第一篇：《函數的基本性質──單調性與最值》教學設計

《函數的基本性質──單調性與最值》

教學設計

一、內容和內容解析

函數思想是貫穿高中數學的一根主線，函數的基本性質又是函數一章的重點內容。一方面，它是對以前所學具體函數的一次總結，又是函數知識的一次拓展，對后續學習指、對數函數、三角函數有重要的指導作用。另一方面，函數的單調性與最大(小)值是初等數學與高等數學銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數的單調性與最大(小)值在解決實際問題中有著相當重要的作用。因此，函數單調性與最大(小)值的教學，在教材體系中有著不可替代的位置，又有著重要的現實意義。

函數的單調性最大(小)值是函數的重要性質之一，它是研究函數值與自變量變化的一種關系，既要求學生結合函數的圖象（直觀性）來研究函數單調性和最大(小)值，也要求學生利用函數單調性和最大(小)值的定義（嚴謹性）來研究函數單調性和最大(小)值。因此本節課的教學重點是函數的單調性與最大(小)值的概念及其幾何意義；判斷、證明函數單調性；求函數的最大(小)值，利用單調性和最大(小)值來解決實際問題，培養學生的函數思想，數形結合思想以及應用數學意識。

二、目標和目標解析

1、通過觀察一些函數圖象的特征，形成函數單調性的直觀認識。再通過具體函數值的大小比較，認識函數值隨自變量的增大（減小）的規律，由此得出函數單調性的定義。理解函數單調性的定義，能夠熟練應用定義判斷與證明函數在某區間上的單調性。

2、通過實例，使學生體會到函數的最大（小）值實際上是函數圖象的最高（低）點的縱坐標，因而借助函數圖象的直觀性可得出函數的最大（小）值，由此得出函數最大（小）值的定義。理解函數最值的定義，掌握求最值的基本方法和基本步驟，能解決相關實際問題。

3、利用函數的單調性和圖象求函數在閉區間上的最大（小）值，解決日常生活中的實際問題，增進對數學應用價值的認識，激發學習數學興趣與熱情。

4、學會運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用函數的性質來畫函數的圖象（草圖），培養學生數形結合的思想和應用數學意識。

5、函數單調性和最大（小）值的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。培養學生的探究能力和創新精神，體驗到思考與探索的樂趣，培養學生勇于探索，善于研究的精神，挖掘其非智力因素的資源，培養學生良好的思維品質。

三、教學問題診斷分析

函數的單調性這一性質學生在初中曾經接觸過,但只是從圖象上直觀分析圖象的上升與下降，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，因此要在概念的形成上重點下功夫。在函數的單調性的概念教學中，學生往往在理解“任意兩個”、“都”這兩個詞的含義出現障礙，誤認為“有兩個”、“某兩個”，而教學中利用函數的圖象，舉一些反例加以理解鞏固。函數的單調性一定與某個區間相對應，而學生容易犯“某個函數單調遞增（減）函數”這一錯誤。“函數在（-∞，0）上y隨x增大而減少，在（0，+∞）上y隨x的增大而減少。”

在定義域內是減函數，即把兩個單調區間進行合并；分別在而學生容易錯誤理解函數區間上取兩個數-1和5，-1<5，而f(-1)

四、學習行為分析

學生在學習本節內容之前已經學習了函數的定義，表示法，圖象，也學習了一次函數，二次函數，反比例函數的函數值y與變量x之間的關系，特別是學習了二次函數的最大（小）值，這為理解函數的單調性和最大（小）值奠定了一定的基礎。但另一方面，以前對函數的單調性和最大（小）值的研究是一種定性的研究，側重于直觀的思維，而本節內容是要對函的最值，討論函數

（x>0）單調區間等具數單調性和最大（小）值的定量的研究，側重于邏輯思維能力，這給學生的學習帶來了較大的困難。因此，在教學過程中，多創設熟悉的問題情景：如在引課中利用建造一個長方形的花壇，構造熟悉的二次函數，上課中所舉例子都是一些常見的函數來加以落實。在定義教學中，多給學生思考問題的時間和空間，引導學生觀察，歸納，總結。特別利用數形結合，定性與定量相結合，盡量讓學生用數學語言來描述，以便于學生的理解和掌握。利用類比教學法：當介紹了增函數的定義之后，讓學生自己得出相應減函數的定義；當介紹了函數最大值的定義之后，讓學生自己得出函數最小值的定義；便于學生進一步加深對定義的理解。對于一些容易出錯的問題采取糾錯教學法：“函數上y隨x的增大而減少，則函數

在(-∞,0）上y隨x的增大而減少,在（0,+∞）

在定義域內是減函數”。“所有函數是否都有最大（小）值？”、“函數在相應的區間內是否一定有單調性？”。還有一些比較復雜的問題：“確定函數的單調區間”等問題讓學生去討論，去探究，教師積極引導，培養學生的自主探究能力。

五、教學支持條件分析

函數的單調性和函數的最大（小）值這一性質學生在初中接觸到過，但只側重于圖象上直觀分析，而現在要求把它上升到理論的高度，用準確的數學語言去刻畫它。這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的，為了突破這一難點，充分發揮信息技術的輔助教學的功能。在概念教學中，首先利用多媒體技術畫出函數y=x，y=x2，y=x3相應的函數的圖象，然后在函數上取不同的點，由學生觀察函數的值y隨x的變化而變化的規律，化靜為動，化抽象為直觀，便于學生理解。對于概念中的一些關鍵字詞，比如 “任意”、“都”、“存在”在多媒體課件中用不同的顏色加以標明，便于學生加深印象。對于一些容易出錯的問題采取小組討論法，糾錯法。例如教師提出“討論函數的單調性”，讓學生分組討論，然后推薦代表發言。有學生會回答是“遞減函數”，理由是“圖形的形狀是下降”。也有同學會回答“不是單調函數”，理由是“因為x1=-1，x2=1時，x1

