第一篇：高中數學 1.3函數的單調性教學設計 新人教A版必修1

《函數單調性》教學設計

基于函數單調性概念是高中教材中形式化程度較強，學生較難理解以及要讓學生充分了解概念后面所蘊涵的數學思想的主張，筆者以“數學本原性問題驅動”數學概念教學為指導理念，在對函數單調性概念在高中教材中的地位和作用進行詳細分析的基礎上進行了新的教學設計及課堂實錄。

◆教材分析 教材的地位和作用

《函數的單調性》是《高中數學人教A版》（必修1）第一章1.31節的內容。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數等各類函數的單調性的基礎，在整個高中數學中起著承上啟下的作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。函數的單調性是函數的四個基本性質之一,在比較幾個數的大小、對函數作定性分析（求函數的值域、最值，求函數解析式的參數范圍、繪函數圖象）以及與不等式等其它知識的綜合應用上都有廣泛的應用；同時在這一節中利用函數圖象來研究函數性質的數形結合的思想將貫穿于我們整個高中數學教學。

教材的重點與難點

教學重點：（1）領會函數單調性概念，體驗函數單調性的形式化過程，深刻理解函數單調性的本質，并明確單調性是一個局部概念；（2）函數單調性概念的應用 教學難點：突破抽象，深刻理解函數單調性形式化的概念。◆教學目標分析

根據新課標的要求和教學內容的結構特征，依據學生學習認知的心理規律和素質教育的要求，結合學生的實際水平，本節課教學目標如下：

知識目標：（1）從本質上理解函數單調性概念；（2）運用形式化的函數單調性概念進行判斷與應用。

能力目標：（1）培養學生的觀察能力，分析歸納能力，領會歸納轉化的思想方法。（2）使學生體驗和理解從特殊到一般的數學歸納推理思維方式。（3）培養學生從具體到抽象的能力。

情感目標：（1）培養學生主動探索、不畏困難、敢于創新的意識和精神。（2）通過本課的學習，使學生能理性地思考生活中的增長、遞減現象。

◆設計理念

本教學設計是基于用數學本原性問題來驅動數學概念的理念進行設計的。主要目的是為了突破函數單調性這個概念的抽象性，能讓學生體驗概念的形成過程，形成對概念的正確理解。因此教學設計在課堂教學中的概念引入的情景設計、概念形成的過程分析、概念運用的問題強化、原發性問題的價值挖掘這四方面應用了“用數學本原性問題驅動數學概念教學”這一理念，突破傳統的教學設計，從一個新的角度對教學進行了設計：第一階段函數單調性概念由實際背景轉化為文字語言的敘述；第二階段函數單調性概念由文字語言的敘述轉化為數學敘述；第三階段函數單調性概念由數學敘述轉化為數學符號敘述；第四階段函數單調性概念由數學符號敘述抽象到了形式化。這一設計符合新課程標準強調的加強對數學概念本質的認識，并且能適度地進行形式化的表達這一理念。

五、教學過程設計：

一、問題情境

1.如圖為某市一天內的氣溫變化圖：

（1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內的變化情況．

（2）怎樣用數學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？

2.分別作出下列函數的圖像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x．

根據三個函數圖像，分別指出當x∈（－∞，＋∞）時，圖像的變化趨勢？

二、建立模型

1.首先引導學生對問題2進行探討———觀察分析

觀察函數y＝2x，y＝－x＋2，y＝x圖像，可以發現：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y2＝x在（０，＋∞）上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝2x在（－∞，０）上的圖像由左向右都是下降的．函數圖像的“上升”或“下降”反映了函數的一個基本性質———單調性．那么，如何描述函數圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢？

22以函數y＝x，x∈（－∞，０）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數值y＝f（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是這種量化并不精確．因此，x1，x2應具有“任意性”．所以，在區間（－∞，0）上，任取兩個x1，x2得到f（x1）＝

2，f（x2）＝．當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）．這時，我們就說f（x）＝x在區間（－∞，0）上是減函數．

注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規律，轉化為數學語言，即自變量ｘ變化時對函數值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數值，進行引導、歸納和總結．這里的“都有”是對應于“任意”的．

2.在學生討論歸納函數單調性定義的基礎上，教師明晰———抽象概括 設函數f（x）的定義域為I：

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是增函數［如圖8-2（1）］． 如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是減函數［如圖8-2（2）］．

如果函數y＝f（x）在區間D上是增函數或減函數，那么我們就說函數y＝f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫作y＝f（x）的單調區間．

