第一篇：高一數學向量練習

高一數學向量練習11.已知A（1，1），B（2，3），在x軸上有一點P，使|PA|+|PB|（）

（A）1（B）52

3一、選擇題： 24（C）3（D）

21、設?b是?a的相反向量，則下列說法中錯誤的是12.已知O為原點，點A、B的坐標分別為（a, 0）、（0，a）a是正（）常數，點P在 線段AB上，且=t（0≤t≤1），則·（A）?a和?b的長度一定相等（B）?a和?b是平行向量 的最大值（）

（C）?a和?b一定不相等（D）?a是?b的相反向量（A）a（B）2a（C）3a（D）a2

2、e?????

1和e2是表示平面內所有向量的一組基底，則下面的四個向

二、填空題：

量中不能作為一組基底的是

13、已知同一直線上的三點順次為A（－y，6），B（－2，y），C

????????

（）（x，－6）,若BC?1AB，則x=___________，（A）e??????????

1+ e2和e1－e2（B）3e??????????

2y=_____________。1－2e2和4e2－6e

1（C）?e? 2?e??????????????e?

1+2和e2+2e1（D）e2和 e2+1 14.已知?a?(?1,2?b),??(1，則4?a??b在?a??b上的投影等于

3、已知?e??0，a??2?e?????????

1?ke2(k?R)，b=3e1，若a//b，則（）_____________。

15、若|a?|=3，|b?

|=4，且(a?+b?)·(a?+3b?)=33，則a?與b?的夾角

A）k=0（B）?e?????????????為。1//e2（C）e2=0（D）e1//e2或k=04、已知△ABC的頂點A（2，3），B（8，－4），和重心G（2，－1），16、已知|?a|=2，?b=（－2，2），若?a∥?b，則?a=_____________。則點C的坐標是（）

三、解答題：

（A）（4，－3）（B）（1，4）（C）（－4，－2）（D）（－2，－2）

17、平面內有三個已知點A（1，－2），B（7，0），C（－5，6），求???AB?,???AC?,???AB?????AC?，???AB?????AC?。

5、一艘船以4km/h的速度沿著與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經過3小時，該船實行航程為

（）

（A）2km（B）6km（C）km（D）8km18、設OA=（3，1），OB=（－1，2），OC⊥OB，BC∥OA，6、下列命題中：①若?b≠?0，且?a·?b=?c·?b，則?a=?c；

②若?a=?b，則3?a＜4?b;④?a2·?b2=(?a·?b)2 試求滿足OD+OA=OC的OD的坐標（O為原點）。

③(?a·?b)·?c=?a·(?b·?c), 對任意向量?a，?b，?c都成立；

正確命題的個數為

（）

（A）0（B）1（C）2（D）

37、已知???AB?=3(?e?????=?e???????

1+e2)，CB2－e1，CD=2e1+e2，則下列關

19、一緝私艇在島B南偏東50°相距8（6－2）n mile的A

系一定成立的是（）

（A）A、B、C三點共線（B）A、B、D三點共線 處發現一走私船正由島B沿北偏東10°方向以82n mile/h的速

（C）A、C、D三點共線（D）B、C、D三點共線 度航行，若緝私艇要在2小時后追上走私船，求其航速和航向。

8.某船開始看見燈塔在南30°東方向，后來船沿南60°東的方向

航行45nmile后看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是

（）

（A）15n mile（B）30n mile（C）3n mile（D）152n mile

9下列說法正確的是：（）

（A）|?a?|=??|a?|（B）(a?·b?)·c?是向量（C）a?·b?=b?·c??a?=c?B

（D）a?=(x，b?=(x?

1，y1)2，y2)，則a?⊥b?x1y2－x2y1=010、已知?a?(?4,3),?b?(5,6),則3?a?4?a??b的值是（）

（A）63（B）83（C）23（D）57

第二篇：高一數學練習

18解：(1)∵f(x)是奇函數，∴對定義域內的任意的x，都有f(?x)??f(x)，px2?2px2?2即，整理得：q?3x??q?3x ??q?3xq?3x

∴q?0···① 又∵f(2)??54p?25??，解得p?2·，∴f(2)?··② 3?63

2x2?2∴所求解析式為f(x)? ?3x

(2)由（1）可得

2x2?221f(x)?=?(x?)，函數的定義域為(??,0)?(0,??)，并且由于f(x)是奇函3x?3x

數，可先考查其在區間(0,??)上的單調性。

設0?x1?x2，則由于

211211f(x1)?f(x2)?[(x2?)?(x1?)]?[(x2?x1)?(?)] 33x2x1x2x1

=[(x2?x1)?2

32121?x1x2x1?x2]?(x1?x2)(?1)?(x1?x2)?···※ 33x1x2x1x2x1x2

因此，當0?x1?x2?1時，0?x1x2?1，從而得到f(x1)?f(x2)?0即f(x1)?f(x2)，∴(0,1]是f(x)的增區間。

當1?x1?x2時，由上述※式可得f(x1)?f(x2)，∴[1,??)是f(x)的減區間。

綜上所述，f(x)增區間是[?1,0)和(0,1]；減區間是(??,?1]和[1,??)。

第三篇：向量單元練習

高一數學訓練訓練（18）

1.設a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列四個命題

①(a?b)c?(c?a)b?0；②a?b?a?b；

③(b?c)a?(c?a)b不與c垂直； ④(3a?2b)?(3a?2b)?9a2?4b；

2中，是真命題的有（）

(A)① ②(B)② ③(C)③ ④(D)② ④

2．在四邊形ABCD中，??2，??4?，??5?3，則四邊形ABCD的形狀是（）

A．長方形B．平行四邊形Ｃ．菱形Ｄ．梯形

????3.已知a?(1,2),b?(?3,3)則a在b上的射影為

4.在?ABC中，設?a，?b，?c，若a(a?b)?0，則?ABC（）

(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)無法判定其形狀

????

5、已知a?(2,?1)，b?(?,3),若a與b夾角為鈍角，則λ的取值范圍是_______________

6.如果向量AB?(2,3),AC?(1,k)，確定的?ABC為直角三角形，那么k的值為．

7.已知向量a?(1,2),則與a垂直的單位向量為

8.點O是△ABC所在平面上一點，且滿足條件?????，則點O是△ABC 的（）

A．重心B．垂心C．內心D．外心

9．O是平面上一點，A，B，C是該平面上不共線的三個點，一動點P滿足??，則直線AP一定通過△ABC的?+?(?)，λ∈（0，+∞）

（）

A．內心B．外心Ｃ．重心Ｄ．垂心

????????????????????10.設平面上有四個互異的點A,B,C,D.已知(DB?DC?2DA)?(DB?DC)?0,則三角形的形

狀是

????????????????????????11.設向量OA =(3,1), OB =(－1,2),向量 OC⊥OB ,BC ∥OA ,????????????????

又 OD + OA =OC ,求 OD.????

12、已知△ABC中，A(2,?1)、B(3,2)、C(?3,?1)，BC邊上的高為AD，（1）求D點和AD

（2）求角平分線AE的長

13.已知a、b均為非零向量，且a?3b與7a?5b垂直，a?4b與7a?2b垂直，求a與b的夾角．

14．已知|a|=2，|b|=3，a與b夾角為45，求使向量a+?b 與?a+b的夾角是銳角時，?的取值范圍

????????????

15．在△ABC中，設BC?a，CA?b，AB?c.若a?b=b?c=c?a成立，求證△ABC是正三角形？????作業16 :若a??cos?,sin??,b??

cos?,sin??,且ka?b

??

?1 ?用k表示數量積a?b

????

?求a?b的最小值,并求此時a與b的夾角?.?

2????????????????

17.四邊形ABCD中,AB=a,BC= b, CD=c,DA=d,?

?

??kb?k?0?

且a·b = b·c= c·d= d ·a, 判斷四邊形ABCD是什么圖形？ 18.如圖，平行四邊形ABCD中，BE=

1BA，BF=BD，求證：E，F，C三點共線。4

5（利用向量證明）

??????