六、評價設計

《高中數學課程新標準》中提出：“對學生數學學習的評價，既要關注學生知識與技能的理解和掌握，更要關注他們情感與態度的形成與發展；既要關注學生數學學習的結果，更要關注他們在學習過程中的變化和發展。”根據新課程標準的要求，發展性評價的核心是關注學生的發展、促進學生的發展，實現評價發展性功能的一個重要舉措就是突出評價的過程性，評價將貫穿于教學的整個過程，將學生在數學學習活動過程中的全部情況都納入評價的范圍，而不只是評價學生的學習的結果。在本教學設計過程中，始終注重過程評價，注重評價的針對性，實效性。主要體現在三個方面：一是基礎知識掌握情況的評價。對函數的單調性和函數的最大（小）值的定義能否深刻的，全面的理解，特別是一些關鍵字詞，如“任意兩個”、“都”、“存在”的理解。舉出正面和反面的例子讓學生辨別，個別評價與集體評價相結合。二是基本技能掌握情況的評價。主要包括函數單調性判斷的基本方法（圖象法，定義法，復合函數法），如何選擇不同的方法。證明函數單調性的基本步驟和基本策略（主要是作差變形的策略），單調區間的確定。求最值的基本方法的掌握情況等。三是數學思想的落實和數學探究能力培養的評價。運用函數圖象理解和研究函數的性質，利用函數的性質來畫函數的圖象（草圖），提升學生數形結合的思想。函數單調性和最大（小）值的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識數的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程。讓學生真正參與到數學活動中來，讓學生真正成為學習的主人。（具體的教學評價見教學過程）

七、教學過程設計 設計環節 設計意圖 師生活動

教師提出問題：

“問題是數學的心臟”，把問題作為出發點，為一．創設情境，導下一步提出探索性的出問題

問題創設有效的學習

學校準備建造一個長環境。

方形的花壇，周長設計為16米。由于受周圍地理位 置限制，其中一邊的長度既不能超過6米，又不能 少于1米。

二、借助信息技y=x，y=x，y=，y=x3 術，利用熟悉的函學生動手畫圖，個別板演，集體探討函數值與自變從形象、直觀的圖形入數，給出單調性直量之間的關系，教師適當引導。

手，為探索與思考問題觀認識。y=x在R上y隨x的增大而增大。

提供方向和“路標”，并

借機發展學生的動手y=x在(-∞,0)上y隨x的增大而減少，在(0,+∞)上y

實踐能力、創新能力、隨x的增大而增大。

和探索能力。y=在（-∞，0）上y隨x的增大而減少,在（0，+∞）上y隨x的增大而減少。

y=x3 在R上y隨x的增大而增大。

教師利用信息技術，動畫演示函數的圖象。

怎樣用數學語言表示y=x在R上y隨x的增大而增 大呢？（學生討論，教師引導，得出增函數的定 義）(學生不一定一下子答得比較完整，教師應抓住從定性描述到定量描時機予以啟發，糾正，補充)。述，從通俗的日常用語一般地，設函數f(x)的定義域為I：如果對于屬于I到嚴謹的數學語言，讓內某個區間D上的任意兩個自變量值x1、x2,當x1

三、從定性到定會邏輯地、合理地思考量，引出單調性的問題。定義，并能深刻理 解定義的含義。

增函數(increasing function)

注意數形結合，定義是用類比的方法得出減函數的定義： 嚴謹的語言，圖象是直如果對于屬于I內某個區間D上的任意兩個自變量觀的語言，注意兩者有值x1、x2,當x1 f(x2).那么就說f(x)在機的結合。這個區間D上是減函數(decreasing 問

1、建立面積y與一邊長x的函數關系式。

生：y=x(8-x)(1≤x≤6)

問

2、畫出上面函數的圖象。

問

3、指出y的值與x值的變化關系。以實際問題為背景、以生：當1≤x≤4時，y隨x值的增大而增大，學生熟悉的一元二次當4≤x≤6時，y隨x值的增大而減小。函數為入口點，激活學問

4、求出面積的最大值與最小值。生原有的認知，讓學生

生：當x=4時，Smax=16m；當x=1時，Smin=7m 對所要學的新知獲得感性的認識。引導學生解決，體會函數單調性與最大（小）值在實際中的應用。

請學生分別畫出下列函數的圖象，并探討函數值y與自變量x之間的關系：

利用類比方法，實現知識與能力的遷移 教師提出問題，讓學生

在自主探索，討論，在function)合作交流中，充分體現如果函數y=f(x)在某個區間D上是增函數或減函數。學生學習的主體性，對那么就說函說y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調概念進一步深入的領性，區間D叫做y= f(x)的單調區間.會。

1、“函數y=x2是單調遞增函數”這一說法對嗎？

2、y=在（0,+∞）上是減函數，在(-∞,0)是減函數，能否說函數在整個定義域上是減函數？

3、函數在某個區間是否一定具有單調性？

4、如何理解定義中“任意”兩個字？

1、教材例（1）p34講解：讓學生自己通看教材，例（1）是利用函數的學生提問，學生自行解決，師生共同總結： 圖象來判斷函數的單（1）單調性與端點無關。

調性，具有直觀性，也（2）判斷函數的基本方法-----圖象法。是常用方法。

2、教材例（2）p34講解：教師板演，師生共同總 結：

四、講解例題、鞏（1）判斷函數的基本方法-----定義法。

固知識，提高能（2）總結定義法證明單調性的基本步驟：

力。例（2）是利用單調性 1 任取x1，x2∈D，且x1

深對定義的理解。⑤下結論（指出函數f(x)在區間D上的單調性）

3、在解題中，根據題目的實際情況和具體要求，選擇適當的方法。

從熟悉，具體的二次函數入手，探討最大，最小值，讓學生有感性認

五、回歸引例，探識。

重新演示 討最大（小）值的

含義 引例函數的圖象及面積的最大值與最小值

分析上面圖象可以發現，函數y=x(8-x)(1≤x≤6)的 圖象上有一個最高點（4，16），任意的x∈［1,6］,用數學語言描述最大都有f(x)≤f(4),當一個函數f(x)有最高點，我們就說值，最小值。函數有最大值。有一個最低點（1，7），任意的x

∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),當一個函數f(x)有最低點，我們就說函數有最小值。而函數f(x)=x的圖象沒有

最高點也沒有最低點，所以函數f(x)=x沒有最大值，也沒有最小值。

得出函數最大值的定義： 從特殊到一般，揭示數一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實學通常的發現過程，便數M滿足： 于學生接受。⑴ 對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；

⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M

那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值（maximum value）利用類比方法，實現知讓學生仿照最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小

六、歸納最大(小）識與能力的遷移 值的定義（minimum value）。值的定義，并加以 一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實

說明，解釋 數M滿足：

⑴ 對于任意的x∈I,都有f(x)≥M； 教師提出問題，讓學生⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M 在自主探索，討論，在那么，我們稱M是函數y=f(x)的最小值（maximum 合作交流中，對概念進value）一步深入的領會。

1、函數y=x、y=有沒有最值？

2、如何理解定義中的“存在”“任意”的含義？

3、以前求最值有哪些方法？

例(3）、例(4)的教學采用自學導學法，按以下步驟 實施：

例(3)是學生熟悉的煙

1、學生通讀題目，理解題意 花問題，可轉化為二次

2、利用多媒體演示動畫，激發學生學習興趣。函數來解決，難度不

3、學生自學，相互討論，共同解決。大。

4、學生提問，教師答疑。

七、函數單調性、5、師生共同小結求最值的基本方法：

最大（小）值應用

（1）轉化為二次函數的最值問題。例(4)是單調性與最值①配方法 問題的綜合，具有一定②注意實際問題的條件限制。的難度。注意轉化為反（2）利用函數的單調性求最值------在閉區間上。比例函數，利用數形結①先證明在在閉區間上具有單調性。合。②端點值即為函數的最值。利用課堂練習鞏固所課堂練習： 學的知識內容，數學思課本第38頁練習

1、練習

2、練習

3、練習4。想，數學方法，以達到學生獨立思考與討論相結合，教師巡查，個別輔導

八、練習、交流、教學目標，本環節以個與

反饋、評價

別輔導為主，體現面對集體輔導相結合。全體學生的課改新理念。

九、課堂小結 通過學生自我小結，既知識小結：

充分發揮學生的主觀

1、函數單調性，最大（小）值的概念。

能動性，提高學生分

2、判斷函數單調性的基本方法。

十、布置作業 析，概括，綜合，抽象

3、用定義法判斷函數的基本步驟 能力，又有利于學生把

4、求最大（小）值的基本方法。新知融入自己已有的師生、生生互動： 知識體系。

1、你覺得本節課中印象最深的是什么？

2、你覺得本節課中最大的困惑是什么？ 讓學生提問題，自行解決，教師適當補充。

溝通課內與課外，使學作業布置

生基礎性學力與發展

1、書面作業：課本P45習題1．3（A組）第1-5性學力協調發展，讓不題．

同學生得到不同的發

2、研究性作業：設f(x)是定義在R上的增函數，展。f(xy)=f(x)+f(y)，1）求f(0)、f(1)的值；

2）若f(3)=1，求不等式f(x)+f(x-2)>1解集

八、設計反思

在普通高中數學課程標準強調高中數學活動中的師生互動，明確指出“必須關注學生的主體參與，師生互動”進行在教師指導或引導下“數學化”過程，“再創造”過程。建構主義認為，知識是在原有知識的基礎上，在人與環境的相互作用過程中，通過同化和順應，使自身的認知結構得以轉換和發展。備課不只是對知識和教學內容的準備，也包括對學生、學情的分析和掌握.二者的和諧統一是提高教學效果的基本要求。發現、探究、講解、演練相結合教學法的確立，就是基于對學生認知基礎和認知規律的關注。

在整個的設計過程中，始終體現以學生為中心的教育理念。在學生已有的認知基礎上進行設問和引導，關注學生的認知過程。強調學生的品德、思維和心理等方面的發展。重視討論、交流和合作，重視探究問題的習慣的培養和養成。同時，考慮不同學生的個性差異和發展層次，使不同的學生都有發展，體現因材施教的原則。通過討論交流，進一步加深對概念的理解，完善認知結構，讓學生在“平衡－－不平衡－－新平衡”中不斷得到豐富和發展。通過討論交流，實現生生互助，豐富情感體驗；實現師生互助，活躍課堂氣氛。

第二篇：函數單調性教學設計

函數單調性教學設計

關于函數的單調性習題課教學設計，本人在聽了專家的講解后感到受益匪淺，結合平時的教學，有些教學方面的心得如下，希望專家和同行批評指正。

本節課是高中數學新課程標準必修1的第2章函數里的函數基本性質中介紹的第一個性質。它既是在學生學過函數概念等知識后的延續和拓展，又是后面研究指數函數、對數函數、三角函數各類函數的單調性的基礎，而且函數單調性在解決函數變化趨勢、值域、最值、不等式等許多問題中有著廣泛的應用。對整個高中數學教學起著重要的奠基作用。研究函數單調性的過程體現了數學的數形結合和歸納轉化的思想方法，反映了從特殊到一般的數學歸納思維形式，這對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力，掌握數學的思想方法具有重大意義。下面我就這部分內容的習題教學提出一些不成熟的做法。

