第一篇：19-第十九章-幾何證明-八年級(上)-知識點匯總-滬教版

滬教版數學八年級（上）第十九章幾何證明知識點匯總

第十九章幾何證明

19.1 命題和證明

1、我們現在學習的證明方式是演繹證明，簡稱證明

2、能界定某個對象含義的句子叫做定義

3、判斷一件事情的句子叫做命題；其判斷為正確的命題叫做真命題；其判斷為錯誤的命題叫做假命題

4、數學命題通常由題設、結論兩部分組成

5、命題可以寫成“如果……那么……”的形式，如果后是題設，那么后市結論

19.2 證明舉例

平行的判定，全等三角形的判定

19.3 逆命題和逆定理

1、在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，二第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題

2、如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理

19.4線段的垂直平分線

1、線段的垂直平分線定理：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、逆定理：和一條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段垂直平分線上。

19.5 角的平分線

1、角的平分線定理：在角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。

2、逆定理：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

19.6 軌跡

1、和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線

2、在一個叫的內部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

3、到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓

19.7 直角三角形全等的判定

1、定理1：如果直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等

2、（簡記為H.L）

3、其他全等三角形的判定定理對于直角三角形仍然適用 / 2

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19.8 直角三角形的性質

1、定理2：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

2、推論1：在直角三角形中，如果一銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

3、推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一般，那么這條直角邊所對的角等于30 ??19.9 勾股定理

1、定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊

2、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形

19.10 兩點間距離公式

如果直角坐標平面內有兩點A(x1,y1)、B(x2,y2)，那么A、B兩點的距離AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2 / 2

第二篇：幾何證明知識點（范文模版）

幾何證明知識點

命題和證明

1、判斷一件事情的句子，叫做命題。判斷為正確的命題叫做真命題；判斷為錯誤的命題叫做假命題。

2、數學命題通常由題設、結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項。因此命題可以寫成“如果······，那么······”的形式。

3、人們從長期實踐中總結出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原始數據。

4、有些命題是從公理或其他真命題出發，用推理的方法證明為正確的，并進一步作為判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。

證明舉例

1、由題設、定義以及已被確定的公理、定理等，經過邏輯推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明。

2、真命題的證明一般包括“畫圖、寫已知求證、證明”三個基本步驟。“畫圖和已知求證”通常是告訴大家的，因此不必書寫。

3、幾何證明沒有固定的方法可循，因此只能在訓練的過程中，積累一般分析方法和思維方法。例如：證明線段、角相等的一般途徑有哪些？證明兩直線平行、垂直的一般途徑有哪些？常用的添加輔助線的方法有哪幾種？等等。

逆命題和逆定理

1、在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。

2、如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一個的逆定理。

3、每個命題都有逆命題，但每個定理不一定都有逆定理。

線段的垂直平分線

1、定理：線段垂直平分線上任意一點到這條線段兩個端點的距離相等。

2、逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

3、線段垂直平分線可以看作和一條線段兩個端點距離相等的點的集合。

角的平分線

1、角的平分線的概念：從角的頂點出發，等分這個角的射線，叫做這個角的平分線。

2、角是軸對稱圖形，它的對稱軸是這個角的平分線所在的直線。

3、角的平分線性質：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

4、角的平分線性質的逆定理：在一個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

5、角的平分線可以看作這個角的內部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的集合。

軌跡

1、點的軌跡：符合某些條件的所有的點的集合叫做點的軌跡。

2、基本軌跡

（1）和線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線。

（2）在一個角的內部（包括頂點）且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線。

（3）到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個定點為圓心、定長為半徑的圓。

3、交軌法：先找出符合一部分作圖要求的點的軌跡，再找出符合另一部分作圖要求的點的軌跡，然后得出這兩個軌跡的交點。這種利用軌跡相交進行作圖的方法叫做交軌法。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，對于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都適用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記為H.L.）。

直角三角形的性質

直角三角形的性質，可以從它的角、邊以及特殊線段之間構成的各種關系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的兩個銳角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于30?，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30?。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜邊大于直角邊。

2、勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在實際生活中有著廣泛的應用。

兩點的距離公式

在直角坐標平面內：

1、x軸或平行于x軸的直線上的兩點P1(x1,y)，P2(x2,y)間的距離P1P2?x1?x2。

2、y軸或平行于y軸的直線上的兩點Q1(x,y1)，Q2(x,y2)間的距離

Q1Q2?y1?y2。

22PQ?x?yy3、在x軸上一點P與在軸上一點之間的距離(x,0)Q(0,y)111111114、任意兩點A(x1,y1)，B(x2,y2)之間的距離公式是AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2