16、已知a、b是兩個單位向量，且|ka?b|?3|a?kb|（其中k>0），??

（1）a與b能垂直嗎？

???

（2）若a與b夾角為60，求k的值

1．如圖，O，A，B三點不共線，OC?2OA，OD?3OB，設OA?a，D

?。

（1）試用a,b表示向量OE；（2）設線段AB，OE，CD的中點分別N，試證明L，M，N三點共線。

12、已知向量p=a+tb，q=c+sd（s、t

為L，M，是任意

實數），其中a=（1，2），b=（3，0），c=（1，-1），d=（3，2），求向量p、q的交點坐標．

第四篇：高一數學培優寶典-高考知識練習：平面向量（必修4）

1．(2015·課標Ⅰ，7，易)設D為△ABC所在平面內一點，＝3，則()

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

【答案】　A　如圖所示，在△ABC中，＝－.又∵＝3，∴＝＝－，∴＝＋＝－＋.2．(2015·安徽，8，中)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論正確的是()

A．|b|＝1

B．a⊥b

C．a·b＝1

D．(4a＋b)⊥

【答案】　D　如圖，在等邊△ABC中，＝2a，＝2a＋b，∵＋＝，∴＝b.又∵||＝2，||＝2，∴|b|＝2，|a|＝1，a與b的夾角為120°，∴a·b＝|a||b|cos

120°＝－1.∴A，B，C不正確．

4a＋b＝＋＝2，又⊥，故D正確．

3．(2015·課標Ⅱ，13，易)設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝________．

【解析】　因為λa＋b與a＋2b平行，所以存在實數μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋(1－2μ)b＝0，由于a，b不平行，所以解得λ＝.【答案】

4．(2015·江蘇，6，易)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________．

【解析】　由ma＋nb＝(9，－8)得，m(2，1)＋n(1，－2)＝(9，－8)，即(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴解得∴m－n＝－3.【答案】　－3

5．(2015·北京，13，易)在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝，若＝x＋y，則x＝________；y＝________.【解析】　如圖，在△ABC中，＝＋＋

＝－＋＋

＝－＋＋(－)

＝－，∴x＝，y＝－.【答案】　　－

1．(2013·遼寧，3，易)已知點A(1，3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為()

A.B.C.D.【答案】　A　＝(3，－4)，||＝5.與同方向的單位向量為＝.故選A.2．(2012·廣東，3，易)若向量＝(2，3)，＝(4，7)，則＝()

A．(－2，－4)

B．(2，4)

C．(6，10)

D．(－6，－10)

【答案】　A　＝＋＝－＝(－2，－4)，故選A.3．(2014·浙江，8，中)記max{x，y}＝min{x，y}＝設a，b為平面向量，則()

A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}

B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}

C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2

D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2

【答案】　D　根據向量運算的幾何意義，即三角形法則，可知min{|a＋b|，|a－b|}與min{|a|，|b|}的大小不確定；因為|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2ab，|a－b|2＝|a|＋|b|2－2a·b，則當a·b≥0時，max{|a＋b|2，|a－b|2}＝|a|2＋|b|2＋2a·b≥|a|2＋|b|2；

當a·b<0時，max{|a＋b|2，|a－b|2}

＝|a|2＋|b|2－2a·b≥|a|2＋|b|2，即總有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故選D.4．(2012·安徽，8，中)在平面直角坐標系中，點O(0，0)，P(6，8)，將向量繞點O按逆時針方向旋轉后得向量，則點Q的坐標是()

A．(－7，－)

B．(－7，)

C．(－4，－2)

D．(－4，2)

【答案】　A　由題意，得||＝10，由三角函數定義，設P點坐標為(10cos

θ，10sin

θ)，則cos

θ＝，sin

θ＝.則Q點的坐標應為.由三角函數知識得10

cos

＝－7，10sin＝－，所以Q(－7，－)．故選A.5．(2014·北京，10，易)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________.【解析】　∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|b|，∴|λ|·|a|＝|b|，∴|λ|·1＝，∴|λ|＝.【答案】

6．(2014·課標Ⅰ，15，中)已知A，B，C為圓O上的三點，若＝(＋)，則與的夾角為________．

【解析】　由＝(＋)可知O為BC的中點，即BC為圓O的直徑，又因為直徑所對的圓周角為直角，所以∠BAC＝90°，所以與的夾角為90°.【答案】　90°

7．(2014·陜西，18，12分，中)在直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區域(含邊界)上．

(1)若＋＋＝0，求||；

(2)設＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．

解：(1)方法一：∵＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，∴解得x＝2，y＝2，即＝(2，2)，故||＝2.方法二：∵＋＋＝0，則(－)＋(－)＋(－)＝0，∴＝(＋＋)＝(2，2)，∴||＝2.(2)＝(x，y)，＝(1，2)，＝(2，1)．

∵＝m＋n，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n)，∴

②－①得，m－n＝y－x，令m－n＝t，由圖知，當直線y＝x＋t過點B(2，3)時，t取得最大值，故m－n的最大值為1.思路點撥：(1)根據向量相等，求出P點坐標后求||；

(2)根據向量相等，將m－n轉化為x，y的關系，變換為線性規劃問題．

考向1　平面向量的線性運算

向量的線性運算

向量運算

定義

法則(或幾何意義)

運算律

加法

求兩個向量和的運算

(1)交換律：

a＋b＝b＋a；

(2)結合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

減法

求a與b的相反向量－b的和的運算叫作a與b的差

a－b＝a＋(－b)

數乘

求實數λ與向量a的積的運算

(1)|λa|＝|λ||a|；

(2)當λ>0時，λa與a的方向相同；

當λ<0時，λa與a的方向相反；

當λ＝0時，λa＝0

(1)結合律：λ(μ

a)＝λμ

a＝μ(λa)；

(2)第一分配律：

(λ＋μ)a＝λa＋μ

a；

(3)第二分配律：

λ(a＋b)＝λa＋λb

(1)(2014·課標Ⅰ，6)設D，E，F分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝()

A.B.C.D.(2)(2013·四川，12)在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________．

【解析】(1)如圖，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)＝·2＝.(2)如圖，因為ABCD為平行四邊形，所以＋＝＝2，已知＋＝λ，故λ＝2.【答案】(1)A(2)2

【點撥】　解題(1)時注意向量加法平行四邊形法則的運用；解題(2)的思路是在平行四邊形中把＋用表示，結合已知條件求出λ的值．

向量的線性運算的解題策略

(1)進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解．

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解．

(2014·福建，10)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內任意一點，則＋＋＋等于()

A.B．2

C．3

D．4

【答案】　D　依題意知，點M是線段AC的中點，也是線段BD的中點，所以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4，故選D.考向2　共線向量定理、平面向量基本定理及應用

1．向量共線的判定定理和性質定理

(1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數λ使得b＝λa，則向量b與a共線．

(2)性質定理：若向量b與非零向量a共線，則存在唯一一個實數λ，使得b＝λa.(3)A，B，C是平面上三點，且A與B不重合，P是平面內任意一點，若點C在直線AB上，則存在實數λ，使得＝＋λ(如圖所示)．

2．向量共線定理的應用

(1)證明點共線；

(2)證明兩直線平行；

(3)已知向量共線求字母的值(或范圍)．

3．平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底．

(2)平面向量基本定理的實質

平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量，實質就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加減運算或數乘運算．

4．平面向量基本定理的應用

(1)證明向量共面，如果有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，那么a，e1，e2共面．

(2)根據向量基本定理求字母的值(或范圍)．

(1)(2014·福建，8)在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是()

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)

B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)

C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)

D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)

