第一篇：直接證明和間接證明(4個課時)教案

2．2直接證明與間接證明

教學目標：

（1）理解證明不等式的三種方法：比較法、綜合法和分析法的意義；

（2）掌握用比較法、綜合法和分析法證明簡單的不等式；

（3）能根據實際題目靈活地選擇適當地證明方法；

（4）通過不等式證明，培養學生邏輯推理論證的能力和抽象思維能力.教學建議：

1．知識結構:（不等式證明三種方法的理解）==〉（簡單應用）==〉（綜合應用）

2．重點、難點分析

重點：不等式證明的主要方法的意義和應用；

難點：①理解分析法與綜合法在推理方向上是相反的；

②綜合性問題證明方法的選擇．

（1）不等式證明的意義

不等式的證明是要證明對于滿足條件的所有數都成立（或都不成立），而并非是帶入具體的數值去驗證式子是否成立．

（2）比較法證明不等式的分析

①在證明不等式的各種方法中，比較法是最基本、最重要的方法．

②證明不等式的比較法，有求差比較法和求商比較法兩種途徑．

由于a>b<==>a-b>0，因此，證明a>b，可轉化為證明與之等價的a-b>0．這種證法就是求差比較法．

由于當b>0時,a>b<==>(a／b)>1，因此，證明a>b(b>0),可以轉化為證明與之等價的(a／b)>1(b>0)．這種證法就是求商比較法，使用求商比較法證明一定要注意(b>0)這一前提條件．

③求差比較法的基本步驟是：“作差?變形?斷號”．

其中，作差是依據，變形是手段，判斷符號才是目的．

變形的方法一般有配方法、通分法和因式分解法等，變成能夠判斷出差的符號是正或負的數(或式子)即可.④作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式．

（3）綜合法證明不等式的分析

①利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．

②綜合法的思路是“由因導果”：從已知的不等式出發，通過一系列已知條件推導變換，推導出求證的不等式．

③綜合法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）==〉（逐步推演不等式成立的必要條件）==〉（結論）

（4）分析法證明不等式的分析

①從求證的不等式出發，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就是分析法．

有時，我們也可以首先假定所要證明的不等式成立，逐步推出一個已知成立的不等式，只要這個推出過程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以斷定所給的不等式成立．這也是用分析法，注意應強調“以上每一步都可逆”，并說出可逆的根據．

②分析法的思路是“執果導因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件直至已成立的不等式．它與綜合法是對立統一的兩種方法．

③用分析法證明不等式的邏輯關系是：

（已知）<==（逐步推演不等式成立的必要條件）<==（結論）

④分析法是證明不等式時一種常用的基本方法．當證明不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決．特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往更實用.（5）關于分析法與綜合法關系

①分析法與綜合法是思維方向相反的兩種思考方法．

②在數學解題中，分析法是從數學題的待證結論或需求問題出發，逐步地推導，最后達到題設的已知條件．即推理方向是：結論已知.綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題．即：已知 結論．

③分析法的特點是：從“結論”探求“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理實際上是要尋找結論的充分條件．

綜合法的特點是：從“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理實際上是要尋找已知的必要條件．

④一般來說，對于較復雜的不等式，直接運用綜合法往往不易入手，用分析法來書寫比較麻煩．因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法經常是結合在一起使用的． 第一課時 不等式的證明（比較法）教學目標

1．掌握證明不等式的方法——比較法；

2．熟悉并掌握比較法證明不等式的意義及基本步驟． 教學重點:

比較法的意義和基本步驟.教學難點:

