第一篇：高考數學函數單調性與最值試題選講
由蓮山課件提供http://www.tmdps.cn?n(n?1)?(n??x??1)x(x?1)?(x??x??1)??,x??1,???, 求當x??,3?時，函數C8x的值域
[解析](4,?3?216288338]?(,28]；當x?[,2)時，[x]?1，C8x?，因為函數u?在[,2)2x33x2上是減函數，得4?56816?；C8x?當x?[2,3)時，因為2?x(x?1)?6，[x]?2，x3x(x?1)由單調性得 28561628?3???28，故當x??,3?時，函數C8x的值域是(4,]?(,28]
333x(x?1)?2?由蓮山課件提供http://www.tmdps.cn/ 資源全部免費
第二篇：高一數學《函數的單調性與最值》第二課時教案
函數的單調性與最值
學習目標：
1.使學生理解函數的最值是在整個定義域上來研究的，它是函數單調性的應用。2.會用單調性求最值。
3.掌握基本函數的單調性及最值。知識重現
1、一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x?I，都有f(x)?M；
（2）存在x0?I,使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值（maximum value）
2、一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（3）對于任意的x?I，都有f(x)? M；（4）存在x0?I,使得f(x0)=M.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最小值（minimum value）理論遷移
例1 “菊花”煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂。如果煙花距地面的高度h米與時間t秒之間的關系為h(t)=-4.9t+14.7t+18,那么煙花沖出后什么1 時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少（精確到1米）？
例2 已知函數f(x)=
22(x?［2,6］),求函數的最大值和最小值。x?1歸納基本初等函數的單調性及最值
1.正比例函數：f(x)=kx(k?0)，當k?0時,f(x)在定義域R上為增函數；當k?0時,f(x)在定義域R上為減函數，在定義域R上不存在最值，在閉區間［a,b］上存在最值，當k?0時函數f(x)的最大值為f(b)=kb,最小值為f(a)=ka, 當k?0時, ,最大值為f(a)=ka，函數f(x)的最小值為f(b)=kb。2.反比例函數：f(x)=k(k?0)，在定義域（-?，0）?（0,+?）上無單調性，也不存在x最值。當k?0時，在（-?，0），（0,+?）為減函數；當k?0時，在（-?，0），（0,+?）
為增函數。在閉區間［a,b］上，存在最值，當k?0時函數f(x)的最小值為f(b)= 最大值為f(a)=
k,bkkk, 當k?0時, 函數f(x)的最小值為f(a)=，最大值為f(b)=。aab3.一次函數：f(x)=kx+b(k?0),在定義域R上不存在最值，當k?0時，f(x)為R上的增，當k?0時，f(x)為R上的減函數，在閉區間［m,n］上，存在最值，當k?0時函數f(x)的最小值為f(m)=km+b,最大值為f(n)=kn+b, 當k?0時, 函數f(x)的最小值為f(n)=kn+b，最大值為f(m)=km+b。4.二次函數：f(x)=ax+bx+c, 當a?0時，f(x)在（-?,-2bb）為減函數，在（-，+?）為增函數，在定義域R上
2a2ab4ac?b2有最小值f()=,無最大值。
2a4a當a?0時，f(x)在（-?,-
bb）為增函數，在（-，+?）為減函數，在定義域R上
2a2ab4ac?b2有最大值f()=,無最小值。
2a4a函數單調性的應用
1.利用函數的單調性比較函數值的大小
例1 如果函數f(x)=x+bx+c,對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),比較f(1)，f(2)，f(4)的大小。
例2 已知函數y=f(x)在［0,+?）上是減函數，試比較f（22
32)與f(a-a+1)的大小。42.利用函數的單調性解不等式
例3 已知f(x)是定義在R上的單調函數，且f(x)的圖像過點A(0,2),和點B(3,0)
（1）解方程 f(x)=f(1-x)
(2)解不等式 f(2x)?f(1+x)
(3)求適合f(x)?2或f(x)?0的x的取值范圍。
3．利用函數的單調性求參數的取值范圍
已知函數的單調性，求函數解析式中參數的范圍，是函數單調性的逆向思維問題。這類問題能夠加深對概念、性質的理解。
例3 已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-?，4）上是減函數，求實數a的取值范圍。
例4 已知A＝［1,b］(b?1),對于函數f(x)=求b的值。
練習：已知函數y=f(x)=-x+ax-
2212(x-1)+1,若f(x)的定義域和值域都為A，2a1+在區間[0,1]上的最大值為2,求實數a的值。
42求函數值域（最值）的一般方法
1.二次函數求最值，要注意數形結合
與二次函數有關的函數，可以用配方法求值域，但要注意函數的定義域。例1：求函數y=-x2?x?2的最大值和最小值。
例2：求f(x)=x-2ax+x2,x?［-1,1］,求f(x)的最小值g(a).4.利用單調性求值域：當函數圖像不好作或作不出來時，單調性成為求值域的首選方法。例3：求函數f(x)=2x在區間［2,5］上的最大值與最小值。x?
