第一篇：直接證明與間接證明

8．2 直接證明與間接證明

教學目標：

重點：綜合法，分析法與反證法的運用．

難點：分析法和綜合法的綜合應用．

能力點：能用三種方法解決簡單的證明問題及三種證明方法的綜合應用．

教育點：體會數學證明的思考過程及特點，提升分析解決問題的能力．

自主探究點：主要考察函數、導數、不等式的證明等基礎知識，同時要綜合運用數學知識進行推理論證，以及化歸與轉化的思想．

易錯點：① 利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的；

② 不會用分析法分析，找不到解決問題的切入口；

③ 不會用綜合法表述，從而導致解題格式不規范．

學法與教具：

1．學法：自主探究、練習法2．教具：多媒體

一、【知識結構】

二、【知識梳理】

1．直接證明

（1）綜合法

①定義：利用已知條件和某些數學定義、定理、公理等，經過一系列的________，最后推導出所要證明的結論________，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1?Q1?Q2?Q2?Q3???Qn?Q（其中P表示已知條件，Q表

示要證的結論）．

（2）分析法

①定義：從________________出發，逐步尋求使它成立的__________，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）．這種證明的方法叫做分析法． ②框圖表示：Q?P1?P1?P2?P2?P3???得到一個明顯成立的條件．

2． 間接證明 反證法：假設原命題__________（即在原命題的條件下，結論不成立），經過正確的推理，最后得出_____，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．利用反證法證題的步驟①假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；②由假設出發進行正確的推理，直到推出矛盾為止；③由矛盾斷言假設不成立，從而肯定原命題的結論成立．簡言之，否定→歸謬→斷言．

三、【范例導航】 例1已知x?y?z?1，求證：x2?y2?z2?

3．【分析】綜合法往往以分析法為基礎，是分析法的逆過程，但更要注意從有關不等式的定理、結論或題設條件出發，根據不等式的性質推導證明． 綜合法證明不等式，要特別注意基本不等式的運用和對題設條件的運用．由基本不等式x2?y2?2xy,得到關于x、y、z的三個不等式，將三式相加整理變形,然后利用x?y?z?1得(x?y?z)2?1從而可證．

【解答】法一：?x2?y2?2xy,y2?z2?2yz,z2?x2?2zx,?(x?y)?(y?z)?(z?x)?2xy?2yz?2zx ?3(x?y?z)?x?y?z?2xy?2yz?2zx,即3(x2?y2?z2)?(x?y?z)2?1，?x?y?z?法二：?x?y?z?

?1

322

213

．

?

(3x?3y?3z?1)?

222

[3x?3y?3z?(x?y?z)] 13

[(x?y)?(y?z)?(z?x)]?0

(3x?3y?3z?x?y?z?2xy?2xz?2yz)?

?x?y?z?

．

法三：證明：a1,a2,?,an?R,a1?a2???an?1，則a1?a2???an?

222

構造函數f(x)?(x?a1)?(x?a2)???(x?an)

1n

成立．

?nx?2(a1?a2???an)x?a1?a2???an?nx?2x?a1?a2???an．

222

因為對于一切x?R，都有f(x)?0，所以??4?4n(a1?a2???an)?0,22222222

從而證得：a1?a2???an?

222

1n

222，當n?3時，即x?y?z?

成立．

【點評】利用綜合法證明不等式是不等式證明的常用方法之一，即充分利用已知條件與已知的基本不等式，經過推理論證推導出正確結論，是順推法或由因導果法．其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就需保證前提正確，推理合乎規律，這樣才能保證結論的正確．其基本流程表述如下：

變式訓練：設a?0,b?0,a?b?1,求證

1a

?

1b1a

??

1ab1b?

?8.1ab

?a?bab

?1ab

?2ab

【解答】方法一：?a?0,b?0,a?b?1,?又??a?b?1,?ab?

14,?

2ab

?2

1，?8.方法二：?

a?b?1,?

ba

ab

a?bab

1a

?

1b

?

1ab

?

4a?ba

?

a?bb

?

a?bab

?1??1???2?a?b

?2?2?4?8 a?b2()2

例2（1）用分析法證明：ac?bd?

11（2）已知a?0,??