常見的變形技巧.教學方法； 啟發引導法.教學過程：（－）導入新課

教師提問：根據前一節學過（不等式的性質）的知識，我們如何用實數運算來比較兩個實數與的大小？

找學生回答問題．

（學生回答：，，）

［點評］要比較兩個實數 與 的大小，只要考察 與 的差值的符號就可以了，這種證明不等式的方法稱為比較法．現在我們就來學習：用比較法證明不等式．

目的：通過教師設置問題，引導學生回憶所學的知識，引出用比較法證明不等式，導入本節課學習的知識．

（二）新課講授

【嘗試探索，建立新知】

作差比較法

[問題] 求證

教師引導學生分析、思考，研究不等式的證明．

學生研究證明不等式，嘗試完成問題． ［本問點評］

①通過確定差的符號，證明不等式的成立．這一方法，在前面比較兩個實數的大小、比較式子的大小、證明不等式性質就已經用過．

②通過求差將不等問題轉化為恒等問題，將兩個一般式子大小比較轉化為一個一般式子與0的大小比較，使問題簡化．

③理論依據是：

④由 需證明，知：要證明

只需證

；這種證明不等式的方法通常叫做比較法．

目的：幫助學生構建用比較法證明不等式的知識體系，培養學生化歸的數學思想．

【例題示范，學會應用】

教師板書例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會解題過程中的一些常用技巧，并點評．

例1． 求證

［分析］由比較法證題的方法，先將不等式兩邊作差，得，將此式看作關于的二次函數，由配方法易知函數的最小值大干零，從而使問題獲證．

證明：∵

＝

＝，∴ ．

［本例點評］

①作差后是通過配方法對差式進行恒等變形，確定差的符號;

②作差后，式子符號不易確定，配方后變形為一個完全平方式子與一個常數和的形式，使差式的符號易于確定;

③不等式兩邊的差的符號是正是負，一般需要利用不等式的性質經過變形后，才能判斷;

④例1介紹了變形的一種常用方法——配方法．

例2.已知

都是正數，并且，求證：

［分析］這是分式不等式的證明題，依比較法證題將其作差，確定差的符號，應通分，由分子、分母的值的符號推出差值的符合，從而得證．

證明：

＝

＝ ．

因為 所以

∴ 都是正數，且

． ．，即：

[本例點評]

①作差后是通過通分法對差式進行恒等變形，由分子、分母的值的符號推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——通分法;例

3、已知a,b都是實數,且a?b,求證a?b?ab?ab3322

證明:(a?b)?(ab?ab)?(a?ab)?(ab?b)222233223223

2?a(a?b)?b(a?b)?(a?b)(a?b)?(a?b)(a?b)

?a,b?0,?a?b?0又?a?b?(a?b)?0

2故(a?b)(a?b)?0即(a?b)?(ab?ab)?0 23322?a?b?ab?ab3322

[本例點評]

①作差后是通過分組，提取公因式對差式進行恒等變形，化成n 個括號相乘的形式，從而推出差的符號;

②本例題介紹了對差變形，確定差值的符號的一種常用方法——分組，提取公因式法;求商比較法：

例1 已知a,b是正數,求證ab?ab,當且僅當a?b時,等號成立.abba證明:ababbaba?aa?bbb?a?a?????b?a?b

根據要證的不等式的特點(交換a,b的位置,不等式不變)?a?不妨設a?b?0,則?1,a?b?0,???b?b?當且僅當a?b時,等號成立.?ab?ab,當且僅當a?b時,等號成立.abbaaa?b?1小結：作商比較法的基本步驟是：“作商?變形?判斷商式與1的大小關系”，需要注意的是，作商比較法一般用于證明不等號兩側的式子同號的不等式．

（最后是與1比較）

(三)課堂練習

教師指定練習題，要求學生獨立思考．完成練習；請甲、乙兩學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定和鼓勵，對偏差點撥和糾正；點評練習中存在的問題．

練習：1．求證，求證

2．已知，，d都是正數，且

目的:掌握用比較法證明不等式，并會靈活運用配方法和通分法變形差式，確定差式符號．反饋課堂教學效果，調節課堂教學．

（四）布置作業

2、已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3

．

2x3、求證：2?1x?