3.提出問題，組織學生討論

（1）定義在R上的函數f（x），滿足f（2）＞f（1），能否判斷函數f（x）在R是增函數？

（2）定義在R上函數f（x）在區間（－∞，0］上是增函數，在區間（0，＋∞）上也是增函數，判斷函數f（s）在R上是否為增函數．

（3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數． 強調：定義中x1，x2是區間D上的任意兩個自變量；函數的單調性是相對于某一區間而言的．

三、例題解析 ［例 題］

1.證明函數f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函數． 注：要規范解題格式．

2.證明函數f（x）＝，在區間（－∞，0）和（0，＋∞）上都是減函數．

思考：能否說，函數f（x）＝在定義域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是減函數？

3.設函數y＝f（x）在區間D上保號（恒正或恒負），且f（x）在區間D上為增函數，求證：f（x）＝在區間D上為減函數．

證明：設x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在區間D上保號，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在區間D上為增函數，∴f（x1）－f（x2）＜0，從而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上為減函數．

［練習］

1.證明：（1）函數f（x）＝在（0，＋∞）上是增函數．

（2）函數f（x）＝x－x在（－∞，2］上是減函數．

2.判斷函數的單調性，并寫出相應的單調區間．

3.如果函數y＝f（x）是R上的增函數，判斷g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的單調性．

四、課后拓展

1.根據圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的結構變化情況，并對未來100年能源結構的變化趨勢作出預測．

2.判斷二次函數f（x）＝ax＋bx＋c，（a≠0）的單調性，并用定義加以證明． 3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數值的改變量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函數f（x）在區間D上是增函數還是減函數？

第二篇：高中數學《函數的單調性》說課稿。新人教A版必修1

函 數 的 單 調 性 說 課 教 案

一.說教材

1． 地位及重要性

函數的單調性是高中數學必修1第一章的內容，在高考的重要考查范圍之內。函數的單調性是函數的一個重要性質，也是在研究函數時經常要注意的一個性質，并且在比較幾個數的大小、對函數的定性分析以及實際函數問題中變量變化趨勢等問題上都有廣泛的應用。通過對這一節課的學習，既可以讓學生掌握函數單調性的概念和證明函數單調性的步驟，又可加深對函數的本質認識。也為今后研究具體函數的性質作了充分準備，起到承上啟下的作用。2． 教學目標

(1)知識與技能:理解函數的單調性的意義；了解能用文字語言和符號語言正確表述增 函數、減函數、單調性、單調區間的概念；明確掌握利用函數單調性定義證明函數單調性的方法與步驟；并能用定義證明某些簡單函數的單調性。

(2)過程與方法：在研究函數的單調性時，以基本的函數圖像為素材，逐步由形到數，由具體到抽象，引導學生發現函數圖像在上升和下降時函數的變換規律，然后再推廣到一般，得出函數單調性的定義，每一階段的活動，都是學生認識上的升華。

(3)情態與價值：培養學生嚴密的邏輯思維能力、用運動變化、數形結合、分類討論的方法去分析和處理問題，以提高學生的思維品質；同時讓學生體驗數學的藝術美，養成用辨證唯物的觀點看問題。3． 教學重難點

重點是對函數單調性的有關概念的本質理解。

難點是利用函數單調性的概念證明或判斷具體函數的單調性。二.說學情

學習函數單調性之前學生已經對集合的定義、函數的概念有了一定的認識，函數單調性的概念的理解也要與前面內容密切相關。由于學生觀察能力、自主學習能力、抽象思維能力比較薄弱，學習過程中仍需一些直觀感性的認識作為依托。

三.說教法

根據本節課的內容及學生的實際水平，我嘗試運用“問題解決”與“多媒體輔助教學”的模式。力圖通過提出問題、思考問題、解決問題的過程，讓學生主動參與以達到對知識的“發現”與接受，進而完成對知識的內化，使書本知識成為自己知識；同時也培養學生的探索精神。

四.說學法

在教學過程中，教師設置問題情景并提出問題讓學生參與討論；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，體會到單調性的實際意義。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。五.說過程

通過設置問題情景、課堂導入、新課講授、課堂練習、課堂小節的教學過程中，我力求培養學生的自主學習的能力，以點撥、啟發、引導為教師職責。

本節課的教學流程安排如下：

(一)設置問題情景

以多媒體形式給出一些函數圖像，并設置問題：從這些圖像我們會了解圖像的哪些變化趨勢？和數學問題有什么相關性？通過問題情景的設置主要是為了達到以下兩個目的： ⑴為了復習回顧有關函數、函數的圖像知識； ⑵通過身邊的事例激發學生對探索研究、學習新知識的熱情，為導入新課及順利完成教學任務做了思想上的準備。

