第一篇：九年級數學第二章 小結與復習專題

九年級數學第二章 小結與復習

【本講教育信息】

一.教學內容：

第二章 小結與復習

【教學目標】

1.了解命題的概念，知道什么是命題，真命題、假命題、逆命題，能區分命題的題設和結論，會把一個命題寫成“如果??，那么??”的形式。

2.了解定義、公理、定理的概念以及公理與定理的區別，能舉例將所學過的定理、公理進行說明，能較準確地表達學過的定義、定理等。

3.了解證明的必要性、公理的方法，綜合證明的格式，理解推理中要步步有據，會根據題意畫出圖形，寫出已知、求證，并完成一個簡單命題的證明。

4.通過舉反例判定一個命題是假命題，能掌握用反證法證明的思想方法。

二.重點、難點： 1.教學重點：

理解證明的必要性；了解定義、命題的概念并會判斷真假命題，理解本節所給出的公理及相關定理。2.教學難點：

對證明的邏輯推理過程要熟練掌握，并能較嚴密地寫出證明過程。3.思想方法：

經歷探索、猜測、證明的過程，體會證明的必要性，發展學生初步的演繹推理能力；分析、解決問題時強調轉化的思想、化難為易、轉化的方式有代換轉化，已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化等。

三.主要內容：

（一）本章知識結構圖

定義 綜合法 真 公理 推 出 命題 定理 依據 方法 分析法 反證法 證明 假 舉反例

（二）基本內容

1.理解推理證明的必要性 2.定義：

對一個概念的特征本質的描述，稱為它的定義。

3.命題：

（1）定義：判斷一件事情的句子，叫做命題。

（2）結構：每個命題都由條件和結論兩部分組成。

命題一般可以寫作“如果??，那么??”或“若??，則??”的形式。

（3）分類：命題包括真命題和假命題兩類。4.公理、定理、證明：

人們在長期實踐中總結出來的公認的真命題，稱為公理。

通過推理論證、判斷其為真命題，稱為定理。

推理的過程叫做證明。5.命題與逆命題：

兩個命題中，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。

其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。

任何一個命題都有其逆命題，但一個真命題的逆命題不一定是真命題，所以，不是所有的定理都有其逆定理。6.證明的一般步驟：

（1）弄清題意，能正確畫出圖形。

（2）根據題意和圖形，寫出“已知”和“求證”。

（3）條理清晰地寫出證明過程。

（4）檢查表達過程是否正確、完善。

【典型例題】

例1.請寫出下列命題的逆命題，并判斷是真命題還是假命題。

（1）直角都相等。

（2）如果兩個數中有一個數是正數，那么這兩個數之和是正數。

（3）對角相等的平行四邊形是矩形。

分析：寫逆命題應先弄清命題的條件和結論。

解：（1）相等的角是直角。（假命題）

（2）如果兩個數之和是正數，那么兩個數中有一個數是正數。（真命題）

（3）矩形是對角相等的平行四邊形。（假命題）

說明：一個命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題。

例2.有一次四人游泳比賽，比賽前，四名選手A、B、C、D進行預測性會談，A說：“我肯定得第一名”，B說：“我絕對不會得最末名”，C說：“我不可能是第一名，也不會得最后一名”，D說：“那只有我是最末的！”。經過比賽成績揭曉，發現他們之中只有一位預測錯誤，請指出是哪一位選手？

分析：我們先將四人談話內容列出表格，再來討論。A B C D 第一名 √ √ 第二名 √ √ 第三名 √ √ 第四名 √

解：從表中可看出D沒有估計錯誤。

如果D預測錯誤，那么自然另有一個選手預測錯了，否則就不會出現最末名；如果C預測錯誤，則他在這次比賽中應得第一名或第四名，但在此情況下，第一名和第四名已分別由A和D占據；如果B預測錯誤，則他只能是第四名，這里D也成了預測者，但按條件，預測錯誤的只有一人。

因此預測錯誤的只能是A，他應是第二名或第三名。

這樣，名次可能是：

（1）第一名：B，第二名：A，第三名：C，第四名：D；

（2）第一名：B，第二名：C，第三名：A，第四名：D。

這類題型主要是訓練同學們的邏輯推理能力，讓同學們看到邏輯推理在解決問題的價值，同時體驗到用邏輯思維方法成功的快樂。

例3.有一矩形鋼板ABNM，現加工成零件形狀，如圖，按規定∠ADE、∠BCE應分別是45°和55°，檢驗工人量得∠DEC＝95°，就非常肯定地判定這個零件不合格，你能說明這是為什么嗎？

