第一篇：數學 -復數的向量表示 -數學教案

教學目標

（1）掌握向量的有關概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復數集、復平面內的點的集合、復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系；

（3）掌握復數的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學習復數的向量表示，培養學生的數形結合的數學思想；

（5）通過本節內容的學習，培養學生的觀察能力、分析能力，幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法．

教學建議

一、知識結構

本節內容首先從物理中所遇到的一些矢量出發引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復數集與復平面內以原點為起點的向量集合之間的一一對應關系，指出了復數的模的定義及其計算公式．

二、重點、難點分析

本節的重點是復數與復平面的向量的一一對應關系的理解；難點是復數模的概念．復數可以用向量表示，二者的對應關系為什么只能說復數集與以原點為起點的向量的集合一一對應關系，而不能說與復平面內的向量一一對應，對這一點的理解要加以重視．在復數向量的表示中，從復數集與復平面內的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關系是本節教學的難點．復數模的概念是一個難點，首先要理解復數的絕對值與實數絕對值定義的一致性質，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復平面上的點到原點的距離．

三、教學建議

1．在學習新課之前一定要復習舊知識，包括實數的絕對值及幾何意義，復數的有關概念、現行高中物理課本中的有關矢量知識等，特別是對于基礎較差的學生，這一環節不可忽視．

2．理解并掌握復數集、復平面內的點集、復平面內以原點為起點的向量集合三者之間的關系

如圖所示，建立復平面以后，復數 與復平面內的點 形成—一對應關系，而點 又與復平面的向量 構成—一對應關系．因此，復數集 與復平面的以 為起點，以 為終點的向量集 形成—一對應關系．因此，我們常把復數 說成點Z或說成向量 ．點、向量 是復數 的另外兩種表示形式，它們都是復數 的幾何表示．

相等的向量對應的是同一個復數，復平面內與向量 相等的向量有無窮多個，所以復數集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關系．復數集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構成—一對應關系．

2．這種對應關系的建立，為我們用解析幾何方法解決復數問題，或用復數方法解決幾何問題創造了條件．

3．向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度．它的計算公式是，當實部為零時，根據上面復數的模的公式與以前關于實數絕對值及算術平方根的規定一致．這些內容必須使學生在理解的基礎上牢固地掌握．

4．講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議．在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時．如果結合提問 的圖形，可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）．對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應畫成虛線．

5．講解復數的模．講復數的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關知識聯系，結合復數與復平面內以原點為起點，以復數所對應的點為終點的向量之間的一一對應關系，使學生在理解的基礎上記憶。向量 的模，又叫做向量 的絕對值，也就是有向線段OZ的長度 ．它也叫做復數 的模或絕對值．它的計算公式是 ．

教學設計示例

復數的向量表示

教學目的

1掌握復數的向量表示，復數模的概念及求法，復數模的幾何意義．

通過數形結合研究復數．

3培養學生辯證唯物主義思想． 重點難點

復數向量的表示及復數模的概念． 教學學具

投影儀 教學過程 1復習提問：向量的概念；模；復平面． 2新課：

一、復數的向量表示：

在復平面內以原點為起點，點Z（a，b）為終點的向量OZ，由點Z（a，b）唯一確定．

因此復平面內的點集與復數集C之間存在一一對應關系，而復平面內的點集與以原點為起點的向量一一對應．

常把復數z=a+bi說成點Z（a，b）或說成向量OZ，并規定相等向量表示同一復數．

二、復數的模

向量OZ的模（即有向線段OZ的長度）叫做復數z=a+bi的模（或絕對值）記作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b

