第一篇：高中數學 (1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積)示范教案 新人教A版必修2

1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

整體設計

教學分析

本節一開始的“思考”從學生熟悉的正方體和長方體的展開圖入手，分析展開圖與其表面積的關系，目的有兩個：其一，復習表面積的概念，即表面積是各個面的面積的和；其二，介紹求幾何體表面積的方法，把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.接著，教科書安排了一個“探究”，要求學生類比正方體、長方體的表面積，討論棱柱、棱錐、棱臺的表面積問題，并通過例1進一步加深學生的認識.教學中可以引導學生討論得出：棱柱的展開圖是由平行四邊形組成的平面圖形，棱錐的展開圖是由三角形組成的平面圖形，棱臺的展形圖是由梯形組成的平面圖形.這樣，求它們的表面積的問題就可轉化為求平行四邊形、三角形和梯形的面積問題.教科書通過“思考”提出“如何根據圓柱、圓錐的幾何結構特征，求它們的表面積？”的問題.教學中可引導學生回憶圓柱、圓錐的形成過程及其幾何特征，在此基礎上得出圓柱的側面可以展開成為一個矩形，圓錐的側面可以展開成為一個扇形的結論，隨后的有關圓臺表面積問題的“探究”，也可以按照這樣的思路進行教學.值得注意的是，圓柱、圓錐、圓臺都有統一的表面積公式，得出這些公式的關鍵是要分析清楚它們的底面半徑、母線長與對應的側面展開圖中的邊長之間的關系，教學中應當引導學生認真分析，在分別學習了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式后，可以引導學生用運動、變化的觀點分析它們之間的關系.由于圓柱可看成上下兩底面全等的圓臺；圓錐可看成上底面半徑為零的圓臺，因此圓柱、圓錐就可以看成圓臺的特例.這樣，圓柱、圓錐的表面積公式就可以統一在圓臺的表面積公式之下.關于體積的教學.我們知道，幾何體占有空間部分的大小，叫做幾何體的體積.這里的“大小”沒有比較大小的含義，而是要用具體的“數”來定量的表示幾何體占據了多大的空間，因此就產生了度量體積的問題.度量體積時應知道：①完全相同的幾何體，它的體積相等；②一個幾何體的體積等于它的各部分體積的和.體積相等的兩個幾何體叫做等積體.相同的兩個幾何體一定是等積體，但兩個等積體不一定相同.體積公式的推導是建立在等體積概念之上的.柱體和錐體的體積計算，是經常要解決的問題.雖然有關公式學生已有所了解，但進一步了解這些公式的推導，有助于學生理解和掌握這些公式，為此，教科書安排了一個“探究”，要求學生思考一下棱錐與等底等高的棱柱體積之間的關系.教學中，可以引導學生類比圓柱與圓錐之間的體積關系來得出結論.與討論表面積公式之間的關系類似，教科書在得出柱體、錐體、臺體的體積公式后，安排了一個“思考”，目的是引導學生思考這些公式之間的關系，建立它們之間的聯系.實際上，這幾個公式之間的關系，是由柱體、錐體和臺體之間的關系決定的.這樣，在臺體的體積公式中，令S′=S，得柱體的體積公式；令S′=0，得錐體的體積公式.值得注意的是在教學過程中，要重視發揮思考和探究等欄目的作用，培養學生的類比思維能力，引導學生發現這些公式之間的關系，建立它們的聯系.本節的重點應放在公式的應用上，防止出現：教師在公式推導過程中“糾纏不止”，要留出“空白”，讓學生自己去思考和解決問題.如果有條件，可以借助于信息技術來展示幾何體的展開圖.對于空間想象能力較差的學生，可以通過制作實物模型，經過操作確認來增強空間想象能力.三維目標

1.了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式（不要求記憶），提高學生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養學生的應用意識，增加學生學習數學的興趣.2.掌握簡單幾何體的體積與表面積的求法，提高學生的運算能力，培養學生轉化、化歸以及類比的能力.重點難點

教學重點：了解柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算公式及其應用.教學難點：表面積和體積計算公式的應用.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.在過去的學習中，我們已經接觸過一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導學生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開圖的面積，那么，柱體、錐體、臺體的側面展開圖是怎樣的？你能否計算？ 思路2.被譽為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產工具很落后的中古時代，埃及人是怎樣采集、搬運數量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個正四棱錐外形的建筑，塔底邊長230米，塔高146.5米，你能計算建此金字塔用了多少石塊嗎？ 推進新課 新知探究 提出問題

①在初中，我們已經學習了正方體和長方體的表面積，以及它們的展開圖（圖1），你知道上述幾何體的展開圖與其表面積的關系嗎？

正方體及其展開圖(1)長方體及其展開圖(2)

圖1 ②棱柱、棱錐、棱臺也是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？

③如何根據圓柱、圓錐的幾何結構特征，求它們的表面積？

④聯系圓柱、圓錐的側面展開圖，你能想象圓臺側面展開圖的形狀，并且畫出它嗎？如果圓臺的上、下底面半徑分別是r′,r，母線長為l，你能計算出它的表面積嗎？ ⑤圓柱、圓錐和圓臺的表面積之間有什么關系？

