解析：選B.在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．

5．若a、b、c是不全相等的正數，給出下列判斷

①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；

②a>b與a

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．

其中判斷正確的個數是()

A．0B．

1C．2D．

3解析：選C.①②正確，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同時成立，如a＝1，b＝2，c＝3.二、填空題

6．用反證法證明命題“若實數a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個是非負數”時，第一步要假設結論的否定成立，那么結論的否定是：________.解析：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，故結論的否定是“a，b，c，d中沒有一個非負數，即a，b，c，d全是負數”．

答案：a，b，c，d全是負數

7．(2012·黃岡質檢)在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結論，則三邊a，b，c應滿足________．

b2＋c2－a

2解析：由余弦定理cosA＝<0，2bc

所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.答案：a2>b2＋c2

8．設a3＋2，b＝27，則a，b的大小關系為________．

解析：a3＋2，b＝27兩式的兩邊分別平方，可得

a2＝11＋46，b2＝11＋47，顯然7.∴a

三、解答題

9．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0b－ac3a.b－ac3a，只需證b2－ac<3a2，∵a＋b＋c＝0，只需證b2＋a(a＋b)<3a2，只需證2a2－ab－b2>0，只需證(a－b)(2a＋b)>0，只需證(a－b)(a－c)>0.因為a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，所以(a－b)(a－c)>0，顯然成立．

故原不等式成立．

10．已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由．

解：

(1)證明：由已知得SA＋AD＝SD，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假設在棱SC上存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC?平面SAD，∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點S矛盾，∴假設不成立．故不存在這樣的點F，使得BF∥平面SAD.11．已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸有兩個不同的交點．若f(c)＝0，且00.1(1)證明：f(x)的一個零點； a

1(2)試比較c的大小． a

解：(1)證明：∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點，∴f(x)＝0有兩個不等實根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，c又x1x2 a

11∴x2＝c)，aa

1∴f(x)＝0的一個根． a

1即f(x)的一個零點． a

11(2)c>0，aa

1由00，知f()>0，a

11這與f＝0c，aa

11又∵≠c，∴>c.aa

222

第二篇：高三一輪復習教案26直接證明與間接證明學生版

直接證明與間接證明

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

[難點正本 疑點清源]

1． 綜合法證明問題是由因導果，分析法證明問題是執果索因．

2． 分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用．

基礎題 1． 要證明“3＋5”可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是________．(填序號)

①反證法，②分析法，③綜合法．

ba2． 下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使≥2成立的條件ab的個數是________．

3． 已知函數f(x)＝lg

4． 下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反證法是間接證法．其中正確的有

A．2個/ 6

1－x，若f(a)＝b，則f(－a)＝______(用b表示)． 1＋x()B．3個C．4個D．5個

5． 用反證法證明命題“三角形三個內角至少有一個不大于60°”時，應假設

A．三個內角都不大于60° B．三個內角都大于60° C．三個內角至多有一個大于60° D．三個內角至多有兩個大于60° 題型分類

題型一 綜合法的應用

()

111?2例1 已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋??abc?≥63，并確定a，b，c為何

值時，等號成立．

21思維啟迪：利用a2＋b2≥2ab，再利用ab2，根據這個解題思路去解

ababab答本題即可．

已知a、b、c為正實數，a＋b＋c＝1.求證：(1)a2＋b2＋c2≥；

3(2)3a＋23b＋23c＋2≤6.題型二 分析法的應用

?a＋mb?2≤a＋mb.例2 已知m>0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m?

思維啟迪：本題若使用綜合法，不易尋求證題思路．可考慮使用分析法．

已知a>0，求證：

題型三 反證法的應用

例3 已知a≥－1，求證三個方程：

211a2－2≥a＋－2.aa

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個方程有實數根．

思維啟迪：“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“三個方程都沒有實數根”．

等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝12，S3＝9＋32.(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；

S(2)設bn(n∈N*)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

n

隨堂練

A組 專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1． 若a，b，c為實數，且a

A．ac2

B．a2>ab>b2 baD.ab

()

()

2． 設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，則a與b大小關系為

A．a>b

B．a

C．a＝b

D．a≤b

3． 分析法又稱執果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，b－ac<

3a”索的因應是 A．a－b>0

()

B．a－c>0 D．(a－b)(a－c)<0

C．(a－b)(a－c)>0

4． 用反證法證明某命題時，對結論：“自然數a，b，c中恰有一個偶數”正確的反設為

()

