第一篇：高中數(shù)學(xué)_1.3.1單調(diào)性與最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 單調(diào)性與最值（3）

教學(xué)目標(biāo)： 1.使學(xué)生理解函數(shù)最大（小）值及其幾何意義；

2.使學(xué)生掌握函數(shù)最值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；

3.使學(xué)生掌握一些單調(diào)函數(shù)在給定區(qū)間上的最值的求法； 4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、辯證思維的能力；

5.養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)最值的含義 教學(xué)難點(diǎn)：單調(diào)函數(shù)最值的求法 教學(xué)方法：講授法

1．函數(shù)最大值與最小值的含義

①定義：一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值（maximum value）.②幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

思考：你能仿照函數(shù)最大值的定義，給出函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）嗎？并說明幾何意義？

一般地，設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值（minimum value）.幾何意義：函數(shù)y?f(x)的最大值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)。2．最值的求法

①配湊法：研究二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的最大（小）值，若給定區(qū)間是(??,??)，先配b24ac?b24ac?b2方成y?a(x?)?后，當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)取最小值為；當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)取最大值。2a4a4a若給定區(qū)間是[a,b]，則必須先判斷函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，然后再求最值（見下列例題）。（此處順帶說出求值域的方法——配方法）

②單調(diào)法：一些函數(shù)的單調(diào)性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最大值或最小值.③數(shù)形結(jié)合法：先作出其函數(shù)圖象后，然后觀察圖象得到函數(shù)的最大值或最小值.3．例題分析（講解最值求解方法時(shí)帶出值域）

例1．教材第30頁例題3。

用心

愛心

專心 例2．

1、求函數(shù)y?x2?1在下列各區(qū)間上的最值：

（1）(??,??)（2）[1，4]（3）[?6,?2]（4）[?2,2]（5）[?2,4]

6的最大值.2x?x?166133?8.解：配方為y?，由(x?)2??，得0?123123244(x?)?(x?)?2424

2、求函數(shù)y?例3．求函數(shù)y?2在區(qū)間[2，6]上的最大值和最小值（教材第31頁例4）。x?1 分析：先判定函數(shù)在區(qū)間[2，6]上的單調(diào)性，然后再求最大值和最小值。變式：若區(qū)間為[?6,?2]呢？

例4.求下列函數(shù)的最大值和最小值：

53（1）y?3?2x?x2,x?[?,]；（2）y?|x?1|?|x?2|.22b解：（1）二次函數(shù)y?3?2x?x2的對稱軸為x??，即x??1.2a39畫出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)x??1時(shí)，ymax?4； 當(dāng)x?時(shí)，ymin??.24953所以函數(shù)y?3?2x?x2,x?[?,]的最大值為4,最小值為?.422?3(x?2)?（2）y?|x?1|?|x?2|??2x?1(?1?x?2).???3(x??1)作出函數(shù)的圖象，由圖可知，y?[?3,3].所以函數(shù)的最大值為3, 最小值為-3.點(diǎn)評：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值或最小值，常根據(jù)閉區(qū)間與對稱軸的關(guān)系，結(jié)合圖象進(jìn)行分析.含絕對值的函數(shù)，常分零點(diǎn)討論去絕對值，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)進(jìn)行研究.分段函數(shù)的圖象注意分段作出.直接觀察得到。隨堂鞏固：

1、指出下列函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，→ 能體現(xiàn)函數(shù)值有什么特征？ f(x)??2x?3，f(x)??2x?3 x?[?1,2]；f(x)?x2?2x?1，f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

2在區(qū)間[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函數(shù)y?3函數(shù)4若0f(x)?1?x(11?x)的最大值

?t?14，那么1?tt的最小值 用心

愛心

專心

5、函數(shù)y?x?1?x?1的最大值是

能力提升

1已知f(x)?

2已知函數(shù)x?1,x?[3,5]函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值。x?2f(x)?x2?2ax?2,x?[?5,5]

（1）當(dāng)a??1時(shí)，求f(x)的最值-5,37.（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y?f(x)在x?[?5,5]上的單調(diào)函數(shù)a??5或?5

x2?2x?a3已知函數(shù)f(x)?，若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取x值范圍 a??3

用心

愛心

專心 3

第二篇：高中數(shù)學(xué) 1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值1教案 新人教A版必修1

福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 1.3.1 單調(diào)性與最大（小）值

1教案 新人教A版必修1 三維目標(biāo)定向 〖知識與技能〗

理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，會用函數(shù)的單調(diào)性求一些函數(shù)的最大（小）值。〖過程與方法〗

