第一篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇-1-集合的概念和表示方法

集合的概念和表示方法 教材分析

集合概念的基本理論，稱為集合論．它是近、現代數學的一個重要基礎．一方面，許多重要的數學分支，如數理邏輯、近世代數、實變函數、泛函分析、概率統計、拓撲等，都建立在集合理論的基礎上．另一方面，集合論及其反映的數學思想，在越來越廣泛的領域中得到應用．在小學和初中數學中，學生已經接觸過集合，對于諸如數集（整數的集合、有理數的集合）、點集（直線、圓）等，有了一定的感性認識．這節內容是初中有關內容的深化和延伸．首先通過實例引出集合與集合元素的概念，然后通過實例加深對集合與集合元素的理解，最后介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法，描述法，還給出了畫圖表示集合的例子．本節的重點是集合的基本概念與表示方法，難點是運用集合的兩種常用表示方法———列舉法與描述法正確表示一些簡單的集合． 教學目標

1.初步理解集合的概念，了解有限集、無限集、空集的意義，知道常用數集及其記法． 2.初步了解“屬于”關系的意義，理解集合中元素的性質．

3.掌握集合的表示法，通過把文字語言轉化為符號語言（集合語言），培養學生的理解、化歸、表達和處理問題的能力． 任務分析

這節內容學生已在小學、初中有了一定的了解，這里主要根據實例引出概念．介紹集合的概念采用由具體到抽象，再由抽象到具體的思維方法，學生容易接受．在引出概念時，從實例入手，由具體到抽象，由淺入深，便于學生理解，緊接著再通過實例理解概念．集合的表示方法也是通過實例加以說明，化難為易，便于學生掌握． 教學設計

一、問題情境

1.在初中，我們學過哪些集合？ 2.在初中，我們用集合描述過什么？ 學生討論得出：

在初中代數里學習數的分類時，學過“正數的集合”，“負數的集合”；在學習一元一次不等式時，說它的所有解為不等式的解集． 在初中幾何里學習圓時，說圓是到定點的距離等于定長的點的集合．幾何圖形都可以看成點的集合．

3.“集合”一詞與我們日常生活中的哪些詞語的意義相近？ 學生討論得出： “全體”、“一類”、“一群”、“所有”、“整體”，?? 4.請寫出“小于10”的所有自然數．

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．這些可以構成一個集合． 5.什么是集合？

二、建立模型

1.集合的概念（先具體舉例，然后進行描述性定義）

（1）某種指定的對象集在一起就成為一個集合，簡稱集．（2）集合中的每個對象叫作這個集合的元素．（3）集合中的元素與集合的關系：

a是集合A中的元素，稱a屬于集合A，記作a∈A； a不是集合A中的元素，稱a不屬于集合A，記作aA． 例：設B＝｛1，2，3｝，則1∈B，4B． 2.集合中的元素具備的性質

（1）確定性：集合中的元素是確定的，即給定一個集合，任何一個對象是否屬于這個集合的元素也就確定了．如上例，給出集合B，4不是集合的元素是可以確定的．（2）互異性：集合中的元素是互異的，即集合中的元素是沒有重復的． 例：若集合A＝｛a，b｝，則a與b是不同的兩個元素．（3）無序性：集合中的元素無順序．

例：集合｛1，2｝與集合｛2，1｝表示同一集合． 3.常用的數集及其記法

全體非負整數的集合簡稱非負整數集（或自然數集），記作N． 非負整數集內排除0的集合簡稱正整數集，記作N*或N+； 全體整數的集合簡稱整數集，記作Z；

全體有理數的集合簡稱有理數集，記作Q； 全體實數的集合簡稱實數集，記作R． 4.集合的表示方法 ［問 題］

如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列舉法

列舉法是把集合中的元素一一列舉出來的方法． 例：x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛1，2｝．（2）描述法

描述法是用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法． 例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示為｛x｜x2－3x＋2＝0｝． ②不等式x－3＞2的解集可表示為｛x｜x－3＞2｝． ③Venn圖法

例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示為（1，2）． 5.集合的分類

（1）有限集：含有有限個元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）無限集：含有無限個元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，記作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝． 注：對于無限集，不宜采用列舉法．

