第一篇：07--12年浙江省高考數學平面向量題

2010（16）已知平面向量a,?(a?0,a??)滿足??1,且a與??a的夾角為120°則a。

2009（7）設向量a,b滿足︱a︱=3,︱b︱=4,a?b=0.以a,b,a-b的模為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為

（A）3（B）4（C）5（D）6

2008（9）已知a、b是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a?c)?(b?c)的最大值是

（A）1（B）2（C）?0,則|c| 2（D）22

2007（7）若非零向量a，b滿足a?b?b，則（）Ａ．2a??a?b Ｂ．2a?2a?bＣ．2b?a??bＤ． 2b?a?2b

2012（5）.設a，b是兩個非零向量。

A.若|a+b|=|a|-|b|，則a⊥b

B.若a⊥b，則|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，則存在實數λ，使得b=λa

D.若存在實數λ，使得b=λa，則|a+b|=|a|-|b|

2012（15）.在△ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則

=________.

第二篇：2014高考數學復習：平面向量

高考數學內部交流資料【1--4】

2014高考數學復習：平面向量

一選擇題（每題5分，共50分）

1.向量????﹒化簡后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面給出的關系式中，正確的個數是（）

10·=0○2 ·=·○

3?○4○2??5?a?b ????a??

A.0B.1C.2D.3 3.對于非零向量a.b,下列命題中正確的是（）

A.a?b?0 ?a?0或b?0B//?在上的投

影為。C.?????D.a?c?b?c?a?b

4.已知=?5,?2?,=??4,?3?,=?x,y?.若-2+3=.則等于()A.?1,?B.??2?8?

?3??138??134??134?,?C.?,?D.??,?? ?33??33??33?

1AB?()25已知???2,4?,??2,6?,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面內的一組基底，則下列四組向量中，不能作為一組基底的是（）

A.e1 和e1?e2B.e1—2e2和e2?2e1 C.e1—2e2和4e2?2e1 D.e1?e2和e1—e2 7已知?ABC中AB?AC>0,則?ABC的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定 8已知??1,0?,??1,1?，且?k恰好與垂直，則實數k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不對

9.已知=??,2?,???3,5?，且與的夾角是鈍角，則?的范圍是（）

A.??10101010B.??C.??D.?? 3333

10.已知,是夾角為60的兩個單位向量，則?2?,??3?的夾角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空題（每題5分,共25分）

11.若a??6,?8?，則與a平行的單位向量是12.若向量,?1?2且與的夾角為13.?

1?

2，???0，則與的夾角為

?

?

?=3

14．設e1.e2為兩個不共線的向量，若?e1??e2與??2e1?3e2與共線，則??15已知平面內三點A.B.C?3?4

?5,則?????的值等于三．解答題（共75分）

16(12分)已知向量a?3e1?2e2,b?4e1?e2其中e1??1,0?,e2??0,1?求：（1）?，（2）與夾角的余弦值。

17(12分).已知向量??3,?4?,??2,x?,??2,y?且//,?求：（1）x,y的值；（2的值

??

18.（12分）已知向量??sinx,1?,??cosx,1?（1）當a//b時，求cosx?sinxcosx的值；（2）求f(x)=?的最小正周期及最值。

19.（12分）已知??2,?2?4,?3?6（其中,是任意兩個不共線

向量），證明：A.B.C三點共線。

20．（13分）已知?ABC中，A?5,?1?，B??1,7?,C?1,2.?求（1）BC邊上的中線AM的長;（2）cos?ABC的值

21.（14

?3?2,的夾角為60，c?3a?5b,d?ma?3b；（1）當m為何值時，c與d垂直？（2）當m為何值時，c與d共線？

第三篇：數學平面向量課后題

數學的必修四便會學習到平面向量，這和物理必修一的內容也有一定的相關性，所以，我們更應該學好這一知識點。分享了數學平面向量的課后題及答案，一起來看看吧！

一、選擇題

1．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(2m，m＋1)．若AB→∥OC→，則實數m的值為()