借助具體函數(shù)，體驗(yàn)函數(shù)最值概念的形成過程，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。〖情感、態(tài)度與價(jià)值觀〗

滲透特殊到一般，具體到抽象、形成辯證的思維觀點(diǎn)。教學(xué)重難點(diǎn)

函數(shù)最值的意義及求函數(shù)的最值。教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、引例

畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）f(x)??2x?3；

（2）

f(x)??x2?2x?1。1）說出y?f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性； 2）指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

y y o x o x

二、核心內(nèi)容整合

1、函數(shù)的最大（小）值的概念

設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。

那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值。學(xué)生類比給出函數(shù)最小值的概念：

設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值。

注意：

（1）函數(shù)最大（小）值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0?I，使得f(x0)?M；

（2）函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x?I，都有f(x)?M（f(x)?M）。

2y?ax?bx?c(a?)的最值：

2、一元二次函數(shù)

b24ac?b2y?a(x?)?2a4a；（1）配方：（2）圖象：

（3）a > 0時(shí)，ymin4ac?b24ac?b2ymax??4a。4a；a < 0時(shí)，二、例題分析示例

例

1、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)??4.9t?14.7t?18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？

〖知識提煉〗函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

（1）f(x)在[a , b]上為增函數(shù)，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；（2）f(x)在[a , b]上為減函數(shù)，則f(a)為最大值，f(b)為最小值。

2y?例

3、已知函數(shù)2(x?[2,6])x?1，求函數(shù)的最大值和最小值。

分析：證明函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。

三、學(xué)習(xí)水平反饋：P36，練習(xí)5。補(bǔ)充練習(xí)：

2f(x)?x?4ax?2在區(qū)間(– ∞，6] 內(nèi)遞減，則a的取值范圍是（）

1、函數(shù)（A）a ≥ 3

（B）a ≤ 3

（C）a ≥ – 3

（D）a ≤ – 3

22、在已知函數(shù)f(x)?4x?mx?1在(??,?2]上遞減，在(?2,??]上遞增，則f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三維體系構(gòu)建

1、函數(shù)的最大（小）值的含義。

2、利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2）利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；

（3）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值。

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = a處有最小值f(a)，在x = b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = b處有最小值f(b)；

五、課后作業(yè)：P39，習(xí)題1.3，A組5，B組2。教學(xué)反思：

第三篇：2015年高一數(shù)學(xué)精品優(yōu)秀教案：1.3.1《單調(diào)性與最大(小)值》(新人教A版必修一)

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三維目標(biāo)定向 〖知識與技能〗

理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義，會用函數(shù)的單調(diào)性求一些函數(shù)的最大（小）值。〖過程與方法〗

借助具體函數(shù)，體驗(yàn)函數(shù)最值概念的形成過程，領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。〖情感、態(tài)度與價(jià)值觀〗

滲透特殊到一般，具體到抽象、形成辯證的思維觀點(diǎn)。教學(xué)重難點(diǎn)

函數(shù)最值的意義及求函數(shù)的最值。教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、引例

畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：

（1）f(x)??2x?3；（2）f(x)??x?2x?1。1）說出y?f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性； 2）指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

y y 2o o x x

二、核心內(nèi)容整合

1、函數(shù)的最大（小）值的概念

設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最大值。學(xué)生類比給出函數(shù)最小值的概念：

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設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么稱M是函數(shù)y?f(x)的最小值。注意：

（1）函數(shù)最大（小）值首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0?I，使得f(x0)?M；（2）函數(shù)最大（小）值應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對于任意的x?I，都有f(x)?M（f(x)?M）。

2、一元二次函數(shù)y?ax?bx?c(a?)的最值：

2b24ac?b2（1）配方：y?a(x?；)?2a4a（2）圖象：（3）a > 0時(shí)，ymin

二、例題分析示例

例

1、“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂。如果煙花距地面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)??4.9t?14.7t?18，那么煙花沖出后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？

〖知識提煉〗函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系：

（1）f(x)在[a , b]上為增函數(shù)，則f(a)為最小值，f(b)為最大值；（2）f(x)在[a , b]上為減函數(shù)，則f(a)為最大值，f(b)為最小值。

例

3、已知函數(shù)y?24ac?b24ac?b2；a < 0時(shí)，ymax?。?4a4a2(x?[2,6])，求函數(shù)的最大值和最小值。x?1分析：證明函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。

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三、學(xué)習(xí)水平反饋：P36，練習(xí)5。補(bǔ)充練習(xí)：

