第一篇：基本不等式教學設計

基本不等式教學設計

10141510244 數學與應用數學 鐘林

課題：人教A版必修5第3章4節，基本不等式

【教學目標】

1.通過兩個探究實例，引導學生從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會數形結合的思想。

2.進一步提煉、完善基本不等式，并從代數角度給出不等式的證明，組織學生分析證明方法，加深對基本不等式的認識，提高邏輯推理論證能力。3.結合課本的探究圖形，引導學生進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數形結合的思想。

4.借助例1嘗試用基本不等式解決簡單的最值問題，通過例2及其變式引導學生

a?b領會運用基本不等式ab?的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最

2值中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

【重點難點】

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式a?bab?的證明過程。

2難點：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教學設計】

（一）問題導入

欣賞2002年國際數學家大會會徽，會徽是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能發現它是什么圖形構成的嗎？請根據會徽探索一些常見相等或不等關系。

探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關系和不等關系嗎？ 在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形．設直角三角形兩條直角邊長為，a,b。

22a?b那么正方形的邊長為。

于是，4個直角三角形的面積之和S1?2ab。正方形的面積S2?a2?b2。由圖可知S2?S1，即a2?b2?2ab。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即時，正方形EFGH縮為一個點，這時 a2?b2?2ab

所以a2?b2?2ab。

探究二：如下圖所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位線，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。讓同學們自主研究GH和EF的大小關系。

a?b因為EF是中位線，所以EF?，2由相似，可以得出GH?ab，同樣因為相似，有

AGABa，??GDGHb又因為a?b，所以AG?GD，即AG?AE，a?b。2顯然，當AB逐漸趨近CD的時候，GH也逐漸向EF靠近，當AB=CD的時候，即ABCD是矩形的時候，GH與EF重合。

a?b即，當且僅當a?b時，ab?。

2a?b所以，ab?，當且僅當a?b時，等號成立。

2所以GH?EF,即ab?

（二）概念深入

根據上述兩個幾何背景，初步形成不等式結論：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2請同學們運用代數法證明： 作法一（作差法）： 若a,b?R?，則ab?a2?b2?2ab?(a?b)2?0a?b?2ab22

當且僅當a=b時，等號成立。且發現這里且a和b可以是全體實數、單項式、多項式。

作法二（分析法）：

要證明a?b?ab，2只需證明a?b?2ab，即證a?b-2ab?0，即為?a-b?2?0，該式顯然成立，所以，當a?b時取等號。

于是有這樣的結論：

稱ab為a,b的幾何平均數；稱基本不等式ab?a?b為a,b的算術平均數，2a?b又可敘述為： 2兩個正數的幾何平均數不大于它們的算術平均數

作法三（幾何法）：

如圖，AB是圓O的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b．過點C作 垂直于AB的弦DE，連接AD,BD。從而有CD?ab,OD?a?b。2a?b。2a?b當且僅當C點與圓心O點重合時，即a=b時，ab?

2故再次證明：

a?ba?0,b?0,ab?，當且僅當a=b時，等號成立。

2a?b也說明了ab?的幾何意義：半徑不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角邊CD<斜邊OD，即ab?

（三）例題講解

例1.（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？

（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）

對于x,y?R?，（1）若xy?p（定值），則當且僅當x?y時，x?y有最小值2p；

s2（2）若x?y?s（定值），則當且僅當x?y時，xy有最大值。

4（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養了勇于探索的精神。）

1例2.求y?x?(x?0)的值域。

x1變式1.若x?2，求x?的最小值．

x?21在運用基本不等式解題的基礎上，利用幾何畫板展示y?x?(x?0)的函數

x圖象，使學生再次感受數形結合的數學思想。

a?b并通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式ab?的三個限制

2條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略。

（四）歸納小結&課后作業 基本不等式：

若a,b?R?，則a2?b2?2ab。（當且僅當a=b時，等號成立）

a?b。（當且僅當a=b時，等號成立）2（1）基本不等式的幾何解釋（數形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法。

作業：A組第4題，B組第1題，第2題

若a,b?R?，則ab?

