第一篇：復數+平面向量+三角函數(解析版)

【高中文科數學專題復習之___】

復數+平面向量+三角函數

一、要點梳理

1、復數的有關概念

（1）復數的概念

形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數，其中a,b分別是它的實部和虛部。若b=0,則a+bi為實數，若b≠0,則a+bi為虛數，若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數。

（2）復數相等：a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R).（3）共軛復數：a+bi與c+di共軛?a=c，b=-d(a,b,c,d∈R).。

（4）復平面

建立直角坐標系來表示復數的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點表示實數；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數；各象限內的點都表示非純虛數。

（5）復數的模

向量OZ的模r叫做復數z=a+bi的模，記為|z|或|a+bi|，即

2、復數的幾何意義 ?復平面內的點Z（a,b）(a,b∈R);（1）復數z=a+bi????

?平面向量OZ（a,b∈R）（2）復數z=a+bi????。

3、復數的運算

（1）復數的加、減、乘、除運算法則

設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則

①加法：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i;

②減法：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i;

③乘法：z1· z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;④除法：一一對應一一對應z1a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i???(c?di?0)z2c?di(c?di)(c?di)c2?d

2(2)復數加法的運算定律

復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1、z2、z3∈C，有z1+z2=z2+z1，（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）。

注：任意兩個復數不一定能比較大小，只有這兩個復數全是實數時才能比較大小。

4.向量的坐標運算

（1）A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?(x2?x1,y2?y1)

（2）設i,j為x,y軸正向單位向量，若AB?xi?yj，則記AB?(x,y)

x?xy?yx?xy?y（3）若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)則a?b?(1a?b?(1 2,12)2,12)

?a?(?x1,?y1)a?b?x1x2?y1y

2a?a//b?

二、習題精練

x1y

1??x1y2?x2y1a?b?x1x2?y1y2?0 x2y．（2013年新課標Ⅱ卷）設復數z滿足(1?i)z?2i,則z?

A．?1?i

B．?1?i

C．1?i

D．1?i

（A）．（2013年山東）若復數z滿足(z?3)(2?i)?5(i為虛數單位),則z的共軛復數為（D）

A．2?i

B．2?i

C．5?i

D．5?i

（C）．（2013年廣東）若復數z滿足iz?2?4i,則在復平面內,z對應的點的坐標是

A.?2,4? B．?2,?4? C．?4,?2? D．?4,2?

（B）．（2013年遼寧）復數的Z?

模為 i?1

CD．2

A．2

B

5．（2013年高考四川）如圖,在復平面內,點A表示復數z,則圖中表示z的共軛復數的點是（B）

A．A B．B C．C D．D 6 ．（2013年新課標1）若復數z滿足(3?4i)z?|4?3i|,則z的虛部為

A．?

4B．?

（D）

C．4 D．

5（B）

7．（2013年浙江）已知i是虛數單位,則(?1?i)(2?i)?

A．?3?i

B．?1?3i

C．?3?3i

D．?1?i

??8.把函數y＝sin2x的圖象按向量→a＝(－，－3)平移后，得到函數y＝Asin(ωx＋?)(A＞0，ω＞0，|?|＝62的圖象，則?和B的值依次為

?

A．

312

?

C．3

（B）?D．－3

?B．，3

9.已知A、B、C為三個銳角，且A＋B＋C＝π.若向量→p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)與向量→q＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共線向量.（Ⅰ）求角A；

C－3B（Ⅱ）求函數y＝2sin2B＋cos的最大值.3→【解】（Ⅰ）∵p、→q共線，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，則sin2A＝，4又A為銳角，所以sinA＝

3?A＝2

3?

(π－B)－3B

3C－3B

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

213?

＝2sin2B＋cos(2B)＝1－cos2B＋sin2B

322

31?

＝＋1＝sin(2B－)＋1.226

???5????

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－)，∴2B－＝B＝ymax＝2.2666623

3?→10.已知向量→a＝(3sinα,cosα)，→b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且→a⊥b． 2（Ⅰ）求tanα的值；

α?（Ⅱ）求cos(＋的值．

23→→→→解：（Ⅰ）∵a⊥b，∴a·b＝0．而→a＝（3sinα，cosα），→b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，→故→a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．

41由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα

3?14

∵α∈，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．

223

3?α3?

（Ⅱ）∵α∈（2π）∈（π）．

2244α1αα5α2

5由tanα，求得tan，tan＝2（舍去）．∴sincos，32222525

α?α?α?25153

∴cos(＝cossinsin＝－

232323525210

→11.設函數f(x)＝→a·b.其中向量→a＝(m，cosx)，→b＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.2（Ⅰ）求實數m的值；（Ⅱ）求函數f(x)的最小值.→解：（Ⅰ）f(x)＝→a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，由f(＝2，得m(1＋sin＋cos＝2，解得m＝1.222?(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋12sin(x＋)＋1，4?