1、函數(shù)f(x)?x?4ax?2在區(qū)間(– ∞，6] 內(nèi)遞減，則a的取值范圍是（）（A）a ≥ 3（B）a ≤ 3（C）a ≥ – 3（D）a ≤ – 3

2、在已知函數(shù)f(x)?4x?mx?1在(??,?2]上遞減，在(?2,??]上遞增，則f(x)在[1，2]上的值域是____________。四、三維體系構(gòu)建

1、函數(shù)的最大（小）值的含義。

2、利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大(小)值的方法：

（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；（2）利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；

（3）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值。

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = a處有最小值

22f(a)，在x = b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y?f(x)在x = b處有最小值f(b)；

五、課后作業(yè)：P39，習(xí)題1.3，A組5，B組2。教學(xué)反思：

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第四篇：示范教案(1.3.1單調(diào)性與最大(小)值 第2課時(shí))

示范教案（1.3.1 單調(diào)性與最大（小）值 第2課時(shí)）

導(dǎo)入新課

思路1.某工廠為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,計(jì)劃重新建造一個(gè)面積為10 000 m的矩形新廠址,新廠址的長為x m，則寬為10000x

2m，所建圍墻ym，假如你是這個(gè)工廠的廠長,你會選擇一個(gè)長和寬各為多少米的矩形土地,使得新廠址的圍墻y最短? 學(xué)生先思考或討論，教師指出此題意在求函數(shù)y=2(x+

10000x),x>0的最小值.引出本節(jié)課題：在生產(chǎn)和生活中，我們非常關(guān)心花費(fèi)最少、用料最省、用時(shí)最省等最值問題，這些最值對我們的生產(chǎn)和生活是很有幫助的.那么什么是函數(shù)的最值呢?這就是我們今天學(xué)習(xí)的課題.用函數(shù)知識解決實(shí)際問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，這就是函數(shù)的思想，用函數(shù)解決問題.思路2.畫出下列函數(shù)的圖象，指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

①f(x)=-x+3；②f(x)=-x+3,x∈［-1,2］； ③f(x)=x+2x+1;④f(x)=x+2x+1,x∈［-2,2］.學(xué)生回答后，教師引出課題：函數(shù)的最值.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①如圖1-3-1-11所示，是函數(shù)y=-x-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的圖象.觀察這三個(gè)圖象的共同特征.22

2圖1-3-1-11 ②函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)與函數(shù)有什么關(guān)系？

③你是怎樣理解函數(shù)圖象最高點(diǎn)的? ④問題1中，在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)A(x,y)，如圖1-3-1-12所示，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0)，誰能用數(shù)學(xué)符號解釋：函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點(diǎn)C？

圖1-3-1-12 ⑤在數(shù)學(xué)中，形如問題1中函數(shù)y=f(x)的圖象上最高點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就稱為函數(shù)y=f(x)的最大值.誰能給出函數(shù)最大值的定義？

⑥函數(shù)最大值的定義中f(x)≤M即f(x)≤f(x0)，這個(gè)不等式反映了函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值具有什么特點(diǎn)？其圖象又具有什么特征？ ⑦函數(shù)最大值的幾何意義是什么？ ⑧函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值嗎？為什么？ ⑨點(diǎn)(-1,3)是不是函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高點(diǎn)？ ⑩由這個(gè)問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方？

討論結(jié)果: ①函數(shù)y=-x2-2x圖象有最高點(diǎn)A，函數(shù)y=-2x+1,x∈［-1,+∞)圖象有最高點(diǎn)B，函數(shù)y=f(x)圖象有最高點(diǎn)C.也就是說,這三個(gè)函數(shù)的圖象的共同特征是都有最高點(diǎn).②函數(shù)圖象上任意點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)的意義:橫坐標(biāo)x是自變量的取值,縱坐標(biāo)y是自變量為x時(shí)對應(yīng)的函數(shù)值的大小.③圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最大值,即函數(shù)的最大值.④由于點(diǎn)C是函數(shù)y=f(x)圖象的最高點(diǎn)，則點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方，即對定義域內(nèi)任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x0)，也就是對函數(shù)y=f(x)的定義域內(nèi)任意x，均有f(x)≤f(x0)成立.⑤一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.⑥f(x)≤M反映了函數(shù)y=f(x)的所有函數(shù)值不大于實(shí)數(shù)M；這個(gè)函數(shù)的特征是圖象有最高點(diǎn)，并且最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是M.⑦函數(shù)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo).⑧函數(shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)沒有最大值，因?yàn)楹瘮?shù)y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的圖象沒有最高點(diǎn).⑨不是，因?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域中沒有－1.⑩討論函數(shù)的最大值，要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最高點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最大值，最高點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).提出問題

