第一篇：高中數學《函數的單調性》說課稿。新人教A版必修1

函 數 的 單 調 性 說 課 教 案

一.說教材

1． 地位及重要性

函數的單調性是高中數學必修1第一章的內容，在高考的重要考查范圍之內。函數的單調性是函數的一個重要性質，也是在研究函數時經常要注意的一個性質，并且在比較幾個數的大小、對函數的定性分析以及實際函數問題中變量變化趨勢等問題上都有廣泛的應用。通過對這一節課的學習，既可以讓學生掌握函數單調性的概念和證明函數單調性的步驟，又可加深對函數的本質認識。也為今后研究具體函數的性質作了充分準備，起到承上啟下的作用。2． 教學目標

(1)知識與技能:理解函數的單調性的意義；了解能用文字語言和符號語言正確表述增 函數、減函數、單調性、單調區間的概念；明確掌握利用函數單調性定義證明函數單調性的方法與步驟；并能用定義證明某些簡單函數的單調性。

(2)過程與方法：在研究函數的單調性時，以基本的函數圖像為素材，逐步由形到數，由具體到抽象，引導學生發現函數圖像在上升和下降時函數的變換規律，然后再推廣到一般，得出函數單調性的定義，每一階段的活動，都是學生認識上的升華。

(3)情態與價值：培養學生嚴密的邏輯思維能力、用運動變化、數形結合、分類討論的方法去分析和處理問題，以提高學生的思維品質；同時讓學生體驗數學的藝術美，養成用辨證唯物的觀點看問題。3． 教學重難點

重點是對函數單調性的有關概念的本質理解。

難點是利用函數單調性的概念證明或判斷具體函數的單調性。二.說學情

學習函數單調性之前學生已經對集合的定義、函數的概念有了一定的認識，函數單調性的概念的理解也要與前面內容密切相關。由于學生觀察能力、自主學習能力、抽象思維能力比較薄弱，學習過程中仍需一些直觀感性的認識作為依托。

三.說教法

根據本節課的內容及學生的實際水平，我嘗試運用“問題解決”與“多媒體輔助教學”的模式。力圖通過提出問題、思考問題、解決問題的過程，讓學生主動參與以達到對知識的“發現”與接受，進而完成對知識的內化，使書本知識成為自己知識；同時也培養學生的探索精神。

四.說學法

在教學過程中，教師設置問題情景并提出問題讓學生參與討論；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，體會到單調性的實際意義。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。五.說過程

通過設置問題情景、課堂導入、新課講授、課堂練習、課堂小節的教學過程中，我力求培養學生的自主學習的能力，以點撥、啟發、引導為教師職責。

本節課的教學流程安排如下：

(一)設置問題情景

以多媒體形式給出一些函數圖像，并設置問題：從這些圖像我們會了解圖像的哪些變化趨勢？和數學問題有什么相關性？通過問題情景的設置主要是為了達到以下兩個目的： ⑴為了復習回顧有關函數、函數的圖像知識； ⑵通過身邊的事例激發學生對探索研究、學習新知識的熱情，為導入新課及順利完成教學任務做了思想上的準備。

(二)揭示課題,導入新課

通過對某些實際問題的分析得知，在研究函數問題的過程中經常要考慮到事物的變化趨勢，即函數值的增減變化。例如，一次函數中y?kx，當k?0時，y的值隨x值的增大而增大，當k?0時

y的值隨x值的增大而減少。用多媒體給出一函數圖像讓學生思考

y隨自變量x值的變化情況,交流，讓學生利用初中所學的知識,結合圖像觀察說出函數值初步概括出增函數與減函數的概念。但僅從圖像看顯然不過嚴密，我們必須對它進行系統的、科學的研究。(板書課題)(三)講授新課 1． 函數單調性的意義

（1）函數單調性的定義

在上述的基礎上進一步啟發學生，讓學生用數學語言歸納出增函數、減函數的概念，教師進行補充，接著用多媒體顯示增函數、減函數的定義。

緊接著引導學生結合教材中的圖形（或用多媒體給出的屏幕）仔細體會定義中的兩個簡單不等關系“x1?x2”和“f(x1)?f(x2)或f(x1)?f(x2)”，它刻畫了函數遞增或遞減的性質。這就是數學魅力！

對定義作了初步分析以后，指導學生再次閱讀和分析定義，同時教師提出以下問題：定義中的關鍵詞語是哪些？（學生思索）教師在學生思索過程中進行一次有感情地朗讀定義，并在關鍵詞語處加重語氣，學生感到困難時，給以適當的提示。（這一環節是學生正確地、深入地理解概念的關鍵，教師應該啟發引導學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力）

通過學生的分析討論得出以下幾個關鍵詞語： ①“定義域內的一個子集A”（多媒體中對這幾個字用紅色顯示）。這里包含兩層意思：第一函數的單調性只能在定義域內討論；第二函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的，否則無法討論其單調性。（教師舉例說明）