活動：①學生討論和回顧長方體和正方體的表面積公式.②學生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個面的面積的和.③讓學生思考圓柱和圓錐的側面展開圖的形狀.④學生思考圓臺的側面展開圖的形狀.⑤提示學生用動態的觀點看待這個問題.討論結果：①正方體、長方體是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.2

②棱柱的側面展開圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個面的面積的和；棱錐的側面展開圖是由多個三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個面的面積的和；棱臺的側面展開圖是由多個梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺的各個面的面積的和.③它們的表面積等于側面積與底面積的和，利用它們的側面展開圖來求得它們的側面積，由于底面是圓面，其底面積直接應用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側面展開圖是矩形，圓錐的側面展開圖是扇形.我們知道，圓柱的側面展開圖是一個矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長為

2l，那么圓柱的底面面積為πr,側面面積為2πrl.因此，圓柱的表面積2S=2πr+2πrl=2πr(r+l).圖2 圖3 圓錐的側面展開圖是一個扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l，那么它2的表面積S=πr+πrl=πr(r+l).點評：將空間圖形問題轉化為平面圖形問題，是解決立體幾何問題基本的、常用的方法.④圓臺的側面展開圖是一個扇環（圖4），它的表面積等于上、下兩個底面的面積和加上側22面的面積，即S=π(r+r′+rl+r′l).圖4 ⑤圓柱、圓錐、圓臺側面積的關系：

圓柱和圓錐都可以看作是圓臺退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺，圓錐可看作是上底面退化成一點的圓臺，觀察它們的側面積，不難發現：

1212S圓柱表=2πr(r+l)????S圓臺表=π(r1l+r2l+r1+r2)?????S圓錐表=πr(r+l).r?r?r2

2r?0,r?r從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側面積公式都可以看作由圓臺側面積公式演變而來.提出問題

①回顧長方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？

②比較柱體、錐體、臺體的體積公式： V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)；

1Sh(S為底面積，h為錐體的高)； 31V臺體=(S?SS'?S')h(S′,S分別為上、下底面積，h為臺體的高).3V錐體=你能發現三者之間的關系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺體？其體積公式是否可以看作臺體體積公式的“特殊”形式？

活動：①讓學生思考和討論交流長方體、正方體和圓柱的體積公式.3

②讓學生類比圓柱、圓錐和圓臺的表面積的關系？ 討論結果：

32①棱長為a的正方體的體積V=a=aa=Sh；

長方體的長、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；

2底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=πrh=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.11Sh(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.3311棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V=Sh(S為底面面積，h為高).33圓錐的體積公式是V=由此可見，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的1.31(S′+S'S+S)h, 3 由于圓臺（棱臺）是由圓錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差，得到圓臺（棱臺）的體積公式V=其中S′，S分別為上、下底面面積，h為圓臺（棱臺）高.注意：不要求推導公式，也不要求記憶.②柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺體.當S′=0時，臺體的體積公式變為錐體的體積公式;當S′=S時，臺體的體積公式變為柱體的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺體體積公式的“特殊”形式.柱體和錐體可以看作由臺體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺體，錐體可以看作是有一個底面是一個點的臺體，因此很容易得出它們之間的體積關系,如圖5：

圖5 應用示例

思路1

例1 已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S—ABC（圖6），求它的表面積.圖6

活動：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體S—ABC的四個面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個面面積的4倍.解：先求△SBC的面積，過點S作SD⊥BC，交BC于點D.4

因為BC=a,SD=SB?BD?22a3a2?()2?a，22所以S△SBC=13321a?a.BC·SD=a?224232a?3a2.4因此，四面體S—ABC的表面積S=4×點評：本題主要考查多面體的表面積的求法.變式訓練

1.已知圓柱和圓錐的高、底面半徑均分別相等.若圓柱的底面半徑為r，圓柱側面積為S，求圓錐的側面積.解：設圓錐的母線長為l，因為圓柱的側面積為S，圓柱的底面半徑為r，即S圓柱側=S，根據圓柱的側面積公式可得：圓柱的母線（高）長為

SS，由題意得圓錐的高為，又圓錐2?r2?r2的底面半徑為r，根據勾股定理，圓錐的母線長l=r?(得

S2)，根據圓錐的側面積公式2?rS2)?S圓錐側=πrl=π·r·r?(2?r24?2r4?S2.22.兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積的比是（）

A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 分析：因為圓錐的高被分成的三部分相等，所以兩個截面的半徑與原圓錐底面半徑之比為1∶2∶3，于是自上而下三個圓錐的體積之比為（?3［r2h)∶

?3∶［(2r)2·2h］

?3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圓錐被分成的三部分的體積之比為1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19.答案：B 3.三棱錐V—ABC的中截面是△A1B1C1，則三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A—A1BC的體積之比是（）