M N D F C E A B

分析：這也是一道訓練邏輯思維的題目，零件是否合格、取決于角度之間是否相等。

即若∠ADE＋∠BCE＝∠DEC，則零件合格，否則零件不合格。

解：過E作EF∥AD ∴∠ADE＝∠FED 又AM∥BN，∴EF∥BC ∴∠FEC＝∠ECB ∴∠DEC?∠ADE?∠ECB?55?45?100?9

5現量得∠DEC＝95°

∴這個零件不合格

oooo

例4.如圖，已知AB∥CD，EF交CD于H，交AB于I，EG⊥AB，垂足為G，若∠GHE＝125°，求∠FEG的度數。

E A I G B C H D F

分析：略

解：∵AB∥CD，∠CHE＝125°（已知）

∴∠AIE＝∠CHE＝120°

又EG⊥AB（已知）

∴∠EGI＝90°（垂直定義）

又∠AIE是△EIG的一個外角

∴∠AIE＝∠FEG＋∠EGI ∴∠FEG?∠AIE?∠EGI?125?90?35

例5.證明：順次連接對角線互相垂直的四邊形各邊中點得到的四邊形是矩形。

已知：如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，對角線AC⊥BD。

求證：四邊形EFGH是矩形。

D G C H F 1 2 A E B ooo

分析：要證四邊形EFGH是矩形，先需證明它是平行四邊形。

由于E、F、G、H分別是各邊中點。

由三角形中位線定理易證EFGH是平行四邊形，再根據AC⊥BD去證明EFGH中有一個角為直角即可。

證明：∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點（已知）

∴EF//11AC，HG//AC（三角形中位線定理）?2?2 ∴EF//HG（等量代換）? ∴四邊形EFGH是平行四邊形

又∵AC⊥BD，EF∥AC ∴∠1＝90°

又EH∥BD（三角形中位線定理）

∴∠2＋∠1＝180°

即∠2＝90°

∴四邊形EFGH是矩形

例6.先閱讀第（1）問的題目及證明過程，然后完成（2）問的問題。

（1）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＋BC，E為CD中點。

求證：AE⊥BE

A D F E B C

證明：過點E作EF∥BC交AB于F ∵E是CD的中點

∴F是AB的中點

∴EF是梯形ABCD的中位線

∴EF?1?AD?BC?2?1?

∵AB?AD?BC

∴EF?1AB2?2?

∵EF是?ABE的邊AB上的中線 ∴?ABE是直角三角形，從而AE?BE?3?

?4?

（2）在第（1）題的證明過程中，第_________步（填寫（1）題中證明步驟中的序號），我們用到了定理：“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。”

現在請你證明這個定理（要求寫出已知、求證和證明）。

解：本題（1）中第<4>步的理由是定理“如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。”，證明如下：

已知：如圖?ABC中，CD是AB上的中線，且CD? 求證：△ACB是直角三角形。

1AB。2 C 1 2 A B D

分析：略

證明：∵CD是AB邊上的中線

∴AD?BD? ∵CD?1AB 21AB，∴AD?BD?CD 2 ∴∠1?∠A，∠2?∠B

又∠1?∠2?∠A?∠B?180

∴∠1?∠2?90

即∠ACB＝90°

∴△ACB是直角三角形

說明：這類閱讀理解題近年來越來越常見，主要考查同學們閱讀理解和自學能力，希望同學們加強這方面的訓練。

【模擬試題】（答題時間：70分鐘）一.選擇題。

1.給出下列語句：

（1）連結AB并延長到C；

（2）對頂角不相等；

（3）求線段AB的長度；

（4）全等三角形的周長相等。

其中是命題的有（）A.僅有（4）B.（2）（4）C.（2）（3）（4）D.（1）（2）（3）（4）

2.下列命題中是真命題的是（）A.同位角相等

B.兩條直線或者相交，或者平行 C.同旁內角相等，兩直線平行

D.在同一平面內，過一點能作且只能作一條直線與已知直線垂直 3.下列命題正確的有（）

（1）若a//b，b//c，則a//c； oo（2）若∠1＝30°，∠2＝30°，則∠1＝∠2；

（3）若∠1?∠3?90，∠2?∠3?90，則∠1＝∠2；

（4）兩條直線相交，有且只有一個交點。

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

4.“兩直線相交成直角，稱這兩條直線互相垂直”是（）A.公理 B.定理 C.定義 D.命題 5.下列命題的逆命題是假命題的是（）A.平行四邊形的對角線互相平分

B.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 C.若a?b，則a2?b2

D.矩形的對角線相等

6.如圖，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，AB∥CD，則∠AEC的度數為（）

A B E C D oo

A.70° B.80° C.180°

D.90° 7.正方形具有而菱形沒有的性質有（）A.對角線互相平分

B.每一條對角線平分一組對角 C.對角線相等 D.對邊相等

8.已知：如圖，∠ADB＝∠ACB＝90°，AD＝BC，AC與BD交于O，有下列結論：

（1）AC＝BD；（2）∠DBC＝∠CAD；

（3）AO＝BO；（4）AB∥CD。

其中正確的是（）

D C O A B

A.（1）（2）（3）

B.（2）（3）（4）C.（1）（2）（4）

D.（1）（2）（3）（4）

9.如圖，D是△ABC的邊AB上一點，DF交AC于E，給出三個論斷：

（1）DE＝EF；（2）AE＝CE；（3）FC∥AB 以其中一個論斷為結論，另兩個論斷為條件，可得出三個命題，其中正確的命題個數是（）

A D E F B C

A.0個

B.1個

C.2個

D.3個

10.如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，點P恰在DC上，下面的結論：（1）AP⊥BP；（2）PD＝PC；（3）點P到直線AD、BC的距離相等。其中正確的結論是（）