②“任意兩個”和“都有”。就是說這里的x1,x2在給定區間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數的單調性（要特別強調），而且只要x1?x2，則 f(x1)?f(x2)（或f(x1)?f(x2)）恒成立。

以上兩點讓學生通過構造反例來進一步說明。

（通過學生的積極思維探索，從抽象到具體，并通過反例反襯，使學生對概念有了本質的認識，同時也鍛煉了學生的邏輯思維能力）。

接著教師作以下闡述：反過來，如果我們已知f(x)在某個區間上是增函數或減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數值的大小，也可以有函數值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然，這恰是辯證法中一般和特殊的關系。（用辯證法的原理來解釋數學知識的同時，用數學知識去理解辯證法的原理，這樣分析有助于深入地理解和掌握概念，培養學生自主學習的能力）。（2）函數單調性相關概念的理解

學生看書了解單調性、單調函數、單調區間的有關概念。2.函數單調性的證明

例1：（書P32例1多媒體給出）

借助函數的圖像看單調性既形象又直觀，是一個好辦法，但是在理論上不夠嚴密，尤其是不易畫出圖像的函數，因此我們還必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑。（指出用定義證明的必要性）

提問：怎樣用定義來證明呢？

例2：（書P32例2多媒體給出）

學生思索并動筆，教師不斷點撥啟發，最后師生共同完成（教師認真規范地板書證明過程，以對學生起到示范作用）回顧解題過程達到以下要求：

① 總結歸納出用定義證明函數單調性的步驟（用多媒體給出）。

② 變式訓練：討論函數f(x)?kx?b（k,b為常數，且k?0）。

通過變式訓練使學生認識到一次函數的單調性決定于一次項系數k，同時訓練了學生進行分類討論的重要數學思想。

(四)課堂鞏固練習

1.課堂練習,鞏固概念,強化學生對這節課的掌握。練習為書本中P36頁第1、2、3題。2.與學生一起解決第四題, 通過對本例的解答達到以下目的：

①會根據圖像寫單調區間；

②明確區間的端點值不影響函數在這一區間上的單調性。

經過以上兩例使學生鞏固定義，初步具備解決相關問題的能力。

（五）課堂小結

學生總結后，內容由多媒體給出，通過小結使學生理清本節課的重難點。

第二篇：必修1函數單調性說課稿

必修1《1.3.1 函數的單調性》說課稿

酒泉中學 馬長青

一.教學內容分析

1.本課定位與內容

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學必修1》A版第一章第三節函數的基本性質第一小節函數的單調性與最大(小)值，本節課內容教材主要學習函數的單調性的概念，判斷函數的單調性和應用定義證明函數的單調性，共2課時，本節課為第一課時。

2.教材的地位和作用

從單調性本身看，學生的學習分為三個層面，首先是在初中學習了一次函數、二次函數、反比例函數圖象的基礎上對函數的增減性有一個初步的感性認識，其次在高一對單調性進行嚴格定義，最后在高三從導數的角度再次研究單調性。本節課的學習處于對單調性學習的第二層面，通過圖象歸納、抽象出單調性的準確定義，并在高中首次經歷代數的嚴格證明，是對初中學習的一次升華。

從本節的教學看，在此學習單調性是對函數概念的延續和拓展，對進一步探索、研究函數的其他性質有著示范性的作用，從本章的教學看，本節課的學習是后續研究指數函數、對數函數內容的基礎。

從函數知識網絡看，單調性起著承上啟下的作用，一方面，是初中學習內容的深化，使學生對函數單調性從感性認識提高到理性認識。另一方面，函數的單調性為后面學習指數函數、對數函數、三角函數及數列這種特殊的函數打下基礎，與不等式、求函數的值域、最值，導數等都有著緊密的聯系。

從高中數學學習看，函數的單調性是培養學生數形結合思想的重要內容，也是研究變量的變化范圍的有力工具。3.教學目標

根據本課教材特點、課程標準對本節課的教學要求以及學生的認知水平，教學目標確定為： 知識與技能：

（1）從形與數兩方面理解單調性的概念

（2）初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法

（3）通過對函數單調性定義的探究，提高觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高推理論證能力 過程與方法：

（1）通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合思想方法（2）經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，體會從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程。情感態度價值觀：

通過知識的探究過程培養細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣；領會用運動的觀點去觀察分析事物的方法 4.教學重難點

根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成和初步運用。雖然高一學生已經有一定的抽象思維能力，但是要用準確的符號語言去刻畫圖象的增減性，從感性上升到理性對高一的學生來說比較困難。因此，本節課的教學難點是函數單調性的概念形成。

二.學生情況分析

知識結構

學生已經學習過一次函數，二次函數，反比例函數，函數的概念及函數的表示，能畫出一些簡單函數的圖象，能從圖象的直觀變化，學生能得到函數增減性。

能力結構

通過初中對函數的學習，學生已具備了一定的觀察事物能力，抽象歸納的能力和語言轉換能力。

學習心理

函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質，學生渴望進一步學習，這種積極心態是學生學好本節課的情感基礎。