A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8

分析：中截面將三棱錐的高分成相等的兩部分，所以截面與原底面的面積之比為1∶4，將三棱錐A—A1BC轉化為三棱錐A1—ABC，這樣三棱錐V—A1B1C1與三棱錐A1—ABC的高相等，底面積之比為1∶4，于是其體積之比為1∶4.答案：B 例2 如圖7，一個圓臺形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100個這樣的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，結果精確到1毫升，可用計算器）

圖7

活動：學生思考和討論如何轉化為數學問題.只要求出每個花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺的表面積公式得一個花盆外壁的表面積S=π［(-π（1521520)??15??15］2221.5222)≈1 000(cm)=0.1(m).2涂100個這樣的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100個這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點評：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應用.變式訓練

21.有位油漆工用一把長度為50 cm，橫截面半徑為10 cm的圓柱形刷子給一塊面積為10 m的木板涂油漆，且圓柱形刷子以每秒5周的速度在木板上勻速滾動前進，則油漆工完成任務所需的時間是多少?（精確到0.01秒）

解：圓柱形刷子滾動一周涂過的面積就等于圓柱的側面積，2∵圓柱的側面積為S側=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m，又∵圓柱形刷子以每秒5周勻速滾動，2∴圓柱形刷子每秒滾過的面積為0.5π m，10m220?因此油漆工完成任務所需的時間t=≈6.37秒.?0.5?m2點評：本題雖然是實際問題，但是通過仔細分析后，還是歸為圓柱的側面積問題.解決此題的關鍵是注意到圓柱形刷子滾動一周所經過的面積就相當于把圓柱的側面展開的面積，即滾動一周所經過的面積等于圓柱的側面積.從而使問題迎刃而解.2.（2007山東濱州一模，文14）已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，則三棱錐體積的最大值是___________.11112?xy?x(4?x)??(x-2)2+，由于x＞0，則當

332662x=2時，三棱錐的體積取最大值.32答案：

3分析：由題意得三棱錐的體積是例3 有一堆規格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知底面是正六邊形，邊長為12 mm,內孔直徑為10 mm,高為10 mm，問這堆螺帽大約有多少個?（π取3.14）

3圖8

活動：讓學生討論和交流如何轉化為數學問題.六角帽表示的幾何體是一個組合體，在一個六棱柱中間挖去一個圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=3102233×12×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm)=2.956(cm).42所以螺帽的個數為5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(個).答：這堆螺帽大約有252個.點評：本題主要考查幾何體的體積公式及其應用.變式訓練

如圖9，有個水平放置圓臺形容器，上、下底面半徑分別為2分米，4分米，高為5分米，現以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，當水面的高度為3分米時，求所用的時間.（精確到0.01秒）

圖9

解：如圖10，設水面的半徑為r，則EH=r-2分米，BG=2分米，圖10 在△ABG中，∵EH∥BG，AHEH.∵AH=2分米, ?AGBG2r?214∴?.∴r=分米.525∴∴當水面的高度為3分米時，容器中水的體積為

14214876?2)+×4+4］=立方分米，2555876?292?∴所用的時間為25?≈36.69秒.325V水=?·3［(13答：所用的時間為36.69秒.思路2

例1（2007山東煙臺高三期末統考，理8）如圖11所示，一個空間幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，那么這個幾何體的體積為（）

圖11 A.1 B.111 C.D.236活動：讓學生將三視圖還原為實物圖，討論和交流該幾何體的結構特征.分析：根據三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個幾何體的體積為V=1111S?ABCPA???1?.3326

圖12

答案：D 點評：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時，首先根據三視圖確定該幾何體的結構特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標高考的熱點，應引起重視.變式訓練

1.（2007山東泰安高三期末統考，理8）若一個正三棱柱的三視圖如圖13所示，則這個正三棱柱的表面積為（）

圖13 A.183 B.153 C.24?83 D.24?163 分析：該正三棱柱的直觀圖如圖14所示，且底面等邊三角形的高為23，正三棱柱的高為

2，則底面等邊三角形的邊長為4，所以該正三棱柱的表面積為 3×4×2+2×1×4×23=24+83.2

圖14

答案：C 2.（2007山東濰坊高三期末統考，文3）如果一個空間幾何體的正視圖與側視圖均為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓及其圓心，那么這個幾何體的體積為（）A.3?23?? B.C.3? D.333分析：由三視圖知該幾何體是圓錐，且軸截面是等邊三角形，其邊長等于底面直徑2，則圓錐的高是軸截面等邊三角形的高為

3，所以這個幾何體的體積為V=13????12?3?.33答案：A 3.（2007廣東高考，文17）已知某幾何體的俯視圖是如圖15所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為

8、高為4的等腰三角形，側視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為

6、高為4的等腰三角形.圖15（1）求該幾何體的體積V；（2）求該幾何體的側面積S.解：由三視圖可知該幾何體是一個底面邊長分別為6、8的矩形，高為4的四棱錐.設底面矩形為ABCD.如圖16所示，AB=8，BC=6，高VO=4.圖16（1）V=1×(8×6)×4=64.3AB28)?42?()2?42, 229(2)設四棱錐側面VAD、VBC是全等的等腰三角形，側面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC中，BC邊上的高為h1=VO?（在△VAB中，AB邊上的高為h2=VO?(2BC26)?42?()2=5.22所以此幾何體的側面積S=2(?6?42?121?8?5)=40+242.2點評：高考試題中對面積和體積的考查有三種方式，一是給出三視圖，求其面積或體積；二是與的組合體有關的面積和體積的計算；三是在解答題中，作為最后一問.例2 圖17所示的幾何體是一棱長為4 cm的正方體，若在它的各個面的中心位置上，各打一個直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（π取3.14）