三、解釋應用 ［例 題］

1.用適當的方法表示下列集合．

（1）由1，2，3這三個數字抽出一部分或全部數字（沒有重復）所組成的一切自然數．（2）平面內到一個定點O的距離等于定長l（l＞0）的所有點P．（3）在平面a內，線段AB的垂直平分線．（4）不等式2x－8＜2的解集． 2.用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．

3.已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．試用列舉法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）

4.用描述法表示在平面直角坐標中第一象限內的點的坐標的集合． ［練習］

1.用適當的方法表示下列集合．

（1）構成英語單詞mathematics（數字）的全體字母．（2）在自然集內，小于1000的奇數構成的集合．（3）矩形構成的集合． 2.用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，?｝．（2）

四、拓展延伸

把下列集合“翻譯”成數學文字語言來敘述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝． 點 評

這篇案例注重新、舊知識的聯系與過渡，以舊引新，從學生的原有知識、經驗出發，創設問題情境；從實例引出集合的概念，再結合實例讓學生進一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重實例的使用是這篇案例的突出特點．這樣做，通俗易懂，使學生便于學習和掌握．例題、練習由淺入深，對培養學生的理解能力、表達能力、思維能力大有裨益．拓展延伸注重數學語言的轉化和訓練，注重區分形似而質異的數學問題，加強了學生對數學概念的理解和認識．

第二篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 36 向量的概念

向量的概念

教材分析

向量是近代數學中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數”、“形”于一體，具有幾何形式與代數形式的“雙重身份”，是高中數學重要的知識網絡的交匯點，也是數形結合思想的重要載體．這節通過對物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準確含義．與數學中的許多概念一樣，都可以追溯它的實際背景．這節的重點是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點是向量的概念．

教學目標

1.通過對平面向量概念的抽象概括，體驗數學概念的形成過程，培養學生的抽象概括能力和科學的思維方法，使學生逐步由感性思維上升為理性思維．

2.理解向量的概念，會用有向線段表示向量，會判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量．

任務分析

在這之前，學生接觸較多的是只有大小的量（數量）．其實生活中還有一種不同于數量的量———向量．剛一開始，學生很不習慣，但可適時地結合實例，逐步讓學生理解向量的兩個基本要素———大小和方向，再讓學生于實際問題中識別哪些是向量，哪些是數量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實踐到理論，再由理論到實踐，可使學生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結合例、習題讓學生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便．

教學設計

一、問題情景

數學是研究數量關系和空間形式的科學．思考以下問題：

1.在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？試描述這些量的本質區別．

2.既有大小又有方向的量應如何表示？

二、建立模型 1.學生分析討論

學生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2.教師明晰

人們在長期生產生活實踐中，會遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規定的單位下，都可以用一個實數表示它們的大小，我們稱之為數量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運動的速度既有快慢之分，又有方向的區別．這類既有數量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量．

在數學上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如就是向量的長度（模），記作，向量的大小.長度等于

.長度為零的向量叫零向量，記作0或1的向量叫作單位向量．

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規定0∥a（a為任一向量）長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關．在同一平面上，兩個平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因為向量完全由它的方向和模決定．

任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3.提出問題，組織學生討論

（1）時間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？（2）兩個單位向量一定相等嗎？（3）相等向量是平行向量嗎？

（4）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量嗎？

（5）方向為南偏西60°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強調：大小、方向是向量的兩個基本要素，當且僅當兩個向量的大小和方向兩個要素完全相同時，兩個向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同．

三、解釋應用 ［例 題］

如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與線的向量，以及單位向量．

相等、平行和共

解：都是單位向量．

［練習］

1.如圖，D，E，F分別是△ABC各邊的中點，試寫出圖中與相等的向量．

2.如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

3.設E，F，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，對于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？

4.在平面上任意確定一點O，點P在點O“東偏北60°，3cm”處，點Q在點O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點P和Q相對于點O的向量．

5.選擇適當的比例尺，用有向線段分別表示下列各向量．（1）在與水平成120°角的方向上，一個大小為50N的拉力．（2）方向東南，8km／h的風的速度．（3）向量

四、拓展延伸

1.如圖，在ABCD中，E，F分別是CD，AD的中點，在向量中相等的向量是哪些？為什么？

2.數能進行運算，那么與數的運算類比，向量是否也能進行運算？

案例點評

這篇案例設計完整，思路清晰．該案例首先通過實例闡述了向量產生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現了數學教學的本質是教學思維過程的教學，符合新課程標準的精神．例題與練習由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設計有新意，有深度．為學生數學思維能力、創造能力的培養提供了平臺．

