第一篇：集合復(fù)習(xí)與小結(jié)

集合復(fù)習(xí)與小結(jié) 教學(xué)目標(biāo)

鞏固集合、子、交、并、補(bǔ)的概念、性質(zhì)和記號及它們之間的關(guān)系．

教學(xué)重點

正確應(yīng)用其概念和性質(zhì)做題．

教學(xué)難點

正確應(yīng)用其概念和性質(zhì)做題．

教學(xué)過程 復(fù)備欄

本單元主要介紹了以下三個問題： 1．集合的含義與特征； 2．集合的表示與轉(zhuǎn)化； 3．集合的基本運算．

一、集合的含義與表示（含分類）

1．具有共同特征的對象的全體,稱一個集合．

2．集合按元素的個數(shù)分為:有限集和無窮集兩類． 3．集合的表示．

二、集合表示法間的轉(zhuǎn)化

高中數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵也是看“四化” ．

三、集合的基本運算

1．子集：AB定義為，對任意x∈A，有x∈B.表現(xiàn)圖為A在B中包含著.2．補(bǔ)集：CSA={x|x∈S,且x A}.表現(xiàn)圖為整體中去掉A余下的部分.3．交集：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.表現(xiàn)圖示為A與B的公共部分.4．并集：A∪B={x|x∈A,或x∈B}.表現(xiàn)圖示為A與B合加在一起部分

附表：集合的三種運算： 運算類型 交

集 并

集 補(bǔ)

集 定

義

由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．

設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）記作，即 CSA=

韋 恩 圖 示

性 質(zhì) AA=A AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB(CSA)(CSB)=CS(AB)(CSA)(CSB)=CS(AB)A(CSA)=U A(CSA)=Φ．

容斥原理有限集A的元素個數(shù)記作card(A).對于兩個有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)-card(A∩B)．

四、例題選講

例1 定義集合A-B={x|x∈A,且xB}，則當(dāng)A∩B=時，A-B=_________；A∩B不空時呢？ 解：（1）A；（2）CU(A∩B).例2 給出下列說法：

（1）方程+|y+2|=0的解集為{-2,2}；

（2）集合{y|y=x2-1,x∈R}與集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元組成的集合為{0，-1}；（3）區(qū)間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素.其中正確的個數(shù)為___________.解：對于（1），解集應(yīng)為有序?qū)崝?shù)對，錯； 對于（2）{y|y=x2-1,x∈R}=與集合

{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0與-1兩個，錯；

對于（3）區(qū)間（-∞，1）與（a，+∞）無公共元素取決于1與a的大小，錯.故正確的個數(shù)是0.例3 已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，則x0，y0與集合M、N的關(guān)系是

.解：方法一：變?yōu)槲淖置枋龇?/p>

M={被3除余數(shù)為1的整數(shù)}，N={被3除余數(shù)為2的整數(shù)}，余數(shù)為1×余數(shù)為2→余數(shù)為2，故x0y0∈N,x0y0M．

方法二：變?yōu)榱信e法M={?,-2,1,4,7,10,13,},N={?,-1,2,5,8,11,?} M中一個元素與N中一個元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M 方法三：直接驗證）

設(shè)x0=3m+1,y0=3n+2,則x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0∈N,x0y0M．

例4 已知集合A={x|=1}是單元素集，用列舉法表示a的取值集合B 解：集合B表示方程=1有等根或僅有一個實數(shù)根時a的取值集合． ⑴有等根時有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；

①△=1-4(-a-2)=0, a=-9/4,此時x=1/2適合條件②，故a=-9/4滿足條件； ⑵僅有一個實數(shù)根時，x+a是x2-2的因式，而 =，∴a=±.當(dāng)a=時,x=1+,滿足條件； 當(dāng)a=時,x=1也滿足條件． 綜上，．

五、回顧小結(jié)

本節(jié)課對集合一章進(jìn)行了總結(jié)，要在理解集合相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會運用集合語言描述數(shù)學(xué)對象，更為清晰地表達(dá)數(shù)學(xué)思想.六．布置作業(yè)