圖17 活動：因為正方體的棱長為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒有被打透.這樣一來打孔后所得幾何體的表面積，等于原來正方體的表面積，再加上六個完全一樣的圓柱的側面積，這六個圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.2解：正方體的表面積為16×6=96（cm），2一個圓柱的側面積為2π×1×1=6.28（cm），2則打孔后幾何體的表面積為96＋6.28×6=133.68（cm）.2答：幾何體的表面積為133.68 cm.點評：本題主要考查正方體、圓柱的表面積.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成基本的柱、錐、臺，再通過這些基本柱、錐、臺的表面積，進行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積.本題中將幾何體的表面積表達為正方體的表面積與六個圓柱側面積的和是非常有創意的想法，如果忽略正方體沒有被打透這一點，思考就會變得復雜，當然結果也會是錯誤的.變式訓練

圖18所示是由18個邊長為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積.圖18

分析：從圖18中可以看出，18個小正方體一共擺了三層，第一層2個，第二層7個，因為18-7-2=9，所以第三層擺了9個.另外，上、下兩個面的表面積是相同的，同樣，前、后,左、右兩個面的表面積也是分別相同的.22解：因為小正方體的棱長是1 cm，所以上面的表面積為1×9=9（cm），2222前面的表面積為1×8=8（cm），左面的表面積為1×7=7（cm），2則此幾何體的表面積為9×2+8×2+7×2=48(cm).2答：此幾何體的表面積為48 cm.知能訓練

1.正方體的表面積是96，則正方體的體積是（）

A.486 B.64 C.16 D.96 分析：設正方體的棱長為a，則6a=96，解得a=4，則正方體的體積是a=64.答案：B 2.（2007山東臨沂高三期末統考，文2）如圖19所示，圓錐的底面半徑為1，高為3，則圓錐的表面積為（）

A.π B.2π C.3π D.4π

3分析：設圓錐的母線長為l，則l=3?1=2，所以圓錐的表面積為S=π×1×(1+2)=3π.答案：C 3.正三棱錐的底面邊長為3，側棱長為23，則這個正三棱錐的體積是（）

A.27393279 B.C.D.444422分析：可得正三棱錐的高h=(23)?(3)=3，于是V=?133293?3?3?.44答案：D 4.若圓柱的高擴大為原來的4倍，底面半徑不變，則圓柱的體積擴大為原來的_________倍；若圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍，則圓柱的體積擴大為原來的_________倍.2分析：圓柱的體積公式為V圓柱=πrh，底面半徑不變，高擴大為原來的4倍，其體積也變為

2原來的4倍；當圓柱的高不變，底面半徑擴大為原來的4倍時，其體積變為原來的4=16倍.答案：4 16 5.圖20是一個正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點.現在沿△GFH所在平面鋸掉正方體的一個角，問鋸掉部分的體積是原正方體體積的幾分之幾?

圖20

分析：因為鋸掉的是正方體的一個角，所以HA與AG、AF都垂直，即HA垂直于立方體的上底面，實際上鋸掉的這個角，是以三角形AGF為底面，H為頂點的一個三棱錐.3解：設正方體的棱長為a，則正方體的體積為a.三棱錐的底面是Rt△AGF，即∠FAG為90°，G、F又分別為AD、AA1的中點，所以AF=AG=

1a.2 11

1111?a?a?a2.又因AH是三棱錐的高，H又是AB的中點，所以2228111113AH=a.所以鋸掉的部分的體積為?a?a2?a.2328481311又因,所以鋸掉的那塊的體積是原正方體體積的.a?a3?484848所以△AGF的面積為6.（2007山東臨沂高三期末考試，理13）已知一圓錐的側面展開圖為半圓，且面積為S，則圓錐的底面面積是____________.??2S?l?S,分析：如圖21，設圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得?2解得r=，所

2????l?2?r,以圓錐的底面積為πr=??

2SS?.2?2

圖21

答案：S 27.如圖22，一個正三棱柱容器，底面邊長為a，高為2a，內裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖23，這時水面恰好為中截面，則圖22中容器內水面的高度是_________.圖22 圖23 分析：圖22中容器內水面的高度為h，水的體積為V，則V=S△ABCh.又圖23中水組成了一個

3S?ABC?2a3334?a.直四棱柱，其底面積為S?ABC，高度為2a，則V=S?ABC·2a，∴h=

S?ABC244答案：3a 28.圓臺的兩個底面半徑分別為2、4，截得這個圓臺的圓錐的高為6，則這個圓臺的體積是_____________.12

分析：設這個圓臺的高為h，畫出圓臺的軸截面，可得臺的體積是

26?h，解得h=3，所以這個圓?46?22(2+2×4+4)×3=28π.3答案：28π

9.已知某個幾何體的三視圖如圖24，根據圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個幾何體的體積是（）