本班學生特點

本班為酒泉中學高一（4）班，學生數學素養較好。三.教學模式

《普通高中數學課程標準(實驗)》指出：“高中數學課程應倡導自主探索等學習數學的方式，這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程。”

因此，根據教學內容和學生的認知、能力水平，本節課作為新授課主要采取教師啟發式教學法和學生探究式教學法。以設置情境、設問和疑問進行層層引導，激發學生積極思考，逐步將感性認識提升到理性認識，培養和發展學生的抽象思維能力。引導學生提出疑問，進行思考，從而創造性的解決問題，最終形成概念，培養學生的創造性思維和批判精神。

五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新 四.教學設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，我把教學過程設計為五個環節：創設情境，引入新課；初步探索，概念形成；概念深化，延伸拓展；證法探究，應用定義；小結評價，作業創新

單調性的概念是本節課的重點，而形成過程則是本節課的難點，為了突破這一難點，讓學生能夠充分感受單調性概念的形成過程，經歷觀察發現、抽象概括，自主建構單調性概念的過程，本節課設置了前三個環節,后兩個環節的設計，是為了使學生對函數單調性認識的再次深化。

（一）創設情境，引入新課

數學課程標準中提出“通過已學過的函數特別是二次函數理解函數的單調性”，因此在本節課的開始，我作了這樣的情境創設，從學生熟知的一次函數和二次函數入手，從初中對函數增減性的認識過渡到對函數單調性的直觀感受。

提出問題1：分別作出函數y=x，二次函數y=2x，y=-2x和y=x的圖象，并且觀察函數變化規律？

2首先引導學生觀察兩個一次函數圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小。然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.二次函數的增減性要分段說明，進而提出問題：二次函數是增函數還是減函數？ 進一步討論得出：增減性是函數的局部性質

據此，學生已經對單調性有了直觀認識，緊接著，我提出問題二：能否用自己的理解說說什么是增函數，什么是減函數？ 結合增減性是局部性質，學生會用直觀描述回答：在一個區間里，y隨x增大而增大，則是增函數；y隨x增大而減小就是減函數。

學生用圖象的感性認識初步描述了單調性，下面進一步將學生從感性向理性進行引導

（二）初步探索，概念形成

提出問題三：以y=x+1在（0，+∞）上單調性為例，如何用精確的數學語言來描述函數的單調性？

這是本節課的難點，因此我將概念形成設置了三個階段 1.提問學生什么是“隨著”

經討論得出，隨著是由于當x取一定的值時，y有確定值與之對應，因此x變化時，y會根據法則隨著x發生變化

2.如何刻畫“增大”？

要表示大小關系，學生會想到取點，比大小，學生也許會用特殊點說明問題，比如x取2、3，2<3，對應的函數值是5<10

提出質疑：這個點的變化能否說明y隨著x增大而增大，進一步引導學生從特殊到一般，進入第三階段，對“任取”的理解。

3.對“任取”的理解

針對特殊值，學生可能會舉反例證明其是不充分的，那么應該如何取值呢？學生可能會多取一些，也可能會想到將取值區間任意小，進一步討論得出“任取”二字。

用對隨著的理解再次深化函數概念，用對增大的理解得到要表示大小關系，最后再強調取值的任意性，這樣就實現了從“圖形語言”到 “文字語言”到 “符號語言”的過渡，實現“形”到“數”的轉換，形成了單調性的定義。

得到定義后，再提出如何得到f(x1)

（三）概念深化，延伸拓展

通過上面的問題，學生已經從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言。而對嚴謹的數學語言學生還缺乏準確理解，因此在這里通過問題深入研討加深學生對單調性概念的理解。

2提出問題四：能否說從這個例子能得到什么結論？

在它的定義域上是減函數？

學生思考、討論，提出自己觀點 學生可能會提出反例，如x1=-1，x2=1 進一步得出結論：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，函數在A∪B上不一定是增（減）函數

教師給出例子進行說明：

進一步提問：

函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（減）函數，何時函數在A∪B上也是增（減）函數。

學生會提出將函數圖象進行變形（如x<0時圖象向下平移）

性

回歸定義，強調任意 在問題四的背景下解決本題，體會在運動中滿足任意性。拓展探究：已知函數

是（-∞，+∞）上的增函數，求a的取值范圍.這個問題有一定難度，但是學生在前面集合的學習中已經接觸過在運動中求參數a的取值范圍，此處可看作是對前面學習的鞏固。

（四）證法探究，應用定義

在概念已經完善的基礎上，提出例1 例1：證明函數 在（0，+）上是增函數

本環節是對函數單調性概念的準確應用，本題采用前面出現過的函數，一方面希望學生體會到函數圖象和數學語言從不同角度刻畫概念，另一方面避免學生遇到障礙，而是把注意力都集中在單調性定義的應用上。