教后反思

第二篇：集合與函數(shù)概念小結(jié)復(fù)習(xí)18

集合與函數(shù)概念(復(fù)習(xí))導(dǎo)入新課

為了系統(tǒng)掌握第一章的知識，教師直接點出課題.推進(jìn)新課 新知探究 提出問題

①第一節(jié)是集合，分為幾部分？ ②第二節(jié)是函數(shù)，分為幾部分？

③第三節(jié)是函數(shù)的基本性質(zhì)，分為幾部分？ ④畫出本章的知識結(jié)構(gòu)圖.討論結(jié)果:①分為：集合的含義、集合間的基本關(guān)系和集合的運算三部分.②分為：定義、定義域、解析式、值域四部分；其中又把函數(shù)的概念拓展為映射.③分為：單調(diào)性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知識結(jié)構(gòu)圖如圖1-1所示，圖1-1 應(yīng)用示例

例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，則必有（）A.P∩Q=? B.PQ

C.P=Q

D.PQ

點評：判斷用描述法表示的集合間關(guān)系時，一定要搞清兩集合的含義，明確集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是數(shù)集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是點集，數(shù)集和點集的交集是空集.變式訓(xùn)練

1.2007山東威海一模，文1設(shè)集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，則下列關(guān)系中正確的是（）A.M=P

B.PM

C.MP

D.M∩P=R

2.2007河南周口高三期末調(diào)研，理6定義集合A與B的運算A*B={x|x∈A或x∈B,且x?A∩B},則(A*B)*A等于（）A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B 點評：解決新定義集合運算問題的關(guān)鍵是抓住新運算定義的本質(zhì)，本題A*B的本質(zhì)就是集合A與B的并集中除去它們公共元素組成的集合.例2求函數(shù)y=x2+1的最小值.分析：思路一:利用實數(shù)運算的性質(zhì)x2≥0，結(jié)合不等式的性質(zhì)得函數(shù)的最小值； 思路二:直接利用二次函數(shù)的最值公式，寫出此函數(shù)的最小值.點評：求函數(shù)最值的方法：

觀察法：當(dāng)函數(shù)的解析式中僅含有x2或|x|或x時，通常利用常見的結(jié)論x2≥0,|x|≥0,x≥0等，直接觀察寫出函數(shù)的最值；

公式法：求基本初等函數(shù)（正、反比例函數(shù)，一次、二次函數(shù)）的最值時，應(yīng)用基本初等函數(shù)的最值結(jié)論（看成最值公式），直接寫出其最值.例3求函數(shù)y=3x的最大值和最小值.2x?4分析：把變量y看成常數(shù)，則函數(shù)的解析式可以整理成必有實數(shù)根的關(guān)于x的方程，利用判別式的符號得關(guān)于y的不等式，解不等式得y的取值范圍，從而得函數(shù)的最值.ax2?bx?c點評：形如函數(shù)y=2(d≠0)，當(dāng)函數(shù)的定義域是R（此時e2-4df<0）時，常用判dx?cx?f別式法求最值，其步驟是①把y看成常數(shù)，將函數(shù)解析式整理為關(guān)于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分類討論m＝0是否符合題意；③當(dāng)m≠0時，關(guān)于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，則此一元二次方程必有實數(shù)根，得n2-4mk≥0即關(guān)于y的不等式，解不等式組?n2?4mk?0,此不等式組的解集與②中y的值取并集得函數(shù)的值域，從而得函數(shù)的最大?m?0.?值和最小值.例42007河南開封一模，文10函數(shù)f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，則函數(shù)g(x)=f(x)在區(qū)間（1，+∞）上一定（）xA.有最小值

B.有最大值

C.是減函數(shù)

D.是增函數(shù)

點評：定義法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性的步驟是①在所給區(qū)間上任取兩個變量x1、x2；②比較f(x1)與f(x2)的大小，通常利用作差比較它們的大小，先作差，后將差變形，變形的手段是通分、分解因式，變形的結(jié)果常是完全平方加上一個常數(shù)或因式的積（商）等；③由②中差的符號確定函數(shù)的單調(diào)性.注意：函數(shù)f(x)在開區(qū)間D上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在開區(qū)間D上沒有最大值，也沒有最小值.變式訓(xùn)練

求函數(shù)f(x)=x-1的單調(diào)區(qū)間.點評：復(fù)合函數(shù)是指由若干個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，它的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)的單調(diào)性有密切聯(lián)系，其單調(diào)性的規(guī)律為：“同增異減”，即復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)2

有相同的單調(diào)性時，函數(shù)y=f［g(x)］為增函數(shù)，如果具有相異（即相反）的單調(diào)性，則函數(shù)y=f［g(x)］為減函數(shù).討論復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟是：①求復(fù)合函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成若干個常見的基本初等函數(shù)并判斷其單調(diào)性；③依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律口訣：“同增異減”，判斷或?qū)懗龊瘮?shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間.注意：本題如果忽視函數(shù)的定義域，會錯誤地得到單調(diào)遞增區(qū)間是［0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,0］.其避免方法是討論函數(shù)的性質(zhì)要遵守定義域優(yōu)先的原則.例5集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若B?A，則實數(shù)m＝________.黑色陷阱：本題任意忽視B=?的情況，導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤m=-1,問題要全面，要注意空集是任何集合的子集.變式訓(xùn)練

1.避免此類錯誤的方法是考慮4?x?2?0已知集合A={x|?}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求實數(shù)p的取值范圍.5?x?0?