A D P B C

A.（1）（2）（3）

B.（1）（3）C.僅（1）

D.僅（3）

二.填空題。

1.把命題“平行四邊形兩組對邊分別相等”改寫成“如果??，那么??”的形式是_____________________________。

2.命題“鄰補角的平分線互相垂直”的條件是_____________________________，結論是_________________________________。3.給出定理：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題：________________ ____________________________________________。

4.如圖，△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝70°，則∠BEC＝___________。

A E B C

5.如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC?E，則△CDE的周長為___________。

3，∠A?30o，D為AB的中點，DE⊥AC于

B D C E A

6.已知正數a和b，有下列命題：

（1）若a?b?2，則ab?1；

（2）如果a?b?3，則ab?3； 2（3）如果a?b?6，則ab?3。

根據以上三個命題所提供的規律寫出一個命題：

若a?b?15，則ab?___________，這個命題是__________命題（填“真”或“假）。

三.解答題。

1.舉反例說明下列命題是假命題。

（1）兩個無理數的和仍是無理數。

（2）互補的兩個角一個是銳角，一個是鈍角。

2.求證：等腰三角形兩腰上的高的交點與底邊兩端的距離相等。

3.如圖，在矩形ABCD中，F是BC邊上一點，AF的延長線交DC延長線于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC，根據上述條件，請在圖中找出一對全等三角形，并證明你的結論。

A D E B F C G

4.用反證法證明：一個三角形中，不能有兩個角是直角。

5.A、B、C三人在一起爭論一個問題時，A指責B說謊話，B指責C說謊話，C指責A和B都說謊話，現請你推測一下，到底誰說真話？誰說謊話？

6.用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD，把一個含60°角的三角尺與菱形ABCD疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞點A逆時針旋轉。

（1）當三角尺兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時［如圖（1）］，通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論。A D F B E C 圖（1）

（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時［如圖（2）］，你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由。

F A D B C E 圖（2）

試題答案

一.選擇題。

1.B 2.D

3.D

4.C

5.D 6.D 7.C

8.D

9.D

10.A 二.填空題。

1.如果一個四邊形是平行四邊形，那么它的兩組對邊分別相等。2.條件：兩個角是鄰補角，結論：它們的平分線互相垂直。

3.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。4.125° 5.3?3 2 6.15，真 2三.解答題。

1.（1）如：兩個無理數分別為5和?5，則5??5?0，是有理數。

（2）如：90o?90o?180o，但這兩個角為直角。

2.已知：如圖△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于點O。

求證：OB＝OC

A E D O B C ??

提示：先證△BCE≌△CBD，得∠OBC＝∠OCB即可。

3.提示：△ADE≌△FAB（DE＝DC＝AB，∠AED＝∠B＝90°，∠DAE＝∠BFA，利用AD∥BC可得。）

4.已知：△ABC中

求證：△ABC中不能有兩個直角

證明：假設△ABC中能有兩個角是直角

不妨設∠A＝∠B＝90°，則∠A＋∠B＝180°

∴∠A＋∠B＋∠C＞180°

這與“三角形三內角和等于180°”相矛盾。

∴假設△ABC中能有兩個角是直角不成立

∴△ABC中不能有兩個直角 5.B說真話，A和C說謊話。6.（1）如圖（1），BE＝CF

提示：證△ABE≌△ACF（ASA）（2）如圖（2），BE＝CF 證明：∵△ABC、△ACD為等邊三角形

∴AC＝AD，∠ACB＝∠ADC＝60°

∴∠ACE＝∠ADF＝120°

又∠CAD＝∠EAF＝60°

∴∠CAE＝∠DAF（等量減等量）

∴△ACE≌△ADF（ASA）

∴CE＝DF ∴CE＋BC＝DF＋CD 即BE＝CF

第二篇：九年級數學下冊 小結與復習教案1 新人教版

小結與復習1

一、素質教育目標(一)知識教學點

使學生學過的知識條理化、系統化，同時通過復習找出平時的缺、漏，以便及時彌補．(二)能力訓練點

培養學生綜合、概括等邏輯思維能力及分析問題、解決問題的能力．(三)德育滲透點 滲透事物之間相互聯系、互相轉化的辯證唯物主義觀點．

二、教學重點、難點和疑點

1．重點：銳角三角函數的概念、特殊角的三角函數值、余角余函數關系、同角三角函數關系、查表等知識及簡單應用．

2．難點：知識的應用．

3．疑點：學生對tgA·tg(90°-A)=1的應用易出錯，原因是tgA·ctgA=1和tgA=ctg(90°-A)這一知識點不夠熟練．

三、教學步驟(一)明確目標

開門見山明確課題，引導學生加以總結．(二)整體感知

學生在直角三角形性質(兩銳角互余，勾股定理)、全等判定、作圖方法、相似判定、相似比等已有知識的基礎上，又研究了邊角關系——銳角三角函數．這樣使學生對直角三角形的概念有一個更全面、完整的認識，使本章知識起承上啟下的作用．