例1 求復數z1=3+4i及z2=-1+2i的模，并比較它們的大小．

解：∵|Z1|2=32+42=25 |Z2|2=（-1）2+22=5

∴|Z1|＞|Z2| 練習： 1已知z1=1+3i z2=-2i Z3=4 Z4=-1+2i

⑴在復平面內，描出表示這些向量的點，畫出向量．

⑵計算它們的模．

三、復數模的幾何意義

復數Z=a+bi，當b=0時z∈R |Z|=|a|即a在實數意義上的絕對值復數模可看作點Z（a，b）到原點的距離．

例2 設Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

⑴ |Z|=4 ⑵ 2≤|Z|＜4

解：（略）

練習：⑴ 模等于4的虛數在復平面內的點集 ．

⑵ 比較復數z1=－5+12i z2=―6―6i的模的大小．

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復數x+yi的點的軌跡． 教學后記： 板書設計：

一、復數的向量表示：

三、復數模的幾何意義

二、復數的模

例2 例1 探究活動

已知 要使，還要增加什么條件？

解：要使，即 由此可知，點 到兩個定點 和 的距離之和為6，如把看成動點，則它的軌跡是橢圓 ．

因此，所要增加的條件是：點 應滿足條件 ．

說明 此題是屬于缺少條件的探索性問題，解決這類問題的一般做法是從結論出發，并采用逆推的方法得出終結的結論，便理所求的條件．

第二篇：5-平面向量與復數綜合練習

5—平面向量與復數綜合練習

11111．i為虛數單位，＋＋＝()iiiiA．0B．2iC．－2iD．4i

2．設i，j是不共線的單位向量，a＝5i＋3j，b＝3i－5j，則a⊥b是i⊥j的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

3．若復數z＝1＋i，i為虛數單位，則(1＋z)·z＝()

A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．

3→→→→→4．若四邊形ABCD滿足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，則該四邊形一定是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形

5．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝()

A.3B．23C．4D．1

22＋i6．數的共軛復數是()1－2i

33AB.C．－iD．i 5

57．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()

A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向

C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向

8．a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()

881616A.B．－C.D．－ 6565656

5→→→→9．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，滿足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為()

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．y2＝4xD．y2＝－4x ????????????1????????10.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=DC，則AD=()

241211412A．a-bB．a+bC． a-bD．a+b 3333333

311．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.12．設復數z滿足(1＋i)z＝2，其中i是虛數單位，則z＝________.13．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角是________．

1→1→3→→→14．在四邊形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)BA＋BC＝BD，則四邊形ABCD的面積為________． →→→|BA||BC||BD|

15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→→→→→(1)若AC·BC＝－1，求sin(α的值；(2)若|OA＋OC|＝13，且α∈(0，π)，求OB與OC的夾角．

4→→→→16．已知向量OP＝(2cos x＋1，cos 2x－sin x＋1)，OQ＝(cos x，－1)，定義f(x)＝OP·OQ.(1)求函數f(x)的最小正周期；

→→(2)若x∈(0,2π)，當OP·OQ＜－1時，求x的取值范圍．

32→→17．設O為坐標原點，已知向量OZ1，OZ2分別對應復數z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝(2a－a＋51－a

→→5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以與任意實數比較大小，求OZ1·OZ2的值．

18．已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

π(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 3

→→→→→→19．已知兩點M(－1,0)，N(1,0)，且點P使NM·NP，PM·PN，MP·MN成公差為非負的等差數列．

→→(1)求點P的軌跡方程；(2)若θ為PM與PN的夾角，求θ的最大值及此時點P的坐標．

答案及解析

1．【解析】 原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.【答案】 A

2．【解析】 a·b＝(5i＋3j)·(3i－5j)

22＝15|i|－16i·j－15|j|＝－16i·j.∴a⊥b是i⊥j的充要條件．

【答案】 C

3．【解析】 ∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A

→→→→4．【解析】 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

→→→又(AB－AD)·AC＝0，→→∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四邊形ABCD是菱形．

【答案】 B

5．【解析】 ∵|a|＝2，且|b|＝1，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.【答案】 B

2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－26．【解析】 ∵＝＝＝i，51－2i1－2i1＋2i2＋i∴i.1－2i

【答案】 C

7．【解析】 ∵c∥d且a，b不共線，∴存在唯一實數λ，使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，???k＝λ，?k＝－1，?∴∴? ?1＝－λ，?λ＝－1.??

【答案】 D

8．【解析】 ∵a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，∴b＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，5，12?16a·b4，3?·－∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|5×1365

【答案】 C

→→→9．【解析】 ∵MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，→→→→∴|MN|·|MP|＋MN·NP

＝x＋2?＋y＋4(x－2)＝0.x＋2?＋y＝2－x，化簡得y2＝－8x.【答案】 B

10.B

11．【解析】 由(8a－b)·c＝30，得18＋3x＝30，x＝4.【答案】 4

2?1－i?212．【解析】 z＝＝1－i.1＋i1＋i?1－i?