當sin(x＋)＝－1時，f(x)的最小值為12.AA→A

12.已知角A、B、C為△ABC的三個內角，其對邊分別為a、b、c，若→m＝(－，sin)，n＝，222A1→sin，a＝23，且→m·n＝．

（Ⅰ）若△ABC的面積S＝3，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范圍．

AAAA1→→【解】（Ⅰ）∵m＝(－，sin)，→n＝(cos，sin，且→m·n＝ 22222

AA11

∴－cos2＋sin2，即－cosA＝

2222

2?

又A∈(0，π)，∴A＝3

又由S△ABC＝bcsinA＝3，所以bc＝4，2?

由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cosb2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.bca2?

（Ⅱ）由正弦定理得：＝4，又B＋C＝?－A＝

sinBsinCsinA32?

sin3

??

∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(B)＝4sin(B)，333???2??

∵0＜B＜，則＜B＋＜sin(B，即b＋c的取值范圍是?，4?.333323

第二篇：三角函數與平面向量的地位

.三角函數與平面向量的地位

二.考試內容與要求

(一)三角函數:三角函數有16個考點

(1)理解角的概念的推廣.弧度制的意義.能正確的進行弧度與角度的計算.(2)掌握任意角的正弦,余弦,正切的定義,了解余切,正割,余割的定義,了解周期函數與最小正周期的意義.(3)掌握同角三角函數的基本關系式,掌握正弦、余弦的誘導公式,掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并能正確運用三角公式進行簡單的三角函數的化簡,求值以及恒等式證明

(4)理解正弦函數、余弦函數,正切函數的圖象和性質,會用”五點法”畫出正弦函數,余弦函數和正切函數的簡圖,理解的物理意義

(5)掌握正弦定理,余弦定理,并能初步運用它們解斜三角形.會由已知三角函數求角,并會用符號arcsinx,arccosx,arctanx表示角.

第三篇：三角函數與平面向量綜合練習范文

三角函數與平面向量綜合練習

1等邊?ABC的邊長為1,設AB?a,BC?b,AC?C,則a?b?b?c?c?a?（）

3131B．C．?D．? 222

2???2.若?是第三象限角，且?sin??cos?sin，則是（）222A．

A．第二、四象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

3.已知P是?ABC所在平面內的一點，若???,??R。則點P一定在（）A．?ABC內部B．AC邊所在直線上

C．AB邊所在直線上D．BC邊所在直線上

4.已知?ABC中,點D在BC邊上,且?2,?r?s,則r?s的值()

24B．C．?3D．0 3

3??????5.已知平面向量a?(1,2)，b?(?2,m)，且a//b，則2a?3b＝（）A．

A、(?5,?10)B、(?4,?8)C、(?3,?6)D、(?2,?4)

6.已知向量a?(1,2)，b?(2,?3)．若向量c滿足(c?a)//b，c?(a?b)，則c?（）A．(,B．(?77

93777777,?C．(,)D．(?,?393993

7.函數y??4sin(2x??

3的單調減區間是_____________

8.在?AOB中，?(2cos?,2sin?),?(5cos?,5sin?)，若???5，則?AOB的面積為__________

?????????9.若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為．

??????010.若a?1,b?2，與的夾角為60，若(3a?5b)?(ma?b)，則m的值為．

11.已知O，A，M，B為平面上四點，則???(1??)，??(1,2)，則（）

A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上

C．點A在線段BM上D．O，A，M，B四點共線

12.如圖，在?ABC中，?BAC?120?,AB?2,AC?1,D是邊BC上一點，DC?2BD,則A ?__________.B C

13.過?ABC的重心G任作一直線分別交AB,AC于點D,E，若?m,?n(mn?0)，求證：

14.記向量n(?)?(cos?,sin?)

（1）求兩向量的數量積()?(0)11??3． mn?

（2）令函數f(x)?(2x)?(0)?4(x)?()(x?R)，求函數f(x)的最小值及相應的x ?

15.已知函數f(x)?x??)?cos(?x??)（0???π，??0）為偶函數，且函數y?f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

?π?（2）將函數yf??的值；

?8?π．（利用公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?）（1）求2π?f(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數y?g(x)的圖象，求g(x)6的單調遞減區間．

16.利用向量證明：在△ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，則有

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

第四篇：5-平面向量與復數綜合練習

5—平面向量與復數綜合練習

11111．i為虛數單位，＋＋＝()iiiiA．0B．2iC．－2iD．4i

2．設i，j是不共線的單位向量，a＝5i＋3j，b＝3i－5j，則a⊥b是i⊥j的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既非充分又非必要條件

3．若復數z＝1＋i，i為虛數單位，則(1＋z)·z＝()