圖24 A.400080003333 cm B.cm C.2 000 cm D.4 000 cm 33分析：該幾何體是四棱錐，并且長為20 cm的一條側棱垂直于底面，所以四棱錐的高為20 cm,2底面是邊長為20 cm的正方形（如俯視圖），所以底面積是20×20=400 cm，所以該幾何體的體積是180003×400×20=cm.33答案：B 拓展提升

問題：有兩個相同的直三棱柱，高為

2，底面三角形的三邊長分別為3a,4a,5a(a＞0).用它a們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是___________.探究：兩個相同的直三棱柱并排放拼成一個三棱柱或四棱柱，有三種情況：

2四棱柱有一種，就是邊長為5a的邊重合在一起，表面積為24a+28，三棱柱有兩種，邊長為

224a的邊重合在一起，表面積為24a+32，邊長為3a的邊重合在一起，表面積為24a+36，兩

2個相同的直三棱柱豎直放在一起，有一種情況，表面積為12a+48, 最小的是一個四棱柱，這說明24a+28＜12a+48?12a＜20?0＜a＜

15.3答案：0＜a＜15 3課堂小結

本節課學習了：

1.柱體、錐體、臺體的表面積和體積公式.2.應用體積公式解決有關問題.作業

習題1.3 A組 第1、2、3題.設計感想

新課標對本節內容的要求是了解棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式），也就是說對體積和面積公式的推導、證明和記憶不作要求，按通常的理解是會求體積和面積，以及很簡單的應用即可.因此本節教學設計中就體現了這一點，沒有過多地在公式的推導上“糾纏不休”，把重點放在了對公式的簡單應用上.由于本節圖形較多，建議在使用時，盡量結合信息技術.

第二篇：【數學】1.3.1《柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)》教案(新人教A版必修2)

1.3.1 柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）第二課時

一、教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換關系。（3）培養學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

（1）讓學生經歷幾何全的側面展一過程，感知幾何體的形狀。

（2）讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關系。

3、情感與價值

通過學習，使學生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強學習的積極性。

二、教學重點、難點

重點：柱體、錐體、臺體的體積計算 難點：臺體體積公式的推導

三、學法與教學用具

1、學法：學生通過閱讀教材，自主學習、思考、交流、討論和概括，通過剖析實物幾何體感受幾何體的特征，從而更好地完成本節課的教學目標。

2、教學用具：實物幾何體，投影儀

四、教學過程

1、復習準備：

(1).提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？(2).提問：正方體、長方體、圓柱的體積計算公式？

2、探究新知

教學柱錐臺的體積計算公式：

① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）

② 根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的棱柱與棱錐之間的體積關系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關系？

④ 根據圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?13Sh

S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？ ⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?

→ V圓臺?13(S?''13(S?132'SS?S)h

（S，S分別上、下底面積，h為高）

2''SS?S)h??(r?rR?R)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發現：柱、錐、臺的體積計算公式有何關系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應公式。從而錐、柱的公式可以統一為臺體的體積公式

討論：側面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側面積和體積公式又可如何統一？

3、例題分析講解

① 出示例：一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內空直徑10mm，高10mm，估算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm3）

討論：六角螺帽的幾何結構特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數量關系求個數？

→ 列式計算

→ 小結：體積計算公式

② 練習：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.4、小結：柱錐臺的體積公式及相關關系；公式實際運用.5、作業：P30 3題； P32習題 3、4題.五、教學后記:

第三篇：高中數學 課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積(二)教案 新人教A版

課題：柱體、錐體、臺體的表面積與體積

（二）課 型：新授課 教學目標

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的體積的求法。

（2）能運用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術體和錐體之間的轉換關系。

（3）培養學生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

讓學生通對照比較，理順柱體、錐體、臺體三間的體積的關系。

3、情感與價值

通過學習，使學生感受到幾何體體積的求解過程，對自己空間思維能力影響。從而增強學習的積極性。

教學要求：了解柱、錐、臺的體積計算公式；能運用柱錐臺的表面積公式及體積公式進行計算和解決有關實際問題.教學重點：運用公式解決問題.教學難點：理解計算公式之間的關系.教學過程：

一、復習準備：

1.提問：圓柱、圓錐、圓臺的表面積計算公式？

2.練習：正六棱錐的側棱長為6, 底面邊長為4, 求其表面積.3.提問：正方體、長方體、圓柱、圓錐的體積計算公式？

二、講授新課：

1.教學柱錐臺的體積計算公式： ① 討論：等底、等高的棱柱、圓柱的體積關系？（祖暅(gèng，祖沖之的兒子)原理，教材P30）② 根據正方體、長方體、圓柱的體積公式，推測柱體的體積計算公式？