14、求證：1?q?q?q(q?0)734

5、設a,b?R

a?b?,求證：ab?(ab)ab2

第二課時 綜合法

●教學目標

(一)教學知識點 綜合法證明不等式.(二)能力訓練要求

1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標 掌握綜合法、分析法證明不等式,培養學生嚴謹周密的邏輯思維習慣,加強學生實踐能力的訓練,由因導果,進一步鞏固學生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實提高學生的思想道德品質.●教學重點

1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因導果”,從已知條件及已知不等式出發,不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關系.即A(已知)?B1?B2???Bn?B(結論).運用不等式的性質和已證明過的不等式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3)a?b2?ab,對a>0,b>0,當且僅當a=b時取“=”號.ab?ba(4)當a,b同號時有(5)a?b?c333

3≥2,當且僅當a=b時取“=”號.?3abc(a>0,b>0,c>0),當且僅當a=b=c時取“=”號.(6)a+b+c≥3abc(a>0,b>0,c>0),當且僅當a=b=c時取“=”號.●教學難點

“由因導果”時,從哪個不等式出發合適是綜合法證明不等式的難點.●教學過程 1.課題導入

［師］同學們,前面我們學習了兩個正數的算術平均數與幾何平均數的關系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3 A,引導學生復習“算術平均數與幾何平均數”的關系定理，閱讀投影片§6.3.3 A)我們要掌握下面重要的不等關系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3)a?b2?2ab,(a,b∈R),當且僅當a=b時取“=”號;2+(4)ab≤a?b2,(a,b∈R);ab≤（ab2)2,(a,b∈R+),當且僅當a=b時取“=”號;

(5)ab?b（6）aa?b?c≥2,(ab>0),當且僅當a=b時取“=”號；

?3333abc,(a,b,c∈R),當且僅當a=b=c時取“=”號；

+（7)a+b+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當且僅當a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節課學習“比較法”證明不等式的基礎上，繼續學習證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.2.講授新課

一般地，從已知條件出發，利用定義、定理、性質等，經過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導果法。

下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創設運用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右

333邊有三正數a,b,c的“積”，我們可以創設運用重要不等式：a+b+c≥3abc.(教師引導學生，完成證明）

22證法一：∵a>0,b+c≥2bc ∴由不等式的性質定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc, ② c(a2+b2)≥2abc.③

因為a,b,c為不全相等的正數，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)222222=ab+ac+bc+ba+ca+cb

=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數.222∴ab+bc+ca>33a3b3c2=3abc

ab2+bc2+ca2>33a3b3c3=3abc

由不等式的性質定理3的推論，得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經成立）的不等式或定理出發，結合不等式性質，逐步推出（由因導果）所證的不等式成立.2.在利用綜合法進行不等式證明時，要善于直接運用或創設條件運用基本不等式，其中拆項、并項、分解、組合是變形的重要技巧.用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結論.則綜合法用框圖表示為Q: P?1

Q1?Q2 Q2?Q3

…

Qn?Q

特點:“由因導果”

例2：在△ＡＢＣ中，三個內角Ａ、Ｂ、Ｃ對應的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、分析:由A,B,C成等差數列可得什么?Ｃ成等差數列，a、b、c成等比數列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形． 由a,b,c成等比數列可得什么?

3、課堂練習

1、在△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A，B，C成等差數列，求證： 1a+b1b+c3a+b+c

+=

4、課后作業

1．a

A．ab+

C．

1a?1b

2（）

?1

a2B．|a|>－b ?b22 D．b>a

2．a,b∈R，M=,A?a?b2,G?ab,H?11a?21b，則M、A、G、H間的大小關系是（）

A．M≥A≥G≥H

B．M≥H≥A≥G C．A≥G≥M≥H

D．A≥G≥H≥M 3．0

A．a+b 2

2（）

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4、已知a2＋b2＋c2＝1，求證：

2≤ab＋bc＋ca≤1.5、已知：a,b,c為正實數，求證：bca?acb?abc?a?b?c

第三課時 分析法

●教學目標

(一)教學知識點 分析法證明不等式.(二)能力訓練要求

1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實質——執果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標