A．－3 B．－17

C．－35 D.3

5解析 AB→＝OB→－OA→＝(3,1)，因為AB→∥OC→，所以3(m＋1)－2m＝0，解得m＝－3.答案 A

2．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)(a－b)＝－2，則a與b的夾角為()

A.π6 B.π

3C.π2 D.2π3

解析 由(a＋2b)(a－b)＝|a|2＋ ab－2|b|2＝－2，得ab＝2，即|a||b|cos〈a，b〉＝2，cos〈a，b〉＝12.故〈a，b〉＝π3.答案 B

3．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝()

A．－2 B．－

1C．1 D．

2解析 ∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝m(1,2)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．又∵c與a的夾角等于c與b的夾角，∴cos〈c，a〉＝cos〈c，b〉．∴ca|c||a|＝cb|c||b|.即5m＋85|c|＝8m＋2025|c|，解得m＝2.答案 D

4．)若向量a，b滿足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，則|b|＝()

A．2 B.2

C．1 D.22

解析 ∵(a＋b)⊥a，|a|＝1，∴(a＋b)a＝0，∴|a|2＋ab＝0，∴ab＝－1.又∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)b＝ 0.∴2ab＋|b|2＝0.∴|b|2＝2.∴|b|＝2，選B.答案 B

5．設△ABC的三個內角為A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若mn＝1＋cos(A＋B)，則C＝()

A.π6 B.π3

C.2π3 D.5π6

解析 依題意得 3sinAcosB＋3cosAsinB＝1＋cos(A＋B)，3sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，3sinC＋cosC＝1，2sinC＋π6＝1，sinC＋π6＝12.又π6

6．在平面上，AB1→⊥AB2→，|OB1→|＝|OB2→|＝1，AP→＝AB1→＋AB2→.若|OP→|<12，則|OA→|的取值范圍是()

A.0，52 B.52，72

C.52，2 D.72，2

解析 由題意得點B1，B2在以O為圓心，半徑為1的圓上，點P在以O為圓心半徑為12的圓內，又AB1→⊥AB2→，AP→＝AB1→＋AB2→，所以點A在以B1B2為直徑的圓上，當P與O點重合時，|OA→|最大為2，當P在半徑為12的圓周上，|OA→|最小為72.∵P在圓內，∴|OA→|∈72，2.答案 D

二、填空題

7．已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λ a＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.解析 |b|＝22＋12＝5，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝|b||a|＝51＝5.答案

58．在△ABC中，BO為邊AC上的中線，BG→＝2GO→，若CD→∥AG→，且AD→＝15AB→＋λAC→(λ∈R)，則λ的值為________．

解析 因為CD→∥AG→，所以存在實數k，使得CD→＝kAG→.CD→＝AD→－AC→＝15AB→＋(λ－1)AC→，又由BO是△ABC的邊AC上的中線，BG→＝2GO→，得點G為△ABC的重心，所以AG→＝13(AB→＋AC→)，所以15AB→＋(λ－1)AC→＝k3(AB→＋AC→)，由平面向量基本定理可得15＝k3，λ－1＝k3，解得λ＝65.答案 65

9．在△ABC所在的平面上有一點P滿足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，則△PBC與△ABC的面積之比是________．

解析 因為PA→＋PB→＋PC→＝AB→，所以PA→＋PB→＋PC→＋BA→＝0，即PC→＝2AP→，所以點P是CA邊上靠近A點的一個三等分點，故S△PBCS△ABC＝PCAC＝23.答案 2

3三、解答題

10．已知向量AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，a∈R

(1)若D為BC中點，AD→＝(m,2)，求a，m的值；

(2)若△ABC是直角三角形，求a的值．

解(1)因為AB→＝(3,1)，AC→＝(－1，a)，所以AD→＝12(AB→＋AC→)＝1，1＋a2.又AD→＝(m,2)，所以m＝1，1＋a＝2×2，解得a＝3，m＝1.(2)因為△ABC是直角三角形，所以A＝90°或B＝90°或C＝90°.當A＝90°時，由AB→⊥AC→，得3×(－1)＋1a＝0，所以a＝3；