(2)(2013·江蘇，10)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________．

(3)(2015·安徽阜陽一模，14)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．

【解析】(1)方法一：若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，則e1∥e2，而a不能由e1，e2表示，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，因為≠，所以e1，e2不共線，根據平面向量基本定理，可以把向量a＝(3，2)表示出來，故選B.方法二：因為a＝(3，2)，若e1＝(0，0)，e2＝(1，2)，不存在實數λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，排除A；若e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)，設存在實數λ，μ，使得a＝λe1＋μ

e2，則(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以解得所以a＝2e1＋e2，故選B.(2)∵＝＋＝＋＝＋(－)＝－，又＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝.∴λ1＋λ2＝.(3)方法一：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，則＋＋＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因為，不共線，所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ＋μ＝.方法二：連接MN并延長交AB的延長線于T，由已知易得AB＝AT，∴＝＝λ＋μ，∵T，M，N三點共線，∴λ＋μ＝.【答案】(1)B(2)(3)

【點撥】　題(1)利用平面向量基本定理求解；解題(2)的思路是先在△ABC中用和表示，然后根據已知條件對應求出λ1，λ2；解題(3)時注意基底的選取．

1.求解向量共線問題的注意事項

(1)向量共線的充要條件中，當兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，注意待定系數法和方程思想的運用．

(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．

(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)直線的向量式參數方程，A，P，B三點共線?＝(1－t)·＋t(O為平面內任一點，t∈R)．

(5)＝λ＋μ(λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1.2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算．

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式．

零向量和共線向量不能作基底，基向量通常選取確定整個幾何圖形的從同一結點出發的兩邊所對應的向量．

(2012·大綱全國，9)△ABC中，AB邊的高為CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則＝()

A.a－b

B.a－b

C.a－b

D.a－b

【答案】　D　∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝，CD＝.∴BD＝，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1.∴＝＝(－)

＝a－b.考向3　平面向量坐標運算的應用

1．平面向量的坐標運算

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)．

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)．

(3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)．

2．向量平行的坐標表示

(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0.(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0.判斷三點是否共線，先求每兩點對應的向量，然后再按兩向量共線進行判定．

3．平面向量中的重要結論

(1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．

(3)G為△ABC的重心?＋＋＝0

?G，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)．

(1)(2012·重慶，6)設x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝()

A.B.C．2

D．10

(2)(2013·北京，13)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________．

【解析】(1)由??

∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝.(2)以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，則A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3),．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，即

解得λ＝－2，μ＝－，∴＝4.【答案】(1)B(2)4

【點撥】　解題(1)時注意應用向量平行與垂直的坐標表示；解題(2)的關鍵是建立平面直角坐標系，正確寫出a，b，c的坐標，利用a，b，c之間的關系，列出方程組求解．

向量坐標運算問題的一般思路

向量的坐標運算主要是利用加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．以向量為載體，可以解決三角函數、解析幾何中的有關問題．

(2014·陜西，13)設0<θ<，向量a＝(sin

2θ，cos

θ)，b＝(cos

θ，1)，若a∥b，則tan

θ＝________．

【解析】　因為a∥b，所以sin

2θ＝cos2θ，2sin

θcos

θ＝cos2θ.因為0<θ<，所以cos

θ>0，得2sin

θ＝cos

θ，∴tan

θ＝.【答案】

1．(2015·河北邯鄲一模，5)已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則等于()

A．－2

B．2

C．－

D.【答案】　C　由題意得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，∵(ma＋nb)∥(a－2b)，∴－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，∴＝－，故選C.2．(2015·青海西寧質檢，6)已知△ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足＋＋＝，則點P與△ABC的關系為()

A．P在△ABC內部

B．P在△ABC外部

C．P在AB邊所在直線上

D．P是AC邊的一個三等分點

【答案】　D　∵＋＋＝，∴＋＋＝－，∴＝－2＝2，∴P是AC邊的一個三等分點．

3．(2015·山東日照一模，5)在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，若＝a，＝b，則等于()

A.a＋b

B.a＋b

C.a＋b

D.a＋b

【答案】　B　如圖，∵△DEF∽△BEA，∴DF∶BA＝DE∶BE＝1∶3，過點F作FG∥BD交AC于點G，∴FG∶DO＝2∶3，CG∶CO＝2∶3，∴＝b，∵＝＋＝＝a，∴＝＋＝a＋b.故選B.4．(2015·吉林長春調研，7)已知△ABC的重心為G，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＋b＋c＝0，則角A為()

A.B.C.D.【答案】　A　∵G為△ABC的重心，∴＋＋＝0.∵a＋b＋c＝0，∴＋＝0，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝c，b＝c，∴cos

A＝

＝＝，∴A＝.5．(2014·廣東佛山二模，6)設＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是()

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】　D　方法一：由題意可得，＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，所以＝－＝(a－1，1)，＝－＝(－b－1，2)．

又∵A，B，C三點共線，∴∥，即(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又∵a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝4＋≥4＋4＝8，當且僅當＝時，取“＝”．故選D.方法二：kAB＝，kAC＝，∵A，B，C三點共線，所以kAB＝kAC，即＝，∴2a＋b＝1，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8，∴＋的最小值是8.思路點撥：先由A，B，C三點共線，找出a，b的關系，然后把“1”代換，利用基本不等式求解．

6．(2015·河南開封月考，13)平面直角坐標系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，則實數λ，μ的值分別是________．

【解析】　∵||＝2，∴||2＝1＋c2＝4，c>0，∴c＝.∵＝λ＋μ，∴(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，∴λ＝－1，μ＝.【答案】　－1，7．(2015·山西臨汾模擬，15)如圖，△ABC中，＋＋＝0，＝a，＝b.若＝ma，＝nb，CG∩PQ＝H，＝2，則＋＝________．

【解析】　由＋＋＝0，知G為△ABC的重心，取AB的中點D，則＝＝＝(＋)＝＋，由P，H，Q三點共線，得＋＝1，則＋＝6.【答案】　6

8．(2014·山西陽泉三模，14)設O在△ABC的內部，且有＋2＋3＝0，則△ABC的面積和△AOC的面積之比為________．

【解析】　設AC，BC的中點分別為M，N，則已知條件可化為(＋)＋2(＋)＝0，即2＋4＝0，所以＝－2，說明M，O，N三點共線，即O為中位線MN上的一個三等分點，S△AOC＝S△ANC＝·S△ABC＝S△ABC，所以＝3.【答案】　3

1．(2015·山東，4，易)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·＝()

A．－a2

B．－a2

C.a2

D.a2

【答案】　D　∵＝＋，且＝，∴·＝(＋)·＝·＋2＝||||cos

60°＋||2＝a2＋a2＝a2.故選D.2．(2015·重慶，6，易)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()

A.B.C.D．π

【答案】　A　設|b|＝x，〈a，b〉＝θ，則|a|＝x，a·b＝x2cos

θ.∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，∴3a2＋2a·b－3a·b－2b2＝0，即3×x2－x2cos

θ－2x2＝0，∴cos

θ＝，∴cos

θ＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故選A.3．(2015·湖北，11，易)已知向量⊥，||＝3，則·＝________．

【解析】　·＝·(＋)

＝2＋·＝9.【答案】　9

1．(2014·重慶，4，易)已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數k＝()

A．－

B．0

C．3

D.【答案】　C　2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.故選C.2．(2013·湖北，6，易)已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為()

A.B.C．－

D．－

【答案】　A　由＝(2，1)，＝(5，5)，得·＝15，||＝5.∵·＝||||cos

〈，〉，∴||cos

〈，〉＝＝＝.故選A.3．(2013·湖南，8，中)已知a，b是單位向量，a·b＝0，若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的最大值為()

A.－1

B.C.＋1

D.＋2

【答案】　C　建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意知a⊥b，且a與b是單位向量，∴可設＝a＝(1，0)，＝b＝(0，1)，＝c＝(x，y)．

∴c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，即點C(x，y)的軌跡是以M(1，1)為圓心，1為半徑的圓．而|c|＝，∴|c|的最大值為|OM|＋1，即|c|max＝＋1，故選C.4．(2012·廣東，8，難)對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若平面向量a，b滿足|a|≥|b|>0，a與b的夾角θ∈，且a°b和b°a都在集合中，則a°b＝()