(二)揭示課題,導入新課

通過對某些實際問題的分析得知，在研究函數問題的過程中經常要考慮到事物的變化趨勢，即函數值的增減變化。例如，一次函數中y?kx，當k?0時，y的值隨x值的增大而增大，當k?0時

y的值隨x值的增大而減少。用多媒體給出一函數圖像讓學生思考

y隨自變量x值的變化情況,交流，讓學生利用初中所學的知識,結合圖像觀察說出函數值初步概括出增函數與減函數的概念。但僅從圖像看顯然不過嚴密，我們必須對它進行系統的、科學的研究。(板書課題)(三)講授新課 1． 函數單調性的意義

（1）函數單調性的定義

在上述的基礎上進一步啟發學生，讓學生用數學語言歸納出增函數、減函數的概念，教師進行補充，接著用多媒體顯示增函數、減函數的定義。

緊接著引導學生結合教材中的圖形（或用多媒體給出的屏幕）仔細體會定義中的兩個簡單不等關系“x1?x2”和“f(x1)?f(x2)或f(x1)?f(x2)”，它刻畫了函數遞增或遞減的性質。這就是數學魅力！

對定義作了初步分析以后，指導學生再次閱讀和分析定義，同時教師提出以下問題：定義中的關鍵詞語是哪些？（學生思索）教師在學生思索過程中進行一次有感情地朗讀定義，并在關鍵詞語處加重語氣，學生感到困難時，給以適當的提示。（這一環節是學生正確地、深入地理解概念的關鍵，教師應該啟發引導學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力）

通過學生的分析討論得出以下幾個關鍵詞語： ①“定義域內的一個子集A”（多媒體中對這幾個字用紅色顯示）。這里包含兩層意思：第一函數的單調性只能在定義域內討論；第二函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的，否則無法討論其單調性。（教師舉例說明）

②“任意兩個”和“都有”。就是說這里的x1,x2在給定區間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數的單調性（要特別強調），而且只要x1?x2，則 f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)）恒成立。

以上兩點讓學生通過構造反例來進一步說明。

（通過學生的積極思維探索，從抽象到具體，并通過反例反襯，使學生對概念有了本質的認識，同時也鍛煉了學生的邏輯思維能力）。

接著教師作以下闡述：反過來，如果我們已知f(x)在某個區間上是增函數或減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數值的大小，也可以有函數值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然，這恰是辯證法中一般和特殊的關系。（用辯證法的原理來解釋數學知識的同時，用數學知識去理解辯證法的原理，這樣分析有助于深入地理解和掌握概念，培養學生自主學習的能力）。（2）函數單調性相關概念的理解

學生看書了解單調性、單調函數、單調區間的有關概念。2.函數單調性的證明

例1：（書P32例1多媒體給出）

借助函數的圖像看單調性既形象又直觀，是一個好辦法，但是在理論上不夠嚴密，尤其是不易畫出圖像的函數，因此我們還必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑。（指出用定義證明的必要性）

提問：怎樣用定義來證明呢？

例2：（書P32例2多媒體給出）

學生思索并動筆，教師不斷點撥啟發，最后師生共同完成（教師認真規范地板書證明過程，以對學生起到示范作用）回顧解題過程達到以下要求：

① 總結歸納出用定義證明函數單調性的步驟（用多媒體給出）。

② 變式訓練：討論函數f(x)?kx?b（k,b為常數，且k?0）。

通過變式訓練使學生認識到一次函數的單調性決定于一次項系數k，同時訓練了學生進行分類討論的重要數學思想。

(四)課堂鞏固練習

1.課堂練習,鞏固概念,強化學生對這節課的掌握。練習為書本中P36頁第1、2、3題。2.與學生一起解決第四題, 通過對本例的解答達到以下目的：

①會根據圖像寫單調區間；

②明確區間的端點值不影響函數在這一區間上的單調性。

經過以上兩例使學生鞏固定義，初步具備解決相關問題的能力。

（五）課堂小結

學生總結后，內容由多媒體給出，通過小結使學生理清本節課的重難點。

第三篇：高中數學必修一函數的單調性教學設計

函數的單調性

北京景山學校 許云堯 【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；

(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：分別作出函數變化時，函數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減小．