學生根據單調性定義進行證明，教師在黑板上書寫證明步驟，再引導學生總結證明步驟。

提出例2判斷函數在（0，+∞）上的單調性。

根據定義進行判斷，體會判斷可轉化成證明。

課標中指出“形式化是數學的基本特征之一，但不能僅限于形式化的表達。高中課程強調返璞歸真”因此本題不再從證明角度，而是讓學生再次從定義出發，尋求方法，并體會轉化思想。

進一步提問：如果把（0，+∞）條件去掉，如何解這道題？為學生提供思考空間。

（五）小結評價，作業創新

從知識、方法兩個方面引導學生進行總結。學生回顧函數單調性定義的探究過程；證明、判斷函數單調性的方法步驟；數學思想方法。

小結過程使學生對單調性概念的發生與發展過程有清晰的認識，體會到數學概念形成的主要三個階段：直觀感受、文字描述和嚴格定義。

作業的設計實現了分層，既鞏固了基礎，又給了學生充足的思考空間。

通過本節課的學習，預計學生能理解單調性的定義，絕大多數學生能按照單調性的證明步驟進行證明，能判斷函數的單調性，本節課的評價方式為課堂反饋、教師評價、學生自評相結合。

在本節課的設計中，我有一些新的嘗試，在教學過程中，創設一個探索的學習環境，通過設計一系列問題，使概念得到形成和深化，學生親身經歷數學概念的產生與發展過程，從而逐步把握概念的實質內涵，深入理解概念。在情境設置中，嚴格按照課標要求以二次函數y=x+1為例，經歷畫圖、描述圖象、找單調區間、形成單調性定義、證明其單調性的過程，將學生對單調性的認識從感性上升到理性，并將定義進行應用。五.板書設計 六.課堂評價 七.資源開發 2

第三篇：高中數學 1.3函數的單調性教學設計 新人教A版必修1

《函數單調性》教學設計

基于函數單調性概念是高中教材中形式化程度較強，學生較難理解以及要讓學生充分了解概念后面所蘊涵的數學思想的主張，筆者以“數學本原性問題驅動”數學概念教學為指導理念，在對函數單調性概念在高中教材中的地位和作用進行詳細分析的基礎上進行了新的教學設計及課堂實錄。

◆教材分析 教材的地位和作用

《函數的單調性》是《高中數學人教A版》（必修1）第一章1.31節的內容。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數等各類函數的單調性的基礎，在整個高中數學中起著承上啟下的作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。函數的單調性是函數的四個基本性質之一,在比較幾個數的大小、對函數作定性分析（求函數的值域、最值，求函數解析式的參數范圍、繪函數圖象）以及與不等式等其它知識的綜合應用上都有廣泛的應用；同時在這一節中利用函數圖象來研究函數性質的數形結合的思想將貫穿于我們整個高中數學教學。

教材的重點與難點

教學重點：（1）領會函數單調性概念，體驗函數單調性的形式化過程，深刻理解函數單調性的本質，并明確單調性是一個局部概念；（2）函數單調性概念的應用 教學難點：突破抽象，深刻理解函數單調性形式化的概念。◆教學目標分析

根據新課標的要求和教學內容的結構特征，依據學生學習認知的心理規律和素質教育的要求，結合學生的實際水平，本節課教學目標如下：

知識目標：（1）從本質上理解函數單調性概念；（2）運用形式化的函數單調性概念進行判斷與應用。

能力目標：（1）培養學生的觀察能力，分析歸納能力，領會歸納轉化的思想方法。（2）使學生體驗和理解從特殊到一般的數學歸納推理思維方式。（3）培養學生從具體到抽象的能力。

情感目標：（1）培養學生主動探索、不畏困難、敢于創新的意識和精神。（2）通過本課的學習，使學生能理性地思考生活中的增長、遞減現象。

◆設計理念

本教學設計是基于用數學本原性問題來驅動數學概念的理念進行設計的。主要目的是為了突破函數單調性這個概念的抽象性，能讓學生體驗概念的形成過程，形成對概念的正確理解。因此教學設計在課堂教學中的概念引入的情景設計、概念形成的過程分析、概念運用的問題強化、原發性問題的價值挖掘這四方面應用了“用數學本原性問題驅動數學概念教學”這一理念，突破傳統的教學設計，從一個新的角度對教學進行了設計：第一階段函數單調性概念由實際背景轉化為文字語言的敘述；第二階段函數單調性概念由文字語言的敘述轉化為數學敘述；第三階段函數單調性概念由數學敘述轉化為數學符號敘述；第四階段函數單調性概念由數學符號敘述抽象到了形式化。這一設計符合新課程標準強調的加強對數學概念本質的認識，并且能適度地進行形式化的表達這一理念。