A．a，b，c中至少有兩個偶數

B．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數 C．a，b，c都是奇數 D．a，b，c都是偶數

二、填空題(每小題5分，共15分)

5． 設a>b>0，mab，n＝a－b，則m，n的大小關系是__________．

6． 用反證法證明命題“若實數a，b，c，d滿足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d

中至少有一個是非負數”時，第一步要假設結論的否定成立，那么結論的否定是_____． 7． 設x，y，z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若

x⊥z，且y⊥z，則x∥y”為真命題的是________(填寫所有正確條件的代號)．

①x為直線，y，z為平面；②x，y，z為平面；③x，y為直線，z為平面；④x，y為平面，z為直線；⑤x，y，z為直線．

三、解答題(共22分)

ππ

10，?，若x1，x2∈?0，且x1≠x2，求證：[f(x1)＋8．(10分)已知函數f(x)＝tan x，x∈??2??2

2f(x2)]>f?

9．(12分)已知四棱錐S－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，又SB＝SD2，SA＝1.(1)求證：SA⊥平面ABCD；

(2)在棱SC上是否存在異于S，C的點F，使得BF∥平面SAD？若存在，確定F點的位置；若不存在，請說明理由．

x1＋x2?

?2?.B組 專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)

一、選擇題(每小題5分，共15分)

1． 若a，b∈R，則下面四個式子中恒成立的是

A．lg(1＋a2)>0C．a2＋3ab>2b

2()

B．a2＋b2≥2(a－b－1)aa＋1D.bb＋

1()

2． 設a，b，c∈(－∞，0)，則a＋，b＋c

bca

A．都不大于－2B．都不小于－2

C．至少有一個不大于－2D．至少有一個不小于－2

3． 已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．給出以下三個結論：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正確結論的個數為 A．

3()

B．2C．1D．0

二、填空題(每小題5分，共15分)

4． 關于x的方程ax＋a－1＝0在區間(0,1)內有實根，則實數a的取值范圍是__________． 5． 若a，b，c為Rt△ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當n>2，n∈N*時，an＋bn與cn的大小關系為____________．

6． 凸函數的性質定理為如果函數f(x)在區間D上是凸函數，則對于區間D內的任意x1，x2，f?x1?＋f?x2?＋?＋f?xn??x1＋x2＋?＋xn?，xn，有f

nn??，已知函數y＝sin x在區間(0，π)上 是凸函數，則在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值為________．

三、解答題

a?x－1?

7．(13分)已知函數f(x)＝ln x－.x＋1

(1)若函數f(x)在(0，＋∞)上為單調遞增函數，求a的取值范圍； m－nm＋n＋

(2)設m，n∈R，且m>n，求證：.ln m－ln n2

第三篇：2012屆高三數學一輪復習基礎導航：20.2直接證明與間接證明

20.2直接證明與間接證明

【考綱要求】

1、了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點.3、了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.【基礎知識】

1.分析法：從原因推導到結果的思維方法.2.綜合法：從結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法.3.反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.[來源:Z。xx。k.Com]

應用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結論；⑵做出與命題結論相矛盾的假定；⑶由假定出發，應用正確的推理方法，推出矛盾的結果；⑷間接證明命題為真.4.數學歸納法：設｛pn｝是一個與自然數相關的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設pk成立的前提上，推出pk＋1也成立，那么可以斷定，｛pn｝對一切正整數成立.5.直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；間接證明的一種基本方法──反證法.6.數學歸納法的步驟：（1）證明當n=1時，命題成立。（2）證明假設當n=k時命題成立，則當n=k+1時，命題也成立。由（1）（2）得原命題成立

【例題精講】

例1已知a，b，c是互不相等的實數．

求證：由y＝ax＋2bx＋c，y＝bx＋2cx＋a和y＝cx＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．

證明：假設題設中的函數確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(即任何一條拋物線與x軸沒有兩個不同的交點)，由y＝ax＋2bx＋c，222

2y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)－4ac≤0，Δ2＝(2c)－4ab≤0，[來源:學科網]

Δ3＝(2a)－4bc≤0.上述三個同向不等式相加得，4b＋4c＋4a－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a＋2b＋2c－2ab－2bc－2ca≤0，∴(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≤0，∴a＝b＝c，這與題設a，b，c互不相等矛盾，因此假設不成立，從而命題得證．