5.分段函數的最值問題
分段函數的最大值為各段上最大值的最大者，最小值為各段上最小值的最小者，故求分段函數函數的最大或最小值，應該先求各段上的最值，再比較即得函數的最大、最小值。
1?2x,(??x?1)??2例6：已知函數f(x)=? 求f(x)的最大最小值。
?1,(1?x?2)??x
第三篇：《函數的基本性質──單調性與最值》教學設計
《函數的基本性質──單調性與最值》
教學設計
一、內容和內容解析
函數思想是貫穿高中數學的一根主線，函數的基本性質又是函數一章的重點內容。一方面，它是對以前所學具體函數的一次總結，又是函數知識的一次拓展，對后續學習指、對數函數、三角函數有重要的指導作用。另一方面，函數的單調性與最大(小)值是初等數學與高等數學銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數的單調性與最大(小)值在解決實際問題中有著相當重要的作用。因此，函數單調性與最大(小)值的教學，在教材體系中有著不可替代的位置，又有著重要的現實意義。
函數的單調性最大(小)值是函數的重要性質之一，它是研究函數值與自變量變化的一種關系，既要求學生結合函數的圖象（直觀性）來研究函數單調性和最大(小)值，也要求學生利用函數單調性和最大(小)值的定義（嚴謹性）來研究函數單調性和最大(小)值。因此本節課的教學重點是函數的單調性與最大(小)值的概念及其幾何意義；判斷、證明函數單調性；求函數的最大(小)值，利用單調性和最大(小)值來解決實際問題，培養學生的函數思想，數形結合思想以及應用數學意識。
二、目標和目標解析
1、通過觀察一些函數圖象的特征，形成函數單調性的直觀認識。再通過具體函數值的大小比較，認識函數值隨自變量的增大（減小）的規律，由此得出函數單調性的定義。理解函數單調性的定義，能夠熟練應用定義判斷與證明函數在某區間上的單調性。
2、通過實例，使學生體會到函數的最大（小）值實際上是函數圖象的最高（低）點的縱坐標，因而借助函數圖象的直觀性可得出函數的最大（小）值，由此得出函數最大（小）值的定義。理解函數最值的定義，掌握求最值的基本方法和基本步驟，能解決相關實際問題。
3、利用函數的單調性和圖象求函數在閉區間上的最大（小）值，解決日常生活中的實際問題，增進對數學應用價值的認識，激發學習數學興趣與熱情。
4、學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用函數的性質來畫函數的圖象（草圖），培養學生數形結合的思想和應用數學意識。
5、函數單調性和最大（小）值的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。培養學生的探究能力和創新精神，體驗到思考與探索的樂趣，培養學生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的資源，培養學生良好的思維品質。
三、教學問題診斷分析
函數的單調性這一性質學生在初中曾經接觸過,但只是從圖象上直觀分析圖象的上升與下降，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，因此要在概念的形成上重點下功夫。在函數的單調性的概念教學中，學生往往在理解“任意兩個”、“都”這兩個詞的含義出現障礙，誤認為“有兩個”、“某兩個”，而教學中利用函數的圖象，舉一些反例加以理解鞏固。函數的單調性一定與某個區間相對應，而學生容易犯“某個函數單調遞增（減）函數”這一錯誤。“函數在（-∞，0）上y隨x增大而減少，在（0，+∞）上y隨x的增大而減少。”
在定義域內是減函數，即把兩個單調區間進行合并；分別在而學生容易錯誤理解函數區間上取兩個數-1和5，-1<5，而f(-1) 四、學習行為分析 學生在學習本節內容之前已經學習了函數的定義，表示法，圖象，也學習了一次函數，二次函數，反比例函數的函數值y與變量x之間的關系，特別是學習了二次函數的最大（小）值，這為理解函數的單調性和最大（小）值奠定了一定的基礎。但另一方面，以前對函數的單調性和最大（小）值的研究是一種定性的研究，側重于直觀的思維，而本節內容是要對函的最值，討論函數 （x>0）單調區間等具數單調性和最大（小）值的定量的研究，側重于邏輯思維能力，這給學生的學習帶來了較大的困難。因此，在教學過程中，多創設熟悉的問題情景：如在引課中利用建造一個長方形的花壇，構造熟悉的二次函數，上課中所舉例子都是一些常見的函數來加以落實。