第二篇：基本不等式教學設計

基本不等式

一、教學設計理念：

注重學生自主、合作、探究學習，用新課程理念打造新的教學模式.二、教學設計思路： 1.教學目標確定

這節課的目標定位分為三個層面：

第一層面：知識與技能層面，①了解兩個正數的算術平均數和幾何平均數的概念；②要創設幾何和代數兩個方面的背景，從數形結合的高度讓學生了解基本不等式；③引導學生從不同角度去證明基本不等式；④用基本不等式來證明一些簡單不等式.第二層面：過程與方法，通過掌握公式的結構特點，適當運用公式的變形，能夠提高學生分析問題和解決問題的能力，加強學生的實踐能力，滲透數學的思想方法.第三層面：情感、態度與價值觀，①通過具體問題的解決，讓學生去感受日常生活中存在大量的不等關系，鼓勵學生用數學觀點進行歸納，抽象，使學生感受到數學美，走進數學，培養學生嚴謹的數學學習習慣和良好的思維方式；②通過問題的解決，激發學生探究精神和科學態度，同時去感受數學的運用性，體會數學的奧妙，數學的簡潔美，激發學生學習數學的興趣.2.教學過程

本節課我設計了五個環節：

第一個環節：創設情境，引入新課.我設計了兩個情境：一個是天平測量的問題，另一個是讓學生動手操作折紙試驗，從不同的角度體驗和理解基本不等式，讓學生能夠體會數學與生活緊密聯系，激發學生學習興趣，為后面學習作鋪墊.第二個環節：探究交流，發現規律.我在問題的情境中，讓學生帶著不同的數據去比較幾何平均數和算術平均數的大小，并通過小組折紙試驗，通過這樣合作交流的方式讓學生初步感受到幾何平均數和算術平均數之間的大小關系.第三個環節：啟發引導、形成結論.本節課的重要任務就是對基本不等式進行嚴格的證明，包括了比較法，綜合法和分析法，而學生對作差比較法是比較熟悉的，綜合法和分析法的過程要加強引導，并組織學生去探究這兩種方法之間的關系，并規范證明過程，為今后學習證明方法打下基礎.第四個環節：訓練小結，鞏固深化.學習基本不等式最終的目的體現在它的運用上，首先在例題選擇上，注重讓學生充分認識 和 間的關系，給出一般的結論，在練習中我選擇了題組形式，目的是與讓學生強化對基本不等式成立條件包括等號成立的條件.第五個環節：研究拓展，提高能力.我設計了一道關于例題的變式題，目的是讓學生感受到，通過適當的變形將其化為例題中出現的形式，體現化歸的思想，最后設計三道思考題，兩道進一步鞏固化歸思想及應用基本不等式的條件，一道需要分類討論，讓學有余力的學生提供更好展示自己能力的機會，得到進一步提高.最后我通過問題式的小結，讓學生自行歸納我們這節課當中學到的知識，特別是最后一問中，讓學生去總結在使用基本不等式的時候要注意哪些條件.雖然我沒有點出“一正二定三相等”這樣的結論，但已潛移默化為我們下一節課使用基本不等式求最值問題作了鋪墊，起到承前啟后的作用.三、本節課重點

重點：應用數形結合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并從不同的角度探索不等式的證明過程.難點：靈活使用化歸思想把問題轉化為運用基本不等式，以及基本不等式成立條件中包括等號成立的條件.在這一節中的主要任務就是讓學生從不同的角度去探索基本不等式的證明過程，包括它的成立條件，在這一節課中我的總體想法是通過互動，發現規律，直接猜想，指定驗證，得出結論，最后靈活運用這個結論來解決問題.四、本節課亮點：

1.積極引導學生自主探究問題，解決問題.2.靈活運用轉化與化歸的思想.3.實現課堂三大轉變：

①變教學生學會知識為指導學生會學知識；

②變重視結論的記憶為重視學生獲取結論的體驗和感悟； ③變模仿式學習為探究式學習.4.課堂小結采取問題式小結給學生留下滿口香.導入新課

探究：上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客，你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？?

（教師用投影儀給出第24屆國際數學家大會的會標，并介紹此會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客.通過直觀情景導入有利于吸引學生的注意力，激發學生的學習熱情，并增強學生的愛國主義熱情）?? 推進新課

師 同學們能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？如何找？?