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

① ②若函數 ③若函數數．

在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

．

．

在區間(1,3)上為增函④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題 針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴ ∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究： 上是增函數．(1)證明：函數在區間上是增函數的充要條件是對任意的，且

有．

(2)研究函數 的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據．

對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學方法和教學手段的選擇

本節課是函數單調性的起始課，采用教師啟發講授，學生探究學習的教學方法，通過創設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識．

四、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．

第四篇：高中數學必修1--函數單調性教學心得

函數單調性

“函數單調性”是高中數學必修1教材中函數的一個重要性質，是研究比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用，是后面學習反函數、不等式、導數等內容的基礎，又是培養邏輯推理能力的重要素材。它常伴隨著函數的其他性質解決問題。對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質。學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味。因此，在設計教案時，加強對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西。本節內容的教學重點為函數單調性的概念形成及判斷。教學難點是用定義法證明函數單調性的方法步驟。

我設計意圖是--提高有效教學能力，促進學生有效學習。教學中我采取發現法、多媒體輔助教學。具體流程是：

首先創設情境、激發興趣。研究實際生活中上下樓梯的問題，充分調動學生積極性，營造親切活躍的課堂氛圍；滲透建模思想，培養學生應用數學的意識，通過實例使學生感受單調性的內涵，縮短心理距離，降低理解難度。

其次，探索新知。引導學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比的思維過程，發展數學思維能力。針對函數圖象，依據循序漸進原則，設計三個問題，學生直接回答的同時教師利用多媒體的優勢，展示圖象及動畫，使學生理解增減函數定義。學生各抒己見，這時教師及時對學生鼓勵評價，會激發學生探究知識的熱情。這一過程教會學生與人合作，提供了靈感思維的空間，在對概念理解基礎上，強化了單調區間這一概念。鼓勵學生自主探索歸納類比三例，師生合作得出增減函數、函數單調性、單調區間的定義，然后設計判斷對錯題，達到細、深、全面的理解定義，學生經歷了“再創造知識”的過程，利于發展創新意識。

再次，鞏固新知，由感性到理性，引導學生逐步探究利用圖象判斷函數的單調性和根據定義判斷或證明函數的單調性兩種方法。體驗了數學方法發現和創造的歷程。探究時先以基本初等函數為載體，再深化擴展為函數的一般性質。從而理解掌握二次函數、一次函數、反比例函數的單調性。為后面的學習及綜合應用奠定基礎，同時培養學生的創新意識和邏輯思維能力。

上課時不貪圖進度和難度。按照大綱要求，將概念引入、講解、重點分析、舉例鞏固、課后練習。這堂課無論是自己或者學生都反映良好，概念清晰，學生在完成課后作業的時候也準確率較高。如何利用有限的課堂教學時間，使學生在準確理解“函數的單調性”的有關概念的基礎上，掌握數形結合的思想方法，加深對概念的認識，為進一步的轉化為程序性知識做鋪墊。我利用課本的引例，即利用二次函數和三次函數的圖象，讓學生直觀地看到“單調遞增”或“單調遞減”的現象，然后就單刀直入地提出了“函數的單調性”這個概念，解釋一下要點“任意”、“都有”、“定義域”、“區間”，為了讓學生對概念理解的更透徹，突出重點，后續學習更加順利，我還加入了一次函數和反比例函數。這樣的安排，一方面是考慮到學生實際情況（直觀現象容易為其所接受），一方面也是盡最大可能地利用課本承前啟后。學生在描述上述三個函數圖象的時候較為順利，此時我引導學生觀察一次函數的圖象，描述其的特征：從左往右圖象上升。然后順勢提出讓學生觀察其余兩個函數的圖象，是否有類似的現象。學生１：二次函數圖象上升；學生２：二次函數圖象下降；學生３：二次函數圖象下降后上升。學生１和學生２在學生３回答后感覺自己似乎錯了，但又說不請理由。此時，教師指出：在同一個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿x軸的正方向即“從左向右”，即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。通過觀察，大家發現了上述三個函數存在從左往右看圖象上升或下降的現象，及時提出課題“函數的單調性”，并指出以上函數的單調性及增減函數的名詞。直觀上承認這一性質以后，我放棄了以前直奔主題的做法，結合學生常常接觸上下樓為情景。由學生仿照剛才的分析，解釋圖象的“單調”特征。繼而提出：圖象特征如何轉化為數學語言？經過思考，通過圖象直觀的影響，教師的啟發，學生歸納總結函數單調性的定義。到此，學生通過自身的探索終于接近目的地，自己給出了“增函數”的定義。我讓學生打開書本，與書上的定義進行比較，肯定他們的成果，并提示采用書本更為精確的用語。這個定義的給出，與以往我生硬地將課本定義直接給出大相徑庭，由學生容易接受的直觀圖象開始，先形成“單調性”是函數的一種現象、“增（減）函數”是什么樣的這樣的印象，由學生自主探索接近、得到定義，學生對此印象深刻，理解深入，而且激發了學生的自信心：原來自己也可以寫數學定義。興奮點啟動以后，后續的學習就順利多了，“減函數”，“單調區間”的定義很快給出，突破了難點。最后指出“函數的單調性”本質上反映了函數隨自變量的變化函數值相應地發生變化的性質。這個結論的提出，在一定的高度上對“函數的單調性”作出了最本質的概括，學生通過學法指導，收到了我預期的效果。

