第一篇：2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

2.1-2 合情推理與演繹推理、直接證明與間接證明

重難點(diǎn)：了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理；了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)．

考綱要求：①了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．

②了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理． ③了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．

④了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)． ⑤了解間接證明的一種基本方法――反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)． 經(jīng)典例題：25.通過(guò)計(jì)算可得下列等式：

┅┅

將以上各式分別相加得：

即：類比上述求法：請(qǐng)你求出

當(dāng)堂練習(xí)： 1.如果數(shù)列A.的值.．

是等差數(shù)列，則()B.C.D.2.下面使用類比推理正確的是()A.“若B.“若,則

”類推出“若”類推出“,則”

”

C.“若” 類推出“（c≠0）” D.“” 類推出“”

3.有這樣一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)” 結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 4.設(shè)()A.B.－ C.D.－，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成，n∈N，則5.在十進(jìn)制中十進(jìn)制為()A.29 B.254 C.602 D.2004 6.函數(shù)的圖像與直線

相切，則

=()A.B.C.D.1 7.下面的四個(gè)不等式：①④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 8.拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)

；②；③ ；

.其中不成立的有()

與拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.5 9.設(shè) , 則()A.B.0 C.，D.1 ,且, 則由的值構(gòu)成的集合是()10.已知向量A.{2,3} B.{-1, 6} C.{2} D.{6} 11.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線

”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 12.已知，猜想的表達(dá)式為()A.B.C.D.13.類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：

。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.14.從

中，可得到一般規(guī)律為(用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示)15.函數(shù)y＝f（x）在（0，2）上是增函數(shù)，函數(shù)y=f(x+2)是偶函數(shù)，則f(1),f(2.5),f(3.5)的大小關(guān)系是.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線點(diǎn)．若用，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一

= ；當(dāng)ｎ＞４時(shí)，表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）17.證明： 不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng).18.在△ABC中，判斷△ABC的形狀.19.已知：空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，判斷直線EF與平面ABD的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.20.已知函數(shù)

21.△ABC三邊長(zhǎng)的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：角

.，求的最大值.22.在各項(xiàng)為正的數(shù)列（1）求

中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足的通項(xiàng)公式；（3）求

；（2）由（1）猜想數(shù)列

23.自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響，用0.不考慮其它因素，設(shè)在第表示某魚群在第年年初的總量，且

＞成正

年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與

.成正比，死亡量與比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)（Ⅰ）求與的關(guān)系式；，（Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)要求證明）

24.設(shè)函數(shù)（1）證明：

滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不

.；

（2）設(shè)

25.已知為的一個(gè)極值點(diǎn)，證明.恒不為0，對(duì)于任意

等式

恒成立.求證：是偶函數(shù).26.已知ΔABC的三條邊分別為

參考答案：

經(jīng)典例題： [解]

求證：

┅┅

將以上

各

式

分

別

相

加

得

：所以：

當(dāng)堂練習(xí)：

1.B;2.C;3.C;4.D;5.B;6.B;7.A;8.D;9.D;10.C;11.A;12.B;13.14.;

15.f(2.5)>f(1)>f(3.5);

;16.5；

17.證明：假設(shè)=①n-②;、、=n-為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)，則存在整數(shù)m,n滿足 +nd ② m=

(n-m)兩邊平方得： 3n2+5m2-

2mn=2(n-m)2 +md ① m得： 左邊為無(wú)理數(shù)，右邊為有理數(shù)，且有理數(shù)無(wú)理數(shù) 所以，假設(shè)不正確。即、、不能為同一等差數(shù)列的三項(xiàng)

18.ABC是直角三角形； 因?yàn)閟inA=

ABC的三邊，所以 b+c

0 據(jù)正、余弦定理得 ：（b+c）(a2-b2-c2)=0； 又因?yàn)閍,b,c為所以 a2=b2+c2 即ABC為直角三角形.19.平行； 提示：連接BD，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，EF∥BD.20.提示：用求導(dǎo)的方法可求得的最大值為0 21.證明：=

為△ABC三邊，22.（1），；（2）

；（3）

..23.解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

（II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1，n∈N*，從而由（*）式得

因?yàn)閤1>0，所以a>b.猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且24.證明：1）= 2)

=

時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變.① 又 ②

由①②知25.簡(jiǎn)證：令= 所以，則有，再令

即可

26.證明：設(shè)設(shè)是

上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，因?yàn)椋浴Ｋ栽谏鲜窃龊瘮?shù)。

由 知 即.