【三維目標】：

一、知識與技能

1.能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題 2.進一步掌握用基本不等式求函數的最值問題；

3.審清題意，綜合運用函數關系、不等式知識解決一些實際問題． 4.能綜合運用函數關系，不等式知識解決一些實際問題．

二、過程與方法

本節課是基本不等式應用舉例的延伸。整堂課要圍繞如何引導學生分析題意、設未知量、找出數量關系進行求解這個中心。

三、情感、態度與價值觀

1.引發學生學習和使用數學知識的興趣，發展創新精神，培養實事求是、理論與實際相結合的科學態度和科學道德。

2.進一步培養學生學習數學、應用數學的意識以及思維的創新性和深刻性

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法； 2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

2.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力、知識結構解讀

1．教材對基本不等式 的推導給出了三種證法，即作差法、分析法和綜合法，同時引導同學們探討基本不等式的幾何解釋．

2．基本不等式主要應用于求某些函數的最值及證明不等式．應用基本不等式時一定要注意其成立的條件．基本不等式的應用過程蘊涵了函數思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想及化歸與轉化等數學思想．

二、重點、難點解讀

本節的重點內容是掌握“兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數”；掌握“兩個正數的和為定值時積有最大值，積為定值時和有最小值”的結論． 難點是正確理解和使用基本不等式求某些函數的最值或證明不等式．

三、知識點精析

1．基本不等式的定義（詳見課本）

基本不等式可表述為：兩個正實數的幾何平均數小于或等于它們的算術平均數． 注意：不等式 成立的條件是 ． 2．基本不等式的幾何證明

已知在 中，如右圖所示，為斜邊 上的高，為 的外接圓的圓心，的延長線交 于點 ．，證明： ．

一、教學目標

1．知識與技能

探究基本不等式的證明過程，初步理解基本不等式

2．過程與方法

通過對基本不等式的不同角度的探究，滲透數形結合及轉化的數學思想．

3．情感、態度與價值觀：

通過本節學習，激發學生學習和應用數學知識的興趣，形成積極探索的學習風氣．

二、教學重點 用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程

教學難點 對基本不等式 的探究

三、教學資源 普通高中數學課程標準（實驗）人教A版教材必修5

中學數學周刊2005年第10期 百度

四、教學方法與手段

啟發學生探究，多媒體輔助教學

五、教學過程

（一）創設情境：

如圖1是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表著中國人民的熱情好客．

你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

設計意圖：創設問題情境，為問題的引出做鋪墊

（二）新知探究： 圖1

將風車抽象成圖2

設直角三角形的兩條邊長為a、b,那么正方形 的邊長為.這樣,4個直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個不等式

當直角三角形變為等腰直角三角形, 圖2

即 時,正方形EFGH縮為一個點,這時有

此時，a、b代表正方形的邊長，顯然是正數，如果我們推廣到一般情況，對于任意的實數．知識與技能：學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

2．過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；

3．情態與價值：通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

【教學重點】

應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

【教學難點】

基本不等式 等號成立條件

【教學過程】

1.課題導入

基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？

教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系

2.講授新課

1．探究圖形中的不等關系

將圖中的“風車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。

當直角三角形變為等腰直角三角形，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。

2．得到結論：一般的，如果

3．思考證明：你能給出它的證明嗎？

證明：因為

當

所以，即

4．1）從幾何圖形的面積關系認識基本不等式

特別的，如果a>0,b>0,我們用分別代替a、b，可得，通常我們把上式寫作：

2）從不等式的性質推導基本不等式

用分析法證明：

要證(1)

只要證 a+b(2)

要證（2），只要證 a+b-0（3）

要證（3），只要證（-）（4）

顯然，（4）是成立的。當且僅當a=b時，（4）中的等號成立。

3）理解基本不等式 的幾何意義

探究：課本第110頁的《基本不等式》說課稿

一、教材分析

1、本節課的地位、作用和意義

基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（小）值的基礎，在高中數學中有著比較重要的地位，在工業生產等有比較廣的實際應用。

2、本節課的教學重點和難點

我通過解讀新課標和分析教材，認為：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利于培養學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。

突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。

突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。

二、教學目標分析

1、知識與技能目標

（1）學會推導基本不等式：。

（2）理解 的幾何意義。

（3）能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%

2、過程方法與能力目標

（1）探索并了解均值不等式的證明過程。

（2）體會均值不等式的證明方法。

3、情感、態度、價值觀目標

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、研究精神。

（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學態度，勇于提出問題、分析問題的習慣。“探究” 基本不等式的證明（1）

【三維目標】：

一、知識與技能

1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；

2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；

3.學會推導并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“≥”取等號的條件是：當且僅當這兩個數相等；