在定義教學中，多給學生思考問題的時間和空間，引導學生觀察，歸納，總結。特別利用數形結合，定性與定量相結合，盡量讓學生用數學語言來描述，以便于學生的理解和掌握。利用類比教學法：當介紹了增函數的定義之后，讓學生自己得出相應減函數的定義；當介紹了函數最大值的定義之后，讓學生自己得出函數最小值的定義；便于學生進一步加深對定義的理解。對于一些容易出錯的問題采取糾錯教學法：“函數上y隨x的增大而減少，則函數 在(-∞,0）上y隨x的增大而減少,在（0,+∞） 在定義域內是減函數”。“所有函數是否都有最大（小）值？”、“函數在相應的區間內是否一定有單調性？”。還有一些比較復雜的問題：“確定函數的單調區間”等問題讓學生去討論，去探究，教師積極引導，培養學生的自主探究能力。 五、教學支持條件分析 函數的單調性和函數的最大（小）值這一性質學生在初中接觸到過，但只側重于圖象上直觀分析，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，為了突破這一難點，充分發揮信息技術的輔助教學的功能。在概念教學中，首先利用多媒體技術畫出函數y=x，y=x2，y=x3相應的函數的圖象，然后在函數上取不同的點，由學生觀察函數的值y隨x的變化而變化的規律，化靜為動，化抽象為直觀，便于學生理解。對于概念中的一些關鍵字詞，比如 “任意”、“都”、“存在”在多媒體課件中用不同的顏色加以標明，便于學生加深印象。對于一些容易出錯的問題采取小組討論法，糾錯法。例如教師提出“討論函數的單調性”，讓學生分組討論，然后推薦代表發言。有學生會回答是“遞減函數”，理由是“圖形的形狀是下降”。也有同學會回答“不是單調函數”，理由是“因為x1=-1，x2=1時，x1 六、評價設計 《高中數學課程新標準》中提出：“對學生數學學習的評價，既要關注學生知識與技能的理解和掌握，更要關注他們情感與態度的形成與發展；既要關注學生數學學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發展。”根據新課程標準的要求，發展性評價的核心是關注學生的發展、促進學生的發展，實現評價發展性功能的一個重要舉措就是突出評價的過程性，評價將貫穿于教學的整個過程，將學生在數學學習活動過程中的全部情況都納入評價的范圍，而不只是評價學生的學習的結果。在本教學設計過程中，始終注重過程評價，注重評價的針對性，實效性。主要體現在三個方面：一是基礎知識掌握情況的評價。對函數的單調性和函數的最大（小）值的定義能否深刻的，全面的理解，特別是一些關鍵字詞，如“任意兩個”、“都”、“存在”的理解。舉出正面和反面的例子讓學生辨別，個別評價與集體評價相結合。二是基本技能掌握情況的評價。主要包括函數單調性判斷的基本方法（圖象法，定義法，復合函數法），如何選擇不同的方法。證明函數單調性的基本步驟和基本策略（主要是作差變形的策略），單調區間的確定。求最值的基本方法的掌握情況等。三是數學思想的落實和數學探究能力培養的評價。運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用函數的性質來畫函數的圖象（草圖），提升學生數形結合的思想。函數單調性和最大（小）值的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。讓學生真正參與到數學活動中來，讓學生真正成為學習的主人。（具體的教學評價見教學過程） 七、教學過程設計 設計環節 設計意圖 師生活動 教師提出問題： “問題是數學的心臟”，把問題作為出發點，為一．創設情境，導下一步提出探索性的出問題 問題創設有效的學習 學校準備建造一個長環境。 方形的花壇，周長設計為16米。由于受周圍地理位 置限制，其中一邊的長度既不能超過6米，又不能 少于1米。 二、借助信息技y=x，y=x，y=，y=x3 術，利用熟悉的函學生動手畫圖，個別板演，集體探討函數值與自變從形象、直觀的圖形入數，給出單調性直量之間的關系，教師適當引導。 手，為探索與思考問題觀認識。y=x在R上y隨x的增大而增大。 提供方向和“路標”，并 借機發展學生的動手y=x在(-∞,0)上y隨x的增大而減少，在(0,+∞)上y 實踐能力、創新能力、隨x的增大而增大。 和探索能力。y=在（-∞，0）上y隨x的增大而減少,在（0，+∞）上y隨x的增大而減少。 y=x3 在R上y隨x的增大而增大。 教師利用信息技術，動畫演示函數的圖象。 