五、教學過程設計：

一、問題情境

1.如圖為某市一天內的氣溫變化圖：

（1）觀察這個氣溫變化圖，說出氣溫在這一天內的變化情況．

（2）怎樣用數學語言刻畫在這一天內“隨著時間的增大，氣溫逐漸升高或下降”這一特征？

2.分別作出下列函數的圖像：

（1）y＝2x．

（2）y＝－x＋2．

（3）y＝x．

根據三個函數圖像，分別指出當x∈（－∞，＋∞）時，圖像的變化趨勢？

二、建立模型

1.首先引導學生對問題2進行探討———觀察分析

觀察函數y＝2x，y＝－x＋2，y＝x圖像，可以發現：y＝2x在（－∞，＋∞）上、y2＝x在（０，＋∞）上的圖像由左向右都是上升的；y＝－x＋2在（－∞，＋∞）上、y＝2x在（－∞，０）上的圖像由左向右都是下降的．函數圖像的“上升”或“下降”反映了函數的一個基本性質———單調性．那么，如何描述函數圖像“上升”或“下降”這個圖像特征呢？

22以函數y＝x，x∈（－∞，０）為例，圖像由左向右下降，意味著“隨著x的增大，相應的函數值y＝f（x）反而減小”，如何量化呢？取自變量的兩個不同的值，如x1＝－5，x2＝－3，這時有x1＜x2，f（x1）＞f（x2），但是這種量化并不精確．因此，x1，x2應具有“任意性”．所以，在區間（－∞，0）上，任取兩個x1，x2得到f（x1）＝

2，f（x2）＝．當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）．這時，我們就說f（x）＝x在區間（－∞，0）上是減函數．

注意：在這里，要提示學生如何由直觀圖像的變化規律，轉化為數學語言，即自變量ｘ變化時對函數值y的影響．必要時，對x，y可舉出具體數值，進行引導、歸納和總結．這里的“都有”是對應于“任意”的．

2.在學生討論歸納函數單調性定義的基礎上，教師明晰———抽象概括 設函數f（x）的定義域為I：

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是增函數［如圖8-2（1）］． 如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2），那么我們就說函數f（x）在區間Ｄ上是減函數［如圖8-2（2）］．

如果函數y＝f（x）在區間D上是增函數或減函數，那么我們就說函數y＝f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫作y＝f（x）的單調區間．

3.提出問題，組織學生討論

（1）定義在R上的函數f（x），滿足f（2）＞f（1），能否判斷函數f（x）在R是增函數？

（2）定義在R上函數f（x）在區間（－∞，0］上是增函數，在區間（0，＋∞）上也是增函數，判斷函數f（s）在R上是否為增函數．

（3）觀察問題情境1中氣溫變化圖像，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數． 強調：定義中x1，x2是區間D上的任意兩個自變量；函數的單調性是相對于某一區間而言的．

三、例題解析 ［例 題］

1.證明函數f（x）＝2x＋1，在（－∞，＋∞）是增函數． 注：要規范解題格式．

2.證明函數f（x）＝，在區間（－∞，0）和（0，＋∞）上都是減函數．

思考：能否說，函數f（x）＝在定義域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是減函數？

3.設函數y＝f（x）在區間D上保號（恒正或恒負），且f（x）在區間D上為增函數，求證：f（x）＝在區間D上為減函數．

證明：設x1，x2∈Ｄ，且x1＜x2，∵f（x）在區間D上保號，∴f（x1）f（x2）＞0．

又f（x）在區間D上為增函數，∴f（x1）－f（x2）＜0，從而g（x1）－g（x2）＞0，∴g（x）在D上為減函數．

［練習］

1.證明：（1）函數f（x）＝在（0，＋∞）上是增函數．

（2）函數f（x）＝x－x在（－∞，2］上是減函數．

2.判斷函數的單調性，并寫出相應的單調區間．

3.如果函數y＝f（x）是R上的增函數，判斷g（x）＝kf（x），（k≠0）在R上的單調性．

四、課后拓展

1.根據圖像，簡要說明近150年來人類消耗能源的結構變化情況，并對未來100年能源結構的變化趨勢作出預測．

2.判斷二次函數f（x）＝ax＋bx＋c，（a≠0）的單調性，并用定義加以證明． 3.如果自變量的改變量Δx＝x2－x1＜0，函數值的改變量Δy＝f（x2）－f（x1）＞0，那么函數f（x）在區間D上是增函數還是減函數？

第四篇：高中數學必修1--函數單調性教學心得

函數單調性

“函數單調性”是高中數學必修1教材中函數的一個重要性質，是研究比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用，是后面學習反函數、不等式、導數等內容的基礎，又是培養邏輯推理能力的重要素材。它常伴隨著函數的其他性質解決問題。對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質。學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味。因此，在設計教案時，加強對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西。本節內容的教學重點為函數單調性的概念形成及判斷。教學難點是用定義法證明函數單調性的方法步驟。

我設計意圖是--提高有效教學能力，促進學生有效學習。教學中我采取發現法、多媒體輔助教學。具體流程是：

首先創設情境、激發興趣。研究實際生活中上下樓梯的問題，充分調動學生積極性，營造親切活躍的課堂氛圍；滲透建模思想，培養學生應用數學的意識，通過實例使學生感受單調性的內涵，縮短心理距離，降低理解難度。