當B＝90°時，因為BC→＝AC→－AB→＝(－4，a－1)，所以由AB→⊥BC→，得3×(－4)＋1(a－1)＝0，所以a＝13；

當C＝90° 時，由BC→⊥AC→，得－1×(－4)＋a(a－1)＝0，即a2－a＋4＝0，因為a∈R，所以無解．

綜上所述，a＝3或a＝13.11．在△ABC中，已知2AB→AC→＝3|AB→||AC→|＝3BC→2，求角A、B、C的大小．

解 設BC＝a，AC＝b，AB＝c.由2AB→AC→＝3|AB→||AC→|，得2bccosA＝3bc，所以cosA＝32.又A∈(0，π)，因此A＝π6.由3|AB→||AC→|＝3BC→2，得cb＝3a2.于是sinCsinB＝3sin2A＝34.所以sinCsin5π6－C＝34.sinC12cosC＋32sinC＝34，因此2sinCcosC＋23sin2C＝3，sin2C－3cos2C＝0，即2sin2C－π3＝0.由A＝π6知0

1.已知正三角形ABC的邊長為1，點P是AB邊上的動點，點Q是AC邊上的動點，且AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R，則BQ→CP→的最大值為()

A.32 B．－32

C.38 D．－38

解析，BQ→CP→＝(BA→＋AQ→)(CA→＋AP→)＝[BA→＋(1－λ)AC→](CA→＋λAB→)＝AB→AC→－λAB→ 2－(1－λ)AC→2＋λ(1－λ)AB→AC→＝(λ－λ2＋1)×cos60°－λ＋λ－1＝－12λ－122－38，0≤λ≤1，所以當λ＝12時，BQ→CP→的最大值為－38，選D.答案 D

2．已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成．記S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4＋x5y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值． 則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

①S有5個不同的值；

②若a⊥b，則Smin與|a|無關；

③若a∥b，則Smin與|b|無關；

④若|b|>4|a|，則Smin>0；

⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為π4.解析 對于①，若a，b有0組對應乘積，則S1＝2a2＋3b2，若a，b有2組對應乘積，則S2＝a2＋2b2＋2ab，若a，b有4組對應乘積，則S3＝b2＋4ab，所以S最多有3個不同的值，①錯誤；因為a，b是不等向量，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2 ＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S30，④正確；對于⑤，|b|＝2|a|，Smin＝4|a|2＋8|a|2cosθ＝8|a|2，所以cosθ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，⑤錯誤．因此正確命題是②④.答案 ②④

3．已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若mn＝1，求cos2π3－x的值；

(2)記f(x)＝mn，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC，求函數f(A)的取值范圍．

解(1)mn＝3sinx4cosx4＋cos2x4

＝32sin x2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12.又∵mn＝1，∴sinx2＋π6＝12.cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，cos2π3－x＝－ cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝12.又∵0

第四篇：近五年高考數學真題分類05平面向量

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

五、平面向量

一、多選題

1．（2021·全國新高考1）已知為坐標原點，點，，則（）

A．

B．

C．

D．

二、單選題

2．（2021·浙江）已知非零向量，則“”是“”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分又不必要條件

3．（2020·海南）在中，D是AB邊上的中點，則=（）

A．

B．

C．

D．

4．（2020·海南）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

5．（2020·全國2（理））已知向量，滿足，，則（）

A．

B．

C．

D．

6．（2020·全國3（文））已知單位向量，的夾角為60°，則在下列向量中，與垂直的是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2019·全國2（文））已知向量，則