教學目標：

（1）在知識方面，通過習題訓練，使學生能加深對函數單調性概念的理解，進一步掌握判斷并證明函數的單調性方法、學會應用函數的單調性解決相關問題。

（2）在能力方面，培養學生歸納、抽象以及推理的能力，提高學生創新的意識，并滲透數形結合的思想。

（3）在價值觀和情感教育方面，讓學生在解題的過程中體驗數學美，培養學生樂于求索的精神，提高學生的數學修養，使其養成科學、嚴謹的研究態度。教學重點和難點：

本節課的教學重點是函數單調性的判定、證明及應用。其中的教學難點是函數單調性的應用和復合函數單調性的理解。教法和學法：

在教法上采用傳統的講練結合。在具體實施上，將采用計算機輔助教學的手段，為了貼切地服務于教學目標，課件的制作是為了能更好的講練習題，提高課堂效率，用是PowerPoint軟件。而學生在學習過程中不僅要訓練知識技能，還要達到思維的訓練，因此這節課要以學生為主體，給學生充足的活動空間。作為教師，我要做好啟發和規范地指導，引領學生大膽地探索，并培養其嚴謹的數學品質。

教學過程設計：

大概分為復習回顧、例題講解、規律小結、鞏固練習四個版塊，最后布置作業。下面為每部分的具體構思。

1、復習分為概念回顧和基礎練習兩部分，預計費時7到8分鐘左右，其中概念為（1）函數單調性和單調區間的定義以及用定義證明函數單調性的步驟，（2）怎么判斷函數單調性及單調區間——可以用定義法，也可以從圖象上觀察。形式主要由學生口答。基礎練習部分選擇了5道小題目，課件形式給出，請學生口答，內容涉及單調性的理解，一次函數、二次函數的單調性，最后一題讓學生們畫出圖象，觀察圖象的“升降”寫出單調區間，滲透數形結合的思想，都是小題目，難度小，用時少，但緊扣概念，也讓學生迅速熱身，無形中抓住了學生的課堂注意力。

2、例題選擇方面：

關于例

1、試判斷函數f(x)?變式：討論函數f(x)?x(?1?x?1)的單調性并證明； x2?1ax(?1?x?1)的單調性。x2?1選擇這個題目是為了讓學生更好地掌握定義法證明函數單調性的方法和基本步驟，變式的選擇是為培養學生分情況討論的意識和能力，講解過程中要注意證明的規范性，進一步培養學生嚴謹、規范的科學態度和品質。

關于例

2、求函數y?x?2?1的值域。x?2函數單調性的一個很重要的應用是求函數的值域或最值，選擇這道題，教會學生利用單調性來求函數值域的方法。讓學生體會利用單調性求值域時的簡捷有效。豐富學生的知識體系。

關于例

3、已知函數f(x)是定義在(0,??)上的增函數，且f()?f(x)?f(y)

xy（1）求f(1)的值

（2）若f(3)?1,解不等式f(x?5)?2

這是一道抽象函數的題目，對于求出f(1)、f(9)分別是0和2用的是賦值法，這是抽象函數中常用的方法，不等式變為f(x?5)?f(9)，應用函數單調性，將抽象函數函數值的大小關系，轉化為自變量之間的大小關系，即??x?5?9，提醒學生注意函數定義域！

?x?5?0選擇這個抽象函數的例子，目的就是讓學生體會并掌握怎么樣利用單調性轉化函數和自變量的大小關系。

關于例

4、已知f(x)是R上的減函數，g(x)??x2?4x，求函數h(x)?f(g(x))的單調增區間。

最終的那個函數明顯是個復合函數，函數g(x)圖象的對稱軸是x?2，開口向下，在[2,??)上遞減，又f(x)也遞減，所以[2,??)是個增區間。

本題小結：兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。

3、關于這部分的課堂小結：

我們可以應用函數的單調性求函數值域、解不等式，以及證明一些代數命題。

4、關于鞏固練習題目方面的選擇：

這部分選兩題，類型在例題中已出現，其中第一個要先證明函數的單調性，再求值域。而第二題則先要判斷單調性，再進行證明，確定了單調性之后再應用到三角形的問題中，使學生在解題的過程中體會在一些代數不等式證明中如何應用函數單調性的。

這部分讓學生自己做，用投影儀和板書結合，規范其書寫和論證。

5、關于作業布置方面：

結合本節課的講解內容，為進一步鞏固教學成果，在作業題型選擇上，本人力求做到緊扣和深化上課內容。一共有三大題，第一題是求單調區間，其中要用圖形，數形結合；第二題要利用例4的小結“兩個函數單調性相同則復合后是增，相反則復合后是減。”；第三題是抽象函數題，與課上的例3類型一樣，讓學生課后練習鞏固。

以上是我對這部分習題教學方面的一些思考，希望得到專家的指正！

第三篇：函數的單調性教學設計

《函數的單調性》教學設計

設計理念

新課程背景下的數學教學既要注重邏輯推理，又要關注直覺思維的啟迪，不僅要讓學生學會，更要讓學生會學，要讓學生學習的過程成為其心靈愉悅的主動認知的過程．基于以上設計理念，對于本節課，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學媒體設計、教學過程設計及教學評價等六個方面進行簡單說明。

一、教材分析

函數的單調性是在研究函數的概念之后的第一個函數的性質，既是函數概念的延續和拓展，又為后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容奠定了基礎，同時為初高中知識的銜接起著承上啟下的作用。函數單調性概念的建立過程中蘊涵諸多數學思想方法，對于進一步探索、研究函數的其他性質有很強的啟發與示范作用。根據函數單調性在教材中的地位和作用及課程標準的要求，本節課教學目標如下： 知識與技能