A.B．1

C.D.【答案】　C　根據題中給定的兩個向量的新運算可知a°b＝＝＝，b°a＝，又由θ∈可得

θ<1，由|a|≥|b|>0可得0<≤1，于是0<<1，即b°a∈(0，1)，又由于b°a∈，所以＝，即|a|＝2|b|cos

θ.①

同理>，將①代入后得2cos2θ>，又由于a°b∈，所以a°b＝2cos2θ＝(n∈Z)，于是1<<2，故n＝3，∴cos

θ＝，|a|＝|b|，∴a°b＝×＝，故選C.5．(2014·江西，14，中)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos

α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos

β＝________．

【解析】　a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8.∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9，∴|a|＝3.∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8，∴|b|＝2，∴cos

β＝＝＝.【答案】

6．(2012·安徽，14，中)若平面向量a，b滿足|2a－b|≤3，則a·b的最小值是________．

【解析】　由向量的數量積知－|a||b|≤a·b≤|a||b|?|a|·|b|≥－a·b(當且僅當〈a，b〉＝π時等號成立)．

由|2a－b|≤3?4|a|2－4a·b＋|b|2≤9?9＋4a·b≥4|a|2＋|b|2≥4|a||b|≥－4a·b?a·b≥－(當且僅當2|a|＝|b|，〈a，b〉＝π時取等號)，∴a·b的最小值為－.【答案】　－

思路點撥：先由|2a－b|≤3找出a·b與|a|·|b|之間關系，再利用基本不等式及數量積的定義求最值．

7．(2014·安徽，15，難)已知兩個不相等的非零向量a，b，兩組向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2個a和3個b排列而成．記S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是________(寫出所有正確命題的編號)．

①S有5個不同的值；

②若a⊥b，則Smin與|a|無關；

③若a∥b，則Smin與|b|無關；

④若|b|＞4|a|，則Smin＞0；

⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，則a與b的夾角為.【解析】　S有3種結果：

S1＝a2＋a2＋b2＋b2＋b2，S2＝a2＋a·b＋a·b＋b2＋b2，S3＝a·b＋a·b＋a·b＋a·b＋b2，故①錯誤．

∵S1－S2＝S2－S3＝a2＋b2－2a·b

≥a2＋b2－2|a||b|＝(|a|－|b|)2≥0，∴S中的最小值為S3.若a⊥b，則Smin＝S3＝b2，與|a|無關，故②正確．

若a∥b，則Smin＝S3＝4a·b＋b2，與|b|有關，故③錯誤．

若|b|>4|a|，則Smin＝S3＝4|a||b|cos

θ＋b2>－4|a||b|＋b2>－|b|2＋b2＝0，故④正確．

若|b|＝2|a|，則Smin＝S3＝8|a|2cos

θ＋4|a|2＝8|a|2，∴2cos

θ＝1，∴θ＝，故⑤錯誤．

【答案】　②④

考向1　平面向量的垂直與夾角

1．平面向量數量積的有關概念

(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，記＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角．

(2)數量積的定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數量|a||b|cos

θ叫作a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos

θ.規定：0·a＝0.(3)數量積的幾何意義：數量積a·b等于a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘積．

兩個向量的數量積是一個數量，而不是向量，它的值為兩個向量的模與兩向量夾角的余弦值的乘積，其符號由夾角的余弦值確定．

2．平面向量數量積的性質

設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則

(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a與b同向時，a·b＝|a||b|；當a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos

θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.3．平面向量數量積的坐標表示

設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ，則

(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝.(3)cos

θ＝.(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．

(1)(2014·四川，7)平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝()

A．－2

B．－1

C．1

D．2

(2)(2014·天津，8)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，則λ＋μ＝()

A.B.C.D.(3)(2013·山東，15)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數λ的值為________．

【解析】(1)c＝ma＋b＝(m＋4，2m＋2)，a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.由兩向量的夾角相等可得＝，即為＝，解得m＝2.(2)以，為基向量，則·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1.①

·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－.②

由①②可得λ＋μ＝.(3)∵⊥，∴·＝0，∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0.∵向量與的夾角為120°，||＝3，||＝2，∴(λ－1)||||·cos

120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.【答案】(1)D(2)C(3)

【點撥】　題(1)考查了平面向量的坐標運算以及向量的夾角公式，求解時先進行運算，最后代入坐標，使解題過程簡潔；題(2)根據條件把，分別用，表示，然后根據向量數量積公式得方程組求解；解題(3)的方法是根據·＝0列出等量關系求出λ.平面向量數量積的應用

(1)根據平面向量數量積的性質：若a，b為非零向量，cos

θ＝(夾角公式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題．

(2)數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角．

(1)(2011·課標全國，10)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個命題

p1：|a＋b|>1?θ∈

p2：|a＋b|>1?θ∈

p3：|a－b|>1?θ∈

p4：|a－b|>1?θ∈

其中的真命題是()

A．p1，p4

B．p1，p3

C．p2，p3

D．p2，p4

(2)(2014·湖北，11)設向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數λ＝________．

(1)【答案】　A　∵|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|>1，則(a＋b)2>1，∴a2＋2a·b＋b2>1，即a·b>－，∴cos

θ＝＝a·b>－，∴θ∈；

若|a－b|>1，同理求得a·b<，∴cos

θ＝a·b<，∴θ∈，∴p1，p4正確，故選A.(2)【解析】　∵a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，∴(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.【答案】　±3

考向2　平面向量的模及其應用

求平面向量的模的公式

(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(2)|a±b|＝＝；

(3)若a＝(x，y)，則|a|＝.(1)(2014·課標Ⅱ，3)設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝()

A．1

B．2

C．3

D．5

(2)(2014·湖南，16)在平面直角坐標系中，O為原點，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，動點D滿足||＝1，則|＋＋|的最大值是________．

【解析】(1)由|a＋b|＝得a2＋b2＋2a·b＝10，①

由|a－b|＝得a2＋b2－2a·b＝6，②

①－②得4a·b＝4，∴a·b＝1，故選A.(2)方法一：設D(x，y)，由＝(x－3，y)及||＝1可知(x－3)2＋y2＝1，即動點D的軌跡為以點C為圓心的單位圓．

又＋＋＝(－1，0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|＋＋|＝，問題轉化為圓(x－3)2＋y2＝1上的點與點P(1，－)間距離的最大值．

∵圓心C(3，0)與點P(1，－)之間的距離為＝，故的最大值為＋1.方法二：設D(x，y)，則由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，從而可設x＝3＋cos

α，y＝sin

α，α∈R.而＋＋＝(x－1，y＋)，則|＋＋|＝

＝

＝＝，其中sin

φ＝，cos

φ＝.顯然當sin(α＋φ)＝1時，|＋＋|有最大值＝＋1.方法三：＋＋＝＋＋＋，設a＝＋＋＝(2，)，則|a|＝，從而＋＋＝a＋，則|＋＋|＝|a＋|≤|a|＋||＝＋1，當a與同向時，|＋＋|有最大值＋1.【答案】(1)A(2)＋1

【點撥】　解題(1)時注意先求模的平方，再用加減運算求解；題(2)方法一利用幾何意義將問題轉化為幾何問題；方法二采用換元法將問題轉化為求三角函數的最值；方法三利用向量運算性質求解．

1.求向量的模的方法

(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉化為數量積運算．

(2)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．

2．求向量模的最值(范圍)的方法

(1)代數法：把所求的模表示成某個變量的函數，再用求最值的方法求解．

(2)幾何法(數形結合法)：弄清所求的模表示的幾何意義，結合動點表示的圖形求解．

(2015·河南開封模擬，14)已知向量a與b垂直，|a|＝2，若使得(a－c)·(b－c)＝0的c的模的最大值為，則|b|＝________．

【解析】　因為(a－c)·(b－c)＝a·b＋c2－(a＋b)·c＝0且a與b垂直，所以c2＝(a＋b)·c，|c|＝|a＋b|cos

θ≤|a＋b|(θ為a＋b與c的夾角)，由題意知|a＋b|＝＝＝＝，得|b|＝1.【答案】　1

1．(2015·河北承德質檢，4)已知兩個非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下列結論正確的是()