①類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.②類比問題9，你認(rèn)為討論函數(shù)最小值應(yīng)注意什么？

活動：讓學(xué)生思考函數(shù)最大值的定義，利用定義來類比定義.最高點(diǎn)類比最低點(diǎn)，符號不等號“≤”類比不等號“≥”.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為函數(shù)的最值.討論結(jié)果：①函數(shù)最小值的定義是: 一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).②討論函數(shù)的最小值，也要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；函數(shù)圖象有最低點(diǎn)時(shí)，這個(gè)函數(shù)才存在最小值，最低點(diǎn)必須是函數(shù)圖象上的點(diǎn).應(yīng)用示例

思路1 例1求函數(shù)y=2x?1在區(qū)間［2，6］上的最大值和最小值.活動：先思考或討論，再到黑板上書寫.當(dāng)學(xué)生沒有證明思路時(shí)，才提示：圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最大值，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最小值.根據(jù)函數(shù)的圖象觀察其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求得最大值和最小值.利用變換法畫出函數(shù)y=2x?1的圖象，只取在區(qū)間［2，6］上的部分.觀察可得函數(shù)的圖象是上升的.解：設(shè)2≤x1

2[(x2?1)?(x1?1)](x1?1)(x2?1)=

2(x2?x1)(x1?1)(x2?1)

∵2≤x10,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函數(shù)y=

2x?1在區(qū)間［2，6］上是減函數(shù).2所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)y=2x?1x?1在區(qū)間［2，6］上取得最大值f(2)=2；

25在區(qū)間［2，6］上取得最小值f(6)=.變式訓(xùn)練

1.求函數(shù)y=x2-2x(x∈［-3,2］)的最大值和最小值_______.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（換元法）轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值.設(shè)x2=t，y=t2+2t-1(t≥0)，又當(dāng)t≥0時(shí)，函數(shù)y=t2+2t-1是增函數(shù)，則當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)y=t+2t-1(t≥0)取最小值－1.所以函數(shù)f(x)=x4+2x2-1的最小值是－1.答案：-1 3.畫出函數(shù)y=－x2＋2|x|＋3的圖象，指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值.分析：函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，先畫出y軸右側(cè)的圖象，再對稱到y(tǒng)軸左側(cè)合起來得函數(shù)的圖象；借助圖象，根據(jù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)圖象如圖1-3-1-13所示.2

圖1-3-1-13 由圖象得，函數(shù)的圖象在區(qū)間（－∞，－1）和［0，1］上是上升的，在［－1，0］和（1，＋∞）上是下降的，最高點(diǎn)是(±1,4)，故函數(shù)在（－∞，－1），［0，1］上是增函數(shù)；函數(shù)在［－1，0］，（1，＋∞）上是減函數(shù)，最大值是4.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值，以及最值的求法.求函數(shù)的最值時(shí)，先畫函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再用定義法證明，最后借助單調(diào)性寫出最值，這種方法適用于做解答題.單調(diào)法求函數(shù)最值：先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).例2“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望它達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地

2面的高度h m與時(shí)間t s之間的關(guān)系為h(t)=-4.9t+14.7t+18，那么煙花沖出去后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻？這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1m）？

活動：可以指定一位學(xué)生到黑板上書寫，教師在下面巡視，并及時(shí)幫助做錯(cuò)的學(xué)生改錯(cuò).并對學(xué)生的板書及時(shí)評價(jià).將實(shí)際問題最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象求出最大值.“煙花沖出去后什么時(shí)候是它爆裂的最佳時(shí)刻”就是當(dāng)t取什么值時(shí)函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“這時(shí)距地面的高度是多少（精確到1 m）”就是函數(shù)h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(t)=-4.9t+14.7t+18的最大值及此時(shí)自變量t的值.解：畫出函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18的圖象，如圖1-3-1-14所示，顯然，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是煙花上升的最高點(diǎn)，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是煙花爆炸的最佳時(shí)刻，縱坐標(biāo)就是這時(shí)距離地面的高度.2

2圖1-3-1-14 由二次函數(shù)的知識，對于函數(shù)h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我們有： 當(dāng)t=?14.72?(?4.9)=1.5時(shí)，函數(shù)有最大值, 即煙花沖出去后1.5s是它爆裂的最佳時(shí)刻，這時(shí)距地面的高度約是29m.點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.解應(yīng)用題步驟是①審清題意讀懂題；②將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；③歸納結(jié)論.注意：要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練