怎樣用數學語言表示y=x在R上y隨x的增大而增 大呢？（學生討論，教師引導，得出增函數的定 義）(學生不一定一下子答得比較完整，教師應抓住從定性描述到定量描時機予以啟發，糾正，補充)。述，從通俗的日常用語一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于屬于I到嚴謹的數學語言，讓內某個區間D上的任意兩個自變量值x1、x2,當x1 三、從定性到定會邏輯地、合理地思考量，引出單調性的問題。定義，并能深刻理 解定義的含義。 增函數(increasing function) 注意數形結合，定義是用類比的方法得出減函數的定義： 嚴謹的語言，圖象是直如果對于屬于I內某個區間D上的任意兩個自變量觀的語言，注意兩者有值x1、x2,當x1 1、建立面積y與一邊長x的函數關系式。 生：y=x(8-x)(1≤x≤6) 問 2、畫出上面函數的圖象。 問 3、指出y的值與x值的變化關系。以實際問題為背景、以生：當1≤x≤4時，y隨x值的增大而增大，學生熟悉的一元二次當4≤x≤6時，y隨x值的增大而減小。函數為入口點，激活學問 4、求出面積的最大值與最小值。生原有的認知，讓學生 生：當x=4時，Smax=16m；當x=1時，Smin=7m 對所要學的新知獲得感性的認識。引導學生解決，體會函數單調性與最大（小）值在實際中的應用。 請學生分別畫出下列函數的圖象，并探討函數值y與自變量x之間的關系： 利用類比方法，實現知識與能力的遷移 教師提出問題，讓學生 在自主探索，討論，在function)合作交流中，充分體現如果函數y=f(x)在某個區間D上是增函數或減函數。學生學習的主體性，對那么就說函說y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調概念進一步深入的領性，區間D叫做y= f(x)的單調區間.會。 1、“函數y=x2是單調遞增函數”這一說法對嗎？ 2、y=在（0,+∞）上是減函數，在(-∞,0)是減函數，能否說函數在整個定義域上是減函數？ 3、函數在某個區間是否一定具有單調性？ 4、如何理解定義中“任意”兩個字？ 1、教材例（1）p34講解：讓學生自己通看教材，例（1）是利用函數的學生提問，學生自行解決，師生共同總結： 圖象來判斷函數的單（1）單調性與端點無關。 調性，具有直觀性，也（2）判斷函數的基本方法-----圖象法。是常用方法。 2、教材例（2）p34講解：教師板演，師生共同總 結： 四、講解例題、鞏（1）判斷函數的基本方法-----定義法。 固知識，提高能（2）總結定義法證明單調性的基本步驟： 力。例（2）是利用單調性 1 任取x1，x2∈D，且x1 深對定義的理解。⑤下結論（指出函數f(x)在區間D上的單調性） 3、在解題中，根據題目的實際情況和具體要求，選擇適當的方法。 從熟悉，具體的二次函數入手，探討最大，最小值，讓學生有感性認 五、回歸引例，探識。 重新演示 討最大（小）值的 含義 引例函數的圖象及面積的最大值與最小值 分析上面圖象可以發現，函數y=x(8-x)(1≤x≤6)的 圖象上有一個最高點（4，16），任意的x∈［1,6］,用數學語言描述最大都有f(x)≤f(4),當一個函數f(x)有最高點，我們就說值，最小值。函數有最大值。有一個最低點（1，7），任意的x ∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),當一個函數f(x)有最低點，我們就說函數有最小值。而函數f(x)=x的圖象沒有 最高點也沒有最低點，所以函數f(x)=x沒有最大值，也沒有最小值。 得出函數最大值的定義： 從特殊到一般，揭示數一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實學通常的發現過程，便數M滿足： 于學生接受。⑴ 對于任意的x∈I,都有f(x)≤M； ⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值（maximum value）利用類比方法，實現知讓學生仿照最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小 六、歸納最大(小）識與能力的遷移 值的定義（minimum value）。值的定義，并加以 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實 說明，解釋 數M滿足： ⑴ 對于任意的x∈I,都有f(x)≥M； 教師提出問題，讓學生⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 在自主探索，討論，在那么，我們稱M是函數y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，對概念進value）一步深入的領會。 1、函數y=x、y=有沒有最值？ 2、如何理解定義中的“存在”“任意”的含義？ 3、以前求最值有哪些方法？ 例(3）、例(4)的教學采用自學導學法，按以下步驟 實施： 例(3)是學生熟悉的煙 1、學生通讀題目，理解題意 花問題，可轉化為二次 2、利用多媒體演示動畫，激發學生學習興趣。函數來解決，難度不 3、學生自學，相互討論，共同解決。大。 4、學生提問，教師答疑。 七、函數單調性、5、師生共同小結求最值的基本方法： 最大（小）值應用 （1）轉化為二次函數的最值問題。例(4)是單調性與最值①配方法 問題的綜合，具有一定②注意實際問題的條件限制。的難度。注意轉化為反（2）利用函數的單調性求最值------在閉區間上。比例函數，利用數形結①先證明在在閉區間上具有單調性。合。②端點值即為函數的最值。利用課堂練習鞏固所課堂練習： 學的知識內容，數學思課本第38頁練習 1、練習 2、練習 3、練習4。想，數學方法，以達到學生獨立思考與討論相結合，教師巡查，個別輔導 八、練習、交流、教學目標，本環節以個與 反饋、評價 別輔導為主，體現面對集體輔導相結合。全體學生的課改新理念。 九、課堂小結 通過學生自我小結，既知識小結： 充分發揮學生的主觀 1、函數單調性，最大（小）值的概念。 能動性，提高學生分 2、判斷函數單調性的基本方法。 十、布置作業 析，概括，綜合，抽象 3、用定義法判斷函數的基本步驟 能力，又有利于學生把 4、求最大（小）值的基本方法。新知融入自己已有的師生、生生互動： 知識體系。 1、你覺得本節課中印象最深的是什么？ 2、你覺得本節課中最大的困惑是什么？ 讓學生提問題，自行解決，教師適當補充。 溝通課內與課外，使學作業布置 生基礎性學力與發展 1、書面作業：課本P45習題1．3（A組）第1-5性學力協調發展，讓不題． 同學生得到不同的發 2、研究性作業：設f(x)是定義在R上的增函數，展。f(xy)=f(x)+f(y)，1）求f(0)、f(1)的值； 2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集 八、設計反思 在普通高中數學課程標準強調高中數學活動中的師生互動，明確指出“必須關注學生的主體參與，師生互動”進行在教師指導或引導下“數學化”過程，“再創造”過程。建構主義認為，知識是在原有知識的基礎上，在人與環境的相互作用過程中，通過同化和順應，使自身的認知結構得以轉換和發展。備課不只是對知識和教學內容的準備，也包括對學生、學情的分析和掌握.二者的和諧統一是提高教學效果的基本要求。發現、探究、講解、演練相結合教學法的確立，就是基于對學生認知基礎和認知規律的關注。 在整個的設計過程中，始終體現以學生為中心的教育理念。在學生已有的認知基礎上進行設問和引導，關注學生的認知過程。強調學生的品德、思維和心理等方面的發展。重視討論、交流和合作，重視探究問題的習慣的培養和養成。同時，考慮不同學生的個性差異和發展層次，使不同的學生都有發展，體現因材施教的原則。通過討論交流，進一步加深對概念的理解，完善認知結構，讓學生在“平衡－－不平衡－－新平衡”中不斷得到豐富和發展。通過討論交流，實現生生互助，豐富情感體驗；實現師生互助，活躍課堂氣氛。 第5課時函數單調性 第一部分知識梳理 1.增函數：設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1 數的定義可定義減函數.2.如果函數f(x)在某個區間D上是增函數或減函數，就說f(x)在這一區間上具有（嚴格的）單調性，區間D叫f(x)的單調區間.在單調區間上，增函數的圖象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數的圖象從左向右是下降的（如右圖2）.由此，可以直觀觀察函數圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數的單調區間及單調性.3.判斷單調性的步驟：設x1、x2∈給定區間，且x1 （1）f(x)= x從左至右圖象上升還是下降 ______? ○在區間 ____________ 上，隨著x的增 ○ 大，f(x)的值隨著 ________ ． （2）f(x)=-x+從左至右圖象上升還是下降 ______? ○在區間 ____________ 上，隨著x的增 ○ 大，f(x)的值隨著 ________ ．（3）f(x)= x 1在區間 ____________ 上，○ 2f(x)的值隨著x的增大而 ________ ．在區間 ____________ 上，f(x)的值隨 ○ 著x的增大而 ________ ． 【例2】如圖是定義在區間[－5，5]上的函數y=f(x)，根據圖象說出函數的單 調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？ 4.判斷函數單調性的方法步驟 利用定義證明函數f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟： ① 任取x1，x2∈D，且x1 ③變形（通常是因式分解和配方）； ④定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）； ⑤下結論（即指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）． 【例】 ① 證明函數y?x? ② 作出函數y =－x +2 | x | + 3的圖象并指出它的的單調區間 第二部分例題講解 【例1】試用函數單調性的定義判斷函數f(x)? 在（1，+∞）上為增函數 x 2x 在區間（0，1）上的單調性.x? 12x12x22(x2?x1) ??解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1?x2.則f(x1)?f(x2)?.x1?1x2?1(x1?1)(x2?1) 由于0?x1?x2?1，x1?1?0，x2?1?0，x2?x1?0，故f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2).2x 所以，函數f(x)?在（0，1）上是減函數.x?1 【例2】求二次函數f(x)?ax2?bx?c(a?0)的單調區間及單調性.解：設任意x1,x2?R，且x1?x2.則 f(x1)?f(x2)?(ax12?bx1?c)?(ax22?bx2?c)?a(x12?x22)?b(x1?x2)?(x1?x2)[a(x1?x2)?b].bb 若a?0，當x1?x2??時，有x1?x2?0，x1?x2??，即a(x1?x2)?b?0，從而f(x1)?f(x2)?0，2aa bb 即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在(??,?]上單調遞增.同理可得f(x)在[?,??)上單調遞減.2a2a 練習（1）證明：函數f?x??x2?1在?-3，0?上是減函數。 （1）求二次函數f?x??x2?4x?1的單調區間及單調性.第六課時 【例3】求下列函數的單調區間： （1）y?|x?1|?|2x?4|；（2）y??x2?2|x|?3.?3x?3,x?1 ? 解：（1）y?|x?1|?|2x?4|??x?5,?2?x?1，其圖象如右.??3x?3,x??2? 由圖可知，函數在[?2,??)上是增函數，在(??,?2]上是減函數.2??x?2x?3,x?0? （2）y??x2?2|x|?3??2，其圖象如右.???x?2x?3,x?0 由圖可知，函數在(??,?1]、[0,1]上是增函數，在[?1,0]、[1,??)上是減函數.點評：函數式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數式化為分段函數.第2小題也可以由偶函數的對稱性，先作y軸右側的圖象，并把y軸右側的圖象對折到左側，得到f(|x|)的圖象.由圖象研究單調性，關鍵在于正確作出函數圖象.3x? 1【例4】已知f(x)?，指出f(x)的單調區間.x?23(x?2)?5? 5解：∵ f(x)?，?3? x?2x?2?5 ∴ 把g(x)?的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單 x位，得到f(x)的圖象，如圖所示.由圖象得f(x)在(??,?2)單調遞增，在(?2,??)上單調遞增.點評：變形后結合平移知識，由平移變換得到一類分式函數的圖象.需知f(x?a)?b平移變換規律.第三部分 課堂練習 1．已知函數f(x)是??2,2?上的單調函數，若f(1)?2，f(?1)??2，則函數f(x)在??2,2?上是單調函數． 2． 如圖所示，該函數的單調增區間是：； 單調減區間是：． 3．下列函數在定義域上是單調增函數是（） （A）y?x2（B）y??（C）y?2x?3（D）y??x?1 x4．若函數y?(k?1)x在(??,??)上是減函數，則（）（A）k?1（B）k?1（C）k??1（D）k??1 5．函數y?x2?x?2在下列哪個區間上是的單調減函數（）（A）(0,??)（B）(??,0)（C）(1,??)（D）(??,1)6．求證：y?2x?4在R上是增函數． 7．如果函數y?x2?(a?1)x?1在區間??1,3?上為減函數，求實數a的取值范圍． 8． 試寫出函數y?x?1的單調區間． 9．已知函數f(x)?x?1． （1）求函數的定義域；（2）判斷該函數在定義域上的單調性，并證明之． 10．已知函數f(x)?x2?4x?3． （1）畫出該函數的圖象；（2）寫出函數的單調區間． 11．判斷函數y?x? 12． 若函數f(x)? 第四部分過關檢測 1．函數y?x2?6x的減區間是（）.A.(??,2]B.[2,??)C.[3,??)D.(??,3] 2．在區間（0，2）上是增函數的是（）.A.y=－x+1B.y y= x－4x＋5D.y=3．函數f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)的遞增區間依次是（）.A.(??,0],(??,1]B.(??,0],[1,??)C.[0,??),(??,1]D.[0,??),[1,??)4．已知f(x)是R上的增函數，令F(x)?f(1?x)?3，則F(x)是R上的（）.A．增函數 B．減函數 C．先減后增D．先增后減 在(1,??)的單調性，并用定義證明之． x ax 在(2,??)上為增函數，求實數a的取值范圍． x?1x 5．二次函數f(x)?x2?2ax?b在區間(?∞，4)上是減函數，你能確定的是（）.A.a?2B.b?2C.a??4D.b?? 46．函數f(x)的定義域為(a,b)，且對其內任意實數x1,x2均有：(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0，則f(x)在(a,b)上是.（填“增函數”或“減函數”或“非單調函數”） 7．已知函數f(x)= x－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f 之間的大小關系為.x? 38．指出下列函數的單調區間及單調性：（1）f(x)?；（2）y?|?x2?2x?3| x?1 0.（1）求b與c的值；（2）試證明函數f(x)在區間(2,??)上是9．若f(x)?x2?bx?c，且f(1)?0,f(3)? 增函數.11 10．已知函數f(x)的定義域為R，對任意實數m、n均有f(m?n)?f(m)?f(n)?1，且f(?又當x??2，22 時，有f(x)?0.（1）求f(?)的值；（2）求證：f(x)是單調遞增函數. 函數單調性教學與反思 教學內容： （一）引入課題 我國的人口出生率變化曲線（如下圖），請同學們觀察說出人口出生的大致變化情況。我們可以很方便地從圖象觀察出人口出生的變化情況，對今后的工作具有一定的指導意義。 下面我們開始研究函數在這方面的主要性質之一―――函數的單調性。 （二）形成概念 1、觀察引入 演示動畫（1）函數y=2x+1隨自變量x 變化的情況 （2）函數y=-2x+1隨自變量x 變化的情況 （設計意圖：由初中知識過度到今天要學的知識，對初中知識進行深化，激起學生新的認知沖突，從而調動學生積極性） 2、步步深化 演示動畫(3)函數y=x2隨自變量x 變化的情況，設置啟發式問題： (1)在y軸的右側部分圖象具有什么特點？ (2)指出在y軸的右側部分自變量與函數值的變化規律？(3)如果在y軸右側部分取兩個點（x1，y1），（x2，y2），當x1 (4)如何用數學符號語言來描述這個規律？ 教師補充：這時我們就說函數y=f(x)=x2在(0,+ ?)上是增函數.(5)反過來，如果y=f(x)在(0,+ ?)上是增函數，我們能不能得到自變量與函數值的變化規律呢？ 類似地分析圖象在y軸的左側部分。 （設計意圖：通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”?“文字語言”?“符號語言”多方面認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換，另外，我認為學生對“任意性”較難理解，特設計了（3）、（4）問題，步步深入，從而突破難 點，突出重點。） 3、形成概念 注意：（1）變量屬于定義域 （2）注意自變量x1、x2取值的任意性 （3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1) （設計意圖：體現從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創新意識。） （三）深化概念 例1 如圖6是定義在閉區間[-5，5]上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出y=f(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=f(x)是增函數還是減函數.(通過講解例1，讓學生學會通過觀察圖象寫出函數的單調區間。)例2 證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1 11x?x－=21,（注意變形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ ?)，得x1x2>0, 又由x1 （四）即時訓練 課堂練習： 1、書P60 練習1（請同學口答） 2、判斷函數f(x)=在(-?,0)上是增函數還是減函數并證明你 1x的結論.（設計意圖：一個新知識的出現，要達到熟練運用的效果，僅僅了解是不夠的，一定量的“重復”是有效的，也是必要的，所謂“溫故而知新”、“熟才能生巧”。）反思： 函數單調性是函數的一個重要性質，并且學生是頭一次接觸函數的單調性，陌生感強。函數單調性，單調區間的概念掌握起來有一定困難，這樣會增加學生的負擔，不利于學生學習興趣的激發。學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念。進入高中以后，又進一步學習了函數的概念，認識到函數是兩個數集之間的一種對應。學生只學過一次函數、反比例函數、正比例函數、二次函數，所以對函數的單調性研究也只能限于這幾種函數。學生的現有認知結構中能根據函數的圖象觀察出“隨著自變量x的增大函數值y增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數圖象的直觀性、發揮好多媒體教學的優勢通過一組常見的具體函數例子，引導學生借助初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數的圖象，從函數圖像分析入手，使學生對增、減函數有一個直觀的感知。從圖象直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性的第一次認識。 教學中，通過一次函數、二次函數等具體函數的圖象及數值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調增的說法。通過討論、交流，讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區間上，如果對于任則函數在該區間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征。進一步給出函數單調性的定義。然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念。 用函數單調性的定義證明函數的單調性。應該注意證明的四個基本步驟：取值——作差變形——定號——判斷。把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。使用函數單調性定義證明是本節課的一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊。第四篇：第3講函數的單調性
第五篇：函數單調性教學與反思
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