第一篇：35 直接證明與間接證明

【2012高考數學理科蘇教版課時精品練】作業35第五節 直接證明與間接證明

1．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，則實數a的取值范圍是(c，＋∞)，其中c＝________.解析：由log2x≤2，得04，所以c＝4.答案：

4x2．(2010年高考山東卷)若對任意x>0a恒成立，則a的取值范圍是________． x＋3x＋

1xx解析：若對任意x＞0≤a恒成立，只需求得a≥的最大值即可． x＋3x＋1x＋3x＋1

x因為x>0，設y，x＋3x＋1

x111所以y＝ 15x＋3x＋11x＋＋32 x＋3xx

1當且僅當x＝ x

1所以a的取值范圍是[∞)．

51答案：[)5

1113．設a、b、c都是正數，則ab＋，c＋三個數_______． bca

①都大于

2②至少有一個大于2 ③至少有一個不大于2

④至少有一個不小于2

111111解析：假設三個數都小于2，則a＋＋b＋c，而a＋＋b＋＋c2＋2＋2bcabca

＝6，與假設矛盾．故④正確．

答案：④

1－x4．(2011年鹽城質檢)已知函數f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于________． 1＋x

1－x解析：易證f(x)＝是奇函數，1＋x

∴f(－a)＝－f(a)＝－b.答案：－b

5．p＝ab＋cd，q＝ma＋nc小關系為________．

解析：q＝ ab＋＋cd≥ab＋abcd＋cd nm＋m、n、a、b、c、d均為正數)，則p、q的大mn

abcd＝p.答案：q≥p

6．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，若f(x)在區間[1，a](a＞2)上單調遞增且f(x)＞0，則以下不等式不一定成立的是________．

①f(a)＞f(0)

1－3a?③f?＞f(－a)?1＋a?a＋1?2?＞f(a)1－3a④f(＞f(－2)1＋a②f?

解析：∵f(x)是定義在R上的奇函數，∴f(0)＝0，又由已知a＞2，∴f(a)＞f(1)＞0＝f(0)，①成立；

1＋a∵a，∴②成立； 2當a＞2時，1－3a＜0，又f(x)為奇函數，?1－3a＝－f?3a－1，f(－a)＝－f(a)，∴f??1＋a?1＋a???

3a－1?3a－1＜f(a)?3a－1＜a 且1，∴③即f?1＋a1＋a?1＋a?

23a－1－?a－1??a0，∴③成立； 1＋a1＋a

?3a－1＜f(2)?3a－1－2a－3<0，對于④，有f?1＋a1＋a?1＋a?

a－3由于a>2時a－3的符號不確定，∴＜0未必成立． 1＋a

答案：④

a2b

27．設0＜x＜1，a＞0，b＞0，a、b為常數，則________． x1－x

2a2b2b2x?2a?1－x?解析：x＋1－x(x＋1－x)＝a＋＋b2 x??1－x

≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.答案：(a＋b)

28．(2011年南通調研)如果aa＋bb＞ab＋ba，則a、b應滿足的條件是________． 解析：aa＋bb＞ab＋a?(a－b)2(a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

x－y9．若|x|＜1，|y|＜1，試用分析法證明：||＜1.1－xy

證明：因為|x|＜1，|y|＜1，∴|1－xy|≠0，x－y要證|＜1，1－xy

x－y2只需證|＜1.1－xy

?|x－y|2＜|1－xy|2

?x2＋y2－2xy＜1－2xy＋x2y2

?x2＋y2－1－x2y2＜0

?(y2－1)(1－x2)＜0

?(1－y2)(1－x2)＞0，因為|x|＜1，|y|＜1，所以x2＜1，y2＜1，從而(1－y2)(1－x2)＞0成立．

x－y故|＜1.1－xy

10．如圖所示，已知△ABC是銳角三角形，直線SA⊥平面ABC，AH⊥平面SBC，求證：H不可能是△SBC的垂心．

證明：假設H是△SBC的垂心，則BH⊥SC，又∵AH⊥平面SBC，∴SC⊥平面ABH，∴SC⊥AB.∵SA⊥平面ABC，∴AB⊥SA，又AB⊥SC，SA∩SC＝S，∴AB⊥平面SAC，∴AB⊥AC.即∠A＝90°.這與△ABC為銳角三角形矛盾，所以H不可能為△ABC的垂心．