全章分兩大節，第一大節銳角三角函數部分著重于正弦、余弦、正切、余切的概念，這些概念是第二節解題的基礎，而第二大節解直角三角形，又是在第一節基礎上，對概念的加深認識，從而起到鞏固的作用．

從以上分析可知，本節課在概括總結銳角三角函數概念后，應著重復習解直角三角形知識，在應用中加深對概念的理解．

(三)重點、難點的學習與目標完成過程

復習課教師應著重引導學生自己對所學知識加以概括、總結，形成知識網絡，從而提高學生歸納、概括等邏輯思維能力．

1．結合圖6-38，請學生回答：什么是∠A的正弦、余弦、正切、余切？

這四個概念是全章靈魂，因此要求全體學生掌握，這里不妨請成績較差的學生回答，教師板書

2．互余兩角的正弦、余弦及正切、余切間具有什么關系？

這一知識點為了便于學生查表和以后解直角三角形，對學生來說，可能一部分學生易混淆，這里不妨先請中等學生口答，教師板書：

sinA=cos(90°-A)，cosA=sin(90-A)． tgA=ctg(90°-A)，ctgA=tg(90-A)． 然后教師可出示投影片：

(2)在△ABC中，∠A、∠B都是銳角，且sinA=cosB，那么△ABC一定是______三角形． 以上兩個小題的配備，主要目的是使學生加深對余角余函數的關系的理解． 3．教師出示投影片，請學生填空：

這不僅可以考查學生是否牢記這些函數值，起查缺補漏的作用，而且通過表格記憶，引導學生掌握記憶方法．

出示練習題(最好制作幻燈片)(1)tg30°+cos45°+tg60°-ctg30°；(2)tg30°·ctg60°+cos30°；

2以上小題的配置，使學生在計算含特殊角的函數值式子及由特殊角的三角函數值求銳角的度數的過程中，進一步加深特殊角三角函數值的記憶．

4．本章用了一定篇幅，教學生利用中學《數學用表》中的“正弦和余弦表”、“正切和余切表”來求任意銳角的三角函數值．其中，因為正弦、正切是增函數，而余弦、余切是減函數，這兩種函數在查表求值時修正值的加與減成為學生學習的難點，極易混淆．因此，本節課應針對這一點加以復習．

首先，教師應引導學生回憶：在0°～90°之間，正弦、余弦及正切、余切隨角度的變化而變化的規律是什么？

在學生正確的回答后，教師可出示一組投影片： 練習：(1)不查表，比較大小： sin20°______sin20°15′，tg51°______tg51°2′，cos6°48′______cos78°12′，3 ctg79°8′______ctg18°2′，sin52°-sin23°______0，cos78°-sin45°______0，ctg20°-tg70°______．

此題中，前五小題判斷的依據就是正弦、余弦及正切、余切的增減性，教師可找成績較差學生回答，如果沒有問題，可不多作說明，一旦回答中出現問題，可請其他學生講評即可．后二小題實際是對余角余函數及銳角三角間函數增減性的綜合運用，應請學生回答時說明其思考過程，培養學生分析問題、解決問題的能力．

(2)cos21°30′=0.9304，且表中同一行的修正值是

cos21°32′=______，cos21°29′=______．，則這一小題是學生在查表過程中極易出錯之處，如果學生在這里回答的非常準確，說明其全部掌握，教師可不必再強調．否則，還應出示小題：查表得ctg59°54′=0.5015，表中同一行的修正值是 =______．

(3)選擇題

則ctg59°56′=______，ctg59°53′下列等式中，成立的是

[

]

A．0°＜∠A≤30°

B．30°＜∠A≤45° C．45°＜∠A≤60°

D．60°＜∠A＜90°

這兩個小題對學生要求較高，課堂上不妨請學生充分討論，在學生與學生的交流中，將知識學透、學活，分別請成績較好的學生加以說明．通過這兩小題的研究，不僅使成績較差的學生思維更深刻，同時使成績較好的學生在敏捷的思維后又條理清晰地講解一番，培養他們的表達能力．

5．教材在P．19習題6．1B組第1題中出示黑體字sinA+cosA=1，2

2其中學生對tg18°tg72°=1這類問題極易出錯，原因是易混淆tgA·ctgA=1和tgA=ctg(90°-A)兩個知識點．本節課在復習之后，應該澄清這一問題，為此，可出示投影片：