A．a∥b

B．a⊥b

C．|a|＝|b|

D．a＋b＝a－b

【答案】　B　因為|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，所以a⊥b.故選B.2．(2015·浙江溫州二模，5)已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)2＝1，則a與b的夾角等于()

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

【答案】　C　設a與b的夾角為θ，因為a·b＝|a||b|·cos

θ＝，且|a|＝1，所以|b|cos

θ＝.①

又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即1＋|b|2－1＝1，故|b|＝1.②

由①②得cos

θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.故選C.3．(2015·河南駐馬店質檢，6)若O為△ABC所在平面內任一點，且滿足(－)·(＋－2)＝0，則△ABC的形狀為()

A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形

【答案】　C　因為(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，∵－＝，∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故選C.4．(2015·上海嘉定模擬，15)已知i，j，k表示共面的三個單位向量，i⊥j，那么(i＋k)·(j＋k)的取值范圍是()

A．[－3，3]

B．[－2，2]

C．[－1，＋1]

D．[1－，1＋]

【答案】　D　由i⊥j，得i·j＝0，又i，j為單位向量，∴|i＋j|＝＝，則(i＋k)·(j＋k)＝i·j＋(i＋j)·k＋k2

＝(i＋j)·k＋1＝|i＋j|cosi＋j，k＋1

＝cosi＋j，k＋1，又∵－1≤cosi＋j，k≤1，∴(i＋k)·(j＋k)的取值范圍是[1－，1＋]．故選D.5．(2015·福建莆田一模，6)已知a，b，c均為單位向量，且|a＋b|＝1，則(a－b)·c的取值范圍是()

A．[0，1]

B．[－1，1]

C．[－，]

D．[0，]

【答案】　C　由a，b為單位向量和|a＋b|＝1的幾何意義，可知|a－b|＝，設a－b與c的夾角為θ，則(a－b)·c＝|a－b||c|·cos

θ，∵cos

θ∈[－1，1]，∴(a－b)·c的取值范圍為[－，]．

6．(2014·湖南九校聯考，9)對于非零向量m，n，定義運算“*”：m*n＝|m||n|sin

θ，其中θ為m，n的夾角，有兩兩不共線的三個向量a，b，c，下列結論正確的是()

A．若a*b＝a*c，則b＝c

B．(a*b)c＝a(b*c)

C．a*b＝(－a)*b

D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c

【答案】　C　a，b，c為兩兩不共線向量，則a，b，c為非零向量，故A不正確；設a，b夾角為θ，b，c夾角為α，則(a*b)c＝|a||b|·sin

θ·c，a(b*c)＝|b||c|sin

α·a，故B不正確；a*b＝|a||b|sin

θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故選C.7．(2015·山東淄博一模，14)若a，b是兩個非零向量，且|a|＝|b|＝λ|a＋b|，λ∈，則b與a－b的夾角的取值范圍是________．

【解析】　設＝a，＝b，以OA與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，因為|a|＝|b|，所以四邊形OACB是菱形，設∠BOC＝θ，則∠OBC＝π－2θ，在△OBC中，由正弦定理可得＝，化簡得cos

θ＝，由λ∈得∈，所以θ∈，所以b，a－b＝θ＋∈.【答案】

8．(2014·江西南昌二模，12)關于平面向量a，b，c，有下列三個命題：

①若a·b＝a·c，則b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，則k＝－3；

③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)．

【解析】　命題①明顯錯誤．由兩向量平行的充要條件得1×6＋2k＝0，k＝－3，故命題②正確．由|a|＝|b|＝|a－b|，再結合平行四邊形法則可得a與a＋b的夾角為30°，命題③錯誤．

【答案】　②

1．(2015·天津，14，中)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動點E和F分別在線段BC和DC上，且＝λ，＝，則·的最小值為________．

【解析】　如圖，分別過C，D作CN⊥AB于N，DM⊥AB于M，則AM＝BN＝，∴CD＝MN＝1.∴·＝(＋)·(＋＋)

＝2＋·＋·＋·＋·＋·

＝4－1－2－λ＋λ＋λ·

＝＋＋≥＋2＝，當且僅當＝，即λ＝時等號成立，此時·有最小值.【答案】

2．(2015·江蘇，14，難)設向量ak＝(k＝0，1，2，…，12)，則

(ak·ak＋1)的值為________．

【解析】　ak·ak＋1

＝·

＝coscosπ＋·

＝coscosπ＋sinsinπ＋sincosπ＋cossinπ＋coscosπ

＝cos＋sinπ＋coscosπ，(ak·ak＋1)＝12cos＋sinπ＋coscosπ

＝6＋0＋4

＝9.【答案】　9

3．(2015·浙江，15，難)已知e1，e2是空間單位向量，e1·e2＝.若空間向量b滿足b·e1＝2，b·e2＝，且對于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，則x0＝______，y0＝________，|b|＝________．

【解析】　∵e1·e2＝|e1||e2|cos〈e1，e2〉＝cos〈e1，e2〉＝，∴〈e1，e2〉＝.不妨設e1＝，e2＝(1，0，0)，b＝(m，n，t)．

則由題意知b·e1＝m＋n＝2，b·e2＝m＝.解得n＝，m＝，∴b＝.∵b－(xe1＋ye2)

＝，∴|b－(xe1＋ye2)|2＝＋＋t2.由題意，當x＝x0＝1，y＝y0＝2時，|b－(xe1＋ye2)|2取到最小值1.此時t2＝1，故|b|＝

＝＝2.【答案】　1　2　2

4．(2015·廣東，16，12分，易)在平面直角坐標系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin

x，cos

x)，x∈.(1)若m⊥n，求tan

x的值；

(2)若m與n的夾角為，求x的值．

解：(1)∵m＝，n＝(sin

x，cos

x)，m⊥n，∴m·n＝sin

x－cos

x＝0，即sin

x＝cos

x，∴tan

x＝＝1.(2)由題意知，|m|＝＝1，|n|＝＝1，m·n＝sin

x－cos

x＝sin.而m·n＝|m|·|n|·cos〈m，n〉

＝cos＝.∴sin＝，又∵x∈，x－∈，∴x－＝，∴x＝.1．(2012·湖南，7，中)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，則BC＝()

A.B.C．2

D.【答案】　A　∵·＝·(－)＝·－2＝1，∴·＝5，即2×3cos

A＝5，∴cos

A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos

A＝3，∴BC＝，故選A.思路點撥：先根據數量積求出角A的三角函數值，再由余弦定理求BC.2．(2012·江西，7，中)在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則＝()

A．2

B．4

C．5

D．10

【答案】　D　方法一：以C為原點，CA，CB所在直線分別為x，y軸建立直角坐標系．設A(a，0)，B(0，b)，則D，P.從而|PA|2＋|PB|2＝＋＝(a2＋b2)＝10|PC|2，故＝10.方法二：因為－＝，且＋＝2，兩式平方相加得22＋22＝2＋42＝42＋42＝202，故＝10.3．(2014·安徽，10，難)在平面直角坐標系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，點Q滿足＝(a＋b)．曲線C＝{P|＝acos

θ＋bsin

θ，0≤θ＜2π}，區域Ω＝{P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω為兩段分離的曲線，則()

A．1＜r＜R＜3

B．1＜r＜3≤R

C．r≤1＜R＜3

D．1＜r＜3＜R

【答案】　A　由題意，可取a＝(1，0)，b＝(0，1)，則＝(，)，＝(cos

θ，sin

θ)，＝(－cos

θ，－sin

θ)，∴||2＝(－cos

θ)2＋(－sin

θ)2

＝5－2(cos

θ＋sin

θ)

＝5－4sin.∵0≤θ<2π，∴≤θ＋<，∴1≤||2≤9，即1≤||≤3.因為C∩Ω為兩段分離的曲線，結合圖象(如圖)可知，1

A.B.C.D.【答案】　A　如圖，＝－，＝－，∵·＝－，∴(－)·(－)＝－，·－·－·＋·＝－.又＝λ，＝(1－λ)，代入上式得

(1－λ)·λ－(1－λ)·－·λ＋·＝－.(*)