1?．

ba【分析】（1）由于a,b,c,d?R,故要分ac?bd?0或ac?bd?0兩種情況，然后用分析法證明．（2）

要證明?知條件

1b?1a

不等式兩邊都是整數，可通過同時平方，化為有理式運算，通過化簡得出已

?1，可得證．

【解答】證明（1）①若ac?bd?0，結論顯然成立； ②(a?c

若

ac?bd?0，2

要

b

證

a?c

d

b成?立c，d只需

證

b)2

?)c

?(ad?bc)?0顯

?2abcd?ad?bc，即證ac?2abcd?bd?ac?ad?bc?bd，2222222222

然成立，綜上所述ac?bd?（2）要

證?

成立，只需證1?a?

a?bab

11?b1b?，只需證(1?a)(1?b?)

1a

1b

1,?(b1?,即1a

1?b?a?ab?1，?a?b?ab,只需證?1，即?1．由已知a?0,??1成立，??

【點評】分析法的特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經

成立的定理、性質或已經證明成立的結論等．通常采用“欲證——只需證——已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規范．在解答本題時有兩點容易造成失分：（1）不去分類，而是直接平方作差判斷．（2）在平方作差變形時運算失誤或對等號成立的條件說明不到位而失分． 注意解題技巧： 1．逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件．正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵．

2．在求解實際問題時，對于較復雜的問題，可以采用“分析-綜合法”即兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價（或充分）的中間結論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結論，使原命題得證． 變式訓練： 已知?ABC三邊a,b,c的倒數成等差數列，證明：B為銳角． 【解答】要證明B為銳角，根據余弦定理，也就是證明cosB?

a?c?b

2ac

2?0，即需證

a?c?b?0，由于a?c?b?2ac?b，要證a?c?b?0，只需證2ac?b?0，?a,b,c的倒數成等差數列，?

1a

?

1c

?

2b,即2ac?b(a?c)．要證2ac?b?0，只需證b(a?c)?b?0，即

b(a?c?b)?0．上述不等式顯然成立．?B 必為銳角．

?2中至少有一個成立．

yx

【分析】當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“惟一”或以否定形式出現時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，分析可得本題適合用反證法，從題目中可以看出“至少”這樣的存

1?x1?y

在量詞，于是可設?2與?2結論的反面成立，即兩個不等式都不成立．通過推理可得出

yx

?2與

x?y?2的結論，與已知x?y?2矛盾，所以假設不成立，原命題正確．

例3若x,y都是正實數，且x?y?2，求證：

1?x1?y

【解答】假設

1?xy

?2與

1?yx

則有?2都不成立，1?xy

?2與

1?yx

因為x?0且y?0，?2同時成立，所以1?x?2y，且1?y?2x，兩式相加得，2?x?y?2x?2y，所以x?y?2，這與已知x?y?2相矛盾，因此

1?xy

?2與

1?yx

?2中至少有一個成立．

【點評】用反證法證明問題的一般步驟：（1）反設: 假定所要證的結論不成立，即結論的反面（否定命

題）成立；（否定結論）（2）歸謬：將“反設”作為條件，由此出發經過正確的推理，導出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；（推導矛盾）（3）結論：因為推理正確，所以產生矛盾的原因在于“反設”的謬誤．既然結論的反面不成立，從而肯定了結論成立．（結論成立）． 注意：（1）當結論的反面呈現多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺少任何一種可能，反證法都是不完全的．（2）利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結論證明的定理，否則，將出現循環論證的錯誤．（3）反證法中常見詞語的否定形式

變式訓練：（2011．安徽）設直線l1:y?k1x?1，l2:y?k2x?1，其中實數k1,k2滿足k

1k

2?2?0． 證明：l1與l2相交．

【解答】反證法．假設l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1?k2，代入k1k2?2?0，得k12?2?0，這與k1為實數的事實相矛盾，從而k1?k2，即l1與l2相交．

四、【解法小結】

1．分析法的特點是：從未知看需知，逐步靠攏已知． 2．綜合法的特點是：從已知看可知，逐步推出未知．

3．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁；綜合法從條件推出結論，較簡捷地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來． 4．應用反證法證明數學命題，一般分下面幾個步驟： 第一步：分清命題“p?q”的條件和結論； 第二步：作出與命題結論q相矛盾的假定?q；

第三步：由p和?q出發，應用正確的推理方法，推出矛盾結果；

第四步：斷定產生矛盾結果的原因，在于開始所作的假定q不真，于是原結論q成立，從而間接地證明了命題p?q為真．

第三步所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理矛盾、與已知定義矛盾、與已知定理矛盾、與已知條件矛盾、與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況．

五、【布置作業】

必做題：

1．關于x的方程ax?a?1?0在區間(0,1)內有實根，則實數a的取值范圍是__________． 2．設a?b?0，m?