第三篇：八年級數學下冊 幾何證明初步知識點

第十一章 幾何證明初步知識點整理

1.定義：用來說明一個名詞含義的語句叫做定義.2.命題：對事情進行判斷的語句叫做命題.每個命題都由條件和結論兩部分組成.條件是已知事項,結論是由已知事項推斷出的事項.一般地,命題可以寫成“如果??,那么??”的形式,其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結論.如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題.例如,下列句子都不是命題:(1)你喜歡數學嗎?(2)作線段AB=CD.⑶清新的空氣；⑷不許講話。3.正確的命題稱為真命題,不正確的的命題稱為假命題.4.反例：要指出一個命題是假命題，只要能舉出一個例子，使它具備命題的條件，而不符合命題的結論就可以了。這種例子稱為反例。

5.公理：人類經過長期實踐后公認為正確的命題,作為判斷其他命題的依據。這些公認為正確的命題叫做公理。

證明:除了公理外,其它真命題的正確性都通過推理的方法證實.推理的過程稱為證明.定理:經過證明的真命題稱為定理.本套教材以下列基本事實作為公理： 1.兩點確定一條直線。

2.過直線外一點可以作且只能作一條直線與已知直線平行。3.兩直線平行,同位角相等。

4.兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。5.判斷三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的對應角相等，對應邊相等。

7.在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質也看作公理,稱為“等量代換”.判斷：

所有的命題都是公理。所有的真命題都是定理。所有的定理是真命題。所有的公理是真命題。

6.在兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆命題。Eg:(1)兩條直線平行，內錯角相等．

(2)如果兩個實數相等，那么它們的平方相等．(3)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等．(4)全等三角形的對應角相等．

注意: 一個命題是真命題,它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個定理的逆命題也是真命題，那么這個逆命題就是原來定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）

7.三角形內角和定理：三角形三個角的內角和等于180° 推論一：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。推論二：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角。8.直角三角形的兩個銳角互余。有兩角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反證法：先提出與命題的結論相反的假設,推出矛盾,從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.反證法的步驟：否定結論—推出矛盾—肯定結論 Eg:

1、“a＜b”的反面應是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反證法證明命題“三角形中最多有一個是直角”時，應如何假設？ ___________________________________

3、寫出下列各結論的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正數（4）a⊥b(5)至多有一個（6）至少有一個 常用的互為否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一個——一個也沒有；至少有三個——至多有兩個；至少有n個——至多有(n-1)個；至多有一個——至少有兩個

第四篇：滬教版_初二數學幾何證明舉例

1.已知：如圖1，AD是BC上的中線，且BE∥CF.求證：DF=DE.2.已知：如圖2，AD、BC相交于點O，OA=OD，OB=OC，點E、F

在AD上，∠ABE=∠DCF.求證：BE∥CF.3.已知：如圖3，在△ABC中，EF∥BC，∠1=∠2，D是EF中點。

求證：AE=AF.4.已知：如圖1，AB∥CD，BE、DE分別是∠ABD、∠BDC的平分線.求證：BE⊥

DE.5.已知：如圖2，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC內一點，且OB=OC.求證：AO⊥BC.6.如圖3，在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E.1)若BC在DE的同側(如圖①)且AD=CE，求證：BA⊥AC.2)若BC在DE的兩側(如圖②)其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是，請予證明，若不是請說明理由.7.已知：如圖1，AB=CD，AD=BC，AE=CF.B、A、E三點

共線，D、C、F三點共線.求證：∠E=∠F.8.已知：如圖2，AB=AC，∠A=90°，AE=BF，BD=DC.求證：FD⊥ED.9.已知：如圖3，AC=BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B.求證：AD=BC.10.已知：如圖1，在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC.求證：AC=BD-DC

11.已知：如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證：AC=BF.12.已知：如圖3，正方形ABCD中，點F在DC上，E在BC上，∠EAF=45°.求證：EF=BE+DF.

第五篇：八年級幾何證明1

八年級幾何證明精選

一、基礎題：

1、在ΔABC中,a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對邊,且∠A=60°,其三邊a,b,c滿足下列關a-b-c2系,則ΔABC的形狀是.a-b-c2、在ΔABC中,AB=AC=2,BC邊上有100個不同點P1,P2……P100,記Mi=APi+BPi×CPi(i=1,2……100),則M1+M2+……+M100的值是.3、在ΔABC中,若a+b=c+ab,則∠C的大小為（）

A 60°B 45°C 35°D 22.5°

4、如圖所示，在線段BC作ΔABC和ΔBCD，使AB=AC，BD>DC,且CΔABC=CΔDBC,若AC與BD相交于點E,則下列說法正確的是

A AEDED無法確定

5、如圖已知，△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線。則∠DAE的度數=。

2222333D B

CB6、如圖5，在ABCD中，AE?BC于E，AE?EB?EC?a，且a是一元二次方程E圖5 C ?

x2?2x?3?0的根，則?ABCD的周長為（）

A．4?．12?．2?．212?

1、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．

求證：△PBC是正三角形．

D C2、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點． 求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．

F3、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

求證：CE＝CF．（初二）

4、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

求：∠APB的度數．

5、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．

6、如圖所示,O為ΔABC內任意一點,AP,BO,CO的延長線分別交對邊于A1,B1,C1。求證:

A0B0C0 為定值.AA1BB1CC1C