4.理解兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數的證明以及它的幾何解釋；

二、過程與方法

1.通過實例探究抽象基本不等式；

2.本節學習是學生對不等式認知的一次飛躍。要善于引導學生從數和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進一步突破難點。變式練習的設計可加深學生對定理的理解，并為以后實際問題的研究奠定基礎。兩個定理的證明要注重嚴密性，老師要幫助學生分析每一步的理論依據，培養學生良好的數學品質

三、情感、態度與價值觀

1.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣

2.培養學生舉一反三的邏輯推理能力，并通過不等式的幾何解釋，豐富學生數形結合的想象力

【教學重點與難點】：

重點：應用數形結合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式 的證明過程；

難點：理解基本不等式 等號成立條件及 “當且僅當 時取等號”的數學內涵

【學法與教學用具】：

1.學法：先讓學生觀察常見的圖形，通過面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實際問題還原出數學本質，可積極調動地學生的學習熱情。定理的證明要留給學生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過類比得到答案

2.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）

【授課類型】：新授課

【課時安排】：1課時

【教學思路】：

一、創設情景，揭示課題

1.提問： 與 哪個大？

2.基本不等式 的幾何背景：

如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。

二、研探新知

重要不等式 ：一般地，對于任意實數、，我們有，當且僅當 時，等號成立。

證明:

所以

第三篇：基本不等式教學設計

《基本不等式》教學設計

3.4.1基本不等式

開江中學 魏江蘭

目標分析

依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

教學重、難點分析

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的證明過程及應用。2難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

《基本不等式》教學設計

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。具體過程安排如下：

一、創設情景，提出問題；

設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實．基于此,設置如下情境: 上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。

[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式a2?b2?2ab。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數a,b，有a2?b2?2ab，當且僅當a＝b時，等號成立。[問] 你能給出它的證明嗎？

證明：因為a2?b2?2ab?(a?b)2?0，即a2?b2?2ab.（當a?b時取等號）

特別地，當a>0,b>0時，在不等式a2?b2?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.《基本不等式》教學設計

答案： ab?a?b(a,b?0)。2你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？ 證明：（分析法）：由于a,b?R?，于是要證明 a?b?2ab，只要證明 a?b?2即證

2ab，a?b?2ab?0，即(a?b)2?0，所以a?b?ab，（當a?b時取等號）

【歸納總結】

如果a,b都是正數，那么ab?a?b，當且僅當a=b時，等號成立。2a?b稱為a,b的算術平均數，ab稱2我們稱此不等式為基本不等式。其中為a,b的幾何平均數。

文字語言敘述：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究ab?a?b(a,b?0)2的幾何解釋，通過數形結合，賦予不等式不等式ab?a?b(a,b?0)2幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD

D?ab

aba?b2abOCAB幾何解釋實質可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

《基本不等式》教學設計

4．應用舉例，鞏固提高

我們可以用兩個重要不等式來解決什么樣的問題呢？

例1（1）用籬笆圍一個面積為100平方米的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2）一段長為36米的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？

（通過例1的講解，總結歸納利用基本不等式求最值問題的特征,實現積與和的轉化）對于（1）若（2）若，（定值），則當且僅當（定值），則當且僅當

時，時，有最小值有最大值

； ．

（鼓勵學生自己探索推導，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養了勇于探索的精神．）

1例 2：當x?0時，求y?x?的最小值？x1變式1：當x?0時，y?x?有最值嗎？

x1變式2：當x?1時，y?x?有最值嗎？

x通過例2及其變式引導學生領會運用基本不等式的三個限制條件（一正二定三相等）在解決最值問題中的作用，提升解決問題的能力，體會方法與策略．

練一練（自主練習）：課本練習5．歸納小結，反思提高

《基本不等式》教學設計

基本不等式：若若，則，則

（當且僅當（當且僅當

時，等號成立）時，等號成立）

（1）基本不等式的幾何解釋（數形結合思想）；（2）運用基本不等式解決簡單最值問題的基本方法（一正二定三相等）． 6．布置作業，課后延拓

（1）基本作業：課本P100習題組1、2、3題

（2）拓展作業：請同學們課外到閱覽室或網上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流．

第四篇：《基本不等式》教學設計和教學反思（本站推薦）

《基本不等式》教學設計

一、教材分析

（一）本節教材的地位與作用

數學是研究空間形式和數量關系的科學.與等量關系一樣，不等量關系也是自然界中存在著的基本數量關系.在本章中，學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，學習一些關于不等式的基本知識，通過不等式豐富的實際背景理解不等式.而通過本節內容《基本不等式》的學習，學生將了解不等式的證明，解決一些簡單的最值問題.同時本節內容還滲透了“數形結合”與“化歸”思想，有利于提升學生優良的數學思維品質.（二）教學目標的確定（1）知識與技能