111例2已知a＞0，－1, 1＋a＞.ba1－b 222222222222

1【證明】 證法一：由已知－＞1及a＞0，可知b＞0，ba

要證1＋a＞

1－b可證1＋a·1－b＞1，a－b11

即證1＋a－b－ab＞1，這只需證a－b－ab＞01，即1，abba

而這正是已知條件，以上各步均可逆推，所以原不等式得證．

1及a＞0，可知1＞b＞0，ba11

∵－＞1，ba

∴a－b－ab＞0,1＋a－b－ab＞1，(1＋a)(1－b)＞1.由a＞0,1－b＞0，得1＋a1－b＞1，即1＋a＞.1－b

[來源:學_科_網]20.2【基礎精練】

1．用反證法證明命題“如果a>b，那么a>b”時，假設的內容應是()

3A.a＝b

33B.a<

3333D.a＝b或a

直接證明與間接證明強化訓練

3333

C.a＝b且a

2．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的條件

有()

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．設S是至少含有兩個元素的集合．在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a，b∈S，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應)．若對任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是()

A．(a*b)*a＝aB．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝bD．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

4．設a、b、c是互不相等的正數，則下列不等式中不恒成立的是()

A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|C．|a－b|＋

a－b

2B．a＋≥a＋baab

aa

D.a＋3a＋1a＋2－a

5．已知函數f(x)＝ax＋2a＋1，當x∈[－1,1]時，f(x)有正值也有負值，則實數a的取值

范圍為________． 6．如果函數f(x)的定義域為R，對于m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－6，且f(－1)

是不小于5的正整數，當x>1時，f(x)<0.那么具有這種性質的函數f(x)＝________.(注：填上你認為正確的一個函數即可)

7．如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數共有n(n∈N)行，在這些數中非1的數字之和是

________________．11 121 1331 14641 ??[來源:學|科|網]

8．試證：當n∈N時，f(n)＝

39．如右圖所示，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點，求證：平面PAC⊥

平面BDE.10．已知數列{an}的前n項的和Sn滿足Sn＝2an－3n(n∈N)．

(1)求證{an＋3}為等比數列，并求{an}的通項公式；

(2)數列{an}是否存在三項使它們按原順序可以構成等差數列？若存在，求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

【拓展提高】

1.如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M、N分別為AB、DF的中點．(1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線．

*

*

2n＋

2

－8n－9能被64整除．

【基礎精練參考答案】

5.－1

f(1)·f(－1)<0，∴(a＋2a＋1)·(2a－a＋1)<0.∴－11時，f(x)<0，∴a<0且f(1)＝a＋6≤0.∴a≤－6(a∈Z)．∴a＝－6，－7，－8?都符合要求． 7.2－2n解析：所有數字之和Sn＝2＋2＋2＋?＋2

n

－1)＝2－2n.n

n－

1＝2－1，除掉1的和2－1－(2n

nn

8.證明：證法一：(1)當n＝1時，f(1)＝64，命題顯然成立．(2)假設當n＝k(k∈N，k≥1)時，f(k)＝3當n＝k＋1時，由于

32(k＋1)＋2*

2k＋2

－8k－9能被64整除．

－8(k＋1)－

9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(3

2k＋2

－8k－9)＋64(k＋1)，即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1時命題也成立． 根據(1)、(2)可知，對于任意n∈N，命題都成立． 證法二：(1)當n＝1時f(1)＝64 命題顯然成立．

(2)假設當n＝k(k∈N，k≥1)時，f(k)＝3由歸納假設，設3將

32k＋

22k＋2

*

2k＋2

*

－8k－9能被64整除．

－8k－9＝64m(m為大于1的自然數)，＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得

f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1時命題也成立．

根據(1)(2)知，對于任意n∈N，命題都成立． 9.證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.又∵O是正方形的中心，∴BD⊥AC.∵PO∩AC＝0，∴BD⊥平面PAC，又BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.10.證明：(1)∵Sn＝2an－3n(n∈N)，∴a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3.又由?

?Sn＝2an－3n，?