1.2006山東菏澤二模，文10把長為12厘米的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是（）A.323cm2

B.4cm2

C.32cm2

D.23cm2

解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為x cm，則另一個(gè)三角形的邊長為(4-x)cm，兩個(gè)三角形的面積和為S，則S=34x2+

34(4-x)2=

32(x-2)2+23≥23.當(dāng)x=2時(shí)，S取最小值23m2.故選D.答案：D 2.某超市為了獲取最大利潤做了一番試驗(yàn)，若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元一件的價(jià)格出售時(shí)，每天可銷售60件，現(xiàn)在采用提高銷售價(jià)格減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤，已知這種商品每漲1元，其銷售量就要減少10件，問該商品售價(jià)定為多少時(shí)才能賺取利潤最大，并求出最大利潤.分析：設(shè)未知數(shù)，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立函數(shù)關(guān)系式，再研究函數(shù)關(guān)系式的定義域，并結(jié)合問題的實(shí)際意義作出回答.利潤＝（售價(jià)－進(jìn)價(jià)）×銷售量.解：設(shè)商品售價(jià)定為x元時(shí)，利潤為y元，則 y=(x-8)［60-(x-10)·10］

=-10［(x-12)2-16］=-10(x-12)2+160(10＜x＜16).當(dāng)且僅當(dāng)x=12時(shí)，y有最大值160元，即售價(jià)定為12元時(shí)可獲最大利潤160元.思路2 例1已知函數(shù)f(x)=x+1x,x>0，（1）證明當(dāng)00的最小值.活動：學(xué)生思考判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)最小值的含義.（1）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的最小值.（1）解：任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＜x2，則 f（x1）－f（x2）=（x1＋

1x1）－（x2+

1x2）=（x1－x2）+

x2?x1x1x2=

(x1?x2)(x1x2?1)x1x2，∵x1＜x2，∴x1－x2<0，x1x2>0.當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，x1x2-1<0，∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2），即當(dāng)00，∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）,即當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)是增函數(shù).（2）解法一：由（1）得當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x+又f(1)=2，則函數(shù)f(x)=x+

1x1x,x>0取最小值.,x>0取最小值是2.1x解法二：借助于計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)f(x)=x+,x>0的圖象，如圖1-3-1-15所示，圖1-3-1-15 由圖象知，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x+

1x,x>0取最小值f(1)=2.點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最值.定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是“去比賽”；三個(gè)步驟缺一不可.利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值的步驟：①先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用其單調(diào)性求最值；常用到下面的結(jié)論：①如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［b,c)上單調(diào)遞減，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；②如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［b,c)上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b).這種求函數(shù)最值的方法稱為單調(diào)法.圖象法求函數(shù)的最值的步驟：畫出函數(shù)的圖象，依據(jù)函數(shù)最值的幾何意義，借助圖象寫出最值.變式訓(xùn)練 1.求函數(shù)y=3?x1?2x（x≥0）的最大值.3?x1?2x解析:可證明函數(shù)y=∴函數(shù)y=3?x1?2x（x≥0）是減函數(shù)，（x≥0）的最大值是f(0)=3.2.求函數(shù)y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.??2x,?解法一：（圖象法）y＝|x+1|+|x-1|=?2,?2x,?x??1,?1?x?1,其圖象如圖1-3-1-16所示.x?1，圖1-3-1-16 由圖象得，函數(shù)的最小值是2，無最大值.解法二：（數(shù)形結(jié)合）函數(shù)的解析式y(tǒng)=|x+1|+|x-1|的幾何意義是：y是數(shù)軸上任意一點(diǎn)P到±1的對應(yīng)點(diǎn)A、B的距離的和，即y=|PA|+|PB|,如圖1-3-1-17所示，圖1-3-1-17 觀察數(shù)軸,可得|PA|+|PB|≥|AB|=2，即函數(shù)有最小值2，無最大值.3.2007天利高考第一次全國大聯(lián)考（江蘇卷），11設(shè)0

14≤

14, 例2將進(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出時(shí)，能賣出500個(gè)，若此商品每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè)，為了賺到最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？ 活動：讓學(xué)生思考利潤的意義，以及利潤和售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)出一般情況，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.解決此類應(yīng)用題，通常是建立函數(shù)模型，這是解題的關(guān)鍵.解：設(shè)每個(gè)售價(jià)為x元時(shí)，獲得利潤為y元，則每個(gè)漲（x-50）元，從而銷售量減少10(x-50)個(gè),共售出500-10(x-50)=1000-10x(個(gè)).∴y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9 000(50≤x＜100）.∴當(dāng)x=70時(shí),ymax=9000, 即為了賺取最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為70元.點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的最值問題，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.解應(yīng)用題步驟是：①審清題意讀懂題；②將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；③歸納結(jié)論.注意：要堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則；求二次函數(shù)的最值要借助于圖象即數(shù)形結(jié)合.變式訓(xùn)練