分析法證明不等式意在提高學生的數學素質,培養學生的創新意識,加強學生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學生認識到事物間是有聯系的辯證唯物主義觀念.●教學重點

分析法證明不等式,就是“執果索因”,從所證的不等式出發,不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當證題不知從何入手時,有時可以運用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結論復雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又??只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:B?B1?B2??Bn?A.●教學難點

1.理解分析法的本質是從結論分析出使結論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(分析推理)步驟的關鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定??成立”等.●教學過程

1.課題導入

［師］隨著我們對不等式證明學習的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計可施,由題設不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發現解題思路,從而達到證明不等式的目的.今天,我們根據這種基本思路,繼續探討學習證明不等式的又一種重要方法——分析法.2.講授新課

證明不等式時,有時可以從求證的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實（定義、定理或以證明的定理、性質等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執果索因的思考和證明方法

下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.例1 求證基本不等式a?b2?ab(a?0,b?0)

例2 求證2?7?3?6 證明: ?所以要證2?2?7和3?7?26都是正數,6,6),23?只需證(2?7)?(3?展開得9?214?9?218,只需證14?18，只需證14?18,?14?18成立,所以2? 7?3?6成立.說明：證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”

入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數學問題的一種重要思想方法.例2 已知?，??k??sin?+cos?=2sin?,sin??cos??sin? 1?tan?1?tan?求證：?221?tan?2(1?tan?)222?2(k?Z)且

3.課時小結

這節課,我們學習了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時,其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證??成立,只需證??”或采用符號“?”或 “?”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優點是,當我們面對一個不等式的證明而一籌莫展,無法下手時,它給我們提供了一個方法,即從目標不等式“倒推”分析,而往往在“倒推”的過程中,會逐漸發現解題思路.因此,分析法從本質上說,只是對問題作嘗試與探索的過程(即執果索因).在運用“分析法”時,典型的錯誤是把所證不等式當作已知條件,如證明命題“若A則B”,錯誤地寫成:“因為B成立,則??”.希望同學們很好掌握

4、課堂練習

課本89頁 練習1,2,3.5、課后作業

1．6?22與5?7的大小關系是________________ 2．已知a>0，b>0，且a+b=1，求證：2a?1?2b?1?22.3．若x,y是正實數，x?y?1，求證：(1?)(1?)?9

xy114．已知

1?tan?2?tan??1，求證：3sin2???4cos2?

第4課時

反證法

●教學目標

(一)教學知識點 1.反證法的概念.2.反證法證題的基本方法.(二)能力訓練要求 1.初步掌握反證法的概念.2.理解反證法證題的基本方法.3.培養學生用反證法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標 培養學生通過事物的結論的反面出發，進行推理，使之引出矛盾，從而證明事物的結論成立的簡單推理能力與思維能力.●教學重點 1.理解反證法的推理依據.2.掌握反證法證明命題的方法.3.反證法證題的步驟.●教學難點 理解反證法的推理依據及方法.●教學過程

1.復習：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反證法:先假設要證的命題不成立,以此為出發點,結合已知條件,應用公理,定義,定理,性質等,進行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理,性質,明顯成立的事實等)矛盾的結論,以說明假設不正確,從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命題常常用反證法證明.例1 已知x,y?0,且x?y?2,試證1?x1?y,中至少有一個小于2.yx

證明:假設1?x1?y1?x1?y,都不小于2,即?2,且?2,yxyx?x,y?0,?1?x?2y, 1?y?2x,?2?x?y?2(x?y)?x?y?2,這與已知條件x?y?2矛盾.?1?xy與1?yx中至少有一個小于2

1例

2、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于4

證：設(1 ? a)b >4,(1 ? b)c >4,(1 ? c)a >4，1則三式相乘：ab <(1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①