第二篇：《合情演繹推理與直接間接證明》練習(xí)題

《合情、演繹推理與直接、間接證明》練習(xí)題

一、選擇題：

1．用反證法證明一個(gè)命題時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（）

Ａ．將結(jié)論與條件同時(shí)否定，推出矛盾Ｂ．肯定條件，否定結(jié)論，推出矛盾

Ｃ．將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，經(jīng)過(guò)推理得出的結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運(yùn)用 Ｄ．將被否定的結(jié)論當(dāng)條件，原題的條件不能當(dāng)條件 2．下列表述正確的是()

①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．

13．對(duì)a、b∈(0，＋∞)，a＋b≥2ab(大前提)，x＋2x(小前提)，所以x＋2(結(jié)論)．以上

xxx

推理過(guò)程中的錯(cuò)誤為()

A．大前提B．小前提C．結(jié)論D．無(wú)錯(cuò)誤

4.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母A?F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，例如，用十六進(jìn)制表示,則（）A．6EB．72C．5FD．B0

5．已知m?1，a?b?，則以下結(jié)論正確的是（）Ａ．a(chǎn)?b

Ｂ．a(chǎn)?b

Ｃ．a(chǎn)?b

Ｄ．a(chǎn)，b大小不定

?)，觀察下列幾個(gè)式子：x?6．已知x?(0，∞x?

a

≥n?1(n?N?)，則a是（）nx

n

14xx

4≥2，x?2???2≥3，…，類比有xx22x

Ａ．nＢ．NＣ．n?

1Ｄ．n?1

7．如圖，圓周上按順時(shí)針?lè)较驑?biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)點(diǎn)．一只青蛙按順時(shí)針?lè)较蚶@圓從一個(gè)點(diǎn)跳到另一點(diǎn)．若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下一次只能跳一個(gè)點(diǎn)；若停在偶數(shù)點(diǎn)上，則下一次跳兩個(gè)點(diǎn)．該青蛙從5這點(diǎn)跳起，經(jīng)2008次跳后它將停在的點(diǎn)是()

A．1B．2C．3D．4

二、填空題

8．若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長(zhǎng)為a，b，c，則三角形的面積等于S?r(a?b?c)，根據(jù)類

2比推理的方法，若一個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個(gè)面的面積分別是S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V?．

tan20?tan20?tan60?tan60?tan10?1； 9．觀察：①tan10?

tan10?tan10?tan75?tan75?tan5?1．②tan5?由此猜出一個(gè)一般式為

10．定義集合A，B的運(yùn)算：A?B＝{x|x∈A或x∈B且x?A∩B}，則A?B?A＝____________.x111．方程f(x)＝x的根稱為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f(x)＝且x1＝1000，xn＋1＝1a(x＋2)f??xn????????????

(n∈N*)，則x2011＝________.12.如右上圖，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，...，4無(wú)名指，5小指，6無(wú)名指，一直數(shù)到2008時(shí)，對(duì)應(yīng)的指頭是(填

指頭的名稱).三、解答題

13．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

.14．設(shè)a,b,c都是正數(shù)，求證

3315．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，22

請(qǐng)你寫出一般性的命題，并給出證明．

16．?ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，求證：111111?????。2a2b2ca?bb?cc?a113??a?bb?ca?b?c

17.類比平面內(nèi)直角三角形特有的性質(zhì)，試給出空間四面體性質(zhì)的猜想,并給出證明.

第三篇：推理與證明-13.2 直接證明與間接證明(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

教案第十三編推理與證明主備人張靈芝總第67期

§13.2 直接證明與間接證明

基礎(chǔ)自測(cè)

1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的條件.答案充分 2.若a＞b＞0,則a+答案＞

3.要證明3+7＜25，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號(hào)）.①反證法 答案②

4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是.①假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)；②假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)

③假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)；④假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù) 答案②

5.設(shè)a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時(shí)大于零”的條件.； 答案充要

②分析法

③綜合法

1b

b+

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

例題精講

例1設(shè)a,b,c＞0,證明：

a

2b

?

b

2c

?

c

a

≥a+b+c.a

證明∵a,b,c＞0，根據(jù)基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,c

c

a

+a≥2c.三式相加：

b

+

b

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).即

1a

b

+

b

c

1a

+

a

≥a+b+c.例2（14分）已知a＞0,求證： a2?證明要證a2?