1.已知某商品的價(jià)格每上漲x%，銷售的數(shù)量就減少mx%，其中m為正常數(shù).當(dāng)m=商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷售的總金額最大？

解：設(shè)商品現(xiàn)在定價(jià)a元，賣出的數(shù)量為b個(gè),當(dāng)價(jià)格上漲x%時(shí)，銷售總額為y元.由題意得y=a(1+x%)·b(1-mx%), 即y=ab100001212時(shí)，該［-mx2+100(1-m)x+10 000］.ab20000當(dāng)m=時(shí),y=［-(x-50)2+22 500］，98則當(dāng)x=50時(shí)，ymax=ab.即該商品的價(jià)格上漲50%時(shí)，銷售總金額最大.2.2007天利第一次全國大聯(lián)考江蘇卷，18某軍工企業(yè)生產(chǎn)一種精密電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：1??400x?x2,R(x)=?2??80000,0?x?400,x?400,其中x是儀器的月產(chǎn)量.（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù).（2）當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少元？（總收益＝總成本＋利潤）.分析：本題主要考查二次函數(shù)及其最值，以及應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的能力.（1）利潤＝總收益－總成本；（2）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，由于此函數(shù)是分段函數(shù)，則要求出各段上的最大值，再從中找出函數(shù)的最大值.解：（1）設(shè)月產(chǎn)量為x臺，則總成本為20 000+100x，?12??x?300x?20000,0?x?400,從而f(x)=?2

?x?400.?60000?100x,12（2）當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)=?(x-300)+25000;

2當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000； 當(dāng)x>400時(shí)，f(x)=60000-100x是減函數(shù);又f(x)<60000-100×400<25000, 所以，當(dāng)x=300時(shí)，有最大值25000, 即當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元.知能訓(xùn)練

課本P32練習(xí)5.［補(bǔ)充練習(xí)］

2007上海市閔行五校聯(lián)合調(diào)研，20某廠2007年擬舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該廠產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與去年促銷費(fèi)m（萬元）（m≥0）滿足x=3?2m?1.已知2007年生產(chǎn)的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2007年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)m（萬元）的函數(shù)；（2）求2007年該產(chǎn)品利潤的最大值，此時(shí)促銷費(fèi)為多少萬元？

分析：（1）年利潤＝銷售價(jià)格×年銷售量－固定投入－促銷費(fèi)－再投入，銷售價(jià)格＝1.5×每件產(chǎn)品平均成本；（2）利用單調(diào)法求函數(shù)的最大值.解：（1）每件產(chǎn)品的成本為y=1.5×8?16xx8?16xx元，故2007年的利潤

2m?1×x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8(3?16m?116m?1)-m=28?16m?1-m（萬元）（m≥0）.16m?1（2）可以證明當(dāng)0≤m≤3時(shí)，函數(shù)y=28?-m是增函數(shù)，當(dāng)m>3時(shí)，函數(shù)y=28?-m取最大值21（萬元）.-m是減函數(shù)，所以當(dāng)m=3時(shí)，函數(shù)y=28?拓展提升 問題：求函數(shù)y=1x?x?12的最大值.探究：(方法一)利用計(jì)算機(jī)軟件畫出函數(shù)的圖象，如圖1-3-1-18所示，圖1-3-1-18 故圖象最高點(diǎn)是(?則函數(shù)y=1x?x?121423,).43的最大值是.(方法二)函數(shù)的定義域是R，可以證明當(dāng)x

11x?x?12是增函數(shù)；

時(shí)，函數(shù)y=12則當(dāng)x=?時(shí)，函數(shù)y=x?x?1122是減函數(shù).取最大值

43x?x?1, 即函數(shù)y=1x?x?112的最大值是

43.(方法三)函數(shù)的定義域是R，由y=x?x?12,得yx2+yx+y-1=0.∵x∈R，∴關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0必有實(shí)數(shù)根，當(dāng)y=0時(shí)，關(guān)于x的方程yx2+yx+y-1=0無實(shí)數(shù)根，即y=0不屬于函數(shù)的值域.當(dāng)y≠0時(shí)，則關(guān)于x的方程yx+yx+y-1=0是一元二次方程，則有Δ=(-y)-4×y(y-1)≥0.∴0

243.的最大值是

43.axdx22點(diǎn)評：方法三稱為判別式法，形如函數(shù)y=

?bx?c?ex?f(d≠0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R（此時(shí)e2-4df<0）時(shí)，常用判別式法求最值，其步驟是①把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關(guān)于x的方程的形式mx+nx+k=0；②分類討論m=0是否符合題意；③當(dāng)m≠0時(shí)，關(guān)于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，則此一元二次方程必有實(shí)數(shù)根，得n2-4mk≥0,即關(guān)于y的不等式，?n2?4mk?0,解不等式組?