練習：(1)tgα·ctg54°=1，則α=______度．(2)tg15°·tgβ=1，則β=______度．(3)tg18°·tg30°·tg72°=______．

對學有余力的學生，教師可布置課后思考題以加深sinA+cosA=1印象． 思考題：(1)計算sin35°+2tg60°·ctg60°+cos35°；

(四)總結與擴展

請學生結合板書，將知識加以總結．

四、布置作業

1．看教材P．1～P．32，培養看書習慣． 2．選作P．56中1、2、3、4

第三篇：九年級數學復習交流材料

大家好：

今天很高興能來到這里，把我校，初三全體數學組的，復習經驗拿來，同大家交流學習，有不當之處，懇請各位領導和老師批評指正。讓我們互相學習，在新一輪的初三復習中共同進步。

以下是我校老師對總復習階段現狀的兩大認識：

①、1：7關系，即一個學生和七個老師；②、白加黑，就是白天時間不夠用，晚上能占就占。這常會致使學生疲于應付，也沒有了自由思考和總結的時間。而實踐探究，思考總結,恰恰又是數學的靈魂。

所以解決以下三個疑問：

如何確保屬于數學的時間，及如何提高課堂效率，和確認最后的學習質量就是數學總復習中的重中之重。我們的具體做法如下：

一、研究《課程標準》，定范圍；做中考試題，抓趨勢；統一指導思想。

1、常言說得好“不怕不達標，就怕無目標”，為了能在復習中全面掌控知識范圍，駕馭重點，全體數學組一起認真地研究了《課程標準》。達成一致認識：強調四基；強化能力培養方向；突顯創新意識。同時也分析交流了“課程內容”的一些變動。

2、通過對《課標》的學習，確定了范圍、方向；可具體的難易，出題的形式最終是以中考試題的方式展現在大家面前的。所以我們共同做了近幾年的中考試題，去感受中考趨勢的變化。從中體會“穩中求變，穩中求新”，及“突出對數學思想方法與數學活動過程的考查”

等特點。

3、在此基礎上，統一了數學復習的指導思想

①依《課標》夯實基礎，構建知識體系，查缺補漏;②加強解題思維訓練，培養學生思維習慣，掌握思想及方法；③聯實際，拓展綜合實踐，強化：數學應用意識、創新意識等。為了落實以上復習指導思想，我們據此確定了三輪復習計劃，并明確了每一輪的復習目標及完成時間，且提前通知學生作好配合工作。

二、確定復習計劃，明確復習目標，精誠合作。

1、第一輪復習：注重基礎知識，強化基本技能訓練 “一枝獨秀不是春，百花齊放春滿園”為了做好這一輪復習，我們始終堅持備課教研制度，發揮集體的智慧。根據六冊教材知識點的關聯性，進行歸納整理，劃分為數（1、數與式；

2、方程（組）與不等式（組）；

3、函數）、形（1、三角形；

2、四邊形；

3、圓；

4、圖形與變換）、統計與概率三大模塊，建立知識結構表，使之形成體系。并確立“以題帶知識，化知識為問題”的課堂教學理念，多問精講。依知識點精心挑選例題，追求以一題帶多知識點的高效模式；不繼推敲問題的問法和設置位置及方式，盡可能的“由淺入深，對知識點變換角度再認識”。整個過程堅持統一備課，統一進度，統一周考與月考，輪流命題等有力的制度。共計36課時，使學生經過第一輪的復習，對基本知識都能達到“理解”和“掌握”的要求；在應用基礎知識時能做到熟練、正確和迅速。

2、第二輪復習：專題訓練，加強能力培養。

在該階段的復習中采用：變更命題的表達形式，培養學生思維的深刻性；尋求不同解題途徑與思維方式，培養學生思維的廣闊性；改變題目的條件和結論，促進學生對數學思想方法的再認識，培養學生研究和探索問題的能力。

3、第三輪復習：中考模擬。

在模擬考試中讓學生適應試卷，檢查復習效果，并盡可能找出存在的問題，并加強最后的針對練習。以此促使學生調整心態，增強信心。

以上所有的計劃與組織工作的成敗如何，最終都取決于課堂實施效果，我們采用的是“雙分五步教學法”中的“五步教學”。

三、“五步教學法” 在課堂教學中實施

具體包括：自主探究、合作提升、鞏固應用、協同展示、抽查清五個操作環節。下邊我以一節課的教案為例說明我們課堂的組織實施情況：（結合教案課件對應說明）

教學是個系統的過程，既包括教學過程，也包括教學管理，常言道“三分教七分管”。如果說“五步教學法”是一棵好樹苗，那“雙分管理”就是滋潤她快速成長的大地。

四、“雙分管理”在班級管理中的實施

為了鞏固“五步教學法”的成果，我們在班級的教學管理中實施了“雙分管理”，雙分管理是以分組為基礎，以學生自主管理為切入點，實現管與教有效結合。通過競爭和抽查、激勵和懲戒兩個評價機制來實現學生學習和學習效果的雙分管理。就學生而言，存在著三重競爭：小組間競爭；競爭組間同號組員間競爭；同組不同號組員間競爭。這樣的競爭序列，使得組內學生既有競爭關系，又有互助的必須，構建成學習“利益共同體”，形成“好兵樂教，差兵愿學”的實實在在的“兵教兵”的良好局面，同時有效培養了學生的集體榮譽感和團結協作的能力，并在過程中，有交效激發學生學習、管理的積極性和主動性。本屆畢業班是在二升三時開始實施“雙分五步教學法”的，良好的習慣在后來的復習階段更助長了復習的效果。這也是后來取得進步的一大因素。