1a

-2≥a+

1a

-2.1a

-2≥a+

1a

-2,只要證a2?

+2≥a++2.2分

?∵a＞0,故只要證?

??

a

?

1a

?1?2?≥（a++?a?

2）,2

6分

427

即a+

1a

+4a2?

1a

+4≥a+2+

??

1a

+22?a?

?

?

1?

?+2, a?

8分

從而只要證2a2?

只要證4??a?

1a

≥2?a?

1?

?,a?

10分

??1?112

?≥2（a+2+）,即a2+≥2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立.14分 2?22a?aa

例3若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y＞2,求證：證明假設(shè)

1?xy

1?xy

＜2與

1?xy

1?yx

＜2中至少有一個(gè)成立.1?yx

＜2和

1?yx

＜2都不成立，則有≥2和≥2同時(shí)成立，因?yàn)閤＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此

1?xy

＜2與

1?yx

＜2中至少有一個(gè)成立

.鞏固練習(xí)

1.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2＞abc(a+b+c).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴上面三個(gè)式子中都不能取“=”，∴a+b+c＞ab+bc+ac,∵ab+bc≥2ab2c,bc+ac≥2abc2,ab+ac≥2a2bc,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，∴ab+bc+ac＞abc(a+b+c),∴a2+b2+c2＞abc(a++c).2.已知a＞0,b＞0,且a+b=1,試用分析法證明不等式?a?

?

251??1??

證明要證?a???b??≥

4a??b??

?

251??1?

??b??≥

4a??b?

.,只需證ab+

a

?bab

?

1≥

54，只需證4(ab)+4(a+b)-25ab+4≥0,只需證4(ab)+8ab-25ab+4≥0, 只需證4(ab)2-17ab+4≥0,即證ab≥4或ab≤而由1=a+b≥2ab,∴ab≤

14,只需證ab≤

??

14，成立.顯然成立，所以原不等式?a?

251??1?

??b??≥

4a??b?

3.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時(shí)大于.證明方法一假設(shè)三式同時(shí)大于，即(1-a)b＞

4,(1-b)c＞

14,(1-c)a＞

14,428

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞同理（1-b）b≤

4?1?a?a?

.又(1-a)a≤??642??

=

14，(1-c)c≤

14,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.14

2方法二假設(shè)三式同時(shí)大于，∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1?a)?b

≥(1?a)b＞=,同理

(1?b)?c

＞

12,(1?c)?a

＞

12,三式相加得

＞

32,這是矛盾的，故假設(shè)錯(cuò)誤，∴原命題正確

.回顧總結(jié)知識(shí) 方法

思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么a＞b”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是.答案a=b或a＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

?b

2?,q=logc?

??

1a?

?

?，則p,q的大小關(guān)系??

3.設(shè)S是至少含有兩個(gè)元素的集合.在S上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的a,b∈S，對(duì)于有序元素對(duì)(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對(duì)應(yīng)）.若對(duì)任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對(duì)任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號(hào)是.①（a*b）*a=a ③b*(b*b)=b答案②③④

②［a*(b*a)］*(a*b)=a ④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）

429

答案銳角鈍角

5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號(hào)是

.答案①

6.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結(jié)論： ①對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是.（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號(hào)）

答案②③

二、解答題

7.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；

（3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（1）證明∵Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an)∵bn=an+1-2an(n=1,2,?),∴bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.430

（2）證明由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n.∵cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.將bn=3·2n-1代入得

cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為

a12

34的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1==

12，故cn=

n-

(n=1,2,?).-2

（3）解∵cn=n-=

(3n-1).∴an=2n·cn=(3n-1)·2n(n=1,2,?)

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an-1+2=(3n-4)·2n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長(zhǎng)，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I2＜4S.證明由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=a2+b2+c2+2S,∵a,b,c為任意三角形三邊長(zhǎng)，∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,∴a2＜a(b+c),b2＜b(c+a),c2＜c(a+b)即(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0∴a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)＜0∴a2+b2+c2＜2S ∴a2+b2+c2+2S＜4S.∴I2＜4S.9.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2≥

;(2)3a?2+ 3b?2+3c?2≤6.13

證明（1）方法一a2+b2+c2-13

=

(3a2+3b2+3c2-1)=

［3a2+3b2+3c2-(a+b+c)2］

=(3a+3b+3c-a-b-c-2ab-2ac-2bc)=［(a-b)+(b-c)+(c-a)］≥0∴a+b+c≥

.方法二∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1∴a2+b2+c2≥

1313

.方法三設(shè)a=∴a+b+c=（+?,b=

+?,c=

+?.∵a+b+c=1,∴?+?+?=0

+?）+（+?）+（+?）=

+

(?+?+?)+?+?+?