?m?0.2m≠0.此不等式組的解集與②中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大值和最小值.課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：(1)函數(shù)的最值；(2)求函數(shù)最值的方法：①圖象法，②單調(diào)法，③判別式法；(3)求函數(shù)最值時(shí)，要注意函數(shù)的定義域.作業(yè)

課本P39習(xí)題1.3A組5、6.設(shè)計(jì)感想

為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段,讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對函數(shù)最值定義的三次認(rèn)識,使得學(xué)生對概念的認(rèn)識不斷深入.（2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用圖象和單調(diào)法求函數(shù)最值的方法和步驟.備課資料

基本初等函數(shù)的最值

1.正比例函數(shù)：y=kx(k≠0)在定義域R上不存在最值.在閉區(qū)間［a,b］上存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx的最大值為f(b)＝kb，最小值為f(a)＝ka；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx的最大值為f(a)＝ka，最小值為f(b)＝kb.2.反比例函數(shù)：y=kx(k≠0)在定義域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在閉區(qū)間［a,b］（ab>0）上

kx存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=數(shù)y=kx的最大值為f(a)＝

kaka，最小值為f(b)＝

kb；當(dāng)k<0時(shí)，函的最大值為f(b)＝

kb，最小值為f(a)＝.3.一次函數(shù)：y=kx+b(k≠0)在定義域R上不存在最值.在閉區(qū)間［m,n］上存在最值，當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的最大值為f(n)=kn+b，最小值為f(m)＝km+b；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx+b的最大值為f(m)＝km+b，最小值為f(n)＝kn+b.24.二次函數(shù)：y=ax+bx+c(a≠0):

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax+bx+c在定義域R上有最小值f(?2

b2ab2a)=

?b?4ac4a?b?4ac4a22，無最大值；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=ax+bx+c在定義域R上有最大值f(?2)=，無最小值.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一.二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a＞0)在閉區(qū)間［p，q］上的最值可能出現(xiàn)以下三種情況：(1)若?b2a2＜p，則f(x)在區(qū)間［p，q］上是增函數(shù)，則f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).b2ab(2)若p≤?①當(dāng)p≤?②當(dāng)③當(dāng)≤q，則f(x)min=f(?＜p?q2b2ab2ab2a),此時(shí)f(x)的最大值視對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的遠(yuǎn)近而定：

2ap?q2p?q2b2a時(shí)，則f(x)max=f(q);＝?＜?時(shí)，則f(x)max=f(p)＝f(q);＜q時(shí)，則f(x)max=f(p).(3)若?≥q，則f(x)在區(qū)間［p，q］上是減函數(shù)，則f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).b2a由此可見,當(dāng)?∈［p,q］時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a＞0)在閉區(qū)間［p，q］上的最大值

b2a2是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(?)；當(dāng)?b2a?［p,q］時(shí),二次函數(shù)f(x)=ax+bx+c(a

2＞0)在閉區(qū)間［p，q］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.(設(shè)計(jì)者：方誠心)

第五篇：11-12學(xué)年高中數(shù)學(xué) 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)同步練習(xí)新人教A版選修2-2

選修2-2

1.3.1

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

一、選擇題

1．設(shè)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，則f(x)為R上增函數(shù)的充要條件是()

A．b2－4ac>0

B．b>0，c>0

C．b＝0，c>0

D．b2－3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)為增函數(shù)，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c>0恒成立，∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac<0，∴b2－3ac<0.2．(2009·廣東文，8)函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A．(－∞，2)

B．(0,3)

C．(1,4)

D．(2，＋∞)

[答案]　D

[解析]　考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用．

f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，故選D.3．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)上任一點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，2]

C．(－∞，－1)和(1,2)

D．[2，＋∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，2]．

4．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖(1)所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中，y＝f(x)的圖象大致是()

[答案]　C

[解析]　當(dāng)0

∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上為減函數(shù)