而“抽查清”是雙分管理教學法中精細化管理得以實現的又一重要手段，它事實上包括“抽查”和“清”兩個部分。通過有目的“抽查”，抓住了會做的學生不愿重做，不會的學生怕連累小組的心理特點，促使不過關的小組會去主動地找出問題的原因，并自愿地糾正。當時的班級中就常常出現某一兩個學生上課走神時，同組的同學主動去提醒的事情。也同樣達到了督促學生改進課堂和課后訓練的學習態

度、狀態、方法和效果的目的。同進配以周考與月考制度，建立起有效快速的學情反饋制度，更能對教學情況隨時作出調整。

當然我們在復習中也注意復習應試心理培訓和答題技巧訓練等等。總之初三數學復習，時間緊、任務重、要求高。以上方式方法都是在不斷的探索與完善中，由于時間關系，點到為止，有什么好的方法，那都是我們集體的智慧；今天能起到拋磚引玉的作用是我們最大的期望。希望大家結合本校實際，抓綱務本，制定合理科學的復習方案，認真夯實基礎，提高學生解題技能，培養學生良好的應試心態，輕松迎考。最后，祝大家身體健康，工作順利！

第四篇：八年級數學相似三角形小結與復習

中考網 www.tmdps.cn 章相似三角形小結與復習[內容]

教學目標

1.對全章知識有一個系統的認識，掌握知識的結構和內在聯系.2.利用基本圖形結構的形成過程，掌握本章的重點：平行線分線段成比例定理和相似三角形 的判定及性質定理.3.通過例題分析，系統總結本章常用的數學思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.教學重點和難點

重點是掌握本章的主要概念、定理及數學方法.難點是靈活運用以上知識，提高解題能力.教學過程設計

一、掌握本章知識結構

具體內容見課本第258頁內容提要.二、按照“特殊——一般——特殊”的認識規律，理解本章的基本圖形的形成、變化及發展 過程，把握本章的兩個重點

1.平行線分線段成比例定理所對應的基本圖形(如圖5－123).要求：

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中考網 www.tmdps.cn(1)用平行線分線段成比例定理及推論證明比例式，會分線段成已知比；(2)對圖5－123(a),(b)要求會用比例式證明兩直線平行.2.相似三角形所對應的基本圖形.(1)類比推廣：從特殊到一般，如圖5－124；

(2)從一般到特殊：如圖5－125.要求：用對比的方法掌握相似三角形和相似多邊形的定義及性質，系統總結相似三角形的判 定方法和使用范圍，尤其注意利用中間相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本圖形中的典型結論有助于探求解題思路.(1)在圖5－125(a)中的相似三角形及相似比、面積比；

(2)在圖5－125(b)中有公邊共角的兩個相似三角形：公邊的平方等于兩相似三角形落在一條直線上的兩邊之積；

(3)在圖5－125(d)中射影定理及面積關系等常用的乘積式.三、通過例題分析，系統總結本章常用的數學思想及方法

abbca?b?,?.求:b?c的值.例1 已知：2354分析：已知等比條件時常有以下幾種求值方法：

(1)設比值為k;(2)比例的基本性質；

(3)方程的思想，用其中一個字母表示其他字母.abbc?及?54，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.設解法一

由23a=10k,b=15k,c=12k，中考網 www.tmdps.cn

中考網 www.tmdps.cn 則(a+b):(b－c)=25:3.a2b5?,?b3c4 解法二 ∵a?b5b?c1a?b25?.??b3b5b?c

3∴, ∴abb524b?,?a?,c?3b5, 解法三 ∵23c4,∴a=?2??b?b??a?b???3??5?1?25?b?c??b?4b?353??5?? ∴

例2 已知：如圖5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線交于O點，過O作

112??EF;(3)若MN為梯形中EF∥BC，分別交AB，DC于E，F.求證：(1)OE=OF;(2)ADBC位線，求證AF∥MC.分析：

(1)利用比例證明兩線段相等的方法.ac?dd,a=c(或b=d或a=b)，則b=d(或a=c或c=d)； ①若ab?da,則a=b(只適用于線段，對實數不成立)； ②若aca'c'??''dddd,a=a′,b=b′,c=c′,則d=d′.③若,(2)利用平行線證明比例式及換中間比的方法.中考網 www.tmdps.cn