第五篇：必修1函數單調性說課稿

必修1《1.3.1 函數的單調性》說課稿

酒泉中學 馬長青

一.教學內容分析

1.本課定位與內容

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》A版第一章第三節函數的基本性質第一小節函數的單調性與最大(小)值，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性，共2課時，本節課為第一課時。

2.教材的地位和作用

從單調性本身看，學生的學習分為三個層面，首先是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對函數的增減性有一個初步的感性認識，其次在高一對單調性進行嚴格定義，最后在高三從導數的角度再次研究單調性。本節課的學習處于對單調性學習的第二層面，通過圖象歸納、抽象出單調性的準確定義，并在高中首次經歷代數的嚴格證明，是對初中學習的一次升華。

從本節的教學看，在此學習單調性是對函數概念的延續和拓展，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，從本章的教學看，本節課的學習是后續研究指數函數、對數函數內容的基礎。

從函數知識網絡看，單調性起著承上啟下的作用，一方面，是初中學習內容的深化，使學生對函數單調性從感性認識提高到理性認識。另一方面，函數的單調性為后面學習指數函數、對數函數、三角函數及數列這種特殊的函數打下基礎，與不等式、求函數的值域、最值，導數等都有著緊密的聯系。

從高中數學學習看，函數的單調性是培養學生數形結合思想的重要內容，也是研究變量的變化范圍的有力工具。3.教學目標

根據本課教材特點、課程標準對本節課的教學要求以及學生的認知水平，教學目標確定為： 知識與技能：

（1）從形與數兩方面理解單調性的概念

（2）初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法

（3）通過對函數單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力 過程與方法：

（1）通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合思想方法（2）經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。情感態度價值觀：

通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法 4.教學重難點

根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成和初步運用。雖然高一學生已經有一定的抽象思維能力，但是要用準確的符號語言去刻畫圖象的增減性，從感性上升到理性對高一的學生來說比較困難。因此，本節課的教學難點是函數單調性的概念形成。

二.學生情況分析

知識結構

學生已經學習過一次函數，二次函數，反比例函數，函數的概念及函數的表示，能畫出一些簡單函數的圖象，能從圖象的直觀變化，學生能得到函數增減性。

能力結構

通過初中對函數的學習，學生已具備了一定的觀察事物能力，抽象歸納的能力和語言轉換能力。

學習心理

函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質，學生渴望進一步學習，這種積極心態是學生學好本節課的情感基礎。

本班學生特點

本班為酒泉中學高一（4）班，學生數學素養較好。三.教學模式

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“高中數學課程應倡導自主探索等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程。”

因此，根據教學內容和學生的認知、能力水平，本節課作為新授課主要采取教師啟發式教學法和學生探究式教學法。以設置情境、設問和疑問進行層層引導，激發學生積極思考，逐步將感性認識提升到理性認識，培養和發展學生的抽象思維能力。引導學生提出疑問，進行思考，從而創造性的解決問題，最終形成概念，培養學生的創造性思維和批判精神。

五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新 四.教學設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新

單調性的概念是本節課的重點，而形成過程則是本節課的難點，為了突破這一難點，讓學生能夠充分感受單調性概念的形成過程，經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，本節課設置了前三個環節,后兩個環節的設計，是為了使學生對函數單調性認識的再次深化。

（一）創設情境，引入新課

數學課程標準中提出“通過已學過的函數特別是二次函數理解函數的單調性”，因此在本節課的開始，我作了這樣的情境創設，從學生熟知的一次函數和二次函數入手，從初中對函數增減性的認識過渡到對函數單調性的直觀感受。