?(1?a)?a?0?(1?a)a???2??又∵0 < a, b, c < 1 ∴(1?b)b?14(1?c)c?142?14

同理：，1以上三式相乘：(1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 與

①矛盾

∴原式成立

例3如果a??，b??，且a//b，已知直線a，b和平面?，?a

求證： a//??bp例

4、求證：2是無理數

3.課時小結

反證于以下兩種情形

(1)要證的結論與條件之間的聯系不明顯,直接由條件推出結論的線索不夠清晰;(2)如果從正面證明,需要分成多種情形進行分類討論而從反面進行證明,只研究一種或很少的幾種情形.常見否定用語

是－－－不是

有－－－沒有 等－－－不等

成立－－不成立 都是－－不都是，即至少有一個不是 都有－－不都有，即至少有一個沒有

都不是－部分或全部是，即至少有一個是 唯一－－至少有兩個

至少有一個有（是）－－全部沒有（不是）至少有一個不－－－－－全部都

4、課堂練習

課本 91頁 練習1,2

5、作業布置

課本 91頁 1,2,4

補充教案

放縮法

●教學目標

教學知識點

（一）1.放縮法的概念.2.放縮法證題的基本方法.(二)能力訓練要求 1.初步掌握放縮法的概念.2.理解放縮法證題的基本方法.3.培養學生用放縮法簡單推理的技能.(三)德育滲透目標：證明不等式意在提高學生的數學素質,培養學生的創新意識,加強學生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進一步使學生認識到事物間是有聯系的辯證唯物主義觀念.●教學重點 1.理解放縮法的推理依據.2.掌握放縮法證明命題的方法.●教學難點 理解放縮法的推理依據及方法.●教學過程

1.復習：證明不等式的常用方法：比較法、綜合法、分析法.2.講授新課

反

放縮法:證明不等式時,通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小,可以使不等式中有關項之間的大小關系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數變形,從而達到證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或縮小的方法是不唯一的,因而放縮法具有較在原靈活性;另外,用放縮法證明不等式,關鍵是放、縮適當,否則就不能達到目的,因此放縮法是技巧性較強的一種證法.例1 已知a,b,c,d?R?,求證1?aa?b?d?bb?c?a?cc?d?b?dd?a?c ?2證明: ?a,b,c,d?0,?aa?b?c?dba?b?c?dca?b?c?dda?b?c?d????aa?b?dbb?c?acc?d?bdd?a?c

把以上四個不等式相加 得a?b?c?da?b?c?d 即1?aa?b?d112?aa?b?d?b?bb?c?a?c?cc?b?d?d?dd?a?c?2?a?ba?b?c?dc?d.b?c?a?131n22c?b?a1n2d?a?c例

2、求證： ∴112?122????21證明：

?13???1n?1?1n1n2?1n(n?1)1n?1n?1?1n

?122?132????1?1?12??2??

2、.課時小結

放縮法就是將不等式的一邊放大或縮小,尋找一個中間量,如將A放大成C,即A?C,后證C?B.常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進)一些項;(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應用基本不等式進行放縮.如(a?1k212)?1234?(a?,1212);1,1k?2k?k?1,2

??k(k?1)k2k??k(k?1)1kk?1(以上k?2且k?N?)

4、課后作業

1、設x > 0, y > 0,a?x?y1?x?y, b?x1?x?y1?y，求證：a < b

111112、???????12nn?1n?22n(n?N)

?

第二篇：直接證明和間接證明復習教案

高三數學教案

【課題】直接證明和間接證明能力要求:A

【學習目標】

知識與技能：了解直接證明的方法——綜合法和分析法；了解間接證明的方法——反證法 過程與方法：通過師生互動，讓學生掌握三種證明方法。

情感、態度與價值觀：培養學生嚴謹的思維習慣。

【重點與難點】

能應用綜合法和分析法解決一些簡單的證明題。

一、知識回顧

1、綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的方法。其特點是由因導果

2、分析法：一般的，從要證明的結論出發，逐步尋求推理過程中，使每一步結論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）的方法。其特點是執果索因

3、反證法：其證明步驟是

（1）提出假設——假設命題的 結論不成立。

（2）推出矛盾——從 已知條件和事實出發，經過一系列正確的邏輯推理。得出 矛盾的結果。

（3）得出結論——由 矛盾結果，斷定 假設不真，從而肯定原結論成立。

二、預習作業

1、比較大小：

2??