使學生理解函數單調性的概念，初步掌握判定函數單調性的方法； 過程與方法 通過探究活動滲透“ 數形結合”思想，使學生明白考慮問題要細致縝密，說理要嚴密明確。

情感態度與價值觀 感受數形結合的數學之美，使學生認識到事物在一定條件下可以相互轉化的辨證觀點

根據上述教學目標，本節課的教學重點是函數單調性的概念形成．

雖然高一學生對函數單調性有一定的感性認識，但抽象思維能力還有待加強．因此，本節課的學習難點是函數單調性的概念形成與應用．

二、教法學法

1．在教法上采取了：通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性，從而正確形成概念 ． 2．在學法上重視了：讓學生利用圖形直觀啟迪思維，通過正、反例的構造，來完成從感性認識到理性思維的質的飛躍；讓學生從問題中質疑、嘗試、歸納、總結、運用，培養學生發現問題、研究問題和分析解決問題的能力．

3．教學手段：借助信息技術輔助教學，提供直觀感性材料，他不僅可以激發學生的學習興趣，提高課堂效率，促進師生交流，提高課堂的交互性。

三、教學過程

下面我們來重點探討本節課的教學設計和整合點分析。

以課前學案的形式，布置個學習小組利用幾何畫板作出下列函數的圖象。意在健全學生的基礎認知結構，熟練幾何畫板的操作，同時可以感受函數圖象變化趨勢，為教學做好準備。

教學情境引入，采用天氣預報聲音文件和幻燈片同步播放的方式。在傳統教學模式中，恰當地創設情境往往受很多條件的限制，而幻燈片展示圖片資料方便快捷，天氣預報聲音文件的使用激發學生的學習興趣。

教師趁勢展開定義生成的探究活動。要生成定義就要由描述性語言過渡到數學語言，這是認知過程中一個質的飛躍。也是本節教學的一個難點。我借助幾何畫板的同步直觀演示，幫助學生探究增函數的一大重大特征：因變量隨著自變量的增大而增大。進一步引導學生探究發現，在某些區間因變量隨著自變量的增大而減小。自變量在給定區間變化的重要性。從而生成了增函數的概念。利用信息技術突破了本節課的教學難點。在定義生成的規程中，我們發現有大容量的板書，借助幻燈片展示文本信息，方便快捷。教師可以借助多媒體幫助學生分析圖象，進一步理解函數概念。

組織學生小組探究函數的單調性，并請小組代表展示探究成果。

學生剛接觸定義，運用并判斷函數單調性的能力有待提高.而小組合作可提高學習熱情，畫圖觀察便于學生先根據“形”判斷單調性；實物展示平臺展示繪圖成果便于繪圖經驗的示范與推廣．

在交流與練習中，觀察函數圖象規律是“數形”結合解題的關鍵，但手繪圖象往往耗時較長.學生借助幾何畫板軟件分析函數的單調性，信息技術的介入幫助學生“數形”結合解題，使其體會到手腦并用、成功解決問題的快樂．教師運用數學實驗室無線局域網絡的輔助教學,可將主機切換到各小組的操作界面。不僅實現了小組實驗表現和結論的展示，又實現了實驗資源的共享。解決了在傳統教學模式中，各小組間的交流與比較非常困難.作業布置，引導學生運用所學的知識解決生活中的常見問題“糖水加糖甜更甜”的生活現象。通過數學建模，構造以糖的份量為自變量的xy?濃度函數，通過操作幾何畫板，學生可以輕松地發現隨著糖x?1份量的增加，糖水的濃度也增大，從而運用數學知識解決了化學問題。也讓學生意識到知識來源于生活，更能應用于生活。

教學反思，本節課的教學是以實驗活動為中心，以探索數學規律為出發點，以學生的可持續發展探究能力為培養目標。是將信息技術與課堂教學整合的一次新的嘗試。在教學過程中，大量加工處理并使用了聲音、圖片、動畫、幾何畫板、實物展示平臺等多種信息技術，進而突出重點，突破難點。不僅把信息技術作為教學的輔助手段，也作為促進學生自主學習數學知識的認知工具和情感激勵工具。

教學評價。參與程度、合作意識、思考習慣、發現能力。尤其是在分小組實驗中，基礎薄弱的同學容易產生厭怠的情緒，而且承擔的任務量較小。針對這種現象，采用分層教學。

總之，這節課達到了預設與生成的辯證統一。從課后反饋的效果來看，我的教學是成功的。最后，是我的板書設計。謝謝大家！

（一）創設情境 提出問題

問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始．首先創設情景，通過兩個問題，引發學生學習的好奇心．

（問題情境）（播放中央電視臺天氣預報的音樂）．如圖為某地區2009年元旦這一天24小時內的氣溫變化圖，觀察這張氣溫變化圖：

[教師活動]引導學生觀察圖象，提出問題：

問題1：說出氣溫在哪些時段內是逐步升高的或下降的？

問題2：怎樣用數學語言刻畫上述時段內“隨著時間的增大氣溫逐漸升高”這一特征？

（二）探究發現 建構概念

[學生活動]對于問題1，學生容易給出答案．問題2對學生來說較為抽象，不易回答．

[教師活動]為了引導學生解決問題2，先讓學生觀察圖象，通過具體情形，例如，“t1=8時，f(t1)=1，t2=10時，f(t2)= 4”這一情形進行描述．引導學生回答：對于自變量8<10，對應的函數值有1<4.舉幾個例子表述一下.然后給出一個鋪墊性的問題：結合圖象，請你用自己的語言，描述“在區間［4，14］上，氣溫隨時間增大而升高”這一特征．

在學生對于單調增函數的特征有一定直觀認識時，進一步提出：

問題3:對于任意的t1、t2∈[4，16]時，當t1< t2時，是否都有f(t1)

[學生活動]通過觀察圖象、進行實驗（計算機）、正反對比，發現數量關系，由具體到抽象，由模糊到清晰逐步歸納、概括、抽象出單調增函數概念的本質屬性，并嘗試用符號語言進行初步的表述。

[教師活動]為了獲得單調增函數概念，對于不同學生的表述進行分析、歸類，引導學生得出關鍵詞“區間內”、“任意”、“當家集體給出單調增函數概念的數學表述．提出：

問題4： 類比單調增函數概念，你能給出單調減函數的概念嗎？

最后完成單調性和單調區間概念的整體表述．

[設計意圖]數學概念的形成來自解決實際問題和數學自身發展的需要．但概念的高度抽象，造成了難懂、難教和難學，這就需要讓學生置身于符合自身實際的學習活動中去，從自己的經驗和已有的知識基礎出發，經歷“數學化”、“再創造”的活動過程．剛升入高一的學生已經具備了一定的幾何形象思維能力，但抽象思維能力不強．從日常的描述性語言概念升華到用數學符號語言精確刻畫概念是本節課的難點．

時，都有

”，最后由大

（三）自我嘗試 運用概念

1．為了理解函數單調性的概念，及時地進行運用是十分必要的．

[教師活動]問題5：（1）你能找出氣溫圖中的單調區間嗎？

（2）你能說出你學過的函數的單調區間嗎？請舉例說明．

[學生活動]對于（1），學生容易看出：氣溫圖中分別有兩個單調減區間和一個單調增區間．對于（2），學生容易舉出具體函數如：，，并畫出函數的草圖，根據函數的圖象說出函數的單調區間．

[教師活動]利用實物投影儀，投影出學生畫的草圖和標出的單調區間，并指出學生回答時可能出現的錯誤，如：在敘述函數的單調區間時寫成并集．

[設計意圖]在學生已有認知結構的基礎上提出新問題，使學生明了，過去所研究的函數的相關特征，就是現在所學的函數的單調性，從而加深對函數單調性概念的理解．

2．對于給定圖象的函數，借助于圖象，我們可以直觀地判定函數的單調性，也能找到單調區間．而對于一般的函數，我們怎樣去判定函數的單調性呢？

[教師活動]問題6：證明在區間（0，+ ∞）上是單調減函數．

[學生活動]學生相互討論，嘗試自主進行函數單調性的證明，可能會出現不知如何比較與的大小、不會正確表述、變形不到位或根本不會變形等困難．

[教師活動]教師深入學生中，與學生交流，了解學生思考問題的進展過程，投影學生的證明過程，糾正出現的錯誤，規范書寫的格式．

[學生活動]學生自我歸納證明函數單調性的一般方法和步驟：取值、作差變形、定號、判斷．

[設計意圖]有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究．

（四）回顧反思 深化概念

[教師活動]給出一組題：

1、定義在R上的單調函數函數還是單調減函數？

2、若定義在R上的單調減函數取值范圍嗎？

[學生活動]學生，并通過問題，歸納總結本節課的內容和方法.[設計意圖]通過學生的互相討論，使學生在探求問題的解答和問題的解決過程中，深切體會本節課的主要內容和思想方法，從而實現對函數單調性認識的再次深化.[教師活動]作業布置：

（1）閱讀教材

（2）書面作業：

必做：教材 P43 1、7、11 選做：二次函數一嗎？

在［0，＋∞）是增函數，滿足條件的實數的值唯

滿足，你能確定實數的滿足，那么函數

是R上的單調增探究：函數在定義域內是增函數，函數有兩個單調減區間，由這兩個基本函數構成的函數的單調性如何？請證明你得到的結論．

[設計意圖]通過兩方面的作業，使學生養成先看書，后做作業的習慣．基于函數單調性內容的特點及學生實際，對課后書面作業實施分層設置，安排基本練習題、鞏固理解題和深化探究題三層．學生完成作業的形式為必做、選做和探究三種，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成．

四、教學評價

學生學習的結果評價當然重要，但是更重要的是學生學習的過程評價．教師應當高度重視學生學習過程中的參與度、自信心、團隊精神、合作意識、獨立思考習慣的養成、數學發現的能力，以及學習的興趣和成就感．學生熟悉的問題情境可以激發學生的學習興趣，問題串的設計可以讓更多的學生主動參與，師生對話可以實現師生合作，適度的研討可以促進生生交流以及團隊精神，知識的生成和問題的解決可以讓學生感受到成功的喜悅，縝密的思考可以培養學生獨立思考的習慣．讓學生在教師評價、學生評價以及自我評價的過程中體驗知識的積累、探索能力的長進和思維品質的提高，為學生的可持續發展打下基礎． 我相信赫爾巴特的名言：使教育過程成為一種藝術的事業！

第四篇：函數的單調性教學設計

函數的單調性教學設計

戴氏教育高中數學組

杜劍 【教材分析】

《函數單調性》是高中數學新教材必修一第二章第三節的內容。在此之前，學生已學習了函數的概念、定義域、值域及表示法，這為過渡到本節的學習起著鋪墊作用。本節內容是高中數學中相當重要的一個基礎知識點，是研究和討論初等函數有關性質的基礎。掌握本節內容不僅為今后的函數學習打下理論基礎，還有利于培養學生的抽象思維能力，及分析問題和解決問題的能力。【教學目標】

知識與技能：

1．通過生活中的例子幫助學生理解增函數、減函數及其幾何意義。2．學會應用函數的圖象理解和研究函數的單調性及其幾何意義。過程與方法：

1．通過本節課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辨證唯物主義的教育。2．通過探究與活動，使學生明白考慮問題要細致，說理要明確。情感與態度：

1．通過本節課的教學，使學生能理性的描述生活中的增長、遞減的現象。

2．通過生活實例感受函數單調性的意義，培養學生的識圖能力和數形語言轉化的能力。【重點難點】

重點：函數單調性概念的理解及應用。難點：函數單調性的判定及證明。關鍵：增函數與減函數的概念的理解。【教法分析】

為了實現本節課的教學目標，在教法上我采取了：

1．通過學生熟悉的實際生活問題引入課題，為概念學習創設情境，拉近數學與現實的距離，激發學生求知欲，調動學生主體參與的積極性。

2．在形成概念的過程中，緊扣概念中的關鍵語句，通過學生的主體參與，正確地形成概念。3．在鼓勵學生主體參與的同時，不可忽視教師的主導作用，要教會學生清晰的思維、嚴謹的推理，并順利地完成書面表達。【學法分析】

在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。【教學過程設計】

（一）問題情境

遵義一天的天氣

設計意圖：用天氣的變化，讓學生用樸素的生活語言描述他們對變化規律的理解，并請學生將文字語言轉化為圖形語言，這樣做可使教學過程富有情趣，可激發學生的學習熱情，教學起點的設定也比較恰當，學生的參與度較高。

（二）溫故知新

1．問題1：觀察學生繪制的函數的圖象（實際教學中可根據學生回答的情況而定），指出圖象的變化的趨勢。

觀察得到：隨著x值的增大，函數圖象有的呈上升趨勢，有的呈下降趨勢，有的在一個區間內呈上升趨勢，在另一區間內呈下降趨勢。

2．問題2：對“圖象呈逐漸上升趨勢”這句話初中是怎樣描述的？ 例如：初中研究y?x2時，我們知道，當x<0時，函數值y隨x的增大而減小，當x>0時，函數值y隨x的增大而增大。

回憶初中對函數單調性的解釋：

圖象呈逐漸上升趨勢?數值y隨x的增大而增大；圖象呈逐漸下降趨勢?數值y隨x的增大而減小。

函數這種性質稱為函數的單調性。

設計意圖：學生在函數單調性這一概念的學習上有三個認知基礎：一是生活體驗，二是函數圖象，三是初中對函數單調性的認識。對照繪制的函數圖象，讓學生回憶初中對函數單調性的描述的定義，并在此基礎上進行概念的符號化建構，與學生的認知起點銜接緊密，符合學生的認知規律。

（三）建構概念

問題3：如何用符號化的數學語言來準確地表述函數的單調性呢？

對于區間I內的任意兩個值x1,x2，當x1?x2時，都有f(x1)?f(x2)。

單調增函數的定義：

問題4：如何定義單調減函數呢？ 可以通過類比的方法由學生給出。

設計意圖：通過師生雙邊活動及學生討論，可以讓學生充分參與用嚴格的數學符號語言定義函數單調性的全過程，讓他們親身體驗數學概念如何從直觀到抽象，從文字到符號，從粗疏到嚴密。讓他們充分感悟數學概念符號化的建構原則。問題4則要求學生結合圖象化單調增函數的定義，通過類比的方法，由學生自己得到單調減函數的概念，在這個過程中，學生可以體會數學概念是如何擴充完善的。

（四）理解概念

1．顧名思義，對“單調”兩字加深理解

漢語大詞典對“單調”的解釋是：簡單、重復而沒有變化。2．呼應引入，解決問題情境中的問題

如：y?2x?1的單調增區間是(??,??)；y?3．單調性是函數的“局部”性質 如：函數y?上減函數？

引導學生討論，從圖象上觀察或用特殊值代入驗證否定結論（如取x1??1,x2?

1在(0,??)上是減函數。x11在(0,??)和(??,0)上都是減函數，能否說y?在定義域(??,0)(0,??)上xx1）。

2設計意圖：學生對一個概念的認識不可能一次完成，教師要善于從多個角度，通過概念變式教學和構造反例幫助學生理解概念的內涵與外延。在學習如何證明一個函數的單調性之前，先與學生 一起探討怎樣才能否定一個函數的單調性對幫助學生理解函數單調性的概念尤為重要，可以加深學生對“任意”兩字的理解。

（五）運用概念

通過兩例，教師要向學生說明： 1．判斷函數單調性的主要方法：①觀察法：畫出函數圖象來觀察；②定義法：嚴格按照定義進行驗證；③分解法：對函數進行恰當的變形，使之變成我們所熟悉的且已知其單調性的較簡單函數的組合。

2．概括出證明函數單調性的一般步驟：取值→作差→變形→定號。練習：作出函數y?|x?1|?

1、y?|x2?1|的圖象，寫出他們的單調區間。

設計意圖：單調性證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證問題，通過本例，要讓學生理解判斷函數單調性與證明函數單調性的差別，掌握證明函數單調性的程序，并深入理解什么是代數證明，代數證明要做什么事。

（六）回顧總結

本節課主要學習了函數單調性的定義，單調區間的概念，能利用（1）圖象法；（2）定義法來判定函數的單調性，從中體會了數形結合的思想，學會從“特殊到一般再到特殊”的思維方法來研究問題。【教學反思】

1．給出生活實例和函數單調性的圖形語言，調動學生的參與意識，通過直觀圖形得出結論，滲透數形結合的數學思想。問題是數學的心臟，問題是學生思維的開始，問題是學生興趣的開始。這里，通過問題，引發學生的進一步學習的好奇心。

2．給出函數單調性的數學語言。通過教師指圖說明，分析定義，提問等辦法，使學生把定義與直觀圖象結合起來，加深對概念的理解，滲透數形結合分析問題的數學思想方法。

3．有效的數學學習過程，不能單純的模仿與記憶，數學思想的領悟和學習過程更是如此．利用學生自己提出的問題，讓學生在解題過程中親身經歷和實踐體驗，師生互動學習，生生合作交流，共同探究。

4．通過安排基本練習題，使學生在完成必修教材基本學習任務的同時，拓展自主發展的空間，讓每一個學生都得到符合自身實踐的感悟，使不同層次的學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發學生飽滿的學習興趣，促進學生自主發展、合作探究的學習氛圍的形成。

5．讓學生體驗數學知識的發生發展過程應該成為這節課的一個重要教學目標。函數的單調性的定義是對函數圖象特征的一種數學描述，它經歷了由圖象直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有價值的數學教育載體。

6．教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”，而不是“為教學設計學習”。通過對“函數單調性”教學設計，我對“為學習設計教學”有了更深的理解。如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；目標導向這是要教師分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務，是教學設 計的關鍵；知識定位則好比是教師要預先分析通往目的地的道路狀況，從而決定前進的方法和策略；問題設計則好比是設計行程，恰當安排可以指引師生高效地向著目的地前行。本節課就是通過這樣的設計思想來安排教學設計的。

第五篇：函數的單調性(教學設計)

【教學目標】

1.知識與技能：從形與數兩方面理解函數單調性的概念，掌握利用函數圖象和定義判斷、證明函數單調性的方法步驟。

2.過程與方法：通過觀察函數圖象的變化趨勢上升或下降，初步體會函數單調性，然后數形結合，讓學生嘗試歸納函數單調性的定義，并能利用圖像及定義解決單調性的證明。

3.情感、態度與價值觀：在對函數單調性的學習過程中，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程，增強學生由現象猜想結論的能力。

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷。

【教學難點】 根據定義證明函數的單調性。

【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習。

【教學工具】 教學多媒體。

【教學過程】

一、創設情境，引入課題

師：同學們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個樓梯的臺階都標上數字，我們一起來描述一下從樓下走到教室這一過程中，同學們的位置變化。

生：隨著樓梯臺階標號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。

師：(積極反饋，全班鼓掌表揚)反之，我們下樓時，我們的位置顯然是在下降的。

師：(閱讀教材，人教版節首內容，引導學生看圖)結合上下樓的問題，引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考。

觀察圖中的函數圖象，隨著函數自變量的增大(減小)，你能得到什么信息?

二、歸納探索，形成概念

我們在學習函數概念時，了解了函數的定義域及值域，本節內容其實就是針對自變量與函數值之間的變化關系進行的專題研究之一──函數單調性的研究。

同學們在初中已經對函數隨著自變量取值的變化函數值相應的變化情況有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務就是通過形象的函數圖象變化情況，為函數單調性建立嚴格定義。

1.借助圖象，直觀感知

首先，我們來研究一次函數和二次函數的單調性。

師：在沒有學習函數單調性的嚴格定義之前，函數的單調性可以理解為，師：根據圖象，請同學們寫出你對這兩個函數單調性的描述。

生：(獨立完成，小組內互相檢查，然后閱讀教材，對比參照)。

2.抽象思維，形成概念

函數的性質離不開函數的定義域，在研究函數單調性時，我們也必須充分考慮到這一點，在函數的定義區間上描述隨著自變量值的變化，函數值的變化情況。

師：思考，如何利用函數解析式來描述函數隨著自變量值的變化，函數值的變化情況?(注意函數的定義區間)

生：在上，隨著自變量值的增大，函數值逐漸減小;在上，隨著自變量值的增大，函數值逐漸增大。

師：如果給出函數，你能用準確的數學符號語言表述出函數單調性的定義嗎?

生：(師生共同探究，得出增函數嚴格的定義)一般地，設函數的定義域為：

①如果對于定義域上某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是增函數;

②如果對于定義域上某個區間上的任意兩個自變量的值，當時，都有，那么就說函數在區間上是減函數。

三、掌握證法，適當延展

【例1】下圖是定義在區間上的函數，根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數?

【例2】物理學中的玻意耳定律(為正常數)告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積減小時，壓強將增大。試用函數的單調性證明之。

師：在解決完成這個例題后，根據解題步驟歸納總結用定義證明函數單調性的一般性算法步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，共同完成小結。

(1)利用圖象判斷函數單調性;

(2)利用定義判斷函數單調性;

(3)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論。

五、布置作業，拓展探究

課后探究：研究函數的單調性。

六、板書設計

函數的單調性

一、創設情境，引入課題

二、歸納探索，形成概念

三、掌握證法，適當延展

四、歸納小結，提高認識

七、教學反思

在有限的課堂時間，使學生掌握利用數形結合的思想方法準確理解函數單調性的有關概念，加深對基本概念的認識。首先，展示一個學生都熟悉無比的情境，在這個情境中讓學生直觀地理解上升(遞增)或下降(遞減)的現象，然后針對課本所給的三個圖象，結合情境中的直觀現象，讓學生描述這三個函數圖象的特征。學生在描述函數圖象特征(上升或下降)的時候較為順利，但總覺得有錯誤，可又說不清理由。此時，教師指出：在敘述函數圖像特征時要按照一定的標準，即觀察的順序應沿x軸正方向，自變量從左向右變化時，函數值(圖像)的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函數的單調性這個函數的性質。在直觀上承認這一性質以后，由學生按學習小組，仿照剛才的分析去研究一次函數和二次函數的單調性。繼而提出：圖象特征如何轉化為數學語言?經過學生探究思考，教師啟發，學生歸納總結函數單調性的定義。結合圖像，學生通過自主合作探索，自己給出了函數單調性的定義。然后讓學生打開書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，并提示注意書本敘述的精確用語。本課學生印象深刻，理解深入，合作探究激發了學生的內驅力與自信心。