【答案】 1－i

13．【解析】 設向量a與b的夾角為θ，由a⊥(a－b)，得

a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cos θ＝|a|2，|a|

2π∴cos θ＝，故θ＝.|b|24

π【答案】 4

14.3

→→15．【解】(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)，→→∴AC·BC＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，2∴cos α＋sin α 3

π2∴sin(α＋)＝.43

→→(2)∵|OA＋OC|＝13，1∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，∴cos α 2

π313∵α∈(0，π)，∴α＝，sin α＝C()，3222

→→33∴OB·OC＝，2

→→設OB與OC的夾角為θ，且θ∈[0，π]，3→→2OB·OC3π則cos θ＝.故θ＝為所求． →→326|OB|·|OC|

→→16．【解】(1)f(x)＝OP·OQ

＝2cos2x＋cos x－cos 2x＋sin x－1＝sin x＋cos x

π＝2sin(x＋)，4

則f(x)的最小正周期為T＝2π.π2→→(2)由OP·OQ＜－1，得sin(x＋＜－42

又x∈(0,2π)，5ππ7π3π則x＋π＜x＜.4442

3π故x的取值范圍是(π，． 2317．【解】 依題意z1＋z2為實數，由z1－(10－a2)i，a＋5

32∴z1＋z2＝[(a2－10)＋(2a－5)]i的虛部為0，a＋51－a

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5，或a＝3.又分母不為零，∴a＝3，3此時z1＝i，z2＝－1＋i，8

3→→即OZ1＝，1)，OZ2＝(－1,1)，8

5→→3∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝.88

18．【解】(1)證明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．

(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，11π∴S＝absin C＝×4×sin3.22319．【解】(1)設點P的坐標為(x，y)，又M(－1,0)，N(1,0)，→→→→→→則PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． →→∴NM·NP＝2(1－x)，→→→→PM·PN＝x2＋y2－1，MP·MN＝2(1＋x)，依題意得

22?2?x2＋y2－1?＝2?1＋x＋2?1－x，?x＋y＝3，????? ??x≥0.2?1＋x－2?1－x≥0??

∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x≥0)．

→→(2)(2)∵PM·PN＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)

＝x2＋y2－1＝2，→→|PM|·|PN|＝?－1－x?＋?－y??1－x?＋?－y?

＝4－x.→→PM·PN1∴cos θ＝＝.→→4－x|PM|·|PN|

∵0≤x≤3，1π∴≤cos θ≤1，∴0≤θ23

π∴θ的最大值為x＝0，3

∴點P的坐標為(0，3)．

第三篇：復數的有關概念高中數學教案

（1）掌握復數的有關概念，如虛數、純虛數、復數的實部與虛部、兩復數相等、復平面、實軸、虛軸、共軛復數、共軛虛數的概念。

（2）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

（3）理解復數的幾何意義，初步掌握復數集c和復平面內所有的點所成的集合之間的一一對應關系。

（4）培養學生數形結合的數學思想，訓練學生條理的邏輯思維能力．

教學建議

（一）教材分析

1、知識結構

本節首先介紹了復數的有關概念，然后指出復數相等的充要條件，接著介紹了有關復數的幾何表示，最后指出了有關共軛復數的概念．

2、重點、難點分析

（1）正確復數的實部與虛部

對于復數，實部是，虛部是 ．注意在說復數 時，一定有，否則，不能說實部是，虛部是 ,復數的實部和虛部都是實數。

說明：對于復數的定義，特別要抓住 這一標準形式以及 是實數這一概念，這對于解有關復數的問題將有很大的幫助。

（2）正確地對復數進行分類，弄清數集之間的關系

分類要求不重復、不遺漏，同一級分類標準要統一。根據上述原則，復數集的分類如下： 注意分清復數分類中的界限：

①設，則 為實數

② 為虛數

③ 且。

④ 為純虛數 且

（3）不能亂用復數相等的條件解題．用復數相等的條件要注意：

①化為復數的標準形式

②實部、虛部中的字母為實數，即

（4）在講復數集與復平面內所有點所成的集合一一對應時，要注意：

①任何一個復數 都可以由一個有序實數對()唯一確定．這就是說，復數的實質是有序實數對．一些書上就是把實數對()叫做復數的．

②復數 用復平面內的點z()表示．復平面內的點z的坐標是()，而不是()，也就是說，復平面內的縱坐標軸上的單位長度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用復平面內的點(0，1)表示 時，這點與原點的距離是1，等于縱軸上的單位長度．這就是說，當我們把縱軸上的點(0，1)標上虛數 時，不能以為這一點到原點的距離就是虛數單位，或者 就是縱軸的單位長度．

③當 時，對任何，是純虛數，所以縱軸上的點()()都是表示純虛數．但當 時，是實數．所以，縱軸去掉原點后稱為虛軸．

由此可見，復平面(也叫高斯平面)與一般的坐標平面(也叫笛卡兒平面)的區別就是復平面的虛軸不包括原點，而一般坐標平面的原點是橫、縱坐標軸的公共點．

④復數z=a＋bi中的z，書寫時小寫，復平面內點z(a，b)中的z，書寫時大寫．要學生注意．

（5）關于共軛復數的概念

設，則，即

第四篇：三角形四心的向量表示

從動和靜兩個角度看三角形中四“心”的向量表示

平面幾何中中三角形的四“心”,即三角形的內心、外心、重心、垂心。在引入向量這個工具后，我們可以從動和靜兩個角度看三角形中的四“心”的向量表示，其一可以使我們對三角形中的四“心”有全新的認識；其二使我們對向量形式的多樣性和向量運算的靈活性有更清楚的認識。

一．從靜止的角度看向量的四“心”

?????????????1．已知點O是三角形ABC所在平面上一點，若OA?OB?OC?0，則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????分析：若OA?OB?OC?0，則OA?OB??OC，設以OA、OB為鄰邊的平行四邊形為OAC?B,OC與??????????????????????AB交于點D,則D為AB的中點,由OA?OB?OC?得,OC??OC?,即C、O、D、C?四點共線,故CD為?ABC的中線,所以O在邊AB的中線上,同理可證, O在邊AC的中線上, O在邊BC的中線上所以O是三角形ABC的重心.???????????????????????? 2.已知點O是三角形所在平面上一點，若OA?OB?OB?OC?OC?OA,則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????分析:由OA?OB?OB?OC得,OB?(OA?OC)?0,即OB?CA?0,所以OB?C,A同理可證:OC?AB,OA?BC,所以O是?ABC的垂心.????????????3.已知點O是三角形所在平面上一點，若aOA?bOB?cOC?0,則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????????????????????分析::若aOA?bOB?cOC?0,又因為OB?OA?AB,OC?OA?AC,則(a?b?c)OA?bAB?cAC?0.所????以AO???????????????????????????bcABACABAC???????,因為????與????分別表示AB和AC方向上的單位向量,設????a?b?c?|AB||AC|?|AB||AC|????????????????????????????????ABAC?+????,則AP平分?BAC.又AO、AP????AP共線，BO平分?BAC，知AO平分?BAC。同理可證，|AB||AC|????CO平分?BAC。從而O是?ABC的內心。

????2????2????24．已知點O是三角形所在平面上一點，若OA?OB?OC，則O是三角形ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????2????2????2????2????2????2分析：因為OA?OB?OC，所以OA?OB?OC，即OA?OB?OC，所以O是?ABC的外心。

二．從運動的角度看三角形的四“心”

1．已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足????????????????OP?OA??(AB?AC),??R，則動點P一定通過?ABC的（）

（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心 ????????????????????????????????????????????解:OP?OA??(AB?AC),可得AP??(AB?AC),由于AB?AC表示以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的對角線,所以點P在邊BC的中線所在直線上，故動點P的軌跡一定通過?ABC的重心.2．已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足?????????????????ABAC??+???? OP?OA???????,??R，則動點P一定通過?ABC的（）?|AB||AC|?（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

?????????????????????????????????????AB?????ABACACABAC?+???? ?得，AP???????+???? ?。由于?????+???? ?表分析：由OP?OA???????|AB||AC|??|AB||AC|??|AB||AC|?示?BAC的平分線所在的方向向量。故當??R時，動點則動點P一定通過?ABC的內心。

3已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足??????????????????ABAC????????+ ? ,??R，則動點P一定通過?ABC的（）OP?OA???|AB|cosB|AC|coCs??（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

????????????????????????????????ABACABAC??+???? ?得，AP??????+???? ?。分析: 由OP?OA???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????????????ABAC??ABB?CA?C???BC?????????+???? ?B C????B?C?B,C0由于????所以?cosAB|B|coAsC|C|cos?|AB|coBsA|C?|C????????。即點P的軌跡是過點A且垂直于BC的直線，故動點P的軌跡一定通過?ABC的垂心。AP?B?0C4.已知O平面上一個定點，A、B、C是平面內不共線三點，動點P滿足????????????OB?OCOP???2??????????ABAC????????+ ,??R，則動點P一定通過?ABC的（）??sA|C|coC?|AB|coB?s（A）內心

（B）外心

（C）重心

（D）垂心

??????????ABAC????????+ ??|AB|cosB|AC|cosC??????????????????????????ABACABAC??+???? ?,當??R時, ?????+???? ?表示垂直于可得DP???????|AB|cosB|AC|cosC??|AB|cosB|AC|cosC?????????????????????????OB?OCOB?OC分析:設BC的中點為為D,則???OD,所以由OP?22????BC的向量,所以DP為線段BC的垂直平分線,故動點P的軌跡一定通過?ABC的外心.上面通過動和靜兩個角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒優美的結論,使我們對向量的四心有了新的認識,更好的體會到辯證的和諧的統一.

第五篇：三角形內心的向量表示形式

三角形內心的向量表示形式

有這樣一個高考題：

已知O，N，P在?ABC所在平面內，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PB?P?BP?C，則點P?CPAO，N，P依次是?ABC的（）

（A）重心 外心 垂心

（B）重心 外心 內心

（C）外心 重心 垂心

（D）外心 重心 內心

答案為C，即分別為外心、重心、垂心，通過此題我們可以發現三角形的這三個“心”的向量表示形式非常和諧美觀。而三角形的“心”常見的有四個，我們不僅會想三角形內心的向量表示形式是什么呢？

內心的向量表示有三種常見的形式，網絡以及資料上面，對于它們的證明往往不完整，下面我把內心的向量表示形式及其驗證的完整過程給讀者介紹一下．

（１）點I是?ABC所在平面內一點，I是?ABC內心的充要條件是

??????????????CACB??????BI????????????CI?0

??CACB????????????????????ABAC分析：此條件直觀意義較強，如?????????即分別為與AB、AC同

ABAC???????????AI??????????????ABAC?????????ABAC????????BCBA?????????BCBA??????????????向的單位向量AM、AN的差向量MN，由條件可得MN與AI垂直，而MN為等腰?AMN的底邊，故AI為?A的角平分線，同理可得BI、CI亦為角平分線，即I是?ABC內心．

上面的條件直觀意義較易發現，然而形式較為復雜，下面介紹一個較為簡單的充要條件，你能做出證明嗎？

（2）如圖，?ABC的邊長分別為a、b、c,點I是?ABC所在平面內一

??????????點，I是?ABC內心的充要條件是aIA?bIB?cIC?0

證明：已知點I為?ABC的內心，延長AI交BC于點D，則BDcBDcac?，所以?，BD? DCbBCb?cb?cAIABAIb?ccb?c??? ?，所以

acIDBDADa?b?cab?c連接BI,則有??????????b?c????b?c???b?c???c???AD=(AB?BD)?(AB?BC)因此，AI?a?b?ca?b?ca?b?cb?c???b?c???c???????b?cb???c?????(AB?(AC?AB))?(AB?AC)a?b?cb?ca?b?cb?cb?c?????????bcb?c?b???c?????AB?AC ?AB?AC???a?b?ca?b?ca?b?c?b?cb?c?????????????(a?b?c)AI?bAB?cAC

????????????????????????aAI?(bAB?bAI)?(cAC?cAI)?bIB?cIC

???????????aIA?bIB?cIC?0

??????????反之，當aIA?bIB?cIC?0時，可得點I為?ABC的角平分線的交點，即為三角形的內心．

此題的證明需要利用角平分線的性質定理與比例的性質，在化簡變形的過程中要特別注意．（２）若0為平面內任一點，則點I為?ABC的內心的充要條件為????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c??????????證明：由（1）知aIA?bIB?cIC?0 ???OI??????????????????????? ?a(OI?OA)?b(OI?OB)?c(OI?OC)?0 ??????????????? ?(a?b?c)OI?aOA?bOB?cOC

??? 從而有OI?????????????abcOA?OB?OC

a?b?ca?b?ca?b?c上面我們提到的三角形的四個“心”非常奇妙，這一點從它們的向量表示形式上也能夠體現出來，在平時的學習中要注意體會；同時向量法是研究幾何圖形性質的重要方法，而上面的證明過程也告訴我們把幾何圖形中的幾何量用向量表示出來后，靈活運用平面幾何中的比例關系及比例的性質是再進行向量運算的“先行軍”．