∵△ABC為等邊三角形，且||＝||＝||＝2，∴·＝||·||·cos

60°＝2×2×＝2，||2＝4，||2＝4，代入(*)式得4λ2－4λ＋1＝0，即(2λ－1)2＝0，∴λ＝，故選A.5．(2014·江蘇，12，易)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________．

【解析】　由題意，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－，所以·＝

·

＝2－·－2，代入數據得2＝25－·－×64，解得·＝22.【答案】　22

6．(2012·北京，13，中)已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，則·的值為________；·的最大值為________．

【解析】　①以D點為原點，DC，DA所在直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的直角坐標系，則D(0，0)，A(0，1)，B(1，1)，C(1，0)．設E(x，1)，那么＝(x，1)，＝(0，1)，∴·＝1.②∵＝(1，0)，∴·＝x.∵正方形的邊長為1，∴x的最大值為1，故·的最大值為1.【答案】　1　1

7．(2012·上海，12，中)在平行四邊形ABCD中，∠A＝，邊AB，AD的長分別為2，1.若M，N分別是邊BC，CD上的點，且滿足＝，則·的取值范圍是________．

【解析】　方法一：因為點M，N分別在邊BC和CD上，可設＝＝k∈[0，1]，則·＝(＋)·(＋＋)

＝(＋k)·(＋＋k)

＝　2＋·＋k·＋k·＋k　2＋k2·＝4＋2×1×－4k＋2×1×k＋k－1×2×k2＝5－2k－k2＝－(k＋1)2＋6∈[2，5]，k∈[0，1]．

方法二：建立平面直角坐標系，如圖．

則B(2，0)，C，D.令＝＝λ，則M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2，5]．

【答案】　[2，5]

8．(2013·江蘇，15，14分，易)已知a＝(cos

α，sin

α)，b＝(cos

β，sin

β)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求證：a⊥b；

(2)設c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．

解：(1)證明：由題意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.(2)因為a＋b＝(cos

α＋cos

β，sin

α＋sin

β)＝(0，1)，所以

由此得，cos

α＝cos(π－β)．

由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin

α＋sin

β＝1，得sin

α＝sin

β＝.又α>β，所以α＝，β＝.考向1　平面向量在平面幾何中的應用

向量在幾何中的應用

(1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的充要條件：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：

a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問題，常用公式：

cos

θ＝＝.(4)求線段的長度，可以用向量的線性運算，向量的模

|a|＝＝或

|AB|＝||＝.(1)(2013·福建，7)在四邊形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，則該四邊形的面積為()

A.B．2

C．5

D．10

(2)(2013·天津，12)在平行四邊形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點．若·＝1，則AB的長為________．

【解析】(1)·＝(1，2)·(－4，2)＝0，故⊥.故四邊形ABCD的對角線互相垂直，面積S＝·||·||＝××2＝5，故選C.(2)方法一：由題意可知，＝＋，＝－＋.因為·＝1，所以(＋)·＝1，則2＋·－2＝1.①

因為||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||，因此①式可化為1＋||－||2＝1.解得||＝0(舍去)或，所以AB的長為.方法二：以A為原點，AB為x軸建立如圖的直角坐標系，過D作DM⊥AB于點M.由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝.設|AB|＝m(m＞0)，則B(m，0)．

C，D.因為E是CD的中點，所以E.所以＝，＝.由·＝1，可得＋＝1，即2m2－m＝0，所以m＝0(舍去)或.故AB的長為.【答案】(1)C(2)

【點撥】　解題(1)的關鍵是利用向量證明AC⊥BD；解題(2)的方法一是利用平面向量運算，將，用已知向量表示，然后求解；方法二是建立合適的平面直角坐標系，用坐標法求解，準確寫出點的坐標是關鍵．

用向量解決平面幾何問題的步驟

(1)建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；

(2)通過向量運算研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；

(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系．

(2013·課標Ⅱ，13)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則·＝________．

【解析】　方法一：·

＝·(－)

＝2－2＝22－×22＝2.方法二：以A為原點建立平面直角坐標系(如圖)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，＝(1，2)，＝(－2，2)，則·＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】　2

考向2　平面向量在三角函數中的應用

與三角函數相結合考查向量的數量積的坐標運算及其應用是高考熱點問題．解此類問題，除了要熟練掌握向量數量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外，還應掌握三角恒等變換的相關知識．

(1)(2014·山東，12)在△ABC中，已知·＝tan

A，當A＝時，△ABC的面積為________．

(2)(2013·遼寧，17，12分)設向量a＝(sin

x，sin

x)，b＝(cos

x，sin

x)，x∈.①若|a|＝|b|，求x的值；

②設函數f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．

【解析】(1)在△ABC中，·＝||·|·cos

A＝tan

A，∴||·||＝＝＝.由三角形面積公式，得S＝|AB|·|AC|sin

A＝××＝.(2)①由|a|2＝(sin

x)2＋(sin

x)2＝4sin2x，|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，∴sin

x＝，∴x＝.②f(x)＝a·b＝sin

x·cos

x＋sin2x

＝sin

2x－cos

2x＋

＝sin＋，當x＝∈時，sin取最大值1.∴f(x)的最大值為.【點撥】　解題(1)的關鍵是利用向量知識求出||·||的值；解題(2)時注意角x的取值范圍．

向量與三角函數綜合問題的特點與解題思路

(1)以向量為載體考查三角函數的綜合應用題目，通過向量的坐標運算構建出三角函數，然后再考查有關三角函數的最值、單調性、周期性等三角函數性質問題，有時還加入參數，考查分類討論的思想方法．

(2)對于三角函數求最值問題，大都有兩種形式：一種是化成y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，另一種是化成y＝asin2x＋bsin

x＋c或y＝acos2x＋bcos

x＋c的形式．

(2015·安徽宣城模擬，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若·＝·＝1.(1)判斷△ABC的形狀；

(2)求邊長c的值；

(3)若|＋|＝2，求△ABC的面積．

解：(1)由·＝·＝1，得bc·cos

A＝ac·cos

B，由正弦定理，即sin

Bcos

A＝sin

Acos

B，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B，即△ABC是等腰三角形．

(2)由·＝1，得bc·cos

A＝1，又bc·＝1，則b2＋c2－a2＝2，又a＝b，∴c2＝2，即c＝.(3)由|＋|＝2，得2＋b2＋2＝8，∴b＝2，又c＝，∴cos

A＝，sin

A＝，∴S△ABC＝bc·sin

A＝×2××＝.1．(2015·安徽銅陵質檢，6)已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x軸上存在一點P使·有最小值，則點P的坐標是()

A．(－3，0)

B．(2，0)

C．(3，0)

D．(4，0)

【答案】　C　設點P的坐標為(x，0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．

·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)

＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.當x＝3時，·有最小值1.此時點P的坐標是(3，0)．

2．(2015·湖北宜昌一模，6)已知△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為1，若3＋4＋5＝0，則△AOC的面積為()

A.B.C.D.【答案】　A　由題設，得3＋5＝－4，即9＋2×3×5·＋25＝16，∴cos∠AOC＝－，∴sin∠AOC＝，S△AOC＝×1×1×＝.3．(2015·遼寧大連質檢，8)設F1，F2為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，過橢圓中心任作一條直線與橢圓交于P，Q兩點，當四邊形PF1QF2面積最大時，·的值等于()

A．0

B．2

C．4

D．－2

【答案】　D　由題意得c＝＝，S四邊形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h為F1F2邊上的高)，所以當h＝b＝1時，S四邊形PF1QF2取最大值，此時∠F1PF2＝120°，||＝||＝2.所以·＝||

||cos

120°＝2×2×＝－2.4．(2014·湖南長沙二模，6)如圖，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，則·＝()