→給出柱體體積計算公式：V柱?Sh（S為底面面積，h為柱體的高）→V圓柱?Sh??r2h

③ 討論：等底、等高的圓柱與圓錐之間的體積關系？ 等底等高的圓錐、棱錐之間的體積關系？

④ 根據圓錐的體積公式公式，推測錐體的體積計算公式？

→給出錐體的體積計算公式：V錐?Sh S為底面面積，h為高）

⑤ 討論：臺體的上底面積S’，下底面積S，高h，由此如何計算切割前的錐體的高？

→ 如何計算臺體的體積？

⑥ 給出臺體的體積公式：V臺?(S'?S'S?S)h（S，S分別上、下底面積，h為高）

→ V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h（r、R分別為圓臺上底、下底半徑）

⑦ 比較與發現：柱、錐、臺的體積計算公式有何關系？

從錐、臺、柱的形狀可以看出，當臺體上底縮為一點時，臺成為錐；當臺體上底放大為與下底相同時，臺成為柱。因此只要分別令S’=S和S’=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應公式。從而錐、柱的公式可以統一為臺體的體積公式

1313'1313

討論：側面積公式是否也正確？ 圓柱、圓錐、圓臺的側面積和體積公式又可如何統一？

公式記憶：V錐?Sh 131V臺?(S'?S'S?S)h

311V圓臺?(S'?S'S?S)h??(r2?rR?R2)h

332.教學體積公式計算的運用：

例

1、一堆鐵制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六邊形邊長12mm，內空直徑10mm，高10mm，估

3算這堆螺帽多少個？（鐵的密度7.8g/cm）

討論：六角螺帽的幾何結構特征？ → 如何求其體積？ → 利用哪些數量關系求個數？

→ 列式計算 → 小結：體積計算公式

② 練習：將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形容器中，量得水面高度為6cm；若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形容器中，求水面的高度.三、鞏固練習：

1.把三棱錐的高分成三等分，過這些分點且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。

2、棱臺的兩個底面面積分別是245c㎡和80ｃ㎡，截得這個棱臺的棱錐的高為35cm，3求這個棱臺的體積。（答案：2325cm）

3.已知圓錐的側面積是底面積的2倍，它的軸截面的面積為4，求圓錐的體積.234.高為12cm的圓臺，它的中截面面積為225πcm,體積為2800cm，求它的側面積。

5.倉庫一角有谷一堆，呈1/4圓錐形，量得底面弧長2.8m，母線長2.2m，這堆谷多重？3720kg/m

四、小結：柱錐臺的體積公式及相關關系；公式實際運用

五、作業：P28 2、3題； P30習題 3題.課后記

第四篇：高中數學_1.3.1單調性與最值教案_新人教A版必修1 2

1.3.1 單調性與最值（3）

教學目標： 1.使學生理解函數最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；

2.使學生掌握函數最值與函數單調性的關系；

3.使學生掌握一些單調函數在給定區間上的最值的求法； 4.培養學生數形結合、辯證思維的能力；

5.養成細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣。

教學重點：函數最值的含義 教學難點：單調函數最值的求法 教學方法：講授法

1．函數最大值與最小值的含義

①定義：一般地，設函數y?f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數y?f(x)的最大值（maximum value）.②幾何意義：函數y?f(x)的最大值是圖象最高點的縱坐標。

思考：你能仿照函數最大值的定義，給出函數y?f(x)的最小值（minimum value）嗎？并說明幾何意義？

一般地，設函數y?f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：

（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；（2）存在x0?I，使得f(x0)?M。那么，我們稱M是函數y?f(x)的最小值（minimum value）.幾何意義：函數y?f(x)的最大值是圖象最低點的縱坐標。2．最值的求法

①配湊法：研究二次函數y?ax2?bx?c(a?0)的最大（小）值，若給定區間是(??,??)，先配b24ac?b24ac?b2方成y?a(x?)?后，當a?0時，函數取最小值為；當a?0時，函數取最大值。2a4a4a若給定區間是[a,b]，則必須先判斷函數在這個區間上的單調性，然后再求最值（見下列例題）。（此處順帶說出求值域的方法——配方法）

②單調法：一些函數的單調性，比較容易觀察出來，或者可以先證明出函數的單調性，再利用函數的單調性求函數的最大值或最小值.③數形結合法：先作出其函數圖象后，然后觀察圖象得到函數的最大值或最小值.3．例題分析（講解最值求解方法時帶出值域）

例1．教材第30頁例題3。

用心

愛心

專心 例2．

1、求函數y?x2?1在下列各區間上的最值：

（1）(??,??)（2）[1，4]（3）[?6,?2]（4）[?2,2]（5）[?2,4]

6的最大值.2x?x?166133?8.解：配方為y?，由(x?)2??，得0?123123244(x?)?(x?)?2424

2、求函數y?例3．求函數y?2在區間[2，6]上的最大值和最小值（教材第31頁例4）。x?1 分析：先判定函數在區間[2，6]上的單調性，然后再求最大值和最小值。變式：若區間為[?6,?2]呢？