2、下列表述：（1）綜合法是執因導果法。（2）綜合法是順推法。（3）分析法是執因導果法。（4）分析法是間接證明法。（5）反證法是逆推法。正確的語句有 3個。

3、在用反證法證明命題時，“若x?0,y?0且x?y?2，則1?y1?x和中至少有一個xy

小于2”時，假設則1?y1?x和都不小于2xy4、已知?ABC三個頂點的坐標分別為（5，-2），（1，2），（10，3），則?ABC的形狀是直角三角形

5、若a?b?0，則下列不等式中總成立的是

11bb?1?b?（2）?baaa?

1112a?ba?（3）a??b?（4）aba?2bb（1）a?

6、方程lnx－6+2x=0的解x0，則滿足x?x0的最大整數解是

三、例題

例

1、在數列?an?中，a1?2,an?1?4an?3n?1,n?N*.(1)證明數列?an?n?是等比數列。

(2)求數列?an?的前n項和sn

(3)證明不等式

例

2、?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，a,b,c為三個內角A,B,C的對邊。求證：

sn?1?4sn對任意n?N*都成立。113?? a?bb?ca?b?c

例

3、若a,b,c均為實數，且a?x?2y?

證明：a,b,c中至少有一個大于0.2?3，b?y?2z?2?3,c?z2?2x??3，22變題：若下列三個方程：x?4ax?4a?3?0，x?(a?1)x?a?0，2x2?2ax?2a?0中至少有一個方程有實根，試求實數a的取值范圍。

四、學教小結

五、當堂反饋

1、“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是多有一個鈍角。

?ABC的外接圓的圓心為O，2、兩條邊上的高的交點為H，OH?m(OA?OB?OC), 則實數m的值是

1直接證明和間接證明作業卷

1、函數y?f(x)是R上的偶函數，周期為2，當2

22、若函數f(x)的圖像可由函數y?lg(1?x)的圖像繞原點順時針旋轉90得到，則 0

f(x)x3、在Rt?ABC中，?A?90，AB=1,則??0

b?1（2）a?b?0?a?2?b?2 a

ab（3）a?b,c?d,abcd?0??cd（1）a?b?0?

4、給出下列命題：

（4）a?b?0,c?d?0?a?db其中真命題的序號是d5、若a,b,c,d,x,y是正實數，且P?的大小關系為ab?cd，Q?ax?cy?bd?，則P、Qxy6、p?2x4?1,q?2x3?x2,x?R，則p和q得大小關系是p?q7、設等比數列?an?的公比為2，前n項的和為sn,sn?1,sn,sn?2成等差數列，則q的值為-

28、若a?b?0，求證：a??

9、已知為a非零常數，f(x?a)?a?b1?f(x)(x?R,f(x)?1)，試判斷f(x)是否1?f(x)

為周期函數,證明你的結論。

（0，1）（1?a)b,(1?b)c,(1?c)a不能同時大于

10、已知a,b,c?,求證1。4

第三篇：直接證明與間接證明

鄉寧三中高中部“自主、互助、檢測”大學堂學案數學選修2-22014 年3月4日 課題：直接證明與間接證明

主備人：安輝燕參與人：高二數學組1112.①已知a,b,c?R，a?b?c?1，求證：???9.abc?

②已知a，b，m都是正數，并且a?b.求證:a?ma?.學習任務：

①了解直接證明的兩種基本方法----分析法和綜合法；并會用直接法證明一般的數

學問題

②了解間接證明的一種方法----反證法，了解反證法的思考過程、特點；會用反證

法證明一般的數學問題 3.求證?7?25

自學導讀：

閱讀課本P85--P91，完成下列問題。

1．直接證明----綜合法、分析法

(1)綜合法定義：

框圖表示：

問題反饋：

思維特點是：由因導果

(2)分析法定義：

框圖表示：

思維特點：執果索因

2．間接證明----反證法

定義：

步驟：

思維特點：正難則反 拓展提升：

3.討論并完成課本例1--例5 設a為實數，f(x)?x2?ax?a.求證：

自主檢測：

1.如果3sin??sin（2?+?），求證：tan(???)?2tan?.-b?mbf(1)與f(2)中至少有一個不小于12.