中考網 www.tmdps.cn 112111????EF時，可將其轉化為“abc”類型后：(3)證明ADBCcc??1ab①化為直接求出各比值，或可用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；

②直接通分或移項轉化為證明四條線段成比例.(4)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉化為三角形問題.延長BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用運動的觀點將問題進行推廣.若直線EF平行移動后不過點O，分別交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如圖5－126(b),O1F 與O2F是否相等?為什么?(6)其它常用的推廣問題的方法有：類比、從特殊到一般等.例3 已知：如圖5－127，在ΔABC中，AB=AC，D為BC中點，DE⊥AC于E，F為DE中點，BE交AD于N，AF交BE于M.求證：AF⊥BE.分析：

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(1)分解基本圖形探求解題思路.(2)總結利用相似三角形的性質證明兩角相等，進一步證明兩直線位置關系(平行、垂直等)

ADDE?DCCF 的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到ADDF?BCCE,結合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.進一步可 結合中點定義得到得到AF⊥BE.(3)總結證明四條線段成比例的常用方法：①比例的定義；②平行線分線段成比例定理；③ 三角形相似的預備定理；④直接利用相似三角形的性質；⑤利用中間比等量代換；⑥利用面 積關系.例4 已知：如圖5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求證：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本圖形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用結論.222①勾股定理：AC+BC=AB.②面積公式：AC·BC=AB·CD.222③三個比例中項：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.中考網 www.tmdps.cn

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AC2AD?2BD ⑤BC(2)靈活運用以上結論，并掌握恒等變形的各種方法，是解決此類問題的基本途徑，如等式

兩邊都乘或除以某項，都平方、立方，或兩等式相乘等.(3)學習三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法.3242①證明a型：先得到a=bc型，再兩邊乘方，求出a來，進行化簡(證法一).或在a=bc兩邊乘以同一線段a，再進行化簡(證法二).22②證明a:b=c:d型問題的常用方法：

a2mmc??2nd nb(ⅰ)先證,再利用中間比證明

x2ca2x2ax??2?22d ybyy再兩邊平方：(ⅱ)先證b,然后設法將右邊降次，得

a2meamae?,??2bnbfnf,再將右邊化簡.b(ⅲ)先分別求出,兩式相乘得③證明a3:b3=c:d型問題的常用方法：

a2mx?2ny，再通過代換變形實現；(ⅰ)先用有關定理求出bax?y,兩邊平方或立方，再通過代換實現；(ⅱ)先證ba3mexcamaeax?,????????nbf,by,然后相乘并化簡：b3nfyd(ⅲ)先分別求出b第(1)題：

2證法一 ∵ CD=AD·BD, 422 ∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC)=(AE·BF)·(AB·CD).AC?BC

2AB 證法二 ∵ CD=AD·BD,CD=AC?BC

3AB∴ CD=AD·BD·

?AD?AC??BD?BC???????ABAB??AB?=?

=AE·BF·AB.第(2)題：

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中考網 www.tmdps.cn BC2BD?BABDBDDFCE????2ADEAAE,命 AD?ABADAC證法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，證得題得證.BCDEBC2DE2AE?ECCE?,得???222ACAEAE ACAEAE證法二 由證法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，BCDF?ACDE(相似三角形對應高的比等于對應邊的比)∴

BC2DFDEDFCEBCDE?????2ACAEDEAEAEAE ∵ DE∥BC，∴,∴AC第(3)題：

BC2BD?ABBD??2AD?ABAD, 證法一 ∵ACBC4BD2BF?BCBC3BF???423AE?ACAE ACADAC ∴,∴BCDF?ACDE 證法二： ΔADC∽ΔCDB，∴BC3DF3DF?DF2DF?BF?CFBF????332DE?AE?ECAE· DEDE?DE ∴ACBCDFBCDEBCBF?,?,?DEACAEACDF, 證法三 ∵ACBC3BCBCBCDF?DE?BFBF?????3ACACACDE?AE?DFAE ∴AC

四、師生共同小結

在學生思考總結的基礎上，教師歸納： 1.本章重點內容及基本圖形.2.本章重要的解題方法、數學思想方法及研究問題的方法.五、作業

課本第261～265頁復習題五中選取.補充題：

1.利用相似三角形的性質計算.已知：如圖5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E為AB上一點，過E作ED∥BC交AC于D，過D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=65,求FB的長.(答：2)

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2.證明相似三角形的方法.如圖5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF為ΔABD的中線.求證：DE=DF.(提

DE1?2.)示：證明ΔCDE∽ΔCAB，得到AB3.已知：如圖5－131，ΔABC內一點O，過O分別作各邊的平行線DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC.求證：

EFDHGK???1ACABBC(1)

(2)設SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.則

S1?S2?S3?S

4.構造相似三角形來解決問題.(1)(1)已知：如圖5－132，ΔABC中，點E為BC中點，點D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=

3100°，∠DEC=80°.求SΔABC+2SΔCDE；(答：8)(提示：延長AB至F，使F=AC.作∠BCF平分線交AF于G.—

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111??BC.(2)已知：如圖5－133，在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1:2:4.求證：ABAC111AB?AC1AB?ACAC????ABACBCAB?ACBCABBC.設(提示：把變形為，進一步變形為法

AB?ACAC和ABBC，作AE=AC,交BC延長線于E，構造相似三角形，使其對應邊的比分別為延長AB至D，使BD=AC.)