A．

B．2

C．5

D．50

8．（2019·全國1（文））已知非零向量滿足，且，則與的夾角為

A．

B．

C．

D．

9．（2019·全國2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=

A．-3

B．-2

C．2

D．3

10．（2018·北京（理））設向量均為單位向量，則“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

11．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是

A．

B．

C．2

D．

12．（2018·天津（理））如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為

A．

B．

C．

D．

13．（2018·全國1（文））在△中，為邊上的中線，為的中點，則

A．

B．

C．

D．

14．（2018·全國2（文））已知向量滿足，則

A．4

B．3

C．2

D．0

15．（2018·天津（文））在如圖的平面圖形中，已知,則的值為

A．

B．

C．

D．0

16．（2017·浙江）如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點O，記，，則

A．I１

B．I１

C．I３<

I１

D．I２

17．（2017·全國2（理））已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是

A．

B．

C．

D．

18．（2017·北京（文））設m,n為非零向量，則“存在負數，使得”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

19．（2017·全國2（文））設非零向量，滿足，則

A．⊥

B．

C．∥

D．

三、填空題

20．（2021·浙江）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.21．（2021·全國甲（文））若向量滿足，則_________.22．（2021·全國甲（理））已知向量．若，則________．

23．（2021·全國乙（理））已知向量，若，則__________．

24．（2021·全國乙（文））已知向量，若，則_________．

25．（2020·浙江）設，為單位向量，滿足，，設，的夾角為，則的最小值為_______．

26．（2020·江蘇）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數），則CD的長度是________．

27．（2020·全國1（文））設向量，若，則__________.28．（2020·全國1（理））設為單位向量，且，則__________.29．（2020·全國1（理））已知單位向量,的夾角為45°，與垂直，則k=__________.30．（2019·江蘇）如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是_____.31．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.32．（2019·全國3（文））已知向量，則___________.33．（2019·全國（理））已知為單位向量，且=0，若，則___________.34．（2019·天津（文））

在四邊形中，，，點在線段的延長線上，且，則__________.35．（2019·上海）在橢圓上任意一點，與關于軸對稱，若有，則與的夾角范圍為____________

36．（2018·上海）已知實數、、、滿足：，，則的最大值為______．

37．（2018·江蘇）在平面直角坐標系中，為直線上在第一象限內的點，以為直徑的圓與直線交于另一點．若，則點的橫坐標為________．

38．（2018·北京（文））設向量

=（1,0），=（?1,m）,若，則m=_________.39．（2018·全國3（理））已知向量，．若，則________．

40．（2017·上海）如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點、、、以及四個標記為“#”的點在正方形的頂點處，設集合，點，過作直線，使得不在上的“#”的點分布在的兩側.用和分別表示一側和另一側的“#”的點到的距離之和.若過的直線中有且只有一條滿足，則中所有這樣的為________

41．（2017·北京（文））已知點在圓上，點的坐標為，為原點，則的最大值為_________．

42．（2017·全國1（理））已知向量與的夾角為60°，||=2，||=1，則|

+2

|=

______

.43．（2017·天津（文））設拋物線的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為____________

.44．（2017·天津（文））在中，，.若，且，則的值為______________.45．（2017·山東（理））已知，是互相垂直的單位向量，若

與λ的夾角為60°，則實數λ的值是__．

46．（2017·全國3（文））已知向量，且，則_______.47．（2017·全國1（文））已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若，則m=_________．

48．（2017·山東（文））已知向量a=（2,6）,b=,若a∥b,則

____________.49．（2017·江蘇）在同一個平面內，向量的模分別為與的夾角為，且與的夾角為，若，則_________．

50．（2020·天津）如圖，在四邊形中，，且，則實數的值為_________，若是線段上的動點，且，則的最小值為_________．

51．（2020·北京）已知正方形的邊長為2，點P滿足，則_________；_________．

52．（2019·浙江）已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.53．（2017·浙江）已知向量滿足，則的最小值是___________，最大值是______．

四、解答題

54．（2017·江蘇）已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）記，求函數y＝f（x）的最大值和最小值及對應的x的值．

近五年（2017-2021）高考數學真題分類匯編

五、平面向量（答案解析）

1．AC

【解析】

A：，所以，故，正確；

B：，所以同理，故不一定相等，錯誤；

C：由題意得：，正確；

D：由題意得：，故一般來說故錯誤；

2．B

【解析】

若，則，推不出；若，則必成立，故“”是“”的必要不充分條件

3．C

【解析】

4．A

【解析】的模為2，根據正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結合向量數量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，5．D