A．1＋3iB．3＋3iC．3－iD．

3→→→→→4．若四邊形ABCD滿足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，則該四邊形一定是()

A．直角梯形B．菱形C．矩形D．正方形

5．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝()

A.3B．23C．4D．1

22＋i6．數的共軛復數是()1－2i

33AB.C．－iD．i 5

57．已知向量a、b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()

A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向

C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向

8．a，b為平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于()

881616A.B．－C.D．－ 6565656

5→→→→9．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P為坐標平面內的動點，滿足|MN|·|MP|＋MN·NP＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為()

A．y2＝8xB．y2＝－8x

C．y2＝4xD．y2＝－4x ????????????1????????10.在△ABC中，AB=a，AC=b，且BD=DC，則AD=()

241211412A．a-bB．a+bC． a-bD．a+b 3333333

311．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.12．設復數z滿足(1＋i)z＝2，其中i是虛數單位，則z＝________.13．|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角是________．

1→1→3→→→14．在四邊形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)BA＋BC＝BD，則四邊形ABCD的面積為________． →→→|BA||BC||BD|

15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．

π→→→→→→(1)若AC·BC＝－1，求sin(α的值；(2)若|OA＋OC|＝13，且α∈(0，π)，求OB與OC的夾角．

4→→→→16．已知向量OP＝(2cos x＋1，cos 2x－sin x＋1)，OQ＝(cos x，－1)，定義f(x)＝OP·OQ.(1)求函數f(x)的最小正周期；

→→(2)若x∈(0,2π)，當OP·OQ＜－1時，求x的取值范圍．

32→→17．設O為坐標原點，已知向量OZ1，OZ2分別對應復數z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝(2a－a＋51－a

→→5)i(其中a∈R)，若z1＋z2可以與任意實數比較大小，求OZ1·OZ2的值．

18．已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．

(1)若m∥n，求證：△ABC為等腰三角形；

π(2)若m⊥p，邊長c＝2，角C＝，求△ABC的面積． 3

→→→→→→19．已知兩點M(－1,0)，N(1,0)，且點P使NM·NP，PM·PN，MP·MN成公差為非負的等差數列．

→→(1)求點P的軌跡方程；(2)若θ為PM與PN的夾角，求θ的最大值及此時點P的坐標．

答案及解析

1．【解析】 原式＝－i＋i＋(－i)＋i＝0.【答案】 A

2．【解析】 a·b＝(5i＋3j)·(3i－5j)

22＝15|i|－16i·j－15|j|＝－16i·j.∴a⊥b是i⊥j的充要條件．

【答案】 C

3．【解析】 ∵z＝1＋i，∴(1＋z)·z＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i.【答案】 A

→→→→4．【解析】 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．

→→→又(AB－AD)·AC＝0，→→∴DB·AC＝0，即AC⊥BD，因此四邊形ABCD是菱形．

【答案】 B

5．【解析】 ∵|a|＝2，且|b|＝1，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2

＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.∴|a＋2b|＝23.【答案】 B

2＋i2＋i1＋2i2＋i＋4i－26．【解析】 ∵＝＝＝i，51－2i1－2i1＋2i2＋i∴i.1－2i

【答案】 C

7．【解析】 ∵c∥d且a，b不共線，∴存在唯一實數λ，使c＝λd.∴ka＋b＝λa－λb，???k＝λ，?k＝－1，?∴∴? ?1＝－λ，?λ＝－1.??

【答案】 D

8．【解析】 ∵a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，∴b＝(3,18)－2(4,3)＝(－5,12)，5，12?16a·b4，3?·－∴cos〈a，b〉＝＝|a|·|b|5×1365

【答案】 C

→→→9．【解析】 ∵MN＝(4,0)，MP＝(x＋2，y)，NP＝(x－2，y)，→→→→∴|MN|·|MP|＋MN·NP

＝x＋2?＋y＋4(x－2)＝0.x＋2?＋y＝2－x，化簡得y2＝－8x.【答案】 B

10.B

11．【解析】 由(8a－b)·c＝30，得18＋3x＝30，x＝4.【答案】 4

2?1－i?212．【解析】 z＝＝1－i.1＋i1＋i?1－i?