A．2

B.C．－

D.【答案】　D　以A為原點，AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖．

設B(xB，0)，D(0，1)，C(xC，yC)，＝(xC－xB，yC)，＝(－xB，1)，∵＝，∴xC－xB＝－xB?xC＝(1－)xB，yC＝，＝((1－)xB，)，＝(0，1)，·＝.5．(2014·河北石家莊一模，6)已知點G為△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，則||的最小值是()

A.B.C.D.【答案】　C　設BC的中點為M，則＝.又M為BC中點，∴＝(＋)，∴＝＝(＋)，∴||＝.又∵·＝－2，∠A＝120°，∴||||＝4.∴||＝

≥＝，當且僅當||＝||時取“＝”，∴||的最小值為，故選C.6．(2015·河南周口一模，14)已知點O為△ABC的外心，且||＝4，||＝2，則·＝________．

【解析】　因為點O為△ABC的外心，且||＝4，||＝2，所以·＝·(－)

＝·－·

＝||||cos〈，〉－||||·cos〈，〉

＝||||×－||||×＝6.【答案】　6

7．(2015·山東臨沂質檢，14)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________．

【解析】　由余弦定理，得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos

B

＝(2)2＋22－2×2×2cos

30°＝4，∴AC＝2，∴AC＝BC＝2，∴∠CAB＝30°，∠DAC＝60°.AD＝1，∴AE∈[1，2]，∵＝＋μ，∴||2＝(＋μ)2

＝||2＋|μ|2

＝1＋(2)2μ2＝1＋12μ2，∴μ2＝，∵||∈[1，2]，∴μ2∈，∴μ∈.【答案】

8．(2015·山西太原一模，14)設G是△ABC的重心，且sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，則角B的大小為______________．

【解析】　∵sin

A·＋3sin

B·＋3sin

C·＝0，設三角形的邊長順次為a，b，c，由正弦定理得a·＋3b·＋3c·＝0，由點G為△ABC的重心，根據中線的性質及向量加法法則得：

3＝＋，3＝＋，3＝＋，代入上式得：a(＋)＋3b(＋)＋3c(＋)＝0，又＝＋，上式可化為：

a(2＋)＋3b(＋)＋3c·(－＋2)＝0，即(2a－3b－3c)＋(－a－3b＋6c)＝0，則有

①－②得3a＝9c，即a∶c＝3∶1，設a＝3k，c＝k，代入①得b＝－k，∴cos

B＝＝＝，∴B＝.【答案】

9．(2014·江西五校聯考，17，12分)已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos

B＝bcos

C，求函數f(A)的取值范圍．

解：m·n＝sincos＋cos2

＝sin＋×cos＋

＝sin＋.(1)∵m·n＝1，∴sin＝，cos＝1－2sin2＝，cos＝－cos＝－.(2)∵(2a－c)cos

B＝bcos

C，由正弦定理得(2sin

A－sin

C)·cos

B＝sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin

Ccos

B＋sin

Bcos

C，∴2sin

Acos

B＝sin(B＋C)．

∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin

A，且sin

A≠0，∴cos

B＝，B＝.∴0

一、選擇題(共10小題，每小題5分，共50分)

1．(2015·湖南株洲質檢，4)已知向量a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，則tan

α＝()

A.B．－

C.D．－

【答案】　A　方法一：∵a∥b?a＝λb，則(3，4)＝λ(sin

α，cos

α)，∴即tan

α＝.方法二：∵a＝(3，4)，b＝(sin

α，cos

α)，且a∥b，∴3cos

α－4sin

α＝0，即tan

α＝＝.2．(2013·大綱全國，3)已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝()

A．－4

B．－3

C．－2

D．－1

【答案】　B　∵m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由題意知(m＋n)·(m－n)＝0，即－(2λ＋3)－3＝0，因此λ＝－3.故選B.3．(2015·浙江杭州二模，6)設A，B，C為直線l上不同的三點，O為直線l外一點．若p＋q＋r＝0(p，q，r∈R)，則p＋q＋r＝()

A．－1

B．0

C．1

D．3

【答案】　B　由已知得＝－－，而A，B，C三點共線，所以－＋＝1，所以p＋q＋r＝0.4．(2015·福建福州一模，6)如圖，設向量＝(3，1)，＝(1，3)，若＝λ＋μ，且λ≥μ≥1，則用陰影表示C點所有可能的位置區域正確的是()

【答案】　D　設C(x，y)．∵＝λ＋μ＝λ(3，1)＋μ(1，3)＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，∴解得

∵λ≥μ≥1，∴故選D.5．(2015·黑龍江伊春質檢，6)已知平面向量a，b滿足|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為120°，若(a＋mb)⊥a，則實數m的值為()

A．1

B.C．2

D．3

【答案】　D　∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝0，∴|a|2＋m·|a|·|b|cos

120°＝0，即9＋m·3×2×＝0，∴m＝3.故選D.6．(2015·河南中原名校聯考，4)已知不共線向量a，b，|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝1，則|a－b|＝()

A.B．2

C.D.【答案】　A　由a·(b－a)＝1得a·b－a2＝1，∴a·b＝5.∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×5＋9＝3，∴|a－b|＝.故選A.7．(2013·廣東，10)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題：

①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；

②給定向量b和c，總存在實數λ和μ，使a＝λb＋μc；

③給定單位向量b和正數μ，總存在單位向量c和實數λ，使a＝λb＋μc；

④給定正數λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ

c.上述命題中的向量b，c和a在同一個平面內且兩兩不共線，則真命題的個數是()

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】　B　對于①，因為a與b給定，所以a－b一定存在，可表示為c，即c＝a－b，故a＝b＋c成立，①正確；對于②，因為b與c不共線，由平面向量基本定理可知②正確；對于③，以a的終點作長度為μ的圓，這個圓必須和向量λb有交點，這個不一定滿足，故③錯誤；對于④，利用向量加法的三角形法則，結合三角形兩邊之和大于第三邊，即必有|λb|＋|μc|＝λ＋μ≥|a|，故④錯，因此正確的有2個．故選B.8．(2015·山西晉中十校聯考，6)已知O為原點，點A，B的坐標分別為(a，0)，(0，a)，其中常數a>0，點P在線段AB上，且有＝t(0≤t≤1)，則·的最大值為()

A．a

B．2a

C．3a

D．a2

【答案】　D　∵＝t，∴＝＋＝＋t(－)

＝(1－t)＋t＝(a－at，at)，∴·＝a2(1－t)，∵0≤t≤1，∴0≤·≤a2.9．(2015·安徽安慶一模，6)已知點O為△ABC所在平面內一點，且2＋2＝2＋2＝2＋2，則O一定為△ABC的()

A．外心

B．內心

C．垂心

D．重心

【答案】　C　由2＋2＝2＋2，得2＋(－)2＝2＋(－)2，∴·＝·，∴·＝0.∴O在邊AB的高線上．

同理，O在邊AC，BC的高線上，則O為△ABC的垂心．故選C.10．(2015·江西宜春一模，11)已知定義在區間(0，3)上的函數f(x)的圖象如圖所示，若a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)，則不等式a·b<0的解集是()

A．(0，1)

B．(0，1]

C．(0，1)∪

D．(0，1]∪

【答案】　C　∵(0，3)上的函數f(x)的圖象如圖所示，a＝(f(x)，0)，b＝(cos

x，1)

∴當x∈(0，1)時，f(x)<0，cos

x>0；

當x∈時，cos

x≥0，f(x)≥0；

當x∈時，f(x)>0，cos

x<0，∴a·b＝f(x)cos

x<0的解集是(0，1)∪.二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)

11．(2011·江蘇，10)已知e1，e2

是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若

a·b＝0，則實數k的值為________．

【解析】　a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)

＝ke＋(1－2k)e1·e2－2e

＝k＋(1－2k)cos－2＝0，解得k＝.【答案】

12．(2015·山東煙臺質檢，14)△ABC的三內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n，則cos