222

431

=

+?2+?2+?2≥

∴a2+b2+c2≥

.=

3a?32

(2)∵3a?2=(3a?2)?1≤

3a?2?1,同理3b?2≤

3b?32,3c?2≤

3c?32

∴3a?2+3b?2+3c?2≤

x?2x?1

3(a?b?c)?9

=6∴原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a＞1).（1）證明：函數(shù)f(x)在（-1,+∞)上為增函數(shù)；

（2）用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.證明（1）任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1＜x2,則x2-x1＞0,由于a＞1,∴ax2?x1＞1且ax1＞0, ∴a∴

x2

-ax1=ax1(ax2?x1-1)＞0.又∵x1+1＞0,x2+1＞0,-x1?2x1?1

x2?2x2?1

=

(x2?2)(x1?1)?(x1?2)(x2?1)

(x1?1)(x2?1)x2?2x2?1

=

3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)

＞0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x1?2x1?1

＞0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞）上為增函數(shù).x0?2x0?1

（2）方法一假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-∵a＞1,∴0＜ax0＜1,∴0＜-x0?2x0?1

.＜1,即

＜x0＜2，與假設(shè)x0＜0相矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.方法二假設(shè)存在x0＜0(x0≠-1)滿足f(x0)=0, ①若-1＜x0＜0，則②若x0＜-1,則

x0?2x0?1

＜-2,ax0＜1,∴f(x0)＜-1,與f(x0)=0矛盾.x0?2x0?1

＞0,ax0＞0,∴f(x0)＞0,與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.432

第四篇：《合情推理與演繹推理》復(fù)習(xí)專題(文科)

合情推理與演繹推理（文科）

★指點(diǎn)迷津★

一、歸納推理：

1、運(yùn)用歸納推理的一般步驟是什么？

首先，通過(guò)觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性（特例的共性或一般規(guī)律）；然后，把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題（猜想）；然后，對(duì)所得的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。

2、在數(shù)學(xué)上，檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)是什么？標(biāo)準(zhǔn)是是否能進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

3、歸納推理的一般模式是什么？

S1具有P；S2具有P；??；Sn具有P（S1、S2、?、Sn是A類事件的對(duì)象）所以A類事件具有P

二、類比推理：

1、類比推理的思維過(guò)程是什么？

觀察、比較

2、類比推理的一般步驟是什么？（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。

3、類比推理的特點(diǎn)是什么？（1）類比推理是從特殊到特殊的推理；（2）類比推理是從人么已經(jīng)掌

握了的事物特征，推測(cè)出正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠。類比推理以舊的知識(shí)作基礎(chǔ)，推測(cè)性的結(jié)果，具有發(fā)現(xiàn)的功能。

三、演繹推理：

1、什么是大前提、小前提？ 三段論中包含了3個(gè)命題，第一個(gè)命題稱為大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；第二個(gè)命題叫小前提，它指出了一個(gè)特殊對(duì)象。

2、三段論中的大前提、小前提能省略嗎？ 在運(yùn)用三段論推理時(shí)，常常采用省略大前提或小前提的表達(dá)方式。

3、演繹推理是否能作為嚴(yán)格的證明工具？ 能。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。因此可以作為證明工具。★基礎(chǔ)與能力練習(xí)★

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確 2.命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了（）

A．大前提錯(cuò)誤B．小前提錯(cuò)誤C． 推理形式錯(cuò)誤D．非以上錯(cuò)誤 3.三角形的面積為S?

2?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可得出四面體的體積為（）

A、V?

13abcB、V?13ShC、V?

13?S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑）D、V?

