第一篇：第2講 直接證明與間接證明

第2講 直接證明與間接證明

【2013年高考會這樣考】

1．在歷年的高考中，證明方法是常考內容，考查的主要方式是對它們原理的理解和用法．難度多為中檔題，也有高檔題．

2．從考查形式上看，主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數與方程、數列等知識為載體，考查綜合法、分析法、反證法等方法．

【復習指導】

在備考中，對本部分的內容，要抓住關鍵，即分析法、綜合法、反證法，要搞清三種方法的特點，把握三種方法在解決問題中的一般步驟，熟悉三種方法適用于解決的問題的類型，同時也要加強訓練，達到熟能生巧，有效運用它們的目的．

基礎梳理

1．直接證明

(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法． ②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q

(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證的結論)．

(2)分析法

①定義：從要證明的結論出發，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→

得到一個明顯成立的條件.2．間接證明

一般地，由證明p?q轉向證明：綈q?r???t

.t與假設矛盾，或與某個真命題矛盾．從而判定綈q為假，推出q為真的方法，叫做反證法．

一個關系 綜合法與分析法的關系

分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基

礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用．

兩個防范

題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．

證?”“就要證?”等分析到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立．

雙基自測

1．(人教A版教材習題改編)p＝＋，q＝ma＋nc正數)，則p、q的大小為()．

A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不確定

解析 q＝ ab＋＋cd≥ab＋2abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為mn

madabc＝ab＋cd＝p，當且僅當＝ nm

答案 B

2．設a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，則a與b大小關系為()．

A．a＞b

C．a＝b

解析 a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，當x＜0時，0＜b＜1.∴a＞b.答案 A

3．否定“自然數a，b，c中恰有一個偶數”時，正確的反設為()．

A．a，b，c都是奇數

B．a，b，c都是偶數

C．a，b，c中至少有兩個偶數

D．a，b，c中至少有兩個偶數或都是奇數

解析 ∵a，b，c恰有一個偶數，即a，b，c中只有一個偶數，其反面是有兩個或兩個以上偶數或沒有一個偶數即全都是奇數，故只有D正確．

答案 D

4．(2012·廣州調研)設a、b∈R，若a－|b|＞0，則下列不等式中正確的是()．

A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞0

解析 ∵a－|b|＞0，∴|b|＜a，∴a＞0，∴－a＜b＜a，∴b＋a＞0.答案 D B．a＜b D．a≤b

5．在用反證法證明數學命題時，如果原命題的否定事項不止一個時，必須將結論的否定情況逐一駁倒，才能肯定原命題的正確．

例如：在△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內一點，∠APB＞∠APC，求證：∠BAP＜∠CAP，用反證法證明時應分：假設________和________兩類．

答案 ∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP

考向一 綜合法的應用

a2b2c2【例1】?設a，b，c＞0，證明：a＋b＋c.bca

[審題視點] 用綜合法證明，可考慮運用基本不等式．

證明 ∵a，b，c＞0，根據均值不等式，a2b2c2有＋b≥2a，c≥2b＋a≥2c.bca

a2b2c2三式相加：＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． bca

當且僅當a＝b＝c時取等號．

a2b2c2即＋a＋b＋c

.bca

綜合法是一種由因導果的證明方法，即由已知條件出發，推導出所要證明的等式或不等式成立．因此，綜合法又叫做順推證法或由因導果法．其邏輯依據是三段論式的演繹推理方法，這就要保證前提正確，推理合乎規律，才能保證結論的正確性．

11【訓練1】 設a，b為互不相等的正數，且a＋b＝1，證明：＞4.ab

1111?ba·證明 ?(a＋b)＝2＋2＋2＝4.ab?ab?ab

11又a與b不相等．故＞4.ab

考向二 分析法的應用

?a＋mb?2≤a＋mb.【例2】?已知m＞0，a，b∈R，求證：??1＋m?1＋m?

[審題視點] 先去分母，合并同類項，化成積式．

證明 ∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要證原不等式成立，只需證明(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即證m(a2－2ab＋b2)≥0，即證(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0顯然成立，2

2故原不等式得證．

逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件，正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵．

【訓練2】 已知a，b，m都是正數，且a＜b.a＋ma求證：b＋mb

a＋ma證明 要證明，由于a，b，m都是正數，b＋mb

只需證a(b＋m)＜b(a＋m)，只需證am＜bm，由于m＞0，所以，只需證a＜b.已知a＜b，所以原不等式成立．

(說明：本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)

考向三 反證法的應用

【例3】?已知函數f(x)＝ax＋x－2(a＞1)． x＋

1(1)證明：函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．

(2)用反證法證明f(x)＝0沒有負根．

[審題視點] 第(1)問用單調增函數的定義證明；第(2)問假設存在x0＜0后，應推導出x0的范圍與x0＜0矛盾即可．

證明(1)法一 任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x1＜x2，則x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0.所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.又因為x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以

?x2－2??x1＋1?－?x1－2??x2＋1?3?x2－x1?＝0，?x2＋1??x1＋1??x2＋1??x1＋1?