其次，探索新知。引導學生經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比的思維過程，發展數學思維能力。針對函數圖象，依據循序漸進原則，設計三個問題，學生直接回答的同時教師利用多媒體的優勢，展示圖象及動畫，使學生理解增減函數定義。學生各抒己見，這時教師及時對學生鼓勵評價，會激發學生探究知識的熱情。這一過程教會學生與人合作，提供了靈感思維的空間，在對概念理解基礎上，強化了單調區間這一概念。鼓勵學生自主探索歸納類比三例，師生合作得出增減函數、函數單調性、單調區間的定義，然后設計判斷對錯題，達到細、深、全面的理解定義，學生經歷了“再創造知識”的過程，利于發展創新意識。

再次，鞏固新知，由感性到理性，引導學生逐步探究利用圖象判斷函數的單調性和根據定義判斷或證明函數的單調性兩種方法。體驗了數學方法發現和創造的歷程。探究時先以基本初等函數為載體，再深化擴展為函數的一般性質。從而理解掌握二次函數、一次函數、反比例函數的單調性。為后面的學習及綜合應用奠定基礎，同時培養學生的創新意識和邏輯思維能力。

上課時不貪圖進度和難度。按照大綱要求，將概念引入、講解、重點分析、舉例鞏固、課后練習。這堂課無論是自己或者學生都反映良好，概念清晰，學生在完成課后作業的時候也準確率較高。如何利用有限的課堂教學時間，使學生在準確理解“函數的單調性”的有關概念的基礎上，掌握數形結合的思想方法，加深對概念的認識，為進一步的轉化為程序性知識做鋪墊。我利用課本的引例，即利用二次函數和三次函數的圖象，讓學生直觀地看到“單調遞增”或“單調遞減”的現象，然后就單刀直入地提出了“函數的單調性”這個概念，解釋一下要點“任意”、“都有”、“定義域”、“區間”，為了讓學生對概念理解的更透徹，突出重點，后續學習更加順利，我還加入了一次函數和反比例函數。這樣的安排，一方面是考慮到學生實際情況（直觀現象容易為其所接受），一方面也是盡最大可能地利用課本承前啟后。學生在描述上述三個函數圖象的時候較為順利，此時我引導學生觀察一次函數的圖象，描述其的特征：從左往右圖象上升。然后順勢提出讓學生觀察其余兩個函數的圖象，是否有類似的現象。學生１：二次函數圖象上升；學生２：二次函數圖象下降；學生３：二次函數圖象下降后上升。學生１和學生２在學生３回答后感覺自己似乎錯了，但又說不請理由。此時，教師指出：在同一個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿x軸的正方向即“從左向右”，即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。通過觀察，大家發現了上述三個函數存在從左往右看圖象上升或下降的現象，及時提出課題“函數的單調性”，并指出以上函數的單調性及增減函數的名詞。直觀上承認這一性質以后，我放棄了以前直奔主題的做法，結合學生常常接觸上下樓為情景。由學生仿照剛才的分析，解釋圖象的“單調”特征。繼而提出：圖象特征如何轉化為數學語言？經過思考，通過圖象直觀的影響，教師的啟發，學生歸納總結函數單調性的定義。到此，學生通過自身的探索終于接近目的地，自己給出了“增函數”的定義。我讓學生打開書本，與書上的定義進行比較，肯定他們的成果，并提示采用書本更為精確的用語。這個定義的給出，與以往我生硬地將課本定義直接給出大相徑庭，由學生容易接受的直觀圖象開始，先形成“單調性”是函數的一種現象、“增（減）函數”是什么樣的這樣的印象，由學生自主探索接近、得到定義，學生對此印象深刻，理解深入，而且激發了學生的自信心：原來自己也可以寫數學定義。興奮點啟動以后，后續的學習就順利多了，“減函數”，“單調區間”的定義很快給出，突破了難點。最后指出“函數的單調性”本質上反映了函數隨自變量的變化函數值相應地發生變化的性質。這個結論的提出，在一定的高度上對“函數的單調性”作出了最本質的概括，學生通過學法指導，收到了我預期的效果。