5.構造基本圖形(平行線分線段成比例定理).已知：如圖5－134，ΔABC的三邊BC，CA，AB上有點D，E，F.若AD，BE，CF三線交于一AFBDCE???1FBDCEA點O.求證：.(塞瓦定理)

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課堂教學設計說明

本教案需用1課時完成.本節例2在三角形相似的判定(四)中出現過，如果學生已經掌握，教師可在這節復習課中選 取補充題2或其它題目說明利用比例證明線段相等的方法.中考網 www.tmdps.cn

第五篇：人教版數學九年級上冊第24章《圓》小結與復習教案

第二十四章《圓》小結

一、本章知識結構框圖

二、本章知識點概括

（一）圓的有關概念

1、圓（兩種定義）、圓心、半徑；

2、圓的確定條件：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小； ②不在同一直線上的三個點確定一個圓。

3、弦、直徑；

4、圓弧（弧）、半圓、優弧、劣弧；

5、等圓、等弧，同心圓；

6、圓心角、圓周角；

7、圓內接多邊形、多邊形的外接圓；

8、割線、切線、切點、切線長；

9、反證法：假設命題的結論不成立，由此經過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立。

（二）圓的基本性質

1、圓的對稱性

①圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。*②圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心。

2、圓的弦、弧、直徑的關系

①垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

* [引申] 一條直線若具有：Ⅰ、經過圓心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所對的劣弧；Ⅴ、平分弦所對的優弧，這五個性質中的任何兩條，必具有其余三條性質，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ時，應除去弦為直徑的情況）

3、弧、弦、圓心角的關系

①在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。

②在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等。③在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧相等。

歸納：在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等。

4、圓周角的性質

①定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。②在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。

③推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。

（三）與圓有關的位置關系

1、點與圓的位置關系

設⊙O的半徑為r，OP=d則： 點P在圓內d

點P在圓上d=r；

點P在圓外d>r.2、直線與圓的位置關系

設⊙O的半徑為r，圓心O到l的距離為d則： 直線l與⊙O相交 dr 直線和圓沒有公共點。

3、圓與圓的位置關系

①如果兩圓沒有公共點，那么這兩個圓相離，分為外離和內含； 如果兩圓只有一個公共點，那么這兩個圓相切，分為外切和內切； 如果兩個圓有兩個公共點，那么這兩個圓相交。

②設⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2，圓心距為d，則： 兩圓外離 d＞r2＋r1； 兩圓外切 d＝r2＋r1； 兩圓相交

r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）； 兩圓內切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 兩圓內含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。

（四）圓的切線

1、定義：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線。

2、性質：

①圓的切線到圓心的距離等于半徑。②定理：圓的切線垂直于過切點的半徑。

③切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

3、判定：

①利用切線的定義。

②到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線。

③定理：經過半徑的外端并且和這條半徑垂直的直線是圓的切線。

（五）圓與三角形

1、三角形的外接圓

（1）定義：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

（2）三角形外心的性質：①是三角形三條邊垂直平分線的交點；②到三角形各頂點距離相等；③外心的位置：銳角三角形外心在三角形內，直角三角形的外心恰好是斜邊的中點，鈍角三角形外心在三角形外面。

2、三角形的內切圓

（1）定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。

（2）三角形內心的性質：①是三角形角平分線的交點；②到三角形各邊的距離相等；③都在三角形內。

（六）圓與四邊形

1、由圓周角定理可以得到：圓內接四邊形對角互補。

*

2、由切線長定理可以得到：圓的外切四邊形兩組對邊的和相等。

（七）圓與正多邊形

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形，其外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形與圓的關系

把圓分成n（n≥3）等份，依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形，這時圓叫做正n邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關計算（11個量）

邊數n，內角和，每個內角度數，外角和，每個外角度數，中心角αn，邊長an，半徑Rn，邊心距rn，周長ln，面積Sn

(Sn=1/2lnrn)

4、正多邊形的畫法

畫正多邊形的步驟：首先畫出符合要求的圓；然后用量角器或用尺規等分圓；最后順次連結各等分點。如用尺規等分圓后作正四、八邊形與正六、三、十二邊形。注意減少累積誤差。

（八）弧長、扇形的面積、圓錐的側面積和全面積公式

l弧長?n?R180 n?R21lRS扇形＝＝

(其中l為弧長)2360S圓錐側＝?rl(其中l為母線長)

（九）直角三角形的一個判定

如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。