第三篇：第二部分高中數學新課程創新教學設計案例

第二部分 高中數學新課程創新教學設計案例

正弦函數的性質

教材分析

這篇案例的內容是在學生已經掌握正弦函數圖像的基礎上，通過觀察、歸納和總結，得出正弦函數的五個重要性質，即正弦函數的定義域、值域、周期性、奇偶性和單調性．教學重點是正弦函數的圖像特征及五個重要性質，難點是周期函數及最小正周期的意義．由于周期函數的概念比較抽象，因此，在引入定義之前，應注意通過具體實例讓學生充分體會這種“周而復始”的現象，體會新概念的形成過程．

教學目標

1.引導學生通過觀察，分析y＝sinx的圖像，進而歸納、總結出正弦函數的圖像特征，并抽象出函數性質，培養學生觀察、分析圖像的能力和數形結合的能力．

2.理解和掌握正弦函數的五個重要性質，能夠解決與正弦函數有關的函數的值域、最小正周期及單調區間等簡單問題．

3.使學生進一步了解從特殊到一般、從一般到特殊的思維方法，體會分析、探索、化歸、類比的科學研究方法在解決數學問題中的應用．

4.使學生初步體會事物周期變化的一些奧秘，進一步提高學生對數學的學習興趣．

任務分析

這節內容是在學生已經掌握了正弦函數圖像特征的基礎上，運用數學的符號語言把圖像特征進一步“量化”，從而得出正弦函數的五個性質．一般來說，從正弦曲線的形狀，可以很清晰地看出正弦函數的定義域、值域、最值、符號、周期性、奇偶性、單調性等，但對于周期性及單調區間的表述，學生可能會有一定的困難．因此，在引入周期函數的定義之前，要讓學生充分觀察圖像，必要時可把物理中的彈簧振動的實驗再做一做，讓學生體會“周而復始”的現象，體會概念的形成過程．

此外，對于周期函數，還應強調以下幾點： 1.x應是“定義域內的每一個值”．

2.對于某些周期函數，在它所有的周期中，不一定存在一個最小的正周期，即某些周期函數沒有最小正周期． 3.對于一個周期函數f（x），如果在它的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f（x）的最小正周期．今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

教學設計

一、問題情境

1.教師提出問題，引導學生總結

我們學習過正弦函數圖像的畫法，并通過觀察圖像，得到了正弦曲線的一些特征，那么這些特征體現了正弦函數怎樣的性質呢？

用投影膠片展示正弦曲線，引導學生探索正弦函數的性質：

注：由此學生得出正弦函數的如下性質：（1）定義域為R．

（2）值域為［－1，1］，當且僅當x＝2kπ＋當且僅當x＝2kπ－

（k∈Z）時，正弦函數取得最大值1，（k∈Z）時，正弦函數取得最小值－1．

注：在此處，教師應提醒學生注意前面的“2kπ”，使學生初步感受一下正弦函數的“周而復始”性．

2.教師進一步提出問題

從正弦曲線我們注意到，函數y＝sinx在x∈［－2π，0］，x∈［2π，4π］，x∈［4π，6π］，…時的圖像與x∈［0，2π］的形狀完全一樣，只是位置不同，這種特征體現了正弦函數的什么性質呢？

（設計目的：引導學生從物理中彈簧的振動，即小球在平衡位置的往復運動，體會事物的“周期性”變化）

（2）數學中的這種周期性變化能否用一個數學式子來體現？

二、建立模型 1.引導學生探究

2.教師明晰

通過學生的討論，歸納出周期函數的定義：

一般地，對于函數y＝f（x），如果存在一個非零常數T，使定義域內的每一個x值，都滿足f（x±T）＝f（x），那么函數f（x）就叫作周期函數，非零常數Ｔ叫作這個函數的周期．

說明：若學生歸納和總結出周期函數的如下定義，也應給以充分的肯定．

如果某函數對于自變量的一切值每增加或減少一個定值，函數值就重復出現，那么這個函數就叫作周期函數．

給出最小正周期的概念：對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫作它的最小正周期．教科書中今后涉及的周期，如果不加特殊說明，一般都是指函數的最小正周期．