n?，則m,n的大小關系是__________．

3．設x,y,z是空間的不同直線或不同平面，且直線不在平面內，下列條件中能保證“若x?z，且（填寫所有正確條件的代號）y?z，則x∥y”為真命題的是________．①x為直線，y,z為平面；②x,y,z為平面；

③x,y為直線，z為平面；④x,y為平面，z為直線； ⑤x,y,z為直線．

．如果??a,b應滿足的條件是__________________． 5．（1）設x是正實數，求證：(x?1)(x2?1)(x3?1)?8x3；

（2）若x?R，不等式(x?1)(x2?1)(x3?1)?8x3是否仍然成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請舉出一個使它不成立的x的值．

必做題答案：1．(,1)2．m?n 3．①③④4．a?0,b?0且a?b

35．（1）證明 x是正實數，由基本不等式

知x?1?，1?x2?

2x，x?1?，故

(x?1)(x?1)x(?1?)

3?x23． ?8x（當且僅當x?1時等號成立）

（2）解：若x?R，不等式(x?1)(x2?1)(x3?1)?8x3仍然成立．由（1）知，當x?0時，不等式成立；當x?0時，8x3?0，而(x?1)(x2?1)(x3?1)?(x?1)2(x2?1)(x2?x?1)

?(x?1)(x?1)[(x?

2)?

4]?0，此時不等式仍然成立．

選做題：

1．若a,b,c為Rt?ABC的三邊，其中c為斜邊，那么當n?2，n?N?時，an?bn與cn的大小關系為____________． 2．下面有3個命題：

x

①當x?0時，2?

x的最小值為2；

?

6②將函數y?sin2x的圖象向右平移個單位，可以得到函數y?sin(2x?

?

6)的圖象；

③在Rt?ABC中，AC?BC，AC?a，BC?b，則?

ABC的外接圓半徑r?

．類比到空

間，若三棱錐S?ABC的三條側棱SA、SB、SC兩兩互相垂直，且長度分別為a、b、c則三棱錐

S?

ABC的外接球的半徑R?

其中錯誤命題的序號為________． ．．

．

3．已知f(x)?x?ax?b．（1）求：f(1)?f(3)?2f(2)；

（2）求證：f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于選做題答案：

1．a?b?c2．①②

3．解?f(1)?a?b?1，f(2)?2a?b?4，f(3)?3a?b?9，?f(1)?f(3)?2f(2)?2．（2）證明假設f(1),f(2),f(3)都小于

n

n

n

．

．則?

?f(1)?

12,?

?f(2)?

12,?

?f(3)?

12,??1??2f(2)?1，?1?f(1)?f(3)?1．??2?f(1)?f(3)?2f(2)?2．

這與?f(1)?f(3)?2f(2)?2矛盾，?假設錯誤，即所證結論成立．

第二篇：5直接證明與間接證明

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5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數學金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區的高考卷中出現，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數列、函數與導數、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.

第三篇：直接證明與間接證明-分析法學案(!)

2.2.2直接證明與間接證明—分析法

班級：姓名：

【學習目標】：

（1）結合教學實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：分析法（2）通過教學實例，了解綜合法的思考過程、特點

（3）通過教學實例了解分析法的思考過程、特點；體會分析法和綜合法的聯系與區別【學習過程】：

變式練習1：求證?7?22?5

自主學習

1：從要證明的，逐步需尋求是它成立的，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、、、等），這種證明方法叫分析法。

2：分析法是一種?…?，它的特點是。

合作學習

1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？

2：綜合法與分析法的區別是什么？

課堂練習

例1：求證：3?7?2

例2.如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F, 求證：AF⊥SC

變式訓練2：已知a?0，求證a2?1a2

?2?a?1a?2

【課后檢測】：

1：校本教材P55頁作業與測試。

第四篇：直接證明與間接證明

鄉寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數

學問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證

法證明一般的數學問題 3.求證?7?25

自學導讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點是：由因導果

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點：執果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

第五篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導學案學科 數學 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間

班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）

【學習目標】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。

【重點難點】

重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

【使用說明及學法指導】①要求學生完成知識梳理和基礎自測題；限時完成預習案，識記基礎知識；②課前只獨立完成預習案，探究案和訓練案留在課中完成預習案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的，最后推導出所要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從出發，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設原命題，經過正確的推理，最后得出，因此說明假設錯誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎自測

1.下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列。

二、總結整理

訓練案

一、課中訓練與檢測

1.設a，b為正實數．現有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab