第一篇：高中數學 2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征(2課時)教案 新人教B版必修3

２.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征(2課時)教學目標： 知識與技能

（1）正確理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差。

（2）能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋。

（3）會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征。（4）形成對數據處理過程進行初步評價的意識。過程與方法

在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。

情感態度與價值觀

會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統計的作用，能夠辨證地理解數學知識與現實世界的聯系。

重點與難點

重點：用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差。難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。教學設想

【創設情境】

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規律，我們要通過樣本的數據對總體的數字特征進行研究。--用樣本的數字特征估計總體的數字特征（板出課題）。【探究新知】

<一>、眾數、中位數、平均數 〖探究〗：P62

（1）怎樣將各個樣本數據匯總為一個數值，并使它成為樣本數據的“中心點”？（2）能否用一個數值來描寫樣本數據的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統計知識，思考后展開討論）

初中我們曾經學過眾數，中位數，平均數等各種數字特征，應當說，這些數字都能夠為我們提供關于樣本數據的特征信息。例如前面一節在調查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是2.25t（最高的矩形的中點）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數比月均用水量為其他值的居民數多，但它并沒有告訴我們到底多多少。〖提問〗：請大家翻回到課本第56頁看看原來抽樣的數據，有沒有2.25 這個數值呢？根據眾數的定義，2.25怎么會是眾數呢？為什么？（請大家思考作答）

分析：這是因為樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失的原因，而2.25是由樣本數據的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

〖提問〗：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數呢？

分析：在樣本數據中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位

從標準差的定義和計算公式都可以得出：s?0。當s?0時，意味著所有的樣本數據都等于樣本平均數。

（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學生簡單的介紹一下利用計算機來計算標準差的方法。）

２．方差

2s從數學的角度考慮，人們有時用標準差的平方（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數據分散程度的工具：

在刻畫樣本數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。【例題精析】

〖例1〗：畫出下列四組樣本數據的直方圖，說明他們的異同點。(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數據的直方圖，根據樣本數據算出樣本數據的平均數，利用標準差的計算公式即可算出每一組數據的標準差。解：（圖略，可查閱課本Ｐ６８）

四組數據的平均數都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數，但他們有不同的標準差，說明數據的分散程度是不一樣的。〖例2〗：（見課本Ｐ６９）

分析： 比較兩個人的生產質量，只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數與標準差的大小即可，根據用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數據，然后比較這兩個樣本數據的平均數、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。【課堂精練】

P７１ 練習1.2.3 ４ 【課堂小結】

1． 用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：

（１）用樣本平均數估計總體平均數。

（２）用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。2．平均數對數據有“取齊”的作用，代表一組數據的平均水平。

3． 標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小，反映了一組數據變化的幅度。【評價設計】

1．P７２習題2.2 A組 ３、４、１０

第二篇：高中數學 2.2.2 用樣本的數字特征估計總體的數字特征教案 新人教A版必修3

2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征

一、教學目標： 知識與技能

（1）正確理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據的標準差。

（2）能根據實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差），并做出合理的解釋。

（3）會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征。（4）形成對數據處理過程進行初步評價的意識。過程與方法

在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法。情感態度與價值觀

會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題，認識統計的作用，能夠辨證地理解數學知識與現實世界的聯系。

二、教學重點與難點

重點：用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差。難點：能應用相關知識解決簡單的實際問題。

三、教學過程

（一）創設情境，引入新課

在一次射擊比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規律，我們要通過樣本的數據對總體的數字特征進行研究。——用樣本的數字特征估計總體的數字特征（板出課題）。

（二）研探新知

1、眾數、中位數、平均數 探究：P74（1）怎樣將各個樣本數據匯總為一個數值，并使它成為樣本數據的“中心點”？

（2）能否用一個數值來描寫樣本數據的離散程度？（讓學生回憶初中所學的一些統計知識，思考后展開討論）

初中我們曾經學過眾數，中位數，平均數等各種數字特征，應當說，這些數字都能夠為我們提供關于樣本數據的特征信息。例如前面一節在調查100位居民的月均用水量的問題中，從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數是2.25t（最高的矩形的中點）（圖略見課本第62頁）它告訴我們，該市的月均用水量為2.25t的居民數比月均用水量為其他值的居民數多，但它并沒有告訴我們到底多多少。

提出問題：原來抽樣的數據，有沒有2.25 這個數值呢？根據眾數的定義，2.25怎么會是眾數呢？為什么？（請大家思考作答）

分析：這是因為樣本數據的頻率分布直方圖把原始的一些數據給遺失的原因，而2.25是由樣本數據的頻率分布直方圖得來的，所以存在一些偏差。

提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數呢？

分析：在樣本數據中，有50%的個體小于或等于中位數，也有50%的個體大于或等于中位數。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數左邊和右邊的直方圖的面積應該相等。由此可以估計出中位數的值為2.02。思考：2.02這個中位數的估計值，與樣本的中位數值2.0不一樣，你能解釋其中的原因嗎？

（課本75頁圖2.2-6）顯示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t左右），但是也有少數居民的月均用水量特別高，顯然，對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的。

思考：中位數不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優點，但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學生討論，并舉例）

2、標準差、方差（１）標準差

平均數為我們提供了樣本數據的重要信息，可是，有時平均數也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區的統計顯示，該地區的中學生的平均身高為１７６㎝，給我們的印象是該地區的中學生生長發育好，身高較高。但是，假如這個平均數是從五十萬名中學生抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話，那么，這個平均數就不能代表該地區所有中學生的身體素質。因此，只有平均數難以概括樣本數據的實際狀態。

例如，在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次，命中環數如下﹕ 甲運動員﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙運動員﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數據，你能判斷哪個運動員發揮的更穩定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？

我們知道，x甲?7，x乙?7。

兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察Ｐ78圖２.２-８）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數據。

考察樣本數據的分散程度的大小，最常用的統計量是標準差。標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示。

樣本數據x1,x2,?,xn的標準差的算法：（１）、算出樣本數據的平均數x。

（２）、算出每個樣本數據與樣本數據平均數的差：xi?x(i?1,2,?n)（３）、算出（２）中xi?x(i?1,2,?n)的平方。

（４）、算出（３）中n個平方數的平均數，即為樣本方差。（５）、算出（４）中平均數的算術平方根，即為樣本標準差。其計算公式為：

s?

顯然，標準差較大，數據的離散程度較大；標準差較小，數據的離散程度較小。提出問題：標準差的取值范圍是什么？標準差為０的樣本數據有什么特點？ 1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]n從標準差的定義和計算公式都可以得出：s?0。當s?0時，意味著所有的樣本數據都等于樣本平均數。（２）．方差

從數學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s（即方差）來代替標準差，作為測量樣本數據分散程度的工具：

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n

在刻畫樣本數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差。

（三）典例精析

例1：畫出下列四組樣本數據的直方圖，說明他們的異同點。

(1)５，５，５，５，５，５，５，５，５(2)４，４，４，５，５，５，６，６，６(3)３，３，４，４，５，６，６，７，７(４)２，２，２，２，５，８，８，８，８

分析：先畫出數據的直方圖，根據樣本數據算出樣本數據的平均數，利用標準差的計算公式即可算出每一組數據的標準差。

解：四組數據的平均數都是５.０，標準差分別為：０.００，０.８２，１.４９，２.８３。他們有相同的平均數，但他們有不同的標準差，說明數據的分散程度是不一樣的。例2：（見課本Ｐ80）

分析： 比較兩個人的生產質量，只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數與標準差的大小即可，根據用樣本估計總體的思想，我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數據，然后比較這兩個樣本數據的平均數、標準差，以此作為兩個總體之間的差異的估計值。

（四）課堂練習：P82練習1.2.3 ４

（五）課堂小結

1、用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：（1）用樣本平均數估計總體平均數。

（2）用樣本標準差估計總體標準差。樣本容量越大，估計就越精確。

2、平均數對數據有“取齊”的作用，代表一組數據的平均水平。

3、標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小，反映了一組數據變化的幅度。

（六）、布置作業： P84習題2.2 A組 ３、４、１０

四、課后反思

第三篇：用樣本的數字特征估計總體的數字特征反思

《用樣本的數字特征估計總體的數字特征》教學反思

上課前我認真研讀了教學大綱和課本，對統計這一部分知識有整體的認識，在此基礎上作了近年的高考題，并了解了學生的學習情況，認真準備了本節課。總的來說今天課堂上，不但發展了學生的智力因素，提高了學生在課堂40分鐘的學習效率，出色地完成教學任務。我從以下幾方面總結：

1、自身教學方面

通過自身努力，不斷用問題引導學生在知識、能力、技能、心理、思想品德等方面達到預定的目標，以提高學生的綜合素質。上課時目標展示速度合適，學生對整節課的學習內容有了整體把握；探究新知識時語速有點快；在學生練習時計算速度稍慢；對學生的回答都作出了評價，并且以鼓勵為主。

2、學生情況方面

學生回答問題時不夠踴躍；我設計了一個探究環節及4個練習題，探究時感覺學生聲音不大，討論不太熱烈。學生對知識掌握的還可以，通過小測和平時的做題可以看出學生掌握的還不錯。對學生在課堂上的表現，要及時加以總結，適當給予鼓勵，并處理好課堂的偶發事件，及時調整課堂教學。在教學過程中，教師要隨時了解學的對所講內容的掌握情況。如在講完一個概念后，讓學生復述；講完一個例題后，將解答擦掉，請中等水平學生上臺板演。有時，對于基礎差的學生，可以對他們多提問，讓他們有較多的鍛煉機會，同時教師根據學生的表現，及時進行鼓勵，培養他們的自信心，讓他們能熱愛數學，學習數學。

3、在內容方面上

總的說整堂課進行的比較順利，也圓滿完成了本堂課的三個教學目標，學生接受的也沒問題；在知識上沒有知識體系的遺漏，并且關鍵的地方都有師生討論，去發現問題，去解決問題，掌握知識關鍵點在哪里。

4、我自身存在的不足

首先在教學方式：以后采用以學生為本，自主學習，自主探究，互幫互助，自己解決問題；真正意義上放手讓學生自己學，教師少講；此外，我們還可以結合課堂內容，靈活采用談話、讀書指導、作業、練習等多種教學方法。其次，為了讓學生明確本堂課的重點、難點，教師在上課開始時，可以在黑板的一角將這些內容簡短地寫出來，以便引起學生的重視。教師要通過聲音、手勢、板書等的變化或應用模型、投影儀等直觀教具，刺激學生的大腦，使學生能夠興奮起來，適當地還可以插入與此類知識有關的笑話，對所學內容在大腦中刻下強烈的印象，激發學生的學習興趣，提高學生對新知識的接受能力。再次多創設情景，像今天的課堂這樣多舉身邊的例子，多舉與生活息息相關的例子，激發他們的積極性，激發他們的興趣。

第四篇：高中數學第一章統計1.5.2估計總體的數字特征教案

5.2 估計總體的數字特征

整體設計

教學分析

教科書通過現實生活的例子,引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的,還需要描述樣本數據離散程度的特征.通過對如何描述數據離散程度的探索,使學生體驗創造性思維的過程.三維目標

1.正確理解樣本數據標準差的意義和作用,學會計算數據的標準差；能根據實際問題的需要合理地選取樣本,從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差）,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，形成對數據處理過程進行初步評價的意識.2.在解決統計問題的過程中,進一步體會用樣本估計總體的思想,理解數形結合的數學思想和邏輯推理的數學方法；會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題,認識統計的作用,能夠辯證地理解數學知識與現實世界的聯系.重點難點

教學重點：根據實際問題從樣本數據中提取基本的數字特征并作出合理解釋,估計總體的基本數字特征；體會樣本數字特征具有隨機性.教學難點：用樣本平均數和標準差估計總體的平均數與標準差；能應用相關知識解決簡單的實際問題.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.平均數為我們提供了樣本數據的重要信息,但是,有時平均數也會使我們作出對總體的片面判斷.某地區的統計顯示,該地區的中學生的平均身高為176 cm,給我們的印象是該地區的中學生生長發育好,身高較高.但是,假如這個平均數是從五十萬名中學生中抽出的五十名身高較高的學生計算出來的話,那么,這個平均數就不能代表該地區所有中學生的身體素質.因此,只有平均數難以概括樣本數據的實際狀態.所以我們學習從另外的角度來考察樣本數據的統計量——標準差.(教師板書課題)思路2.在一次射擊選拔比賽中,甲、乙兩名運動員各射擊10次,命中環數如下： 甲運動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4;乙運動員：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.我們知道x甲=7，x乙=7,兩個人射擊的平均成績是一樣的,那么,是否兩個人就沒有水平差距呢？

圖1 從圖1直觀上看,還是有差異的.很明顯,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,因此這 節課我們從另外的角度來考察這兩組數據,引入課題：標準差.推進新課 新知探究 提出問題

(1)如何通過頻率分布直方圖估計數字特征（中位數、眾數、平均數）？

2(2)有甲、乙兩種鋼筋,現從中各抽取一個標本（如下表）檢查它們的抗拉強度（單位：kg/mm）,通過計算發現,兩個樣本的平均數均為125.甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質量較好？

(3)某種子公司為了在當地推行兩種新水稻品種,對甲、乙兩種水稻進行了連續7年的種植對比實驗,年畝產量分別如下：(千克)甲：600, 880, 880, 620, 960, 570, 900(平均773);乙：800, 860, 850, 750, 750, 800, 700(平均787).請你用所學統計學的知識,說明選擇哪種品種推廣更好?(4)全面建設小康社會是我們黨和政府的工作重心,某市按當地物價水平計算,人均年收入達到1.5萬元的家庭即達到小康生活水平.民政局對該市100戶家庭進行調查統計,它們的人均收入達到了1.6萬元,民政局即宣布該市民生活水平已達到小康水平,你認為這樣的結論是否符合實際?(5)如何考查樣本數據的離散程度的大小呢?把數據在坐標系中刻畫出來,是否能直觀地判斷數據的離散程度? 討論結果：

(1)利用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數：

估計眾數：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數字（最高矩形的中點）.估計中位數：中位數把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等.估計平均數：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.(2)

圖2 由圖2可以看出,乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110,乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135,這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩定.我們把一組數據的最大值與最小值的差稱為極差（range）.由上圖可以看出,乙的極差較大,數據點較分散；甲的極差小,數據點較集中,這說明甲比乙穩定.運用極差對兩組數據進行比較,操作簡單方便,但如果兩組數據的集中程度差異不大時,就不容易得出結論.(3)選擇的依據應該是,產量高且穩產的品種,所以選擇乙更為合理.(4)不符合實際.樣本太小,沒有代表性.若樣本里有個別高收入者與多數低收入者差別太大.在統計學里,對統計數據的分析,需要結合實際,側重于考察總體的相關數據特征.比如,市民平均收入問題,都是考察數據的離散程度.(5)把問題(3)中的數據在坐標系中刻畫出來.我們可以很直觀地知道,乙組數據比甲組數據更集中在平均數的附近,即乙的離散程度小, 如何用數字去刻畫這種離散程度呢? 考察樣本數據的離散程度的大小,最常用的統計量是方差和標準差.標準差：

考察樣本數據的離散程度的大小,最常用的統計量是標準差(standard deviation).標準差是樣本數據到平均數的一種平均距離,一般用s表示.所謂“平均距離”,其含義可作如下理解：

假設樣本數據是x1,x2,?,xn,x表示這組數據的平均數.xi到x的距離是 |xi?x|(i=1,2,?,n).于是,樣本數據x1,x2,?,xn到x的“平均距離”是 s=|x1?x|?|x2?x|???|xn?x|.n由于上式含有絕對值,運算不太方便,因此,通常改用如下公式來計算標準差： s=1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2].n意義：標準差用來表示穩定性,標準差越大,數據的離散程度就越大,也就越不穩定;標準差越小,數據的離散程度就越小,也就越穩定.從標準差的定義可以看出,標準差s≥0,當s=0時,意味著所有的樣本數據都等于樣本平均數.標準差還可以用于對樣本數據的另外一種解釋.例如, 在關于居民月均用水量的例子中,平均數x=1.973，標準差s=0.868，所以 x+s=2.841,x+2s=3.709； x-s=1.105,x-2s=0.237.這100個數據中，在區間［x-2s,x+2s］=［0.237,3.709］外的只有4個，也就是說，［x-2s,x+2s］幾乎包含了所有樣本數據.2從數學的角度考慮，人們有時用標準差的平方s——方差來代替標準差，作為測量樣本數據離散程度的工具,其中s=

21222

［(x1-x)+(x2-x)+?+(xn-x)］.n顯然，在刻畫樣本數據的離散程度上，方差與標準差是一樣的.但在解決實際問題時，一般多采用標準差.需要指出的是,現實中的總體所包含的個體數往往是很多的,總體的平均數與標準差是不知道的.如何求得總體的平均數和標準差呢?通常的做法是用樣本的平均數和標準差去估計總體的平均數與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.兩者都是描述一組數據圍繞平均數波動的大小,實際應用中比較廣泛的是標準差.應用示例

思路1 例1 畫出下列四組樣本數據的條形圖,說明它們的異同點.(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.分析：先畫出數據的條形圖,根據樣本數據算出樣本數據的平均數,利用標準差的計算公式即 可算出每一組數據的標準差.解：四組樣本數據的條形圖如圖3：

圖3 四組數據的平均數都是5.０,標準差分別是：0.00,0.82,1.49,2.83.它們有相同的平均數,但它們有不同的標準差,說明數據的離散程度是不一樣的.例2 甲、乙兩人同時生產內徑為25.40 mm的一種零件.為了對兩人的生產質量進行評比,從他們生產的零件中各抽出20件,量得其內徑尺寸如下(單位：mm)： 甲

25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙

25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 從生產的零件內徑的尺寸看，誰生產的質量較高? 分析：每一個工人生產的所有零件的內徑尺寸組成一個總體.由于零件的生產標準已經給出(內徑25.40 mm),生產質量可以從總體的平均數與標準差兩個角度來衡量.總體的平均數與內徑標準尺寸25.40 mm的差異大時質量低,差異小時質量高;當總體的平均數與標準尺寸很接近時,總體的標準差小的時候質量高,標準差大的時候質量低.這樣,比較兩人的生產質量,只要比較他們所生產的零件內徑尺寸所組成的兩個總體的平均數與標準差的大小即可.但是,這兩個總體的平均數與標準差都是不知道的,根據用樣本估計總體的思想,我們可以通過抽樣分別獲得相應的樣本數據,然后比較這兩個樣本的平均數、標準差,以此作為兩個總體之間差異的估計值.解：用計算器計算可得x甲≈25.401,x乙≈25.406;s甲≈0.037,s乙≈0.068.從樣本平均數看,甲生產的零件內徑比乙的更接近內徑標準(25.40 mm),但是差異很小;從樣本標準差看,由于s甲

某地區全體九年級的3 000名學生參加了一次科學測試,為了估計學生的成績,從不同學校的不同程度的學生中抽取了100名學生的成績如下：

100分12人,90分30人,80分18人,70分24人,60分12人,50分4人.請根據以上數據估計該地區3 000名學生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格）.解：運用計算器計算得：

100?12?90?30?80?18?70?24?60?12?50?4=79.40，100(12+30+18+24+12)÷100=96%，所以樣本的平均分是79.40分,合格率是96%,由此來估計總體3 000名學生的平均分是79.40分,合格率是96%.思路2

2例1 甲、乙兩種水稻試驗品種連續5年的平均單位面積產量如下（單位：t/hm）,試根據這組數據估計哪一種水稻品種的產量比較穩定.品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品種的樣本平均數為10,樣本方差為

22222［（9.8-10）+（9.9-10）+（10.1-10）+（10-10）+（10.2-10）］÷5=0.02.乙品種的樣本平均數也為10,樣本方差為

22222［（9.4-10）+（10.3-10）+（10.8-10）+（9.7-10）+（9.8-10）］÷5=0.24.因為0.24>0.02,所以,由這組數據可以認為甲種水稻的產量比較穩定.例2 為了保護學生的視力,教室內的日光燈在使用一段時間后必須更換.已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數如下,試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差.151—18181—21211—24241—27271—30301—33331—36361—39天數

0 0 0 0 0 0 0 0 燈泡數 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區間內的組中值作為相應日光燈的使用壽命,再求平均壽命.解：各組中值分別為165,195,225,255，285,315,345,375,由此算得平均數約為165×1%+195×11%

+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).這些組

中

值

2的方

2差為

11002

×［1×(165-268)+11×(195-268)+18×(225-268)+20×(255-268)+25 22222×(285-268)+16×(315-268)+7×(345-268)+2×(375-268)］=2 128.60(天).故所求的標準差約為2128.60≈46（天）.答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天.知能訓練（1）在一次歌手大獎賽上,七位評委為歌手打出的分數如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一個最高分和一個最低分后,所剩數據的平均值和方差分別為___________.2（2）若給定一組數據x1,x2,?,xn,方差為s,則ax1,ax2,?,axn的方差為___________.(3)在相同條件下對自行車運動員甲、乙兩人進行了6次測試,測得他們的最大速度(單位：m/s)的數據如下：

甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 試判斷選誰參加某項重大比賽更合適？

22答案：（1）9.5,0.016（2）as(3)x甲=33,x乙=33,s甲=

247237＞s乙=,乙的成績比甲穩定,應選乙參加比賽更合適.33拓展提升

某養魚專業戶在一個養魚池放入一批魚苗,一年以后準備出售,為了在出售以前估計賣掉魚后有多少收入,這個專業戶已經了解到市場的銷售價是每千克15元,請問,這個專業戶還應該了解什么？怎樣去了解？請你為他設計一個方案.解：這個專業戶應了解魚的總重量,可以先捕出一些魚（設有x條）,作上標記后放回魚塘,過一段時間再捕出一些魚（設有a條）,觀察其中帶有標記的魚的條數,作為一個樣本來估計總體,則a條魚中帶有標記的條數魚塘中所有帶有標記的魚的條數(x)?.a魚塘中魚的總條數 這樣就可以求得總條數,同時把第二次捕出的魚的平均重量求出來,就可以估計魚塘中的平均重量,進而估計全部魚的重量,最后估計出收入.課堂小結

1.用樣本的數字特征估計總體的數字特征分兩類：

用樣本平均數估計總體平均數,平均數對數據有“取齊”的作用,代表一組數據的平均水平.用樣本標準差估計總體標準差.樣本容量越大,估計就越精確,標準差描述一組數據圍繞平均數波動的大小,反映了一組數據變化的幅度.2.用樣本估計總體的兩個手段（用樣本的頻率分布估計總體的分布；用樣本的數字特征估計總體的數字特征）,需要從總體中抽取一個質量較高的樣本,才能不會產生較大的估計偏差,且樣本容量越大,估計的結果也就越精確.作業

習題1—5 3.設計感想

統計學科,最大的特點就是與現實生活的密切聯系,也是新教材的亮點.僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式,簡單模仿課本例題”來學習,是絕對不行的.用樣本估計總體時,如果抽樣的方法比較合理,那么樣本可以反映總體的信息,但從樣本得到的信息會有偏差,其原因在于樣本的隨機性.這種偏差是不可避免的.雖然我們從樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正分布、均值和標準差,而只是總體的一個估計,但這種估計是合理的,特別是當樣本的容量很大時,它們確實反映了總體的信息.教師建議：親身經歷“提出問題,收集數據,分析數據,并作出合理決策”過程,在此過程中不僅可以加深對概念等知識的深刻理解,更重要的是發展了思維,培養了分析及解決問題能力,同時在情感、意志等領域也得到了協調發展,這才是學校學習的科學而全面的目標,習題設置有層次,盡量源于教材,又高于教材,這也是高考命題原則.

第五篇：第2課時 用樣本平均數估計總體平均數(教案)

第2課時 用樣本平均數估計總體平均數

【知識與技能】

1.掌握頻數分布表（或頻數分布直方圖）中求這組數據的平均數的方法.2.理解并掌握用樣本平均數對總體進行估計的思想方法.【過程與方法】

經歷探究、思考、推理與計算的過程，進一步加深學生對加權平均數中的權的理解，體驗統計中的思維方式與數學思維方式的不同，加深用樣本對總體進行估計的思想認識.【情感態度】

進一步認識數學與人類生活的密切聯系，增強數學應用意識和能力，激發學數學的熱情.【教學重點】

頻數分布中的平均數的計算及用樣本平均數估計總體平均數的思想.【教學難點】

頻數分布表（或直方圖）中數據的確定及相應權的意義.一、情境導入，初步認識

問題 下表是某班學生右眼視力的檢查結果：

你能求出該班學生右眼視力的平均水平嗎？與同伴交流.二、思考探究，獲取新知

在求n個數的算術平均數時，如果x1出現f1次，x2出現f2次，…，xk出現fk次（這里f1+f2+…fk=n）,那么這n個數的算術平均數x?x1f1?x2f2??xkfk叫x1,x2…xk這k個

f1?f2??fk數的加權平均數，其中f1,f2,…,fk分別叫做x1,x2…,xk的權.探究 為了解5路公共汽車的營運情況，公交部門統計了某天5路公共汽車每個運行班次的載客量，得到下表：

這天5路公共汽車平均每班的載客量是多少？

【教學說明】老師提問后，先讓學生自主探究，相互交流，然后教師給予指導，說明在不知道原始數據情況下，可以利用組中值和頻數近似地計算一組數據的平均數.如在1≤x＜21情況下，有3個班次，那么這3個班次的平均數為

1?

21=11，從而可以估計2這天5路公共汽車的載客量在1≤x＜21情況下的總數為11×3=33人；類似地可得到這天5路公共汽車載客總量應約為11×3+31×5+51×20+71×22+91×18+111×15,因而平均每個班次的載客量約為

11?3?31?5?51?20?71?22?91?18?111?15?73人.3?5?20?22?18?15試一試 為了綠化環境，柳蔭街引進一批法國梧桐，三年后這些樹的樹干的周長情況如圖所示，計算這批法國梧桐樹干的平均周長（精確到0.1cm）.【教學說明】學生自主探究.關注學生能否確定各組數據的組中值，能不能根據組中值來求這批梧桐樹干的平均周長.三、典例精析，掌握新知

例

某燈泡廠為了測量一批燈泡的使用壽命，從中抽查了100只燈泡，它們的使用壽命如下表所示：

這批燈炮的平均使用壽命是多少？

【分析】我們知道，當所考察對象很多，或考察對象帶有破壞性時，統計中常常用樣本的特征對總體進行估計，來獲得對總體的認識，因而要想了解這批燈泡的平均使用壽命，可通過抽取的100只燈泡的平均使用壽命來對總體進行估計.這里的組中值應分別為800，1200，1600，2000，2400，它們的權依次為10，19，25，34，12，利用加權平均數可得到樣本的平均使用壽命，并可用它當作這批燈泡的平均使用壽命.【教學說明】教師與學生一道分析后，應讓學生感受到用樣本估計總體的思想.解答過程由學生自己完成.試一試 種菜能手李大叔種植了一批新品種黃瓜.為了考察這種黃瓜的生長情況，李大叔抽查了部分黃瓜株上長出的黃瓜根數，得到下面的條形圖.請估計這個新品種黃瓜平均每株結多少根黃瓜.四、師生互動，課堂小結 1.本節中利用加權平均數求一組數據的平均數與上節有哪些不同？你是如何理解的？

2.通過樣本的特征對總體進行估計的原因是什么？談談你的想法，并與同伴交流.1.布置作業：從教材“習題20.1”中選取.2.完成練習冊中本課時練習.上一課時的教學主要是對加權平均數的概念和求法以及內涵進行了探討.但在實際生活中，還需要注意根據統計圖求加權平均數的情況.所以本課時第一個內容是如何對一般條形統計圖和頻數分布表、頻數分布直方圖進行數據分析，求出加權平均數.第二個內容主要探討的是如何用樣本平均數估計總體平均數.在上述整個教學過程中，教師要注意向學生講解如何將“圖表”轉化為“數”，又為什么要用樣本平均數估計總體平均數.這樣學生在無形中更加深刻理解了“轉化”的重要性.