A＝________．

【解析】　∵m∥n，∴(3c－b)c＝(a－b)(3a＋3b)，即bc＝3(b2＋c2－a2)，∴＝，∴cos

A＝＝.【答案】

13．(2015·江西南昌一模，12)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(cos

α，sin

α)(α∈R)，實數m，n滿足ma＋nb＝c，則(m－3)2＋n2的最大值為________．

【解析】　方法一：由ma＋nb＝c，可得

故(m＋n)2＋(m－n)2＝2，即m2＋n2＝1，故點M(m，n)在以原點為圓心，1為半徑的圓上，則點P(3，0)到點M的距離的最大值為|OP|＋1＝3＋1＝4，故(m－3)2＋n2的最大值為42＝16.方法二：∵ma＋nb＝c，∴(m＋n，m－n)＝(cos

α，sin

α)(α∈R)．

∴m＋n＝cos

α，m－n＝sin

α.∴m＝sin，n＝cos.∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9

＝10－6sin.∵sin∈[－1，1]，∴(m－3)2＋n2的最大值為16.【答案】　16

14．(2012·江蘇，9)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．

【解析】　方法一：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸建立平面直角坐標系，則A(0，0)，B(，0)，D(2，0)，E(，1)，設F(x，2)，∴＝(x，2)，＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，∴·＝(，1)·(1－，2)＝.方法二：·＝||||cos∠BAF＝，∴||cos∠BAF＝1，即||＝1，∴||＝－1，·＝(＋)·(＋)

＝·＋·＋·＋·

＝·＋·

＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.【答案】

三、解答題(共4小題，共50分)

15．(12分)(2015·山東德州一模，16)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos

B，－sin

B)，且m·n＝－.(1)求sin

A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．

解：(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cos

B－sin(A－B)sin

B＝－，所以cos

A＝－.因為0

A＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，則sin

B＝＝＝，因為a>b，所以A>B，則B＝，由余弦定理得

(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量在方向上的投影為

||cos

B＝ccos

B＝1×＝.16．(12分)(2014·廣東惠州三模，18)在△ABC中，AB邊上的中線CO＝2，若動點P滿足＝sin2θ·＋cos2θ·(θ∈R)，求(＋)·的最小值．

解：因為＝sin2θ·＋cos2θ·，又因為sin2θ＋cos2θ＝1，所以C，P，O三點共線，且sin2θ，cos2θ∈[0，1]，所以點P在線段OC上，故(＋)·＝2·，設||＝t，t∈[0，2]，則(＋)·＝2t(2－t)×cos

180°

＝2t2－4t＝2(t－1)2－2，所以當t＝1時取最小值－2.17．(12分)(2015·重慶育才中學月考，17)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若m＝，n＝(－2，cos

2A＋1)，且m⊥n.(1)求角A的大小；

(2)當a＝2，且△ABC的面積S＝時，求邊c的值和△ABC的面積．

解：(1)由于m⊥n，所以m·n＝－2sin2＋cos

2A＋1

＝1－2cos2＋2cos2A－1

＝2cos2A－cos

A－1

＝(2cos

A＋1)(cos

A－1)

＝0.所以cos

A＝－或cos

A＝1(舍去)，又A∈(0，π)，故A＝.(2)由S＝及余弦定理得

＝absin

C，整理得

tan

C＝.又C∈(0，π)，所以C＝.由(1)知A＝，故B＝C＝.又由正弦定理＝得c＝2，所以△ABC的面積S＝acsin

B＝.18．(14分)(2013·重慶二模，20)如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點P在單位圓上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，＝＋，四邊形OAQP的面積為S.(1)求·＋S的最大值及此時θ的值θ0；

(2)設點B的坐標為，∠AOB＝α，在(1)的條件下求cos(α＋θ0)．

解：(1)由題意知A，P的坐標分別為(1，0)，(cos

θ，sin

θ)．

∵＝＋＝(1，0)＋(cos

θ，sin

θ)＝(1＋cos

θ，sin

θ)，∴·＝(1，0)·(1＋cos

θ，sin

θ)

＝1＋cos

θ.由題意可知S＝sin

θ.∴·＋S＝sin

θ＋cos

θ＋1

＝sin＋1(0<θ<π)．

∴·＋S的最大值是＋1，此時θ0＝.(2)∵B，∠AOB＝α，∴cos

α＝－，sin

α＝.∴cos(α＋θ0)＝cos

＝cos

αcos－sin

αsin

＝－×－×＝－.

第五篇：數學空間向量

一.空間向量的基本概念、運算、定理

1.空間向量的基本概念

由于我們所講的向量可以自由移動，是自由向量，因此對于一個向量、兩個向量都是共面的，他們的基本概念與平面向量完全一樣。包括：向量的定義、向量的表示方法、向量的模、零向量、單位向量、向量的平行與共線、相等向量與相反向量等等

2.空間向量的加法、減法與數乘運算

兩個空間向量的加法、減法與數乘運算法則及其運算律都與平面向量的知識相同。但空間不共面的三個向量的和應該滿足“平行六面體”法則。

即：平行六面體ABCD-A＇B＇C＇D

＇中，3.空間向量的數量積

空間兩個向量的數量積與平面兩個向量的數量積的概念及法則都是一致的。

定義

：

性質與運算律：

①

4.空間向量中的基本定理

共線向量定理：對于

作用：證明直線與直線平行。

推論：P、A、B

三點共線的充要條件：

實數。

作用：證明三點共線。

共面向量定理（平面向量的基本定理）：兩個向量的充要條件是存在實數對x、y

使

作用：證明直線與平面平行。

推論：P、A、B、C四點共面的充要條件：

x、y、z為實數，且x+y+z=1。

作用：證明四點共面。

空間向量的基本定理：如果三個向量

不共面，那么對于空間任意向量，存在一，其中O為任意一點。不共線，向量共面，其中O為任意一點，t為任意空間向

量;

②;

③;

④;

⑤的夾角（起點重合），規

定。

個唯一的有序實數組x、y、z

使做空間的一組基底。

作用：空間向量坐標表示的理論依據。

二.空間向量的坐標運算

1.空間直角坐標系。、、叫做基向量，叫

我們在平面直角坐標系的基礎上增加一個與平面垂直的方向，構成右手直角坐標系，即：伸出右手使拇指、食指、中指兩兩垂直，拇指、食指、中指分別指向x、y、z軸的正方向，空間任意一點可用一組有序實數確定，即：A（x，y，z）。

2.向量的直角坐標運算

．

二、空間向量的加減與數乘運算

（1）空間向量的加法、減法、數乘向量的定義與

平面向量的運算一樣：

（2）、空間向量的加、減與數乘運算律：

=（指向被減向量），加法交換律：

加法結合律：

數乘分配律：

注：空間向量加法的運算律要注意以下幾點：

⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向

量，即：

⑵首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：

⑶兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立．

因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則．

三、共線向量與共面向量

1、共線向量定理：對空間任意兩個向量

（1）推論：

如圖所示，如果l為經過已知點A

且平行于已知向量 的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，滿足等式

量)．直線l上的點和實數t是一一對應關系.（2）空間直線的向量參數方程：

在l

上取 則（其中 是直線l的方向向,存在唯一實數 ；因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；

特別地，當

點）

時，得線段AB中點坐標公式：（其中P是AB中

2、共面向量定理：如果兩個向

量, 使

.不共線，則向

量 與向

量 共

面

推論：空間一點P位于平面MAB內的充分必要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使；

進而對空間任一定點O，有

實數對(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表達式.四、空間向量基本定理、若

其中

2、將上述唯一分解定理換成以任一點O為起點：O、A、B、C不共面，則對空間任意一點P，存在唯一的三個有序實數x,y,z∈R，使

五、兩個空間向量的數量積、向量

2、向量的數量積的性質：

(1)

(2)

(3)

性質(2)可證明線線垂直；

性質(3)可用來求線段長.3、向量的數量積滿足如下運算律：

（1）

（2）

（3）（交換律）（分配律）。為單位向量)的數量積：

不共面，則對任意向量 稱空間的一個基底，, 存在唯一x,y,z∈R，使①，在平面MAB內，點P對應的 都叫基向量。空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.性質(1)可用來求角；