①從不同角度探索基本不等式，理解基本不等式； ②會用基本不等式解決簡單的最值問題.（2）過程與方法

①借助“拼圖游戲”，通過操作、觀察、抽象、概括學會從不同角度探索基本不等式,明確其簡單應用；

②滲透“數形結合”與“化歸”思想，提高發現問題、分析問題、解決問題的能力.（3）情感、態度與價值觀

通過自主探究活動,獲得發現的成就感, 激發對數學的積極情感,培養創新意識和嚴謹的科學精神.（三）教學重點和難點 1.教學重點

從不同角度探索基本不等式，理解基本不等式.2.教學難點

會用基本不等式求最大值和最小值.二、教法分析

1.采用啟發式教學法創設問題情境，激發學生嘗試活動.2.多媒體輔助教學，使用多媒體輔助進行直觀演示啟發學生思考.3.問題引導，探究基本不等式.4.聯系實際問題，講練結合，同時采用變式教學鞏固應用，加深理解.三、學法分析

在教學中, 讓學生在問題情境中, 經歷知識的形成和發展, 通過觀察、探索、交流、反思參與學習, 認識和理解數學知識, 學會學習, 發展能力.四、教學過程

（一）問題情境一

問題1：你能用四塊相同的三角板拼成一個正方形嗎？

這個環節，以基本不等式的幾何背景入手，讓學生四人一個小組，用準備好的四塊相同的三角板進行拼圖游戲.從而得到趙爽弦圖的模型，并適時地介紹我國三國時期偉大的平民數學家及由他創設的弦圖.設計意圖：以趣引思，激發學生發現新知的欲望，讓學生對趙爽及趙爽弦圖記憶深刻，并為探究基本不等式作好鋪墊.問題2：如果設直角三角形的兩條直角邊分別為a,b，你能用a、b來表示正方形ABCD的面積與四個全等的直角三角形的面積和嗎？正方形ABCD的面積與四個全等的直角三角形的面積和之間有怎樣的大小關系呢？

通過這兩個簡單的問題，學生很快得到正方形的面積大于四個直角三角形的面積和，但對于等號是否成立還有疑惑，所以再利用多媒體進行動畫演示，對為什么當且僅當a=b時取等號給出了直觀的解釋.從而得到結論a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號）設計意圖：由學生自己拼成的“弦圖”出發，由“形”及“數”，自然生成得到了基本不等式，也體現了數與形的完美結合.問題情境二

問題3： AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a,BC=b, 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.則半徑OD =______, 半弦CD =______.半徑與半弦有怎樣的大小關系？ 設計意圖：通過幾何背景“半弦≤半徑”，探索基本不等式，運用動畫演示，對基本不等式給出更直觀的幾何解釋.（二）建構數學

問題4：剛才我們通過數學實驗及幾何圖形發現了不等關系a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號），我們能否用代數的方法嚴格證明呢？

學生容易用代數的方法如“作差法”“分析法”“ a2?b2?2ab(a,b?R)替代法”來證明這個不等式.從而得到本節課的基本a?b?2ab(a,b?R?)（當且僅當a=b時取等號）要特別強調a,b?R?.設計意圖：學生用代數的方法證明基不等式，引導學生體驗數學結論的探究過程，體驗了成功的喜悅，同時使學生理解數學是自然的，也是嚴密的

（三）應用數學

1的最小值 x1變式一：x?0,求x?的最大值

x4的最小值 變式二：x??2,求x?x?24的最大值 變式三：x??2,求x?x?2例1.x?0,求x?例2.x?0,y?0,x?y?3,求xy的最大值 例3判斷題

111(1)x?的最小值是2;(2)x?的最小值是2(x?2);(3)x2?(x?0)的最小值是2xxxx設計意圖：通過多個例題及變式,拓展基本不等式應用的靈活性,并著力突出基本不等式使用的前提條件.例4.(1)用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園, 問該矩形的長、寬各為多少時, 所用籬笆最短，最短的籬笆是多少?(2)一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時, 菜園的面積最大.最大面積是多少？ 設計意圖：