11．(探究選做)對于定義域為[0,1]的函數f(x)，如果同時滿足以下三條：①對任意的x∈<[0,1]，總有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，則稱函數f(x)為理想函數．

(1)若函數f(x)為理想函數，求f(0)的值；

(2)判斷函數g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否為理想函數，并予以證明．

解：(1)取x1＝x2＝0可得

f(0)≥f(0)＋f(0)?f(0)≤0.又由條件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.(2)g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函數．

證明如下：

顯然g(x)＝2x－1在[0,1]上滿足條件①g(x)≥0；

也滿足條件②g(1)＝1.若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，則g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]

＝2x1＋x2－1－[(2x1－1)＋(2x2－1)]

＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1

＝(2x2－1)(2x1－1)≥0，即滿足條件③，故g(x)為理想函數．

第二篇：直接證明與間接證明

鄉寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數

學問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證

法證明一般的數學問題 3.求證?7?25

自學導讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點是：由因導果

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點：執果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

第三篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導學案學科 數學 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間

班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）

【學習目標】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。

【重點難點】

重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

【使用說明及學法指導】①要求學生完成知識梳理和基礎自測題；限時完成預習案，識記基礎知識；②課前只獨立完成預習案，探究案和訓練案留在課中完成預習案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的，最后推導出所要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從出發，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設原命題，經過正確的推理，最后得出，因此說明假設錯誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎自測

1.下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列。

二、總結整理

訓練案

一、課中訓練與檢測

1.設a，b為正實數．現有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab

第四篇：5直接證明與間接證明

龍源期刊網 http://.cn

5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數學金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區的高考卷中出現，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數列、函數與導數、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.

第五篇：直接證明與間接證明測試題

直接證明與間接證明測試題

一、選擇題

1．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是（）

Ａ．將結論與條件同時否定，推出矛盾

Ｂ．肯定條件，否定結論，推出矛盾

Ｃ．將被否定的結論當條件，經過推理得出的結論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運用

Ｄ．將被否定的結論當條件，原題的條件不能當條件

21．?

1，即證7?5?11?

1，∵35?11，∴原不等式成立．

以上證明應用了（）

Ａ．分析法Ｂ．綜合法

3．若0?????

Ａ．a?bＣ．分析法與綜合法配合使用Ｄ．間接證法 π，sin??cos??a，sin??cos??b，則（）4Ｂ．a?bＣ．ab?1Ｄ．ab?

21114．設a，b，c都是正數，則三個數a?，b?，c?（）bca

Ａ．都大于2

Ｂ．至少有一個大于2

Ｃ．至少有一個不大于2

Ｄ．至少有一個不大于2

5．若0?a?1，0?b?1且a?b，則在a?

b，a2?b2和2ab中最大的是（）Ａ．a?b

Ｂ．x Ｃ．a2?b2Ｄ．2ab ?1??a?b??ab?，B，C6．已知函數f(x)???，a，b?R?，A?f?則A?，B?f，C?f??，22a?b????

??的大小關系（）

Ａ．A≤B≤CＢ．A≤C≤BＣ．B≤C≤AＤ．C≤B≤A

二、填空題

7．不共面的三條直線a，b，c相交于P，A?a，B?a，C?b，D?c，則直線AD與BC的位置關系是

8．三次函數f(x)?ax3?1在(?∞，?∞)內是減函數，則a的取值范圍是．

9．設向量a?(?21)，b?(?，?1)(??R)，若向量a與b的夾角為鈍角，則?的取值范圍為．

三、解答題

10．設函數f(x)對任意x，y?R，都有f(x?y)?f(x)?f(y)，且x?0時，f(x)?0．

（1）證明f(x)為奇函數；

（2）證明f(x)在R上為減函數．

?1??1??1?11．已知a，b，c?R?，且a?b?c?1，求證：??1???1???1?≥8 ?a??b??c?

12．用分析法證明：若a?

1a??2． a

15．若x，y，z均為實數，且a?x2?2y?求證：a，b，c中至少有一個大于零．πππ，b?y2?2z?，c?z2?2x?． 236