3.深化定義的內涵

（1）觀察等式sin（y＝sinx的周期？為什么？

＋）＝sin是否成立？如果成立，能不能說是正弦函數（2）函數f（x）＝c是周期函數嗎？它有沒有最小正周期？ 3.歸納正弦函數的性質

通過觀察圖像，我們得到了正弦函數的定義域、值域、周期性等性質，除此之外，正弦函數還有哪些性質呢？

教師引導學生歸納出以下兩條性質：

奇偶性：由誘導公式sin（－x）＝－sinx，知正弦函數是奇函數，其圖像關于原點對稱． 單調性：觀察正弦曲線可以看出，當x由－由－1增大到1；當x由

增大到

增大到時，曲線逐漸上升，sinx的值

時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1．因此，＋2kπ］（k∈Z）上都是增函數，其值從－1＋2kπ］（k∈Z）上都是減函數，其值從1減正弦函數在每一個閉區間［－增大到1；在每一個閉區間［小到－1．

三、解釋應用 1.例題分析

＋2kπ，＋2kπ，例1 求使下列函數取得最大值和最小值的x的集合，并說出最大值和最小值是什么．（1）y＝sin2x．

（2）y＝sinx＋2．

（3）y＝asinx＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4．

解：（1）當2x＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sin2x取得最

（k∈Z）時，函數y＝sin2x大值，最大值是1；當2x＝2kπ－取得最小值，最小值是－1．

（k∈Z），即x＝kπ－∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝kπ－

（k∈Z）｝，最大值是1；使函數

（k∈Z）｝，最小值是－1．

（2）由于函數y＝sinx與函數y＝sinx＋2同時取得最大值和最小值．因此，當x＝2kπ＋（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最大值，最大值為3；當x＝2kπ－

（k∈Z）時，函數y＝sinx＋2取得最小值，最小值為1．

∴使函數取得最大值的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋取得最小值的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，最大值為3；使函數

（k∈Z）｝，最小值為1．

（3）當a＞0時，使函數取得最大值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋＝a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ－

（k∈Z）｝，ymax

（k∈Z）｝，ymin＝－a＋b． 當a＜0時，使函數取得最大值時的ｘ的集合為｛x｜x＝2kπ－a＋b；使函數取得最小值時的x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝，ymax＝－

（k∈Z）｝，ymin＝a＋b．

（4）y＝2cos2x＋5sinx－4＝－2sin2x＋5sinx－2＝

設t＝sinx，則y＝二次函數的最大值和最小值問題了．，且t∈［－1，1］，于是問題就變成求閉區間上當t＝1，即sinx＝1時，ymax＝1，取最大值時x的集合為｛x｜x＝2kπ＋

（k∈Z）｝；

當t＝－1，即sinx＝－1時，ymin＝－9，取最小值時x的集合為｛x｜x＝2kπ－∈Z）｝.［練習］

求下列函數的最值，以及使函數取得值時的自變量ｘ的集合．

（k（1）y＝｜a｜sinx＋b．

（2）y＝－sin2x＋例2 求下列函數的周期．

sinx＋．

（1）y＝sin2x．

（2）y＝．

解：（1）要求函數y＝sin2x的周期，只須尋求使等式sin2（x＋T）＝sin2x恒成立的最小正數T即可．

∵使sin（2x＋2T）＝sin2x恒成立的正數2T的最小值是2π，∴當2T＝2π時，T＝π． 因此，函數y＝sin2x的周期為π．

（2）要求函數y＝的周期，只須尋求使等式 2.教師啟發，誘導學生自主反思

（1）從上面的例題分析中，你是否有所發現？（這類函數的周期好像只與x的系數有關）

（2）一般地，函數y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期是多少？ ［要求函數y＝Asin（ωx＋φ）的周期，只須尋求使等式Asin［ω（x＋T）＋φ］＝Asin（ωx＋φ），即Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的最小正數T即可．

∵使Asin（ωx＋φ＋ωT）＝Asin（ωx＋φ）恒成立的正數ωT，最小值是2π，∴當ωT＝2π時，T＝.因此，函數y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0，x∈R）的周期為3.鞏 固 ［練習］ 求下列函數的周期．

4.進一步強化

例3 不求值，指出下列各式大于零還是小于零．

例4 確定下列函數的單調區間．（1）y＝1－sin3x．

（2）y＝log2sin3x．

四、拓展延伸

1.若常數T為f（x）的周期，nT（n∈N*）是否也是它的周期？ 2.你能證明正弦函數的最小正周期是2π嗎？

3.某港口的水深y（m）是時間t（0≤t≤24，單位：h）的函數，下面是該港口的水深表： 表35-1

經過長時間的觀察，描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數y＝Asinωt＋B的圖像．

（1）試根據數據表和曲線，求出函數y＝Asinωt＋B的表達式．

（2）一般情況下，船舶航行時船底同海底的距離不少于4.5m時是安全的．如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內停留的時間最多不能超過多長時間（忽略離港用的時間）？

第四篇：高中數學新課程創新教學設計案例50篇 31 角的概念的推廣

角的概念的推廣

教材分析

這節課主要是把學生學習的角從不大于周角的非負角擴充到任意角，使角有正角、負角和零角．首先通過生產、生活的實際例子闡明了推廣角的必要性和實際意義，然后又以“動”的觀點給出了正、負、零角的概念，最后引入了幾個與之相關的概念：象限角、終邊相同的角等．在這節課中，重點是理解任意角、象限角、終邊相同的角等概念，難點是把終邊相同的角用集合和符號語言正確地表示出來．理解任意角的概念，會在平面內建立適當的坐標系，通過數形結合來認識角的幾何表示和終邊相同的角的表示，是學好這節的關鍵．

教學目標

1.通過實例，體會推廣角的必要性和實際意義，理解正角、負角和零角的定義． 2.理解象限角的概念、意義及表示方法，掌握終邊相同的角的表示方法．

3.通過對“由一點出發的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點旋轉而形成角”的認識過程，使學生感受“動”與“靜”的對立與統一．培養學生用運動變化的觀點審視事物，用對立統一規律揭示生活中的空間形式和數量關系．

任務分析

這節課概念很多，應盡可能讓學生通過生活中的例子（如鐘表上指針的轉動、體操運動員的轉體、自行車輪子上的某點的運動等）了解引入任意角的必要性及實際意義，變抽象為具體．另外，可借助于多媒體進行動態演示，加深學生對知識的理解和掌握．

教學設計

一、問題情境 ［演 示］ 1.觀覽車的運動．

2.體操運動員、跳臺跳板運動員的前、后轉體動作． 3.鐘表秒針的轉動． 4.自行車輪子的滾動． ［問 題］ 1.如果觀覽車兩邊各站一人，當觀覽車轉了兩周時，他們觀察到的觀覽車上的某個座位上的游客進行了怎樣的旋轉，旋轉了多大的角？

2.在運動員“轉體一周半動作”中，運動員是按什么方向旋轉的，轉了多大角？ 3.鐘表上的秒針（當時間過了1.5min時）是按什么方向轉動的，轉動了多大角？ 4.當自行車的輪子轉了兩周時，自行車輪子上的某一點，轉了多大角？

顯然，這些角超出了我們已有的認識范圍．本節課將在已掌握的0°～360°角的范圍的基礎上，把角的概念加以推廣，為進一步研究三角函數作好準備．

二、建立模型

1.正角、負角、零角的概念

在平面內，一條射線繞它的端點旋轉有兩個方向：順時針方向和逆時針方向．習慣上規定，按逆時針旋轉而成的角叫作正角；按順時針方向旋轉而成的角叫作負角；當射線沒有旋轉時，我們也把它看成一個角，叫作零角．

2.象限角

當角的頂點與坐標原點重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時，角的終邊在第幾象限，就把這個角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限．

3.終邊相同的角

在坐標系中作出390°，－330°角的終邊，不難發現，它們都與30°角的終邊相同，并且這兩個角都可以表示成0°～360°角與k個（k∈Z）周角的和，即

390°＝30°＋360°，（k＝1）； －330°＝30°－360°，（k＝－1）．

設S＝｛β｜β＝30°＋k·360°，k∈Z｝，則390°，－330°角都是S中的元素，30°角也是S中的元素（此時k＝0）．容易看出，所有與30°角終邊相同的角，連同30°角在內，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30°角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合：S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數個周角的和．