第五篇：《函數的單調性》說課稿

《函數的單調性》說課稿

北大附中深圳南山分校：馬立明

一、教材分析-----教學內容、地位和作用本課是蘇教版新課標普通高中數學必修一第二章第1節《函數的簡單性質》的內容，該節中內容包括：函數的單調性、函數的最值、函數的奇偶性。總課時安排為3課時，《函數的單調性》是本節中的第一課時。函數的單調性是函數眾多性質中的重要性質之一，函數的單調性一節中的知識是今后研究具體函數的單調性理論基礎；在解決函數值域、定義域、不等式、比較兩數大小等具體問題中均有著廣泛的應用；在歷年的高考中對函數的單調性考查每年都有涉及；同時在這一節中利用函數圖象來研究函數性質的數形結合思想將貫穿于我們整個高中數學教學。按現行教材結構體系，該內容安排在學習了函數的現代定義及函數的三種表示方法之后，了解了在生活實踐中函數關系的普遍性，另外學生已在初中學過一次函數、反比例函數、二次函數等初等函數。在學生現有認知結構中能根據函數的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數值增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數圖象的直觀性、發揮好多媒體教學的優勢；在本節課是以函數的單調性的概念為主線，它始終貫穿于整個課堂教學過程；這是本節課的重點內容。利用函數的單調性的定義證明具體函數的單調性一個難點，也是對函數單調性概念的深層理解，且在“作差、變形、定號”過程學生不易掌握。學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明的比較法的基本思路，現在提出來對今后的教學也有了一定的鋪墊。

二、學情分析教學目標的制定與實現，主要取決于我們對學習者掌握的程度。只有了解學習者原來具有的認知結構，學習者的準備狀態，學習風格，情感態度等，我們才能制定合適的教學目標，安排合適的教學活動與評價標準。不同的教學環境，不同的學習主體有著不同的學習動機和學習特點。我所教授的班級的學生具體學情具體到我們班級學生而言有以下特點：學生多才多藝，個性張揚，但學科成績不很理想，參差不齊；經受不住挫折，需要經常受到鼓勵和安慰，否則就不能堅持不懈的學習；學習習慣不好，小動作較多，學習時注意力抗干擾能力不強，易被外界因素所影響，需要不斷的引導；獨立解決問題能力弱，畏難情緒嚴重，探索精神不足。只有少部分學生學習習慣良好，學風嚴謹，思維縝密。

三、教學目標：根據新課標的要求，以及對教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構及心理特征，制定如下教學目標：

三維目標1

知識與技能：（1）

使學生理解函數單調性的概念，能判斷并證明一些簡單函數在給定區間上的單調性。（2）

通過函數單調性的教學，逐步培養學生觀察、分析、概括與合作能力；

2過程與方法：（1）

通過本節課的學習，通過“數與形”之間的轉換，滲透數形結合的數學思想。（2）

通過探究活動，明白考慮問題要細致、縝密，說理要嚴密、明確。3

情感，態度與價值觀：在平等的教學氛圍中，通過學生之間、師生之間的交流、合作與評價，拉近學生之間、師生之間的情感距離，培養學生對數學的興趣。

（二）重點、難點重點：函數單調性的概念:為了突出重點，使學生理解該概念，整個過程分為：作圖象并觀察圖象→討論：函數圖象的變化趨勢是什么？→在這種變化趨勢下，x與函數值y是如何相互影響的？→你能從量的角度出一個縝密的，完善的定義來嗎？每個步驟都是在教師的參與下與引導下，通過學生與學生之間，師生之間的合作交流，不斷反省，探索，直到完善結論，最終達到一個嚴密，簡潔的定義。難點：函數單調性的判斷與推證：突破該難點的：通過對照、分析定義，引導學生，概括出證明方法及步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷得結論”，并注意解題過程的規范性與嚴謹性。

四、教學方法：合作學習認為教學是師生之間、生生之間相互作用的過程，強調多邊互動，共同掌握知識。視教學為師生平等參與和互動的過程，強調教師只是小組中的普通一員，起到一個引導者，管理者角色。在課堂教學中要加強知識發生過程的教學，充分調動學生的參與的積極性，有效地滲透數學思想方法，發展學生個性品質，從而達到提高學生整體的數學素養的目的。結合教學目標和學生情況我采用合作交流，探究學習相結合的教學方法。

五、內容組織形式課堂教學環節畫出函數的圖象,并研究出它們各自的變化趨勢。認知派學習理論認為學習的積累及恰當與否取決于學習者已有的認知結構。殘缺的認知結構是完成不了整個學習過程的。針對學生的實際情況，在上一節的課后布置作業讓學生畫一次函數，二次函數及反比例函數圖象，回顧以前知識，盡而形成一個完整的認知結構，為以后的學習排除障礙。

（二）創設情景，引發興趣師：在生活中我們經常會關注一些實際問題。如果你是市長分管防洪抗旱工作，你會對水位的漲落隨時間變化的規律特別關心，如果你為一個股民的話，你心里想得就是如果能預見每天股價的走勢那該是一件多么幸福的事情。實際上這些問題歸根結底就是：是研究量與量之間的變化趨勢，也就是研究其中兩個變量如何相互影響的，這也是我們今天所要研究的主要課題。看以下實際問題：請說出氣溫在哪些時段是升高的，怎么樣用數學語言來刻畫“隨時間的增大氣溫逐步升高”這一特征？這種在一定時間內，隨著時間增大，氣溫逐步升高的現象反映在數學中，我們稱它為函數的單調性行為學習理論者強調環境對學習產生的影響。當學習者對某種特殊的刺激做出反應時，就產生了“學習”。依據教材知識，滲透新課標理念，通過與實際問題的聯系，揭示我們研究此節內容的現實意義，目的引發學生學習興趣，有利于學生學習動力的產生。要點：短，平，快。

（三）合作交流，建構數學師生互動，引導探索建構數學，收獲新知讓一小組的代表上臺來展示在上節課后所做的幾個函數圖象，并據此討論下列問題，問題

1、并說一說所畫函數的圖象的變化趨勢。觀察得到：隨著x值的增大，函數的函數圖象有的呈逐漸上升的趨勢，有的呈下降的趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一個區間內呈逐漸下降的趨勢。問題2：你能明確的說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？此時X與函數值y如何相互影響的？討論得到：在某一個區間內，當x值增大時，函數值y也增大圖象在該區間內呈上升趨勢。在某一個區間內，當x值增大時，函數值y也反而減小圖象在該區間內呈下降趨勢。在眾多的函數中，很多函數都具有這種性質，因此我們有必要對函數的這種性質做進一步的討論與研究。這就是我們今天這一節課的主題。函數的這種性質，我們就稱為函數的單調性。

1、通過一系列的問題，引發對概念的全面思考。從具體到抽象，再從抽象到具體，并通過合作交流，增強學生對概念的理解，不斷的修正、完善結論，達到建構數學的目的。

2、教學實踐證明，小組內成員合作，組間成員競爭的討論是一種有效的教學策略，使得整個評價的重心同個人之間競爭轉為團體合作達標。并能使教師與學生、學生與學生之間有更多的交往、互動的機會。它也是引導學生積極參與教學過程的重要措施，是培養學生合作精神和激發學生創新意識的重要手段，也是促使每個學生得到充分發展的有效途徑

3、重點：學生能否抓住定義中的關鍵詞“給定區間”、“任意”和“都有”，是能否正確，深入透徹地理解和掌握概念的重要一環。分析定義，使學生把定義與圖形結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解，滲透數形結合的分析問題的數學思想方法問題3：我們剛才已經對函數的單調性，做了定性的分析，我們如何從量的角度來刻畫這種性質。你能給出一個確切的定義來嗎？請用你自己的話表達出來，并說給你的小組成員聽，并與他交流后，形成集體意見，再展示給大家。最后的結論：定義：對于函數f的定義域I內某個區間A上的任意兩個值⑴若當<時，都有ff,則說f在這個區間上是減函數。增函數的本質是在某個區間上，較大的自變量對應較大的函數值，減函數反之。

（四）數學運用，鞏固新知例題例1：定義在R上的函數y=f圖象如圖甲，所示，請說出它的單調區間，以及在每一單調區間上，是增函數還是減函數

參看所畫看圖乙，指出函數y=的單調區間，能不能說在定義域內是單調減函數？指出函數的單調區間，能不能說在定義域內是單調減函數？)如圖丙，函數圖象如圖，寫出單調區間讓學生進一步理解一般函數單調區間的定義，區間的端點要不要？在這里一定要強調單調性只是函數的“局部性質”它與區間密不可分。-----不能把函數的單調區間寫成例2判斷并證明函數f=在上的單調性。證明：設,是上的任意兩個實數，且<，------------------------------則f－f=－=,由,∈，得>0,又由<,得－<0,于是f－f<0,即f

歸納證明方法并加以比較說明；使學生突破本節的難點，掌握重點內容。基本步驟：“取量定大小，作差定符號，判斷定結論”其中第二環節是難點“作差→變形→判斷正負”。課堂練習：

1、判斷下列說法是否正確

定義在R上的函數滿足，則函數是R上的增函數。

定義在R上的函數滿足，則函數是R上不是減函數。

定義在R上的函數在上是增函數，在上也是增函數，則函數是R上的增函數。、定義在R上的函數在上是增函數，在上也是增函數，則函數是R上的增函數。

2、判斷函數f=kx+b在R上的單調性，并說明理由.3、判斷并證明函數在上的單調性。練習的設定也是由淺入深層層推進的。回顧總結，加深理解理解理解請同學小結一下這節課的主要內容，有哪些是詞語特別注意的？

1、函數單調性的定義，注意定義中的關鍵詞。

2、證明函數單調性的一般步驟；

3、在寫單調區間時，不要輕易用并集的符號連接；課后知識性內容總結，把課堂內容轉化為學生的素質兼顧差異，分層練習必做：習題2.1：第1、4、7題選做：研究的單調性，并給出嚴格證明，你能求出該函數的值域嗎？

1、針對學生個體的差異設置分層練習。既注重課內基礎知識掌握，又兼顧了有余力的學生的能力的提高。

2、提出新的課題是想把問題研究引向課外，激發學生興趣，為下一節課“最值”作好充分的準備。希望得到各位評委的批評指正課后記：在本節課中我力求做一名引導者，管理者營造一種平等，民主，和諧的學習氣氛，充分發揮評價在教學中的導向和激勵作用，與學生平等，民主的討論問題，增強學生之間的合作交流意識。集體講授時力求簡要清晰，高效低耗。