通過本例使學生明確:兩個正數積為定值時，和有最小值;兩個正數和為定值時，積有最大值，當然前提是等號必須能夠取到.并抽象出數學模型: x?0,y?0(1)xy?P(定值),則當x?y時,x?y的最小值是2P;S2(2)x?y?S(定值),則當x?y時,xy的最大值是

4（四）鞏固練習

ab1.a?0b?0.求?的最小值;ba12..0?x??,求sinx?最小值sinx變式:0?x??23.求半徑為R(常數)的圓的內接矩形面積的最大值

?設計意圖：

練習1,2及變式是對基本不等式的簡單應用：兩個正數，當積為定值時，和有最小值，前提等號必須取到.變式強調應用基本不等式時一定要驗證等號是否取到.,練習3體現兩個正數，當和為定值時，積有最大值的應用.設計這三個練習及變式是在學生已有認知結構的基礎上提出新問題，使學生進一步加深對基本不等式的理解，深刻體會應用基本不等式求最值時的條件和方法，培養學生的發散和創新思維.充分認識基本不等式的使用價值.（五）歸納總結、作業布置

學生總結：1．你有哪些收獲？

2.應用基本不等式要注意哪些問題？ 設計意圖：

通過兩個問題引導學生總結歸納本節課的知識點及應用基本不等式時要注意的一些問題,強化對基本不等式的理解與認識.

第五篇：基本不等式的教學設計

《基本不等式》教學設計

基本不等式

教材分析

本節課是在系統的學習了不等關系和不等式性質，掌握了不等式性質的基礎上展開的，作為重要的基本不等式之一,為后續的學習奠定基礎。要進一步了解不等式的性質及運用，研究最值問題，此時基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知識體系中起了承上啟下的作用，同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，因此它也是對學生進行情感價值觀教育的好素材，所以基本不等式應重點研究。

教學中注意用新課程理念處理教材，學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習，而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學，師生互動，教師發揮組織者、引導者、合作者的作用，引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程。通過本節學習體會數學來源于生活，提高學習數學的樂趣。課程目標分析

依據《新課程標準》對《不等式》學段的目標要求和學生的實際情況，特確定如下目標：

1、知識與能力目標：理解掌握基本不等式，并能運用基本不等式解決一些簡單的求最值問題；理解算數平均數與幾何平均數的概念，學會構造條件使用基本不等式；培養學生探究能力以及分析問題解決問題的能力。

2、過程與方法目標：按照創設情景，提出問題→ 剖析歸納證明→ 幾何解釋→ 應用（最值的求法、實際問題的解決）的過程呈現。啟動觀察、分析、歸納、總結、抽象概括等思維活動，培養學生的思維能力，體會數學概念的學習方法，通過運用多媒體的教學手段，引領學生主動探索基本不等式性質，體會學習數學規律的方法，體驗成功的樂趣。

3、情感與態度目標：通過問題情境的設置，使學生認識到數學是從實際中來，培養學生用數學的眼光看世界，通過數學思維認知世界，從而培養學生善于思考、勤于動手的良好品質。

教學重、難點分析

重點：應用數形結合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索基本不等式ab?a?b的2證明過程及應用。

難點：

1、基本不等式成立時的三個限制條件（簡稱一正、二定、三相等）；

2、利用基本不等式求解實際問題中的最大值和最小值。

教法分析

本節課采用觀察——感知——抽象——歸納——探究；啟發誘導、講練結合的教學方法，以學生為主體，以基本不等式為主線，從實際問題出發，放手讓學生探究思索。以現代信息技術多媒體課件作為教學輔助手段，加深學生對基本不等式的理解。

教學準備

多媒體課件、板書

教學過程

教學過程設計以問題為中心，以探究解決問題的方法為主線展開。這種安排強調過程，符合學生的認知規律，使數學教學過程成為學生對知識的再創造、再發現的過程，從而培養學生的創新意識。具體過程安排如下：

一、創設情景，提出問題；

設計意圖：數學教育必須基于學生的“數學現實”，現實情境問題是數學教學的平臺，數學教師的任務之一就是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現

《基本不等式》教學設計

實．基于此,設置如下情境:

上圖是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。[問]你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？