*

*

??Sn＋1＝2an＋1－3(n＋1)

n

得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，[來源:學§科§網

Z§X§X§K]

∴an＋1＋3＝2(an＋3)，∴{an＋3}是首項為a1＋3＝6，公比為2的等比數列．[來源:Zxxk.Com] ∴an＋3＝6×2

n－

1，即an＝3(2－1)．

(2)解答：假設數列{an}中存在三項ar，as，at(r

s

r

t

s＋1

＝2＋2，∴2

rts＋1－r

＝1＋2

t－r

(*)

∵r、s、t均為正整數且r

列。[來源:Zxxk.Com][來源:學科網ZXXK] 【拓展提高參考答案】

解：(1)取CD的中點G，連結MG、NG.設正方形ABCD、DCEF的邊長為2，則MG⊥CD，MG＝2，NG2.因為平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF.可得∠MNG是MN與平面DCEF所成的角．

因為MN6，所以sin∠MNG＝MN與平面DCEF所成角的正弦值．

(2)證明：假設直線ME與BN共面，則AB?平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于

EN.由已知，兩正方形不共面，故AB?平面DCEF.又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF，這與EN∩EF＝E矛盾，故假設不成立．[來源:學+科+網Z+X+X+K][來源:學科網]

所以ME與BN不共面，它們是異面直線．

第四篇：直接證明和間接證明(4個課時)教案

2．2直接證明與間接證明

教學目標：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據實際題目靈活地選擇適當地證明方法；

（4）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學建議：

1．知識結構:（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應用）==〉（綜合應用）

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉化為證明與之等價的a-b>0．這種證法就是求差比較法．

由于當b>0時,a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉化為證明與之等價的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”．

其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負的數(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列已知條件推導變換，推導出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據．

②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結論）

④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更實用.（5）關于分析法與綜合法關系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，逐步地推導，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論已知.綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知 結論．

③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的． 第一課時 不等式的證明（比較法）教學目標

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學重點:

比較法的意義和基本步驟.教學難點:

常見的變形技巧.教學方法； 啟發引導法.教學過程：（－）導入新課

教師提問：根據前一節學過（不等式的性質）的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小？

找學生回答問題．

（學生回答：，，）

［點評］要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現在我們就來學習：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

作差比較法

[問題] 求證

教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明．

學生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過．

②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據是：

④由 需證明，知：要證明

只需證

；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想．

【例題示范，學會應用】

教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關于的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例點評］

①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號;

②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定;

③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知

都是正數，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝ ．

因為 所以

∴ 都是正數，且

． ．，即：

[本例點評]

①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是實數,且a?b,求證a?b?ab?ab3322

證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

[本例點評]

①作差后是通過分組，提取公因式對差式進行恒等變形，化成n 個括號相乘的形式，從而推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——分組，提取公因式法;求商比較法：

例1 已知a,b是正數,求證ab?ab,當且僅當a?b時,等號成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

根據要證的不等式的特點(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當且僅當a?b時,等號成立.?ab?ab,當且僅當a?b時,等號成立.abbaaa?b?1小結：作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式．

（最后是與1比較）

(三)課堂練習

教師指定練習題，要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題．

練習：1．求證，求證

2．已知，，d都是正數，且

目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調節課堂教學．

（四）布置作業

2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求證：2?1x?

14、求證：1?q?q?q(q?0)734

5、設a,b?R

a?b?,求證：ab?(ab)ab2

第二課時 綜合法

●教學目標

(一)教學知識點 綜合法證明不等式.(二)能力訓練要求

1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養學生嚴謹周密的邏輯思維習慣,加強學生實踐能力的訓練,由因導果,進一步鞏固學生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實提高學生的思想道德品質.●教學重點

1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因導果”,從已知條件及已知不等式出發,不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結論).運用不等式的性質和已證明過的不等式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對a>0,b>0,當且僅當a=b時取“=”號.ab?ba(4)當a,b同號時有(5)a?b?c333

3≥2,當且僅當a=b時取“=”號.?3abc(a>0,b>0,c>0),當且僅當a=b=c時取“=”號.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當且僅當a=b=c時取“=”號.●教學難點

“由因導果”時,從哪個不等式出發合適是綜合法證明不等式的難點.●教學過程 1.課題導入

［師］同學們,前面我們學習了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導學生復習“算術平均數與幾何平均數”的關系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當且僅當a=b時取“=”號;2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),當且僅當a=b時取“=”號;

(5)ab?b（6）aa?b?c≥2,(ab>0),當且僅當a=b時取“=”號；

?3333abc,(a,b,c∈R),當且僅當a=b=c時取“=”號；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當且僅當a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節課學習“比較法”證明不等式的基礎上，繼續學習證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

一般地，從已知條件出發，利用定義、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導果法。

下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創設運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333邊有三正數a,b,c的“積”，我們可以創設運用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教師引導學生，完成證明）

22證法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因為a,b,c為不全相等的正數，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數.222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性質定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經成立）的不等式或定理出發，結合不等式性質，逐步推出（由因導果）所證的不等式成立.2.在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創設條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

Q1?Q2 Q2?Q3

…

Qn?Q

特點:“由因導果”

例2：在△ＡＢＣ中，三個內角Ａ、Ｂ、Ｃ對應的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差數列可得什么?Ｃ成等差數列，a、b、c成等比數列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 由a,b,c成等比數列可得什么?