【解析】，，.，因此，.6．D

【解析】由已知可得：.A：因為，所以本選項不符合題意；

B：因為，所以本選項不符合題意；

C：因為，所以本選項不符合題意；

D：因為，所以本選項符合題意.7．A

【解析】由已知，所以，8．B

【解析】因為，所以=0，所以，所以=，所以與的夾角為，故選B．

9．C

【解析】由，得，則，．故選C．

10．C

【解析】因為向量均為單位向量

所以

所以“”是“”的充要條件

11．A

【解析】設，則由得，由得

因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.12．A

【解析】連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形。設

=

所以當時，上式取最小值，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數求最值。

13．A

【解析】根據向量的運算法則，可得，所以，故選A.14．B

【解析】因為

15．C

【解析】如圖所示，連結MN，由

可知點分別為線段上靠近點的三等分點，則，由題意可知：，結合數量積的運算法則可得：

.本題選擇C選項.16．C

【解析】因為，，所以，故選C．

17．B

【解析】建立如圖所示的坐標系，以中點為坐標原點，則，，設，則，，則

當，時，取得最小值，故選：．

18．A

【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負數，使得，所以是充分而不必要條件，故選A.19．A

【解析】

由平方得，即，則

20．【解析】由題意，設，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當且僅當即時，等號成立，所以的最小值為.21．

【解析】∵

∴

∴.22．.【解析】,，解得,故答案為：.23．

【解析】因為，所以由可得，解得．故答案為：．

24．【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，解方程可得：.25．

【解析】，，.26．或0

【解析】∵三點共線，∴可設，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵，，∴，設，則，.∴根據余弦定理可得，∵，∴，解得，∴的長度為.當時，重合，此時的長度為，當時，重合，此時，不合題意，舍去.27．5

【解析】由可得，又因為，所以，即，故答案為：5.28．

【解析】因為為單位向量，所以

所以，解得：

所以，故答案為：

29．【解析】由題意可得：，由向量垂直的充分必要條件可得：，即：，解得：.故答案為：．

30．.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.31．8.【解析】向量則.32．

【解析】．

33．.【解析】因為，所以，所以，所以

．

34．.【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則，．

因為∥，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為．

由得，所以．

所以．

35．【解析】由題意：，設，因為，則

與結合，又

與結合，消去，可得：

所以

36．【解析】設A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B兩點在圓x2+y2=1上，且?=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB為等邊三角形，AB=1，+的幾何意義為點A，B兩點到直線x+y﹣1=0的距離d1與d2之和，顯然A，B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設AB：x+y+t=0，（t＞0），由圓心O到直線AB的距離d=，可得2=1，解得t=，即有兩平行線的距離為=，即+的最大值為+，故答案為+．

37．3

【解析】設，則由圓心為中點得易得，與聯立解得點的橫坐標所以.所以，由得或，因為，所以

38．-1.【解析】，由得：，即.39．

【解析】由題可得，,即，故答案為

40．、、【解析】建立平面直角坐標系，如圖所示；

則記為“▲”的四個點是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），線段AB，BC，CD，DA的中點分別為E，F，G，H，易知EFGH為平行四邊形，如圖所示；

設四邊形重心為M（x，y），則，由此求得M（3，2），即為平行四邊形EFGH的對角線交于點，則符合條件的直線一定經過點，且過點的直線有無數條；

由過點和的直線有且僅有1條，過點和的直線有且僅有1條，過點和的直線有且僅有1條，所以符合條件的點是、、．

41．6

【解析】所以最大值是6.42．

【解析】∵平面向量與的夾角為，∴.∴

故答案為.43．

【解析】設圓心坐標為，則，焦點，由于圓與軸得正半軸相切，則取，所求圓得圓心為，半徑為1.44．

【解析】,則

.45．

【解析】由題意，設（1，0），（0，1），則（，﹣1），λ（1，λ）；

又夾角為60°，∴（）?（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．

46．2

【解析】由題意可得解得.47．7

【解析】由題得，因為，所以，解得．

48．-3

【解析】由可得

49．【解析】以為軸，建立直角坐標系，則，由的模為與與的夾角為，且知，可得，由可得，故答案為.50．

【解析】，，解得，以點為坐標原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，,∵，∴的坐標為,∵又∵,則，設，則（其中），，所以，當時，取得最小值.51．