13(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)4.當(dāng)n?1，2，3，4，5，6時(shí)，比較2n和n

2的大小并猜想（）

A.n?1時(shí)，2n?n2B.n?3時(shí)，2n?n2C.n?4時(shí)，2n?n2D.n?5時(shí)，2n?n2

5.已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為Sn，且a1?1,Sn?n2a*

n n?N，試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為

（）A、2nn?1B、2n?1n?1C、2n?12n

n?1D、n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a,b,c,d對(duì)應(yīng)密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對(duì)應(yīng)密文5,7,18,16．當(dāng)接受方收到密文14,9,23,28時(shí)，則解密得到的明文為（）．A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7 7.某地2011年第一季度應(yīng)聘和招聘人數(shù)排行榜前5個(gè)行業(yè)的情況列表如下

若用同一行業(yè)中應(yīng)聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來(lái)衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢(shì)一定是（）A．計(jì)算機(jī)行業(yè)好于化工行業(yè)B．建筑行業(yè)好于物流行業(yè)

C．機(jī)械行業(yè)最緊張D．營(yíng)銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張

8.補(bǔ)充下列推理的三段論：

（1）因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，又因?yàn)閍與b互為相反數(shù)且所以b=8.（2）因?yàn)橛忠驗(yàn)閑?2.71828?是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無(wú)理數(shù)． 9.在平面直角坐標(biāo)系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；

則類似的，在空間直角坐標(biāo)系中，平面的一般方程為_(kāi)_______________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_(kāi)______________________.10.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB

2?AC2

?BC2

。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得妯的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.11.類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義：；已知數(shù)列?an?是等和數(shù)列，且a1?2，公和為5，那么a18的值為_(kāi)___________．這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi)_____________________．

12.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個(gè)式子為．

13.對(duì)函數(shù)f(n),n?N*，若滿足f(n)???n?3

?n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測(cè)f??2?f??f?n?5??，?fn?31?100??.?，試由f?104?,f?103?和

14.若函數(shù)f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數(shù)點(diǎn)后第n位數(shù)字，例如f(15.定義?2)a*b??4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個(gè)f）是向量a和b的“向量積”，它的長(zhǎng)度|?=.a*b|?|a|?|

b|?sin?,其中?為向量a和b的夾角，若u??(2,0),u???v?(1,則|u?*(u???

v)|=.16.設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過(guò)同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=；當(dāng)ｎ＞４時(shí)，f(n)＝（用n表示）.17.蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂

巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=_____________．

18.在等差數(shù)列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2???an?a1?a2???a19?nn?19,n?N*成20.已知數(shù)列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；a10,a11,?,a20是公差為d的等差數(shù)列；a20,a21,?,a30是公差為d2的等差數(shù)列（d?0）.（1）若a20?40，求d；（2）試寫出a30關(guān)于d的關(guān)系式，并求a30的取值范圍；（3）續(xù)寫已知數(shù)列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數(shù)列，??，依此類推，把已知數(shù)列

推廣為無(wú)窮數(shù)列.提出同（2）類似的問(wèn)題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

??立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列?bn?中，若b9?1，則有什么等式成立？請(qǐng)寫出并證明．

19.通過(guò)計(jì)算可得下列等式：

22?12?2?1?132?22?2?2?142?32?2?3?1┅┅

(n?1)2?n2?2?n?1將以上各式分別相加得：(n?1)2?12?2?(1?2?3???n)?n n(n?1)2222即：1?2?3???n?類比上述求法：請(qǐng)你求出1?2?3???n的值.2

第五篇：2.1合情推理與演繹推理 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

1、知識(shí)與技能：

（1）結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例，了解歸納推理的含義（2）能利用歸納方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，2、過(guò)程與方法：

通過(guò)課例，加深對(duì)歸納這種思想方法的認(rèn)識(shí)。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

體驗(yàn)并認(rèn)識(shí)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

【教學(xué)重點(diǎn)】：

（1）體會(huì)并實(shí)踐歸納推理的探索過(guò)程（2）歸納推理的局限 【教學(xué)難點(diǎn)】：

引導(dǎo)和訓(xùn)練學(xué)生從已知的線索中歸納出正確的結(jié)論

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

2.1.1 合情推理與演繹推理

教學(xué)過(guò)程

課堂小結(jié) 1．歸納推理的幾個(gè)特點(diǎn)

1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍.2）歸納是依據(jù)若干已知的、沒(méi)有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測(cè)性.3）歸納的前提是特殊的情況,因而歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上.注：歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)和對(duì)有限資料分析的基礎(chǔ)上.提出帶有規(guī)律性的結(jié)論

2．歸納推理的一般步驟： 1)對(duì)已有的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納、整理； 2)猜想 3)檢驗(yàn)