第一篇：高中數學有關平面向量的公式的知識點總結
定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ?向量PP2）
設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ)，y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）
我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a；
結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0
AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當λ＞0時，λa與a同方向；
當λ＜0時，λa與a反方向；
當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。
注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍；
當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.數對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π
定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數量積的運算律
a?b=b?a（交換律）；
(λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律)；
（a+b)?c=a?c+b?c（分配律）；
向量的數量積的性質
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c)；例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號；
② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號；
② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
第二篇：高中數學平面向量的公式知識點
【摘要】“高中數學平面向量的公式知識點”數學公式講解是這門學科的要點，套用公式是最終的題解方法，希望本文可以為大家帶來幫助：
定比分點
定比分點公式(向量P1P=λ?向量PP2)設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分點向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分點坐標公式)我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式
三點共線定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線
三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
[編輯本段]向量共線的重要條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。
a//b的重要條件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
[編輯本段]向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a?b=0。
a⊥b的充要條件是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.設a=(x，y)，b=(x'，y')。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。
向量加法的運算律：
交換律：a+b=b+a;結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”
a=(x,y)b=(x',y')則 a-b=(x-x',y-y').4、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
當λ>0時，λa與a同方向;當λ<0時，λa與a反方向;當λ=0時，λa=0，方向任意。
當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。
當∣λ∣>1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長為原來的∣λ∣倍;當∣λ∣<1時，表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上縮短為原來的∣λ∣倍。
數與向量的乘法滿足下面的運算律
結合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量對于數的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.數對于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
3、向量的的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數量積(內積、點積)是一個數量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共線，則a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的數量積的坐標表示：a?b=x?x'+y?y'。
向量的數量積的運算律
a?b=b?a(交換律);(λa)?b=λ(a?b)(關于數乘法的結合律);(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);向量的數量積的性質
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的數量積與實數運算的主要不同點
1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a?b=a?c(a≠0)，推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b|，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積(外積、叉積)是一個向量，記作a×b。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。
向量的向量積性質：
∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量積運算律
a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號;② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
第三篇：平面向量、三角公式知識回顧
2013.03.18：知識回顧——平面向量、三角公式
一.平面向量：
1.與的數量積(或內積)：
a?b?|a|?|b|cos?cos??
2．平面向量的坐標運算：
(1)設A(x),則???AB?????OB?????OA?
1,y1)，B(x2,y2?(x2?x1,y2?y1).(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=x1x2?y1y2.(3)設a=(x,y)，則a?
x2?y2
3.兩向量的夾角公式：
設a=(xa?bx1x2?y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b?0，則cos??ab
?
x
21?y1?x2?y2
4．向量的平行與垂直：
//??? ?x1y2?x2y1?0.?(?)?a?b?0?x1x2?y1y2?0.二．三角函數、三角變換、解三角形：
1．同角三角函數的基本關系：
（1）平方關系：sin2?+ cos2?=1。（2）商數關系：
sin?cos?=tan?（???
?k?,k?z）（3）asin??bcos??
a2?b2sin(???)（其中輔助角?與點（a,b）在同一象限，且tan??
b
a）2.誘導公式：（三角函數符合分配——“一全、二正、三切、四余”）(第一組)——函數名不變，符號看象限
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???．
（第一象限）?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?．（第三象限）?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?．（第四象限）?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．（第二象限）
(第二組)——函數名改變，符號看象限
?5?sin??
?
?2??????cos?，cos????2???
??
?sin?．（第一象限）?6?sin??
?
?2??????cos?，cos????2???
??
??sin?．（第二象限）（7）sin（3?2??)??cos?,3?
2??)?sin?.（第四象限）（8）sin(3?2??)??cos?,3?
??)??sin?（第三象限）
3.三角函數和差角公式：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?
tan(???)?
tan??tan?
1?tan?tan?
變式：tan??tan??tan(???)（?1?tan?tan?）
4．二倍角公式：
sin2??2sin?cos?變式：1?sin??(sin
?
?cos?)22
cos2??cos2??sin2?
變式：升冪公式：1+cos?=2cos
?
?2cos2??12
1-cos?=2sin
?
?1?2sin2?
降冪公式：cos2??1?cos2?2sin2
??1?cos2?2
tan 2??2tan?1?tan2?
注：?sin??(cos
?
?sin?)2?cos???
222sin2
5．正弦定理：
asinA?bsinB?c
sinC
?2R.變形：a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinCa:b:c?sinA:sinB:sinC 6.余弦定理：
b21）求邊： a2
?b2
?c2
?2bccosA;（2）求角:cosA??c2?a2
（2bc
a2b?c2?a2
?2cacosB;cosB??c2?b222ac
c2?a2?b2
?2abcosC;cosC?a2?b2?c22ab
7.三角形面積定理：
S?111
2absinC?2bcsinA?2
casinB=pr
(其中p?1
(a?b?c), r為三角形內切圓半徑)
第四篇：高中數學必修4平面向量知識點與典型例題總結(理).
平面向量
【基本概念與公式】 【任何時候寫向量時都要帶箭頭】 1.向量:既有大小又有方向的量。記作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或長度,記作:||AB 或||a。3.單位向量:長度為1的向量。若e 是單位向量,則||1e =。
4.零向量:長度為0的向量。記作:0。【0方向是任意的,且與任意向量平行】 5.平行向量(共線向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:長度和方向都相同的向量。
7.相反向量:長度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法則: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被減數 9.平行四邊形法則: 以,a b 為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a b +,a b-。
10.共線定理://a b a b λ=?。當0λ>時,a b 與同向;當0λ<時,a b 與反向。11.基底:任意不共線的兩個向量稱為一組基底。
12.向量的模:若(,a x y =,則2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.數量積與夾角公式:||||cos a b a b θ?=?;cos ||||a b a b θ?=?
14.平行與垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+=
題型1.基本概念判斷正誤:(1共線向量就是在同一條直線上的向量。
(2若兩個向量不相等,則它們的終點不可能是同一點。(3與已知向量共線的單位向量是唯一的。
(4四邊形ABCD 是平行四邊形的條件是AB CD =。(5若AB CD =,則A、B、C、D 四點構成平行四邊形。(6因為向量就是有向線段,所以數軸是向量。(7若a 與b 共線, b 與c 共線,則a 與c 共線。(8若ma mb =,則a b =。(9若ma na =,則m n =。
(10若a 與b 不共線,則a 與b 都不是零向量。(11若||||a b a b ?=?,則//a b。(12若||||a b a b +=-,則a b ⊥。題型2.向量的加減運算
1.設a 表示“向東走8km ”, b 表示“向北走6km ”,則||a b +=。2.化簡((AB MB BO BC OM ++++=。
3.已知||5OA =,||3OB =,則||AB 的最大值和最小值分別為、。4.已知AC AB AD 為與的和向量,且,AC a BD b ==,則AB = ,AD =。5.已知點C 在線段AB 上,且3
5AC AB =,則AC = BC ,AB = BC。題型3.向量的數乘運算
1.計算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,則1 32a b-=。
題型4.作圖法球向量的和
已知向量,a b ,如下圖,請做出向量132a b +和3 22a b-。a b 題型5.根據圖形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中點,請用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四邊形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。題型6.向量的坐標運算
1.已知(4,5AB =,(2,3A ,則點B 的坐標是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,則點Q 的坐標是。
3.若物體受三個力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,則合力的坐標為。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。
5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--與AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,則DA =。
7.已知O 是坐標原點,(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐標。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底
1.已知12,e e 是平面內的一組基底,判斷下列每組向量是否能構成一組基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和
2.已知(3,4a =,能與a 構成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--題型8.結合三角函數求向量坐標
1.已知O 是坐標原點,點A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐標。2.已知O 是原點,點A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐標。題型9.求數量積
1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1a b ?,(2(a a b ?+,(31(2 a b b-?,(4(2(3a b a b-?+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ?,(3(2a a b ?+,(4(2(3a b a b-?+。題型10.求向量的夾角
1.已知||8,||3a b ==,12a b ?=,求a 與b 的夾角。
2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 與b 的夾角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。題型11.求向量的模
1.已知||3,||4a b ==,且a 與b 的夾角為60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。
3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。題型12.求單位向量 【與a平行的單位向量:||a e a =±】
1.與(12,5a =平行的單位向量是。2.與1(1,2m =-平行的單位向量是。題型13.向量的平行與垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,當m 為何值時,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 為何值時,向量ka b +與3a b-垂直?(2k 為何值時,向量ka b +與3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ?=?,且b c ≠,求證:(a b c ⊥-。題型14.三點共線問題
1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求證:，A B C 三點共線。
2.設2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求證:A B D、、三點共線。
3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,則一定共線的三點是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若點(21,2C a a-+在直線AB 上,求a 的值。
5.已知四個點的坐標(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常數t ,使O A t O B O C +=成立? 題型15.判斷多邊形的形狀
1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,則四邊形的形狀是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,證明四邊形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求證:ABC ?是直角三角形。
4.在平面直角坐標系內,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求證:ABC ?是等腰直角三角形。
題型16.平面向量的綜合應用
1.已知(1,0a =,(2,1b =,當k 為何值時,向量ka b-與3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐標。3.已知a b 與同向,(1,2b =,則10a b ?=,求a 的坐標。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,則c = a + b。
4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,請將用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 與b 的夾角為鈍角,求m 的范圍;(2若a 與b 的夾角為銳角,求m 的范圍。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,當m 為何值時,(1a 與b 的夾角為鈍角?(2a 與b 的夾角為銳角?
7.已知梯形ABCD 的頂點坐標分別為(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求點C 的坐標。
8.已知平行四邊形 ABCD 的三個頂點的坐標分別為 A(2,1，B(?1,3，C(3, 4，求第四個頂點 D 的坐標。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成 30 角，求 水流速度與船的實際速度。10.已知 ?ABC 三個頂點的坐標分別為 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB ? AC ? 0，求 c 的值；（2）若 c ? 5，求 sin A 的值。【備用】 1.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5，求 | a ? b | 和向量 a, b 的夾角。2.已知 x ? a ? b，y ? 2a ? b，且 | a |?| b |? 1，a ? b，求 x, y 的夾角的余弦。1.已知 a ?(1,3, b ?(?2, ?1，則(3a ? 2b ?(2a ? 5b ?。4.已知兩向量 a ?(3, 4, b ?(2, ?1，求當 a ? xb與a ? b 垂直時的 x 的值。5.已知兩向量 a ?(1,3, b ?(2, ?，a與b 的夾角 ? 為銳角，求 ? 的范圍。變式：若 a ?(?, 2, b ?(?3,5，a與b 的夾角 ? 為鈍角，求 ? 的取值范圍。選擇、填空題的特殊方法： 1.代入驗證法 例：已知向量 a ?(1,1, b ?(1, ?1, c ?(?1, ?，則2 c ?（1 3 A.? a ? b 2 2 1 3 B.? a ? b 2 2 3 1 C.a ? b 2 2 3 1 D.? a ? b 2 2）變式：已知 a ?(1, 2, b ?(?1,3, c ?(?1, 2，請用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ?ABC 的重心，則下列向量與 AB 共線的是（A.AM ? MB ? BC B.3 AM ? AC C.AB ? BC ? AC）D.AM ? BM ? CM 6
廣東省近八年高考試題-平面向量（理科）1.(2007年高考廣東卷第10小題 若向量 a、b 滿足| a |=| b |=1，a 與 b 的夾角為 120?，則 a a ? a b ? 2.(2008 年高考廣東卷第 3 小題 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，則 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考廣東卷第 3 小題（x,1），b= 已知平面向量 a=，則向量 a ? b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 軸 C.平行于 y 軸 B.平行于第一、三象限的角平分線 D.平行于第二、四象限的角平分線 ? ? ? ? ? ? c =(3,x滿足條件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考廣東卷第 5 小題若向量 a =（1,1），（2,5），則x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考廣東卷第 3 小題已知向量 a ?(1, 2, b
?(1,0, c ?(3, 4 ．若 ? 為實數,(a ? ?b / / c, 則? ?(B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考廣東卷第 3 小題 8．若向量 BA ?(2,3，CA ?(4,7，則 BC ?（A．(?2, ?4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(?6, ?10 9.(2012 年高考廣東卷第 8 小題對任意兩個非零的平面向量 ? , ?，定義
? ? ? ? ??．若平面
? ?? ? ?? ?n ?向量 a, b 滿足 a ? b ? 0，a 與 b 的夾角 ? ? ? 0, ?，且
? ?和
? ?都在集合? | n ? Z ?中，則
? 4? ?2 ? b a? A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 廣東省高考數學理科 12）已知向量 a ? ?1,0, ?1?則下列向量中 , 與 a 成 60 ? 夾角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8
第五篇：高中數學競賽講義(八)平面向量
高中數學競賽講義
（八）──平面向量
一、基礎知識
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規定零向量與任意一個非零向量平行和結合律。
定理1 向量的運算，加法滿足平行四邊形法規，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實數
0，使得a=
f
定理3平面向量的基本定理，若平面內的向量a, b不共線，則對同一平面內任意向是c，存在唯一一對實數x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底，任取一個向量c，由定理3可知存在唯一一組實數x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標。
定義4 向量的數量積，若非零向量a, b的夾角為，則a, b的數量積記作a·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos
b
x1x2+y1y2=0.(a, b0)，定義5 若點P是直線P1P2上異于p1，p2的一點，則存在唯一實數λ，使，λ叫P分所成的比，若O為平面內任意一點，則。由此可得若P1，P，P2的坐標分別為(x1, y1),(x, y),(x2, y2)，則
講義八
/ 8
定義6 設F是坐標平面內的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=個單位得到圖形，這一過程叫做平移。設p(x, y)是F上任意一點，平移到上對應的點為，則稱為平移公式。
定理5 對于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.【證明】 因為|a|2·|b|2-|a·b|2=
-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：
(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，所以|a|·|b|≥|a·b|.由向量的三角形法則及直線段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.注：本定理的兩個結論均可推廣。1）對n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有|a·b|≤|a|·|b|，化簡即為柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對于任意n個向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、方向與例題
1．向量定義和運算法則的運用。
例1 設O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記后與原正n邊形重合，所以，若
不變，這不可能，所以，則將正n邊形繞中心O旋轉
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是【證明】必要性。如圖所示，設各邊中點分別為D，E，F，延長AD至P，使DP=GD，則
又因為BC與GP互相平分，所以BPCG為平行四邊形，所以BG所以
PC，所以
講義八
/ 8
充分性。若因為，延長AG交BC于D，使GP=AG，連結CP，則，則，所以GB
CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對角線BD和AC的中點，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結結BQ，QD。
因為所以==又因為同理，②，③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。，·
①
【證明】 首先
=
其次設BO交外接圓于另一點E，則連結CE后得CE又AH又EABC，所以AH//CE。AB，CH
AB，所以AHCE為平行四邊形。
講義八
/ 8
所以所以所以所以與，共線，所以O，G，H共線。
所以OG：GH=1：2。
3．利用數量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b.求證：|a+b|=|a-b|的充要條件是a【證明】|a+b|=|a-b|
(a+b)2=(a-b)
2b.a·b=0
a
b.a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2例6 已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，D為AB中點，E為△ACD重心。求證：OECD。
【證明】 設，則，又，所以
a·(b-c).（因為|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因為AB=AC，OB=OC，所以OA為BC的中垂線。所以a·(b-c)=0.所以OE
CD。
4．向量的坐標運算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長線交BA的延長線于點F，求證：AF=AE。
講義八/ 8
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點建立直角坐標系，設正方形邊長為1，則A，B坐標分別為（-1，1）和（0，1），設E點的坐標為（x, y），則y-1), 又因為，因為，所以-x-(y-1)=0.=(x,，所以x2+y2=2.由①，②解得
所以
設所以所以，則，即F=4+
。由和，共線得，所以AF=AE。
三、基礎訓練題
1．以下命題中正確的是__________.①a=b的充要條件是|a|=|b|，且a//b；②(a·b)·c=(a·c)·b；③若a·b=a·c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達式中：①③ ；④
與，相等的有__________.；②；，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)3．已知a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, a·b=0，則|x|+|y|=__________.4．設s, t為非零實數，a, b為單位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，則a和b的夾角為__________.5．已知a, b不共線，條件.6．在△ABC中，M是AC中點，N是AB的三等分點，且于D，若7．已知__________.8．已知
=b, a·b=|a-b|=2，當△AOB面積最大時，a與b的夾角為__________.講義八
/ 8
=a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________，BM與CN交，則λ=__________.不共線，點C分
所成的比為2，則9．把函數y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y=2x2的圖象，c=(1,-1), 若c·b=4，則b的坐標為__________.，10．將向量a=(2, 1)繞原點按逆時針方向旋轉得到向量b，則b的坐標為__________.與11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，試問的夾角取何值時的值最大？并求出這個最大值。
12．在四邊形ABCD中，如果a·b=b·c=c·d=d·a，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓練題
1．點O是平面上一定點，A，B，C是此平面上不共線的三個點，動點P滿足
則點P的軌跡一定通過△ABC的________心。
2．在△ABC中，3．非零向量=__________.4．若O為△ABC 的內心，且為__________.5．設O點在△ABC 內部，且__________.6．P是△ABC所在平面上一點，若__________心.7．已知，則|
|的取值范，則P是△ABC 的，則△AOB與△AOC的面積比為，則△ABC 的形狀，且a·b<0，則△ABC的形狀是__________.，若點B關于
所在直線對稱的點為B1，則圍是__________.8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.9．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM=2，則值為__________.10．已知集合M={a|a=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={a|a=(-2,-2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj MN=__________.講義八
/ 8 的最小11．設G為△ABO的重心，過G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求的取值范圍。
12．已知兩點M（-1，0），N（1，0），有一點P使得成公差小于零的等差數列。
（1）試問點P的軌跡是什么？（2）若點P坐標為(x0, y0), 求tan.五、聯賽一試水平訓練題
1．在直角坐標系內，O為原點，點A，B坐標分別為（1，0），（0，2），當實數p, q
為
與的夾角，滿足時，若點C，D分別在x軸，y軸上，且，則直線CD恒過一個定點，這個定點的坐標為___________.2．p為△ABC內心，角A，B，C所對邊長分別為a, b, c.O為平面內任意一點，則
=___________（用a, b, c, x, y, z表示）.3．已知平面上三個向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若|ka+b+c|>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.4．平面內四點A，B，C，D滿足，則的取值有___________個.5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內接正五邊形，P為⊙O上任意一點，則
取值的集合是___________.6．O為△ABC所在平面內一點，A，B，C為△ABC 的角，若sinA·+sinC·，則點O為△ABC 的___________心.(a-b)”的___________條件.，又(c·b)：(b·a)：(a·c)=1：2：3，則△ABC
+sinB·7．對于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“(a+b)8．在△ABC 中，三邊長之比|a|：|b|：|c|=____________.9．已知P為△ABC內一點，且，CP交AB于D，求證：
講義八
/ 8
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設坐標平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個單位向量，已知從V到的變換T，由T(x)=-x+2(x·a)a(x∈V)確定，（1）對于V的任意兩個向量x, y, 求證：T(x)·T(y)=x·y；
（2）對于V的任意向量x，計算T[T(x)]-x；（3）設u=(1, 0)；，若，求a.六、聯賽二試水平訓練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點，P和R為射線AX上兩點，Q和S為射線BY上的兩點，為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點，為另一定比，試問M，N，T三點的位置關系如何？證明你的結論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對角線，點M，N分別內分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點共線，求r.3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個不同于頂點A，B的點M，點P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內，設D及E是BC的三等分點，D在B和F之間，F是AC的中點，G是AB的中點，又設H是線段EG和DF的交點，求比值EH：HG。
5．是否存在四個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直？
6．已知點O在凸多邊形A1A2…An內，考慮所有的AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數，求證：其中至少有n-1個不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點H，直線ED和AB交于點M，FD和AC交于點N，求證：（1）OB
DF，OC
DE，（2）OH
MN。
8．平面上兩個正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過平面上一點O作，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個不共線，求證：
|a|+|b|+|c|+|d|≥|a+d|+|b+d|+|c+d|.講義八/ 8
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