三、解釋應用 ［例 題］

1.在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150°．

（2）650°．

（3）－950°5′．

2.分別寫出與下列角終邊相同的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素寫出來．

（1）60°．（2）－21°．（3）363°14′． 3.寫出終邊在y軸上的角的集合．

解：在0°～360°范圍內，終邊在ｙ軸上的角有兩個，即90°，270°．因此，與這兩個角終邊相同的角構成的集合為

S1＝｛β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝，而所有與270°角終邊相同的角構成的集合為

S2＝｛β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為

S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90°＋2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β＝90°＋（2k＋1）·180°，k∈Z｝＝｛β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z｝．

注：會正確使用集合的表示方法和符號語言． ［練習］

1.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫出來．

（1）45°．（2）－30°．（3）420°．（4）－225°． 2.辨析概念．（分別用集合表示出來）

（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90°的角．（4）0°～90°的角． 3.一角為30°，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為．

4.終邊在x軸上的角的集合為；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．

四、拓展延伸

1.若角α與β終邊重合，則α與β的關系是；若角α與β的終邊互為反向延長線，則角α與β的關系是． 2.如果α在第二象限時，那么2α，是第幾象限角？

注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標軸上的情況．

（2）研究在哪個象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）

點 評

這篇案例運用多媒體展示了生活中常見的實例，極易激發學生學習的興趣和熱情．在對知識的探討過程中，特別注意了知識的形成過程，重點突出．例題的設置比較典型，難易度適中．練習題注重基礎，但也有一定的梯度，利于培養學生靈活處理問題的能力，并為學生學習以后章節做了較好的鋪墊．

第五篇：新課程高中數學教學設計與案例

新課程高中數學教學設計與案例

李代友

直線與平面平行的性質

1.教學目的

(1)通過教師的適當引導和學生的自主學習，使學生由直觀感知、獲得猜想，經過邏輯論證，推導出直線與平面平行的性質定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質定理的實際應用，讓學生體會定理的現實意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養、提高學生分析、解決問題的能力。2.教學重點和難點

重點：直線與平面平行的性質定理；

難點：直線與平面平行性質定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學基本流程

復習相關知識并由現實問題引入課題

引導學生探索、發現直線與平面平行的性質定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質定理的應用 學生練習，反饋學習效果 小結與作業4.教學過程

教師活動學生活動設計意圖【復習】以提問的形式引導學生回顧相關的知識：線線、線面的位置關系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學習做準備。【引入】(1)提出例3給出的實際問題，讓學生稍作思考；

(2)點明該問題解決的關鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學習了《直線與平面平行的性質》這一節課之后，我們就知道如何解決這個實際問題了。思考問題，進入新課的學習。通過實際例子，引發學生的學習興趣，突出學習直線和平面平行性質的現實意義。【設問】

(1)提出本節《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內的所有直線都平行? 1 引導學生做小實驗：利用筆和桌面做實驗，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內的直線有哪些位置關系? 分析：a∥αa與α無公共點 a與α內的任何直線都無公共點 a與α內的直線是異面直線或平行直線。

(1)學生動手做實驗，并觀察得出問題的結論：與平面平行的直線并不與這個平面內的所有直線都平行。(2)學生由實驗結果猜想問題的答案，再由教師的引導進行嚴謹的分析，確定猜想的正確性。通過學生的動手實驗，得出問題的結論，提高學生的探索問題的熱情。續表

教師活動學生活動設計意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-ABCD中，AC平行于面ABCD，請在面ABCD內找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗證學生的猜想。

分析：因為AC∥面ABCD，所以AC與這個面內的直線EF沒有公共點，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學生隨著教師的引導，思考問題，回答問題。(1)根據長方體的知識，學生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導，發現AC的特殊位置關系。(2)由上面特殊例子的啟發，學生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導學生猜想問題成立的條件，推導出定理。續表教師活動學生活動設計意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結論；(3)指導學生閱讀課本60頁倒數第一段的內容。要求學生認真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數第一段的內容。深化學生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法。【鞏固練習】

一、提出本節開始提出的問題(2)，讓學生自由發言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學生自由舉手發言，說明理由。通過練習再次深化對定理的理解。【講解例題】例

3、例4要求學生跟隨教師的分析引導，自己思考和解決問題。讓學生體會定理的現實意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習，反饋學習效果。及時解決學生學習上存在的問題【小結】(1)直線與平面平行的性質定理；(2)直線與平面平行性質定理的應用。

【作業】習題22A組第5、6題總結歸納學習內容，安排適當的課后練習