第四篇：6.6 直接證明與間接證明修改版

高三導學案學科 數學 編號 6.6編寫人 陳佑清審核人使用時間

班級：小組：姓名：小組評價：教師評價：課題：（直接證明與間接證明）

【學習目標】

1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法，了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2.了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點。

【重點難點】

重點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

難點 ：了解直接證明和間接證明的思考過程、特點。

【使用說明及學法指導】①要求學生完成知識梳理和基礎自測題；限時完成預習案，識記基礎知識；②課前只獨立完成預習案，探究案和訓練案留在課中完成預習案

一、知識梳理

1． 直接證明

(1)綜合法 ①定義：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的，最后推導出所要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法．

②框圖表示：P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)．

(2)分析法

①定義：從出發，逐步尋求使它成立的，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法．

②框圖表示：Q?P1→P1?P2→P2?P3→?→得到一個明顯成立的條件.2． 間接證明

反證法：假設原命題，經過正確的推理，最后得出，因此說明假設錯誤，從而證明了原命

題成立，這樣的證明方法叫做反證法．

二、基礎自測

1.下列表述：①綜合法是由因導果法；②綜合法是順推法；③分析法是執果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法。其中正確的有（）

A．2個B．3個C．4個D．5個

2.?）

A．綜合法

B．分析法C．反證法D

．歸納法

3.用反證法證明“如果a?

b?）

A

?

?D4．定義一種運算“*”：對于自然數n滿足以下運算性質：

①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，則n*1＝________．

5.下列條件：①ab?0，②ab?0，③a?0,b?0，④a?0,b?0，其中能使

是。ba??2成立的條件ab

探究案

一、合作探究

a2b2c

2???a?b?c。例

1、設a,b,c?0，證明bca

例

2、已知函數f(x)?tanx,x?(0,?x?x2?1)，)。若x1,x2?(0,)，且x1?x2，[f(x1)?f(x2)]?f(1 222

2例

3、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列。

二、總結整理

訓練案

一、課中訓練與檢測

1.設a，b為正實數．現有下列命題：

11①若a2－b2＝1，則a－b<1；②若1，則a－b<1；③若|a－b|＝1，則|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，則ba

|a－b|<1.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

2.已知a?

01?a??2。a

二、課后鞏固促提升

已知a?0,b?0，且a?b?2，求證1?b1?a,中至少有一個小于2.ab

第五篇：5直接證明與間接證明

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5直接證明與間接證明

作者：

來源：《數學金刊·高考版》2014年第03期

直接證明與間接證明貫穿在整張高考卷的始終，解題過程中處處離不開分析與綜合.近年高考解答題的證明，主要考查直接證明，難度多為中檔或中偏高檔；有時以解答題的壓軸題的形式呈現，此時難度為高檔，分值約為4～8分.對于間接證明的考查，主要考查反證法，只在個別地區的高考卷中出現，難度一般為中檔或中偏高檔，分值約為4～6分.以數列、函數與導數、立體幾何、解析幾何等知識為背景的證明.（1）綜合法解決問題的關鍵是從“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”.其逐步推理，實質上是尋找已知的必要條件.分析法解決問題的關鍵是從未知看需知，逐步靠攏已知，其逐步推理，實際上是尋找結論的充分條件.因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程，相得益彰.（2）對于某些看來明顯成立而又不便知道根據什么去推導（綜合法），甚至難于尋求到使之成立的充分條件（分析法）的“疑難”證明題，常考慮用反證法來證明.一般地，可在假設原命題不成立的前提下，經過正確的邏輯推理，最后得出矛盾，從而說明假設錯誤，從反面證明原命題成立.