提出問題1：分別作出函數y=x，二次函數y=2x，y=-2x和y=x的圖象，并且觀察函數變化規律？

2首先引導學生觀察兩個一次函數圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.二次函數的增減性要分段說明，進而提出問題：二次函數是增函數還是減函數？ 進一步討論得出：增減性是函數的局部性質

據此，學生已經對單調性有了直觀認識，緊接著，我提出問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數？ 結合增減性是局部性質，學生會用直觀描述回答：在一個區間里，y隨x增大而增大，則是增函數；y隨x增大而減小就是減函數。

學生用圖象的感性認識初步描述了單調性，下面進一步將學生從感性向理性進行引導

（二）初步探索，概念形成

提出問題三：以y=x+1在（0，+∞）上單調性為例，如何用精確的數學語言來描述函數的單調性？

這是本節課的難點，因此我將概念形成設置了三個階段 1.提問學生什么是“隨著”

經討論得出，隨著是由于當x取一定的值時，y有確定值與之對應，因此x變化時，y會根據法則隨著x發生變化

2.如何刻畫“增大”？

要表示大小關系，學生會想到取點，比大小，學生也許會用特殊點說明問題，比如x取2、3，2<3，對應的函數值是5<10

提出質疑：這個點的變化能否說明y隨著x增大而增大，進一步引導學生從特殊到一般，進入第三階段，對“任取”的理解。

3.對“任取”的理解

針對特殊值，學生可能會舉反例證明其是不充分的，那么應該如何取值呢？學生可能會多取一些，也可能會想到將取值區間任意小，進一步討論得出“任取”二字。

用對隨著的理解再次深化函數概念，用對增大的理解得到要表示大小關系，最后再強調取值的任意性，這樣就實現了從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”的過渡，實現“形”到“數”的轉換，形成了單調性的定義。

得到定義后，再提出如何得到f(x1)

（三）概念深化，延伸拓展

通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。

2提出問題四：能否說從這個例子能得到什么結論？

在它的定義域上是減函數？

學生思考、討論，提出自己觀點 學生可能會提出反例，如x1=-1，x2=1 進一步得出結論：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，函數在A∪B上不一定是增（減）函數

教師給出例子進行說明：

進一步提問：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，何時函數在A∪B上也是增（減）函數。

學生會提出將函數圖象進行變形（如x<0時圖象向下平移）

性

回歸定義，強調任意 在問題四的背景下解決本題，體會在運動中滿足任意性。拓展探究：已知函數

是（-∞，+∞）上的增函數，求a的取值范圍.這個問題有一定難度，但是學生在前面集合的學習中已經接觸過在運動中求參數a的取值范圍，此處可看作是對前面學習的鞏固。

（四）證法探究，應用定義

在概念已經完善的基礎上，提出例1 例1：證明函數 在（0，+）上是增函數

本環節是對函數單調性概念的準確應用，本題采用前面出現過的函數，一方面希望學生體會到函數圖象和數學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。

學生根據單調性定義進行證明，教師在黑板上書寫證明步驟，再引導學生總結證明步驟。

提出例2判斷函數在（0，+∞）上的單調性。

根據定義進行判斷，體會判斷可轉化成證明。

課標中指出“形式化是數學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發，尋求方法，并體會轉化思想。

進一步提問：如果把（0，+∞）條件去掉，如何解這道題？為學生提供思考空間。

（五）小結評價，作業創新

從知識、方法兩個方面引導學生進行總結。學生回顧函數單調性定義的探究過程；證明、判斷函數單調性的方法步驟；數學思想方法。

小結過程使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。

作業的設計實現了分層，既鞏固了基礎，又給了學生充足的思考空間。

通過本節課的學習，預計學生能理解單調性的定義，絕大多數學生能按照單調性的證明步驟進行證明，能判斷函數的單調性，本節課的評價方式為課堂反饋、教師評價、學生自評相結合。

在本節課的設計中，我有一些新的嘗試，在教學過程中，創設一個探索的學習環境，通過設計一系列問題，使概念得到形成和深化，學生親身經歷數學概念的產生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。在情境設置中，嚴格按照課標要求以二次函數y=x+1為例，經歷畫圖、描述圖象、找單調區間、形成單調性定義、證明其單調性的過程，將學生對單調性的認識從感性上升到理性，并將定義進行應用。五.板書設計 六.課堂評價 七.資源開發 2