【解析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則點、、、，則點，，因此，.52．0

【解析】正方形ABCD的邊長為1，可得，?0，要使的最小，只需要，此時只需要取

此時

等號成立當且僅當均非負或者均非正，并且均非負或者均非正．

比如

則.53．4

【解析】

設向量的夾角為，由余弦定理有：，則：，令，則，據此可得：，即的最小值是4，最大值是．

54．【解析】

（1）∵向量．

由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，∴

∴當時，即x＝0時f（x）max＝3；

當，即時．

第五篇：平面向量復習題

平面 向 量

向量思想方法和平面向量問題是新考試大綱考查的重要部分，是新高考的熱點問題。題型多為選擇或填空題，數量為1-2題，均屬容易題，但是向量作為中學數學中的一個重要工具在三角、函數、導數、解幾、立幾等問題解決中處處閃光。最近幾年的考試中向量均出現在解析幾何題中，在解析幾何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的運算性質、考查向量幾何意義的應用，并直接與距離問題、角度問題、軌跡問題等相聯系。近年考綱又新增“平面向量在幾何中的應用”試題進一步要求我們具備多角度、多方向地分析，去探索、去發現、去研究、去創新，而不是去做大量的模仿式的解題。一個問題解決后，不能匆匆而過，回顧與反思是非常有必要的，以充分發揮每一道題目的價值。除了要重視一題多解外，更要重視一題多變，主動探索：條件和結論換一種說法如何？變換一個條件如何？反過來又會怎么樣？等等。只有這樣才能做到舉一反三，以不變應萬變。

一、高考考綱要求

1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

2．掌握向量的加法與減法．

3．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

5．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式．

二、高考熱點分析

在高考試題中，對平面向量的考查主要有三個方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，并能正確地進行計算。其二考查向量坐標表示，向量的線性運算。

其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力。

數學高考命題注重知識的整體性和綜合性，重視知識的交互滲透，在知識網絡的交匯點設計試題．由于向量具有代數和幾何的雙重身份，使它成為中學數學知識的一個交匯點，成為聯系多項知識的媒介．因此，平面向量與其他知識的結合特別是與解析幾何的交匯、融合仍將是高考命題的一大趨勢，同時它仍將是近幾年高考的熱點內容．

附Ⅰ、平面向量知識結構表

1.考查平面向量的基本概念和運算律

1此類題經常出現在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解并掌握兩向量共線、垂直的充要條件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，則向量a與b的夾角為

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

?(1,2),(?2,?4),||?

B．60°,若(?)??

C．120°,則與的夾角為

2（）

D．150°

3．(重慶卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點，則

A．

與的夾角為（）

444

4B．arccos C．arccos(?)D．－arccos(?)

2555

5???????

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，對任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則

?arccos

?

（）

??A．a⊥e ???B．a⊥(a－e)

?

???C．e⊥(a－e)????D．(a＋e)⊥(a－e)

????????．(上海卷)在△ABC中，若?C?90，AC?BC?4，則BA?BC? 2.考查向量的坐標運算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是

A．[－4，6]

2．(重慶卷)設向量a=（－1，2），b=（2，－1），則（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）

????

3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐標系xOy中,已知點A(0,1)和點B(－3,4)，若點C在∠AOB的平分線上且||=2,則OC=。

????????????