3、課堂練習

1、在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數列，求證： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、課后作業

1．a

A．ab+

C．

1a?1b

2（）

?1

a2B．|a|>－b ?b22 D．b>a

2．a,b∈R，M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b，則M、A、G、H間的大小關系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a+b 2

2（）

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求證：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c為正實數，求證：bca?acb?abc?a?b?c

第三課時 分析法

●教學目標

(一)教學知識點 分析法證明不等式.(二)能力訓練要求

1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實質——執果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標

分析法證明不等式意在提高學生的數學素質,培養學生的創新意識,加強學生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學生認識到事物間是有聯系的辯證唯物主義觀念.●教學重點

分析法證明不等式,就是“執果索因”,從所證的不等式出發,不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學難點

1.理解分析法的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(分析推理)步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學過程

1.課題導入

［師］隨著我們對不等式證明學習的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計可施,由題設不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發現解題思路,從而達到證明不等式的目的.今天,我們根據這種基本思路,繼續探討學習證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

證明不等式時,有時可以從求證的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、定理或以證明的定理、性質等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執果索因的思考和證明方法

下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數,6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18，只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明：證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數學問題的一種重要思想方法.例2 已知?，??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證：?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

3.課時小結

這節課,我們學習了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時,其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優點是,當我們面對一個不等式的證明而一籌莫展,無法下手時,它給我們提供了一個方法,即從目標不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會逐漸發現解題思路.因此,分析法從本質上說,只是對問題作嘗試與探索的過程(即執果索因).在運用“分析法”時,典型的錯誤是把所證不等式當作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯誤地寫成:“因為B成立,則??”.希望同學們很好掌握

4、課堂練習

課本89頁 練習1,2,3.5、課后作業

1．6?22與5?7的大小關系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：2a?1?2b?1?22.3．若x,y是正實數，x?y?1，求證：(1?)(1?)?9

xy114．已知

1?tan?2?tan??1，求證：3sin2???4cos2?

第4課時

反證法

●教學目標

(一)教學知識點 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養學生用反證法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標 培養學生通過事物的結論的反面出發，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結論成立的簡單推理能力與思維能力.●教學重點 1.理解反證法的推理依據.2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學難點 理解反證法的推理依據及方法.●教學過程

1.復習：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反證法:先假設要證的命題不成立,以此為出發點,結合已知條件,應用公理,定義,定理,性質等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質,明顯成立的事實等)矛盾的結論,以說明假設不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

證明:假設1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個小于2

1例

2、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于4

證：設(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4，1則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

同理：，1以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

①矛盾

∴原式成立

例3如果a??，b??，且a//b，已知直線a，b和平面?，?a

求證： a//??bp例

4、求證：2是無理數

3.課時小結

反證于以下兩種情形

(1)要證的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

是－－－不是

有－－－沒有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個不是 都有－－不都有，即至少有一個沒有

都不是－部分或全部是，即至少有一個是 唯一－－至少有兩個

至少有一個有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個不－－－－－全部都

4、課堂練習

課本 91頁 練習1,2

5、作業布置

課本 91頁 1,2,4

補充教案

放縮法

●教學目標

教學知識點

（一）1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養學生用放縮法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標：證明不等式意在提高學生的數學素質,培養學生的創新意識,加強學生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學生認識到事物間是有聯系的辯證唯物主義觀念.●教學重點 1.理解放縮法的推理依據.2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學難點 理解放縮法的推理依據及方法.●教學過程

1.復習：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反

放縮法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關項之間的大小關系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數變形,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關鍵是放、縮適當,否則就不能達到目的,因此放縮法是技巧性較強的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

把以上四個不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

2、求證： ∴112?122????21證明：

?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

?122?132????1?1?12??2??

2、.課時小結

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進)一些項;(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應用基本不等式進行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

4、課后作業

1、設x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y，求證：a < b

111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

?

第五篇：直接證明與間接證明

鄉寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數

學問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證

法證明一般的數學問題 3.求證?7?25

自學導讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點是：由因導果

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點：執果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.