例4.求下列函數的最大值和最小值：

53（1）y?3?2x?x2,x?[?,]；（2）y?|x?1|?|x?2|.22b解：（1）二次函數y?3?2x?x2的對稱軸為x??，即x??1.2a39畫出函數的圖象，由圖可知，當x??1時，ymax?4； 當x?時，ymin??.24953所以函數y?3?2x?x2,x?[?,]的最大值為4,最小值為?.422?3(x?2)?（2）y?|x?1|?|x?2|??2x?1(?1?x?2).???3(x??1)作出函數的圖象，由圖可知，y?[?3,3].所以函數的最大值為3, 最小值為-3.點評：二次函數在閉區間上的最大值或最小值，常根據閉區間與對稱軸的關系，結合圖象進行分析.含絕對值的函數，常分零點討論去絕對值，轉化為分段函數進行研究.分段函數的圖象注意分段作出.直接觀察得到。隨堂鞏固：

1、指出下列函數圖象的最高點或最低點，→ 能體現函數值有什么特征？ f(x)??2x?3，f(x)??2x?3 x?[?1,2]；f(x)?x2?2x?1，f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

2在區間[2，4]上的最大值，最小值是（）x111111A．

1、B.、1 C.、D.、2224422、函數y?3函數4若0f(x)?1?x(11?x)的最大值

?t?14，那么1?tt的最小值 用心

愛心

專心

5、函數y?x?1?x?1的最大值是

能力提升

1已知f(x)?

2已知函數x?1,x?[3,5]函數，求函數的最大值和最小值。x?2f(x)?x2?2ax?2,x?[?5,5]

（1）當a??1時，求f(x)的最值-5,37.（2）求實數a的取值范圍，使y?f(x)在x?[?5,5]上的單調函數a??5或?5

x2?2x?a3已知函數f(x)?，若對任意x?[1,??)，f(x)?0恒成立，試求實數a的取x值范圍 a??3

用心

愛心

專心 3

第五篇：高中數學 (4.1.2 圓的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圓的一般方程

整體設計

教學分析

教材通過將二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化為D2F2D2?E2?4F222222(x+)+(y+)=后只需討論D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.與圓的224DE122標準方程比較可知D+E-4F＞0時,表示以(-,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的222DDEE22圓；當D+E-4F=0時,方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);當

2222D+E-4F＜0時,方程沒有實數解,因而它不表示任何圖形.22 從而得出圓的一般方程的特點：(1)x和y的系數相同,不等于0；(2)沒有x·y這樣的2222二次項；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時滿足才是充要條件.222 同圓的標準方程(x－a)＋(y－b)=r含有三個待定系數a、b、r一樣,圓的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三個待定系數D、E、F,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓.同樣可以用待定系數法求得圓的一般方程.在實際問題中,究竟使用圓的標準方程還是使用圓的一般方程更好呢？應根據具體問題確定.圓的標準方程的特點是明確指出了圓心的坐標和圓的半徑,因此,對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題,一般采用圓的標準方程.如果已知條件和圓心坐標、圓的半徑都無直接關系,通常采用圓的一般方程；有時兩種方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式,這是因為它可避免解三元二次方程組.圓的標準方程的優點在于明確直觀地指出圓心坐標和半徑的長.我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關性質和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優點,在教學過程中,應當使學生熟練地掌握圓的標準方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標準方程,從而求出圓心坐標和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標準方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標

1.在掌握圓的標準方程的基礎上,理解記憶圓的一般方程的代數特征,由圓的一般方程確定

2222圓的圓心、半徑.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件,通過對方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究,培養學生探索發現及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數法和軌跡法求圓的方程,同時滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法,提高學生的整體素質,激勵學生創新,勇于探索,培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力.重點難點 教學重點：圓的一般方程的代數特征,一般方程與標準方程間的互化,根據已知條件確定方程中的系數D、E、F.教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用.課時安排 1課時

教學過程 22導入新課

思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程.②學生練習:將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程展開并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式.22④能不能說方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進新課 新知探究 提出問題

①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法? ②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢? 22③給出式子x+y+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r與x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.⑤對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點? 討論結果：①以前學習過直線,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學習一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、…)展開整理而得到的.②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程,把標準形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.D2E2D2?E2?4F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r＜0時不表示任何圖形.222D2E2D2?E2?4F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的圓； 222DDEE22(ⅱ)當D+E-4F=0時,方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);

2222(ⅰ)當D+E-4F＞0時,表示以(-22(ⅲ)當D+E-4F＜0時,方程沒有實數解,因而它不表示任何圖形.22 綜上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當D+E-4F＞

22220時,它表示的曲線才是圓.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D+E-4F＞0.22 我們把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.⑤圓的一般方程形式上的特點: 22 x和y的系數相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項.圓的一般方程中有三個待定的系數D、E、F,因此只要求出這三個系數,圓的方程就確定22了.與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯.應用示例

思路1

例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標為((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半徑為； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圓的方程.2222點評:對于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用條件D+E-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓練

求下列圓的半徑和圓心坐標：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圓心坐標為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標.22解:方法一：設所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有

?F?0.? ?D?E?F?2?0,?4D?2E?F?20?0.?解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圓的方程為x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點E（1153,),M1M2的中點F(,), 222211再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-)，22②