5．(全國卷)已知向量OA?(k,12),OB?(4,5),OC?(?k,10)，且A、B、C三點共線，則k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(廣東卷)已知向量a

?(?2,2),b?(5,k).若|a?b|不超過5，則k的取值范圍是

?(2,3),b?(x,6),且a//b,則x.3.平面向量在平面幾何中的應用

????????

????????ABAC

?),??[0,??),則1.O是平面上一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP?OA??(|AB||AC|

P的軌跡一定通過△ABC

A．外心的（）B．內心

C．重心

D．垂心

????

2．（遼寧卷）已知四邊形ABCD是菱形，點P在對角線AC上（不包括端點A,C），則AP等于（）

????????????????A．?(AB?AD),??(0,1)

B.?(AB?BC),??(0,????????????????C.?(AB?AD),??(0,1)

D.?(AB?BC),??(0,??????

3．已知有公共端點的向量a，b不共線，|a|＝1，|b|=2,則與向量a，b的夾角平分線平行的單位向量是.????????????????

4．已知直角坐標系內有三個定點A(?2,?1)、B(0,10)、C(8,0)，若動點P滿足：OP?OA?t(AB?AC),t?R，則點P的軌跡方程。

4.平面向量與三角函數、函數等知識的結合當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式。在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式、三角函數、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：

①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質.1．(江西卷)已知向量?(2cos

xx?x?x?,tan(?)),?(2sin(?),tan(?)),令f(x)??.224242

4求函數f(x)的最大值，最小正周期，并寫出f(x)在[0，π]上的單調區間.2．(山東卷)已知向量

??

m?(cos?,sin?)

和

?n?

sin?,cos?,????,2??

?，且

???m?n?求

????

cos???的值.?28?

3．(上海卷)已知函數

f(x)?kx?b的圖象與x,y軸分別相交于點

A、B，?2?2（,分別是與x,y軸正半

軸同方向的單位向量），函數g(x)

?x2?x?6.f(x)?g(x)時，求函數

（1）求k,b的值；（2）當x滿足

g(x)?

1的最小值.f(x)

【反思】這類問題主要是以平面向量的模、數量積、夾角等公式和相互知識為紐帶，促成與不等式知識的相互遷移，有效地考查平面向量有關知識、不等式的性質、不等式的解法、不等式的應用及綜合解題能力。

5.平面向量與解析幾何的交匯與融合由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶。而解析幾何也具有數形結合與轉換的特征，所以在向量與解析幾何知識的交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點。

平面幾何與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題。主要包括以下三種題型：

1、運用向量共線的充要條件處理解幾中有關平行、共線等問題

運用向量共線的充要條件來處理解幾中有關平行、共線等問題思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分點公式研究這類問

題要簡捷的多。

2、運用向量的數量積處理解幾中有關長度、角度、垂直等問題

運用向量的數量積，可以把有關的長度、角度、垂直等幾何關系迅速轉化為數量關系，從而“計算”出所要求的結果。

3、運用平面向量綜合知識，探求動點軌跡方程，還可再進一步探求曲線的性質。

1．(江西卷)以下同個關于圓錐曲線的命題中 ①設A、B為兩個定點，k為非零常數，|

PA|?|PB|?k，則動點P的軌跡為雙曲線；

?

(?),則動點P的軌跡為橢圓； 2

②設定圓C上一定點A作圓的動點弦AB，O為坐標原點，若③方程2x

?5x?2?0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

x2y2x2

??1與橢圓?y2?1有相同的焦點.④雙曲線

25935

其中真命題的序號為（寫出所有真命題的序號）

???????????

2．平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知A(3,1),B(?1,3)，若點C滿足OC??0A??OB，其中?,??R，且?

???1，則點C的軌跡方程為()

A.C.3x?2y?11?0B.(x?1)2?(y?2)2?5 2x?y?0D.x?2y?5?0

2．已知平面上一個定點C（－1，0）和一條定直線l：x＝－4，P為該平面上一動點，作PQ⊥l，垂足為Q，????????????????

（PQ＋2PC）?（PQ－2PC）＝0.（1）求點P的軌跡方程；

????????

PC的取值范圍．（2）求PQ·