【答案】 1－i

13．【解析】 設向量a與b的夾角為θ，由a⊥(a－b)，得

a·(a－b)＝0，即|a|2－a·b＝0，∴|a||b|cos θ＝|a|2，|a|

2π∴cos θ＝，故θ＝.|b|24

π【答案】 4

14.3

→→15．【解】(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)，BC＝(cos α，sin α－3)，→→∴AC·BC＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos2α＋sin2α－3(cos α＋sin α)＝－1，2∴cos α＋sin α 3

π2∴sin(α＋)＝.43

→→(2)∵|OA＋OC|＝13，1∴(3＋cos α)2＋sin2α＝13，∴cos α 2

π313∵α∈(0，π)，∴α＝，sin α＝C()，3222

→→33∴OB·OC＝，2

→→設OB與OC的夾角為θ，且θ∈[0，π]，3→→2OB·OC3π則cos θ＝.故θ＝為所求． →→326|OB|·|OC|

→→16．【解】(1)f(x)＝OP·OQ

＝2cos2x＋cos x－cos 2x＋sin x－1＝sin x＋cos x

π＝2sin(x＋)，4

則f(x)的最小正周期為T＝2π.π2→→(2)由OP·OQ＜－1，得sin(x＋＜－42

又x∈(0,2π)，5ππ7π3π則x＋π＜x＜.4442

3π故x的取值范圍是(π，． 2317．【解】 依題意z1＋z2為實數，由z1－(10－a2)i，a＋5

32∴z1＋z2＝[(a2－10)＋(2a－5)]i的虛部為0，a＋51－a

∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5，或a＝3.又分母不為零，∴a＝3，3此時z1＝i，z2＝－1＋i，8

3→→即OZ1＝，1)，OZ2＝(－1,1)，8

5→→3∴OZ1·OZ2＝×(－1)＋1×1＝.88

18．【解】(1)證明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，由正弦定理，得a2＝b2，∴a＝b.∴△ABC為等腰三角形．

(2)由題意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，11π∴S＝absin C＝×4×sin3.22319．【解】(1)設點P的坐標為(x，y)，又M(－1,0)，N(1,0)，→→→→→→則PM＝－MP＝(－1－x，－y)，PN＝－NP＝(1－x，－y)，MN＝－NM＝(2,0)． →→∴NM·NP＝2(1－x)，→→→→PM·PN＝x2＋y2－1，MP·MN＝2(1＋x)，依題意得

22?2?x2＋y2－1?＝2?1＋x＋2?1－x，?x＋y＝3，????? ??x≥0.2?1＋x－2?1－x≥0??

∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝3(x≥0)．

→→(2)(2)∵PM·PN＝(－1－x，－y)·(1－x，－y)

＝x2＋y2－1＝2，→→|PM|·|PN|＝?－1－x?＋?－y??1－x?＋?－y?

＝4－x.→→PM·PN1∴cos θ＝＝.→→4－x|PM|·|PN|

∵0≤x≤3，1π∴≤cos θ≤1，∴0≤θ23

π∴θ的最大值為x＝0，3

∴點P的坐標為(0，3)．

第五篇：第二單元 數列、三角函數、平面向量教學設計2

滄源民族中學高三年級數學復習教學設計第六周2011年3月19日星期六

第二單元數列、三角函數、平面向量

第一講三角函數（6課時）

主備教師肖平聰

一、教學內容及其解析

1、三角函數式的化簡與求值：兩角和的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切；誘導公式的運用。

2、三角函數的圖象與性質：正弦函數、余弦函數、正切函數圖象及其性質。

3、三角形中的三角函數問題：正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式的運用。

二、目標及其解析

1、能靈活運用三角函數的有關公式，對三角函數進行變形與化簡。

2、理解和掌握三角函數的圖像及性質。

3、能用正弦定理、余弦定理解三角形問題。

三、問題診斷分析：

高考中，三角函數主要考查學生的運算能力、靈活運用能力，在客觀題中，突出考察基本公式所涉及的運算、三角函數的圖像基本性質，尤其是對角的范圍及角之間的特殊聯系較為注重。解答題中以中等難度題為主，涉及解三角形、向量及簡單運算。三角函數部分，公式較多，易混淆，在運用過程中，要觀察三角函數中函數名稱的差異、角的差異、關系式的差異，確定三角函數變形化簡方向。

四 教學過程設計

1、三角函數式的化簡與求值

問題1兩角和的正弦、余弦、正切的公式？

問題2二倍角的正弦、余弦、正切的公式呢？

問題3三角函數的誘導公式呢？

例題（見高考調研二輪重點講練p30）

變式訓練（見高考調研二輪重點講練p30）

2、三角函數的圖象與性質

問題1三角函數的正弦函數、余弦函數、正切函數圖象怎么畫？

問題2三角函數的正弦函數、余弦函數、正切函數的性質有哪些？

例題（見高考調研二輪重點講練p31-33）

變式訓練（見高考調研二輪重點講練p31-33）

3、三角形中的三角函數問題

問題1正弦定理、余弦定理是什么？

問題2三角形面積公式怎么用？

例題（見高考調研二輪重點講練p33）

變式訓練（見高考調研二輪重點講練p33）

五、目標檢測：（見二輪復習用書p34）

六、配餐作業：（見二輪復習用書p34-36）熱點集訓作業和2011屆先知專題卷專題.