?x?y?1,?x?4,聯立①②得?得?則點P的坐標為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.3x?y?9,y??3.??方法三：設所求圓的圓心坐標為P(a,b),根據圓的性質可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設所求圓的方程為(x－a)＋(y－b)=r,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程,可以得到關于a、b、r的方程組,即

222?(1?a)2?(1?b)2?r2,?222 ?a?b?r,?(4?a)2?(2?b)2?r2.??a?4,?222解此方程組得?b??3,所以所求圓的方程為(x－4)＋(y+3)=5,圓心坐標為(4,-3),半徑為?r?5.?5.點評：請同學們比較,關于何時設圓的標準方程,何時設圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系,往往設圓的一般方程.22例3 已知點P(10,0),Q為圓x+y=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.圖1 解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N, 則N為OP的中點,即N(5,0).因為|MN|=1|OQ|=2(定長).2

22所以所求點M的軌跡方程為(x-5)+y=4.點評:用直接法求軌跡方程的關鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉移法就是一種很重要的方法.用轉移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.解法二:設M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).?10?x0x?,????x0?2x?10.2因為M是PQ的中點,所以?(*)即??y?0?y0,??y0?2y.?2?又因為Q(x0,y0)在圓x+y=16上,所以x0+y0=16.將(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的軌跡方程為(x-5)+y=4.點評:相關點法步驟:①設被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).2

2②求出點M與點Q坐標間的關系???x?f1(x0,y0),(Ⅰ)

??y?f2(x0,y0).)

中

解

出③從(Ⅰ

??x0?g1(x,y), ???y0?g2(x,y).(Ⅱ)④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關點法,以后要注意運用.變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)+y=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.解:設點M的坐標是(x,y), 點A的坐標是(x0,y0).由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=

x0?4y?3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因為點A在圓(x+1)+y=4上運動,所以點A的坐標滿足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以點M的軌跡是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)為圓心,半徑長為1的圓.22思路2

2222例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.活動:學生審題,教師引導,強調應注意的問題,根據題目特點分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點可求,圓心在一直線上,所以應先求交點再設圓的標準方程.22??x?y?2x?10y?24?0,解:解兩圓方程組成的方程組?2得兩圓交點為(0,2),(-4,0).2??x?y?2x?2y?8?0.設所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,因為兩點在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組

222?(?4?a)2?b2?r2,?222?a?(2?b)?r, ?a?b?0.?解得a=-3,b=3,r=10.故所求圓的方程為(x+3)+(y-3)=10.2

2點評：由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.22設所求的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有?1?D?F?0,?222?3?3D?F?0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x+y-4x+4y+3=0.?(?1)2?E?F?0.?解法二:利用圓的標準方程.由題意該圓經過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222設圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.22因為|PC|=|RC|,所以(a?1)?b?a2?(b?1)2.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圓的方程為(x-2)+(y+2)=5.例3 試求圓C:x+y-x+2y=0關于直線l:x-y+1=0對稱的曲線C′的方程.活動：學生先思考,然后解答,教師引導學生抓住本質的東西,即圓的圓心坐標變化、半徑不變,另外可利用相關點法來求.解法一:設P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點,P′關于l的對稱點為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.22由題意可得

?x?x0y?y0??1?0,?2?2??y?y0?1??1,??x?x0解得

??x0?y?1, ???y0?x?1.(*)

22因為P(x0,y0)在圓C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.將(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化簡得x+y+4x-3y+5=0,即為C′的方程.解法二:(特殊對稱)圓C關于直線l的對稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即13,-1)關于直線l:x-y+1=0的對稱點C′(-2,),因此所求圓C′的方程為223252(x+2)+(y-)=.24求(點評：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質解題往往較簡單.知能訓練

課本練習1、2、3.拓展提升

22問題：已知圓x+y-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PR⊥QR,求實數m的值.解:設P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22??x?y?x?8y?m?0,2由?消去y得5x+4m-60=0.① ??x?2y?6?0.由題意,方程①有兩個不等的實數根,所以60-4m＞0,m＜15.?x1?x2?0,?由韋達定理? 4?x1x2?m?12.5?因為PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因為y1=3-

y1?1y2?1=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ?x1?1x2?1x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=3?2,所以y1y2=(3-1)(3?2)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,適合m＜15.所以實數m的值為10.課堂小結

22221.任何一個圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D+E-4F＞0時,方程表示圓心為(-r=

2DE,-),半徑為

2212D2?E2?4F的圓.2.求圓的方程,應根據條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關,則宜用標準方程；若條件主要是圓所經過的點的坐標,則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法.作業

習題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設計感想

這是一節介紹新知識的課,而且這節課還非常有利于展現知識的形成過程.因此,在設計這節課時,力求“過程、結論并重；知識、能力、思想方法并重”.在展現知識的形成過程中,盡量避免學生被動接受,引導學生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進行回顧、類比,學生從中領會探求方法；另一方面,“把標準方程展開→認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法.同時,通過

22類比進行條件的探求——“D+E－4F”與“Δ”(判別式)類比.在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”,并用它探求新知識.這樣的過程,既是學生獲得新知識的過程,更是培養學生能力的過程.