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x1－2＞0，x2＋1x1＋1x2－2x1－2－＝x2＋1x1＋1

故函數f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．

法二 f′(x)＝axln a＋30，?x＋1?∴f(x)在(－1，＋∞)上為增函數．

x0－2x0－2(2)假設存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，則ax0＝－又0＜ax0＜1，所以0＜－x0＋1x0＋1

11，即＜x0＜2，與x0＜0(x0≠－1)假設矛盾．故f(x0)＝0沒有負根．

當一個命題的結論是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出現時，宜

用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①與已知條件矛盾；②與假設矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實矛盾等方面，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器．

【訓練3】 已知a，b為非零向量，且a，b不平行，求證：向量a＋b與a－b不平行． 證明 假設向量a＋b與a－b平行，即存在實數λ使a＋b＝λ(a－b)成立，則(1－λ)a＋(1＋λ)b＝0，∵a，b不平行，???1－λ＝0，?λ＝1，∴?得? ??1＋λ＝0，λ＝－1，??

所以方程組無解，故假設不成立，故原命題成立．

規范解答24——怎樣用反證法證明問題

【問題研究】 反證法是主要的間接證明方法，其基本特點是反設結論，導出矛盾，當問題從正面證明無法入手時，就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中，對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行.【解決方案】 首先反設，且反設必須恰當，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【示例】?(本題滿分12分)(2011·安徽)設直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實數k1，k2滿足k1k2＋2＝0.(1)證明l1與l2相交；

(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2＋y2＝1上．

第(1)問采用反證法，第(2)問解l1與l2的交點坐標，代入橢圓方程驗證．

[解答示范] 證明(1)假設l1與l2不相交，則l1與l2平行或重合，有k1＝k2，(2分)

代入k1k2＋2＝0，得k21＋2＝0.(4分)

這與k1為實數的事實相矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．(6分)

??y＝k1x＋1，(2)由方程組? ?y＝k2x－1，?

??解得交點P的坐標(x，y)為?k＋ky＝??k－k.21

212x＝，k2－k1(9分)

2?2?k2＋k1?2?從而2x＋y＝2k－k＋? ?21??k2－k1??22

2228＋k22＋k1＋2k1k2k1＋k2＋4＝＝1，k2＋k1－2k1k2k1＋k2＋4

此即表明交點P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．(12分)

用反證法證明不等式要把握三點：(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面；(2)

必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須依據這一條件進行推證；(3)推導出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設矛盾，有的與已知事實矛盾等，但是推導出的矛盾必須是明顯的．

【試一試】 已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列．

[嘗試解答](1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.1又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得an＋1＝an，2

11所以{an}是首項為1，公比為an＝－.22

(2)反證法：假設存在三項按原來順序成等差數列，記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，111－－則，所以2·2rq＝2rp＋1.① 222又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立，所以假設不成立，原命題得證．

第二篇：5直接證明與間接證明

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5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數學金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區的高考卷中出現，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數列、函數與導數、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.

第三篇：直接證明與間接證明-分析法學案(!)

2.2.2直接證明與間接證明—分析法

班級：姓名：

【學習目標】：

（1）結合教學實例，了解直接證明的兩種基本方法之一：分析法（2）通過教學實例，了解綜合法的思考過程、特點

（3）通過教學實例了解分析法的思考過程、特點；體會分析法和綜合法的聯系與區別【學習過程】：

變式練習1：求證?7?22?5

自主學習

1：從要證明的，逐步需尋求是它成立的，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、、、等），這種證明方法叫分析法。

2：分析法是一種?…?，它的特點是。

合作學習

1：綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？

2：綜合法與分析法的區別是什么？

課堂練習

例1：求證：3?7?2

例2.如圖,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F, 求證：AF⊥SC

變式訓練2：已知a?0，求證a2?1a2

?2?a?1a?2

【課后檢測】：

1：校本教材P55頁作業與測試。

第四篇：直接證明與間接證明

鄉寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數

學問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證

法證明一般的數學問題 3.求證?7?25

自學導讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點是：由因導果

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點：執果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

第五篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導學案學科 數學 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間

班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）

【學習目標】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。

【重點難點】

重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

【使用說明及學法指導】①要求學生完成知識梳理和基礎自測題；限時完成預習案，識記基礎知識；②課前只獨立完成預習案，探究案和訓練案留在課中完成預習案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的，最后推導出所要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從出發，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設原命題，經過正確的推理，最后得出，因此說明假設錯誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎自測

1.下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列。

二、總結整理

訓練案

一、課中訓練與檢測

1.設a，b為正實數．現有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab