第一篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇 50 基本不等式

基本不等式：

教材分析

“”的證明學生比較容易理解，學生難理解的是“當且僅當ａ＝ｂ時取?＝?號”的真正數(shù)學內(nèi)涵，所謂“當且僅當”就是“充分必要”．

教學重點是定理及其應用，難點是利用定理求函數(shù)的最值問題，進而解決一些實際問題．

教學目標

1.理解兩個實數(shù)的平方和不小于它們積的2倍這一重要不等式的證明，并能從幾何意義的角度去解釋，形成數(shù)形結合的完美統(tǒng)一．

2.理解兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理的證明，及其幾何意義，會用這兩個重要不等式解決簡單的實際應用題．

3.通過定理的證明培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，通過定理的應用揭示數(shù)學的應用價值．

任務分析

這節(jié)內(nèi)容從實際問題情境展開探討，“如要圍成面積為16ｍ2的一個矩形，所需繩子最短是多少？即設長為ｘ，寬為，則周長為l＝2ｘ＋2×，求當ｘ取何值時，l最小．”讓學生去猜測，去思考，充分調(diào)動學生的積極性，激發(fā)學生的想象和猜想能力．當學生猜想它應為正方形這一結論時，教師適時引導如何去證明猜想的正確性，激發(fā)學生的求知欲望，從而達到由問題到結論的證明，開闊學生的思路，陶冶學生的情操．

教學設計

一、問題情境 教師出示問題，引導學生分析、思考：某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800ｍ，深為3ｍ．如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？

3二、建立模型

1.通過比較ａ＋ｂ與2ａｂ的大小，引入重要不等式． ∵ａ2＋ｂ2－2ａｂ＝（ａ－ｂ）2，∴當ａ≠ｂ時，（ａ－ｂ）＞0； 當ａ＝ｂ時，（ａ－ｂ）2＝0．

即（ａ－ｂ）2≥0，從而有ａ2＋ｂ2≥2ａｂ． 2.結論明晰

定理1 如果ａ，ｂ∈Ｒ，那么ａ2＋ｂ2≥2ａｂ（當且僅當ａ＝ｂ時，取“＝”號）．

22思考：對于定理1和定理2，當且僅當ａ＝ｂ時取“＝”號的具體含義是什么？

三、解釋應用 ［例 題］ 1.已知ｘ，ｙ都是正數(shù)，求證：

小結；上述結論是我們用定理求最值的依據(jù)，可簡述為和為定值積最大，積為定值和最小．

2.設法解決本節(jié)課開始提出的問題．

因此，當水池的底面是邊長為40ｍ的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價為297600元．

3.0求證：在直徑為ｄ的圓內(nèi)接矩形中，面積最大的是正方形，并且這個正方形的面積等于ｄ． 22.設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840ｃｍ2，畫面的寬與高的比為λ（λ＜１），畫面的上、下各留8ｃｍ的空白，左、右各留5ｃｍ的空白．問：怎樣確定畫面的高與寬的尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？

答：當畫面高為88ｃｍ、寬為55ｃｍ時，所用紙張面積最小．

3.用一段長為L（ｍ）的籬笆圍成一個邊靠墻的矩形菜園，問：當這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

上述兩種解答的答案不同，哪一種方法是錯誤的，為什么？

四、拓展延伸

點 評

這篇案例由實際問題引入課題，既自然，又能引起學生的興趣，激發(fā)起學生的求知欲望，為本節(jié)重點的突破打下良好的基礎．由學生已有知識歸納和總結得到這節(jié)課的兩個定理，使學生易于理解和接受．由典型例題的證明，歸納出一般結論，培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力．由練習的變形培養(yǎng)了學生靈活處理問題的能力．對實際問題的解決體現(xiàn)了數(shù)學的應用價值．重要不等式靈活變形的使用不僅加深了對推理的理解，同時突破了對本節(jié)難點“等號成立的條件”的理解．“拓展延伸”給學生以發(fā)揮的空間，啟發(fā)學生由已知到未知的探索能力． 總之，關注基本不等式與現(xiàn)實的聯(lián)系是這篇案例的突出特點，“問題驅(qū)動式”的設計是這篇案例成功的關鍵，而“從問題出發(fā)構建模型，反過來，又利用建立的模型解決開始的問題”的設計又可以使學生領略到學習數(shù)學的成功和勝利喜悅．

第二篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇___49_一元二次不等式

一元二次不等式

教材分析

一元二次不等式的解法是高中數(shù)學的一個重要內(nèi)容，它是進一步學習不等式的基礎，同時是解決有關實際問題的重要方法之一．這節(jié)課通過具體例子，借助二次函數(shù)的圖像求解不等式，進而歸納、總結出一元二次不等式，一元二次方程與二次函數(shù)的關系，得到利用二次函數(shù)圖像求解一元二次不等式的方法．最后，說明一元二次不等式可以轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組，由此又引出了簡單分式不等式的解法．這節(jié)內(nèi)容的重點是一元二次不等式的解法，難點是弄清一元二次不等式、一元二次方程與二次函數(shù)的關系．

教學目標

1.讓學生經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程．

2.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系，熟練掌握應用二次函數(shù)圖像解一元二次不等式的方法．

3.通過一元二次不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組的解法，讓學生體會等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力．

任務分析

這節(jié)課的主要任務是應用二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式．首先通過實例抽象出一元二次不等式模型，讓學生感受到現(xiàn)實生活中存在大量的一元二次不等式，從而得出本節(jié)的主要任務．然后通過解決一些具體的一元二次不等式，讓學生體會和總結出借助二次函數(shù)的圖像解一元二次不等式的方法．最后抽象和概括出一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的關系．學習方法是講練結合，引導學生從具體到一般地總結出一元二次不等式的圖像解法．

教學設計

一、問題情境 1.出示問題

（1）某產(chǎn)品的總成本ｃ（萬元）與產(chǎn)量ｘ（臺）之間滿足關系：ｃ＝3000＋20ｘ－0.1ｘ2，其中ｘ∈（0，240），ｘ∈Ｎ，若每臺產(chǎn)品售價25萬元，試求生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量ｘ．

引導學生建立一元二次不等式模型： 由題意，得銷售收入為25ｘ（萬元），要使生產(chǎn)者不虧本，必須使

3000＋20ｘ－0.1ｘ2≤25ｘ，即ｘ2＋50ｘ－30000≥0．

（2）國家為了加強對某特種商品生產(chǎn)的宏觀管理，實行征收附加稅政策．現(xiàn)知每件產(chǎn)品70元，不加收附加稅時，每年大約產(chǎn)銷100萬件，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元（即稅率為R％），則每年的產(chǎn)銷量要減少10R萬件．要使每年在此項經(jīng)營中所收取的附加稅稅金不少于112萬元，問R應怎樣確定．

2.引導學生建立一元二次不等式模型

設產(chǎn)銷量為每年x（萬件），則銷售收入為每年70x（萬元），從中征收的稅金為70x·R％（萬元），并且ｘ＝100－10R．

由題意，知70（100－10R）·R％≥112，即R2－10R＋16≤0．

如何求解以上兩個一元二次不等式呢？

二、建立模型

1.對于不等式ｘ2＋50ｘ－30000≥0，可以借助二次函數(shù)的圖像來解決

設二次函數(shù)f（ｘ）＝ｘ2＋50ｘ－30000，拋物線開口向上，與ｘ軸交點的橫坐標是相應二次方程ｘ2＋50ｘ－30000＝0的解．此時ｘ1＝－200，ｘ2＝150．如圖，所謂解不等式ｘ2－50ｘ－30000≥0，就相當于求使函數(shù)f（ｘ）≥0的ｘ的集合．考慮圖像在ｘ軸及其上方的部分，即f（ｘ）≥0，相應的ｘ的集合｛ｘ｜ｘ≤－200或ｘ≥150｝就是不等式的解集．結合實際，可知生產(chǎn)者不虧本時的最低產(chǎn)量為150臺．

運用完全類似的方法，可以求解不等式R2－10R＋16≤0的解集為｛R｜2≤R≤8｝． 2.教師明晰

設ａ＞0，解一元二次不等式ａx2＋ｂｘ＋ｃ＞0（＜0），首先，設ｆ（ｘ）＝ａs2＋ｂｘ＋ｃ．（1）計算Δ＝ｂ2－4ａｃ，判斷拋物線ｙ＝ｆ（ｘ）與ｘ軸交點的情況．

（2）若Δ≥０，解一元二次方程ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝0，得兩根為ｘ1，ｘ2，（ｘ1≤ｘ2）．（3）結合（1）（2）畫出ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像．

（4）解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞0，就相當于使ｆ（ｘ）＞0．考慮圖像在ｘ軸上方的部分，即ｆ（ｘ）＞0，相應的ｘ的集合就是ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＞０的解集．

解不等式ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＜0，就相當于使ｆ（ｘ）＜0．考慮圖像在ｘ軸下方的部分，即ｆ（ｘ）＜0，相應的ｘ的集合就是ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜0的解集．

根據(jù)上述內(nèi)容，結合圖像寫出不等式的解集．

思考：對于一元二次不等式的二次項系數(shù)ａ，如果ａ＜0，上述結論如何？

三、解釋應用 ［例 題］

1.解不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0．

解：∵Δ＝（－3）2－4×2×（－2）＝25＞0，方程2ｘ2－3ｘ－2＝0的兩根為ｘ1＝－，ｘ2＝2，∴不等式2ｘ2－3ｘ－2＞0的解集為｛ｘ｜ｘ＜－2.解不等式－ｘ2＋2ｘ－3≥0．

或ｘ＞2｝．

3.已知不等式ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ＞0的解集為R，求ｍ的取值范圍． 解：（1）當ｍ＝0時，原不等式可化為2ｘ＞0，解集不是R．（2）當ｍ＜0時，拋物線ｙ＝ｍｘ2－（ｍ－2）ｘ＋ｍ開口向下，解集也不是R．

（3）當ｍ＞0時，須滿足

［練習］ 1.解下列不等式．

（1）－3ｘ2＋6ｘ＞2．

（2）4ｘ2－4ｘ－1＞0．（3）ｘ2－3ｘ＋5＞0．

（4）－6ｘ2－ｘ＋2≤0．

4.以每秒ａ（ｍ）的速度從地面垂直向上發(fā)射子彈，t（ｓ）后，子彈上升的高度ｘ可由ｘ＝ａｂ－4.9ｔ2確定．已知發(fā)射后5ｓ，子彈上升的高度為245ｍ，問：子彈保持在245ｍ以上高度有多少秒？

四、拓展延伸

一元二次不等式（ａｘ＋ｂ）（ｃｘ＋ｄ）＞0（＜0）也可以根據(jù)實數(shù)運算的符號法則求解，如解不等式（ｘ＋4）（ｘ－１）＜0．

注意到不等式左邊是兩個ｘ的一次式的積，右邊是0，那么它可以根據(jù)積的符號法則化為一次不等式組：

點 評

這篇案例設計完整，思想清晰．案例首先從實際問題情境引入，關注不等式從現(xiàn)實問題中的抽象過程，進而利用從已有知識，即二次方程的根的情況及一元二次函數(shù)的圖像與一元二次不等式的解的關系歸納出一般結論，體現(xiàn)了用數(shù)形結合處理問題的思想方法，培養(yǎng)了學生的類比推理能力．例、習題的變形培養(yǎng)了學生靈活運用知識，處理問題的能力，既鞏固了所學新知識，又培養(yǎng)了學生靈活解題的能力．“拓展延伸”開發(fā)了學生的內(nèi)在潛力，培養(yǎng)了學生的等價轉(zhuǎn)化意識，為將來處理較復雜問題提供了行之有效的方法．

第三篇：第二部分高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例

第二部分 高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例

正弦函數(shù)的性質(zhì)

教材分析

這篇案例的內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握正弦函數(shù)圖像的基礎上，通過觀察、歸納和總結，得出正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，即正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．教學重點是正弦函數(shù)的圖像特征及五個重要性質(zhì)，難點是周期函數(shù)及最小正周期的意義．由于周期函數(shù)的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現(xiàn)象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結出正弦函數(shù)的圖像特征，并抽象出函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)學生觀察、分析圖像的能力和數(shù)形結合的能力．

2.理解和掌握正弦函數(shù)的五個重要性質(zhì)，能夠解決與正弦函數(shù)有關的函數(shù)的值域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數(shù)學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數(shù)學的學習興趣．

任務分析

這節(jié)內(nèi)容是在學生已經(jīng)掌握了正弦函數(shù)圖像特征的基礎上，運用數(shù)學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數(shù)的五個性質(zhì)．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數(shù)的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調(diào)性等，但對于周期性及單調(diào)區(qū)間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數(shù)的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現(xiàn)象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數(shù)，還應強調(diào)以下幾點： 1.x應是“定義域內(nèi)的每一個值”．

2.對于某些周期函數(shù)，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數(shù)沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

教學設計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結

我們學習過正弦函數(shù)圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)怎樣的性質(zhì)呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數(shù)的性質(zhì)：

注：由此學生得出正弦函數(shù)的如下性質(zhì)：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數(shù)取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數(shù)的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數(shù)y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現(xiàn)了正弦函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

（設計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數(shù)學中的這種周期性變化能否用一個數(shù)學式子來體現(xiàn)？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數(shù)的定義：

一般地，對于函數(shù)y＝f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)Ｔ叫作這個函數(shù)的周期．

說明：若學生歸納和總結出周期函數(shù)的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數(shù)對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數(shù)值就重復出現(xiàn)，那么這個函數(shù)就叫作周期函數(shù)．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期．

3.深化定義的內(nèi)涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數(shù)（2）函數(shù)f（x）＝c是周期函數(shù)嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數(shù)的性質(zhì)

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數(shù)的定義域、值域、周期性等性質(zhì)，除此之外，正弦函數(shù)還有哪些性質(zhì)呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質(zhì)：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱． 單調(diào)性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數(shù)，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數(shù)，其值從1減正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－增大到1；在每一個閉區(qū)間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數(shù)取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數(shù)y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數(shù)取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數(shù)

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數(shù)取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數(shù)取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數(shù)取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設t＝sinx，則y＝二次函數(shù)的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區(qū)間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數(shù)的最值，以及使函數(shù)取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數(shù)的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數(shù)y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數(shù)2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數(shù)y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數(shù)y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發(fā)，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發(fā)現(xiàn)？（這類函數(shù)的周期好像只與x的系數(shù)有關）

（2）一般地，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數(shù)T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數(shù)ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數(shù)的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數(shù)T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數(shù)的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數(shù)，下面是該港口的水深表： 表35-1

經(jīng)過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出函數(shù)y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第四篇：新課程高中數(shù)學教學設計與案例

新課程高中數(shù)學教學設計與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實際應用，讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關知識并由現(xiàn)實問題引入課題

引導學生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結與作業(yè)4.教學過程

教師活動學生活動設計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關的知識：線線、線面的位置關系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備。【引入】(1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發(fā)學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實意義。【設問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內(nèi)的任何直線都無公共點 a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結論：與平面平行的直線并不與這個平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學生由實驗結果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹?shù)姆治觯_定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結論，提高學生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動學生活動設計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內(nèi)的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續(xù)表教師活動學生活動設計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法。【鞏固練習】

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解。【講解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現(xiàn)實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應用。

【作業(yè)】習題22A組第5、6題總結歸納學習內(nèi)容，安排適當?shù)恼n后練習

第五篇：高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設計案例50篇__44_數(shù)列

數(shù)列

教材分析

這節(jié)課主要研究數(shù)列的有關概念，并運用概念去解決有關問題，其中，對數(shù)列概念的理解及應用，既是教學的重點，也是教學的難點．

教學目標

1.理解數(shù)列及數(shù)列的通項公式等有關概念，會根據(jù)一個數(shù)列的有限項寫出這個數(shù)列的一個通項公式．

2.了解遞推數(shù)列，并會由遞推公式寫出此數(shù)列的若干項． 3.進一步培養(yǎng)學生觀察、歸納和猜想的能力．

任務分析這節(jié)內(nèi)容以往很少涉及，對學生來說，既新又抽象，所以，須要依靠實例進行教學．數(shù)列與函數(shù)的關系應在函數(shù)定義的基礎上加以理解．由若干項寫出數(shù)列的一個通項公式是難點，但這又是鍛煉學生的歸納、猜想能力的極好機會，應大膽讓學生親自歸納和猜想．

教學設計

一、問題情景

傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)．比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數(shù)都能夠表示成三角形（如圖44-1），他們就將其稱為三角形數(shù)．類似地，1，4，9，16，…能夠表示成正方形（如圖44-2），他們就將其稱為正方形數(shù)．

二、建立模型

1.引導學生觀察、分析數(shù)列的順序要求，設法用自己的語言描述出數(shù)列的定義及有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、擺動數(shù)列等有關概念像1，4，9，16，…等按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)，就叫作數(shù)列．

［練習］

下面的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列？（1）全體自然數(shù)構成數(shù)列

0，1，2，3，…

（2）1996～2002年某市普通高中生人數(shù)（單位：萬人）構成數(shù)列

82，93，105，119，129，130，132．

（3）無窮多個3構成數(shù)列

3，3，3，3，…

（4）目前通用的人民幣面額按從大到小的順序構成數(shù)列（單位：元）

100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．

（5）－1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，……構成數(shù)列

－1，1，－1，1，…

（6）的精確到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值與過剩近似值分別構成數(shù)列

1，1.4，1.41，1.414，… 2，1.5，1.42，1.415，…

2.引導學生根據(jù)實例、項和第n項等概念發(fā)現(xiàn)數(shù)列與函數(shù)的關系

如：數(shù)列1，2，0，－1，3，8，…，第1項是1，第4項是－1，……由此可以發(fā)現(xiàn)，對于一個給定的數(shù)列，當確定了項的位置后，這個數(shù)列的項也隨之唯一確定．一般地，數(shù)列可以看作定義域為Ｎ（或其子集）的函數(shù)當自變量依次為1，2，3，…時的一系列函數(shù)值．

［問 題］ 數(shù)列既然可以看作一列函數(shù)值，那么“這個函數(shù)”可以如何表示？一定有解析式嗎？你能舉出一些有解析式的例子嗎？根據(jù)學生的討論，探究，得出：數(shù)列可以用列表、圖像和函數(shù)解析式來表示，從而，解析式即為數(shù)列的通項公式．

三、解釋應用 ［例 題］

1.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)．

（1）1，－，－．

（2）2，0，2，0．

解：（1）.（2）可以寫成n-

1也可以寫成an＝1＋（－1），（其中n＝1，2，…）．

注：對于（2），可以引導學生得到不同的結論，從而發(fā)現(xiàn)，根據(jù)數(shù)列的前若干項寫出的通項公式不一定唯一．

2.下圖中的三角形稱為希爾賓斯基三角形．在下圖4個三角形中，黑色三角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前4項，請寫出這個數(shù)列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖像．

解：如圖44-3，這4個三角形中的黑色三角形的個數(shù)依次為1，3，9，27，則所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)冪，并且指數(shù)為序號減1．所以，這個數(shù)列的一個通項公式是an＝3n-1．

在直角坐標系中的圖像見下圖：

3.設數(shù)列滿足試寫出這個數(shù)列的前5項． 解：∵a1＝1，注：像這樣給出數(shù)列的方法叫逆推法． ［練習］

1.數(shù)列的前5項分別是以下各數(shù)，試分別寫出各數(shù)列的一個通項公式．

2.已知數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝

－1（n＞1），試寫出它的前5項． 3.已知數(shù)列的通項公式為an＝n2－10n＋10，那么這個數(shù)列從第n項起各項的數(shù)值是否逐漸增大？從第n項起各項的數(shù)值是否均為正數(shù)？

四、拓展延伸

教師引導學生分析思考下面的兩個問題（可以在課堂上或課后完成）：

1.已知數(shù)列｛an｝滿足，問：此數(shù)列有無最大項和最小項？

2.通常用Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項的和，即Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an．已知｛an｝的前n項和Sn＝n2－3n＋2，試求｛an｝的通項公式．一般地，如何用Sn表示an呢？

點 評

這篇案例通過實例闡述了數(shù)列的有關概念，注意揭示了知識發(fā)生、發(fā)展的過程，比較好地調(diào)動了學生參與探索的積極性和主動性．問題情景設計新穎，合理；問題提出得準確，恰當；總體設計完整，清晰．另外，該案例還關注了學生科學地提出和解決問題的能力的培養(yǎng)． 美中不足的是，自“問題情景”到“建立模型”兩個環(huán)節(jié)的“交接處”顯得有些跳躍，步驟有些過簡．