本背景意圖在于利用圖中相關面積間存在的數量關系，抽象出不等式a?b?2ab。在此基礎上，引導學生認識基本不等式。

二、抽象歸納：

一般地，對于任意實數a,b，有a?b?2ab，當且僅當a＝b時，等號成立。[問] 你能給出它的證明嗎？

學生在黑板上板書。

特別地，當a>0,b>0時，在不等式a?b?2ab中，以a、b分別代替a、b，得到什么？

設計依據：類比是學習數學的一種重要方法，此環節不僅讓學生理解了基本不等式不等式的來源，突破了重點和難點，而且感受了其中的函數思想，為今后學習奠定基礎.答案：

222222ab?a?b(a,b?0)。2【歸納總結】

a?b，當且僅當a=b時，等號成立。2a?b我們稱此不等式為基本不等式。其中稱為a,b的算術平均數，ab稱為a,b的2如果a,b都是正數，那么ab?幾何平均數。

三、理解升華：

1、文字語言敘述：

兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。

2、聯想數列的知識理解基本不等式

已知a,b是正數，A是a,b的等差中項，G是a,b的正的等比中項，A與G有無確定的大小關系？

兩個正數的等差中項不小于它們正的等比中項。

3、符號語言敘述： 若a?0,b?0，則有ab?a?ba?b，當且僅當a=b時，ab?。22ab?a?b； 2[問] 怎樣理解“當且僅當”？（學生小組討論，交流看法，師生總結）

“當且僅當a=b時，等號成立”的含義是：當a=b時，取等號，即a?b?僅當a=b時，取等號，即ab?a?b?a?b。

24、探究基本不等式證明方法： [問] 如何證明基本不等式？

（意圖在于引領學生從感性認識基本不等式到理性證明，實現從感性認識到理性認識的升華，前面是從幾何圖形中的面積關系獲得不等式的，下面用代數的思想，利用不等式的性質直接推導這個不等式。）

2(a?b)?0展開證明。

方法一：作差比較或由 方法二：分析法（完成課本填空）

設計依據：課本是學生了解世界的窗口和工具，所以，課本必須成為學生賴以學會學習的文本.在教學中要讓學生學會認真看書、用心思考，養成講講議議、動手動筆、仔細觀察、用心體會的好習慣，真正學會讀“數學書”。

《基本不等式》教學設計

a?b?ab

① 2只要證a?b?

② 要證②,只要證a?b?

?0

③ 要證③,只要證(?)2?0 ④ 要證顯然, ④是成立的。當且僅當a=b時, ④中的等號成立。

點評：證明方法叫做分析法,實際上是尋找結論的充分條件,執果索因的一種思維方法.5、探究基本不等式的幾何意義：借助初中階段學生熟知的幾何圖形，引導學生探究不等式ab?a?ba?b(a,b?0)ab?(a,b?0)22的幾何解釋，通過數形結合，賦予不等式幾何直觀。進一步領悟不等式中等號成立的條件。

如圖：AB是圓的直徑，點C是AB上一點，CD⊥AB，AC=a,CB=b，CD?ab

D

ab

a?b ba BAOC

幾何解釋實質可認為是：在同一半圓中，半徑不小于半弦（直徑是最長的弦）；或者認為是，直角三角形斜邊的一半不小于斜邊上的高。

四、探究歸納

例1：把36寫成兩個正數的積，當這兩個正數取什么值時，它們的和最小？ 例2：把18寫成兩個正數的和，當這兩個正數取什么值時，它們的積最大？ 結論：

若兩正數的乘積為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的和有最小值； 若兩正數的和為定值，則當且僅當兩數相等時，它們的乘積有最大值。簡記為：“一正、二定、三相等”。

五、領悟練習： 公式應用(1)若x?0,x?1的最小 x值為________,此時x?_________.(1)若a>0,b>0,且a+b=2,則ab的最大值為_______,此時a=_____,b=_____。

六、反思總結，整合新知：

設計意圖：通過反思、歸納，培養概括能力；幫助學生總結經驗教訓，鞏固知識技能，提高認知水平.老師根據情況完善如下：

一個不等式：若a?0,b?0，則有ab?a?ba?b，當且僅當a=b時，ab?。22兩種思想：數形結合思想、歸納類比思想。

三個注意：基本不等式求函數的最大(小)值是注意：七字口訣“一正二定三相等”

七、布置作業：