當(dāng)x>1時(shí)xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，因此否定A、B、D故選C.5．函數(shù)y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的單調(diào)增區(qū)間是()

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′＝xcosx，當(dāng)－π0，當(dāng)00，∴y′＝xcosx>0.6．下列命題成立的是()

A．若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則對任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B．若在(a，b)內(nèi)對任何x都有f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上是增函數(shù)

C．若f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則f′(x)必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，則f(x)必為單調(diào)函數(shù)

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)，則f′(x)≥0，故A錯(cuò)；f(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)與f′(x)是否存在無必然聯(lián)系，故C錯(cuò)；f(x)＝2在(a，b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝0存在，但f(x)無單調(diào)性，故D錯(cuò)．

7．(2007·福建理，11)已知對任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(shí)()

A．f′(x)>0，g′(x)>0

B．f′(x)>0，g′(x)<0

C．f′(x)<0，g′(x)>0

D．f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同(反)，∴x<0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意正數(shù)a、b，若a

A．a(chǎn)f(a)≤f(b)

B．bf(b)≤f(a)

C．a(chǎn)f(b)≤bf(a)

D．bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．

9．對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有()

A．f(0)＋f(2)<2f(1)

B．f(0)＋f(2)≤2f(1)

C．f(0)＋f(2)≥2f(1)

D．f(0)＋f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，1]上單調(diào)遞減或f(x)恒為常數(shù)，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故應(yīng)選C.10．(2010·江西理，12)如圖，一個(gè)正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面，記t時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)＝0)，則導(dǎo)函數(shù)y＝S′(t)的圖像大致為

()

[答案]　A

[解析]　由圖象知，五角星露出水面的面積的變化率是增→減→增→減，其中恰露出一個(gè)角時(shí)變化不連續(xù)，故選A.二、填空題

11．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是單調(diào)增函數(shù)，則b的范圍為________．

[答案]　b<－1或b>2

[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，則Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由題意b＜－1或b＞2.12．已知函數(shù)f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a＞在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立．

設(shè)g(x)＝，則g′(x)＝－＜0(x＞1)，∴g(x)＝在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴＜1在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立，∴a≥1.13．函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________．

[答案](－∞，－1)

[解析]　函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的定義域?yàn)?2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<，∴函數(shù)y＝ln(x2－x－2)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1)．

14．若函數(shù)y＝x3－ax2＋4在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．

[答案]　[3，＋∞)

[解析]　y′＝3x2－2ax，由題意知3x2－2ax<0在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立，即a>x在區(qū)間(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答題

15．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax2＋3bx的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)．

(1)求a、b的值；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

[解析](1)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的圖象與直線12x＋y－1＝0相切于點(diǎn)(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即，解得a＝1，b＝－3.(2)由a＝1，b＝－3得

f′(x)＝3x2－6ax＋3b＝3(x2－2x－3)

＝3(x＋1)(x－3)．

令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1

當(dāng)x∈(3，＋∞)時(shí)，f(x)也是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(－1,3)時(shí)，f(x)是減函數(shù)．

16．求證：方程x－sinx＝0只有一個(gè)根x＝0.[證明]　設(shè)f(x)＝x－sinx，x∈(－∞，＋∞)，則f′(x)＝1－cosx＞0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

而當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0，∴方程x－sinx＝0有唯一的根x＝0.17．已知函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，試確定函數(shù)y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間．

[分析]　可先由函數(shù)y＝ax與y＝－的單調(diào)性確定a、b的取值范圍，再根據(jù)a、b的取值范圍去確定y＝ax3＋bx2＋5的單調(diào)區(qū)間．

[解析]　∵函數(shù)y＝ax與y＝－在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，∴a＜0，b＜0.由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.令y′＞0，得3ax2＋2bx＞0，∴－＜x＜0.∴當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)．

令y′＜0，即3ax2＋2bx＜0，∴x＜－，或x＞0.∴在，(0，＋∞)上時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)．

18．(2010·新課標(biāo)全國文，21)設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0，求a的取值范圍．

[解析](1)a＝時(shí)，f(x)＝x(ex－1)－x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．

當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－1,0]上單調(diào)遞減．

(2)f(x)＝x(ex－1－ax)．

令g(x)＝ex－1－ax，則g′(x)＝ex－a.若a≤1，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x≥0時(shí)g(x)≥0，即f(x)≥0.當(dāng)a>1，則當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)，g′(x)<0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)＝0，從而當(dāng)x∈(0，lna)時(shí)g(x)<0，即f(x)<0.綜合得a的取值范圍為(－∞，1]．