點評：本題是已知集合運算的結(jié)果，求參數(shù)的值，解決此類問題的關(guān)鍵是依據(jù)集合運算的含義，觀察明確各集合中的元素，要注意集合元素的互異性在解決含參數(shù)集合問題中的作用；空集是一個特殊的集合，是任何集合的子集，求解有關(guān)集合間的關(guān)系問題時一定要首先考慮空集；

要重視常見結(jié)論A∩B=B?A∪B=A?B?A的應(yīng)用，此時通常要分類討論解決集合問題，分類討論時要考慮全面，做到不重不漏.例6求函數(shù)y=x+4,x∈［1,3］的最大值和最小值.x分析：利用函數(shù)的單調(diào)性來求得函數(shù)的最值.轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性.點評：如果能夠確定函數(shù)的單調(diào)性，那么可以利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)最值，這種方法稱為單調(diào)法，主要應(yīng)用以下結(jié)論：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上是減函數(shù)，在區(qū)間［b,c］上是增函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,c］上的最大值是f(a)與f(c)的最大值，最小值是f(b)；函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，在區(qū)間［b,c］上是減函數(shù)，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,c］上的最小值是f(a)與f(c)的最大值，最大值是f(b).單調(diào)法求函數(shù)最值的難點是確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，借助于函數(shù)的圖象，常用單調(diào)性的定義來判斷，還要靠經(jīng)驗的積累.例7求函數(shù)y=x4+2x2-2的最小值.點評：求形如函數(shù)y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+bx?c(ab≠0)的最值時，常用設(shè)xm=t或bx?c=t，利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)等常見函數(shù)的最值問題，這種求最值的方法稱為換元法.此時要注意換元后函數(shù)的定義域.例82007江西金太陽全國第二次大聯(lián)考，理22定義在(-1，1)上的函數(shù)f(x)滿足：對任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f（x?y).1?xy(1)求證：函數(shù)f(x)是奇函數(shù)；

(2)若當(dāng)x∈(-1，0)時，有f(x)>0，求證：f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).點評：對于抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題時，必用單調(diào)性和奇偶性的定義來解決，即定義法是解決抽象函數(shù)單調(diào)性和奇偶性問題的通法；判斷抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性時，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性，知能訓(xùn)練

1.2006陜西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},則P∩Q等于（）A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}

D.{2} 2.2006安徽高考，文1設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，則等于（）A.? B.{2,4,7,8}

C.{1,3,5,6}

D.{2,4,6,8} 3.已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.（1）求f（x）；

（2）求f（x）在區(qū)間［-1，1］上的最大值和最小值.課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了：總結(jié)了第一章的基本知識并形成知識網(wǎng)絡(luò)，歸納了常見的解題方法.作業(yè)

復(fù)習(xí)參考題任選兩題.(S∪T)

第三篇：向量小結(jié)與復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)教案第五章平面向量（第23課時）課題：5.13向量小結(jié)與復(fù)習(xí)（2）

教學(xué)目的：

1.熟悉向量的性質(zhì)及運算律；2.能根據(jù)向量性質(zhì)特點構(gòu)造向量；

3.熟練平面幾何性質(zhì)在解題中應(yīng)用；4.熟練向量求解的坐標(biāo)化思路.5.認(rèn)識事物之間的內(nèi)在聯(lián)系；

6.認(rèn)識向量的工具性作用，加強(qiáng)數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用意識

.教學(xué)重點：向量的坐標(biāo)表示的應(yīng)用；構(gòu)造向量法的應(yīng)用.教學(xué)難點：構(gòu)造向量法的適用題型特點的把握

授課類型：復(fù)習(xí)課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

教學(xué)方法:啟發(fā)引導(dǎo)式

針對向量坐標(biāo)表示的應(yīng)用，通過非坐標(biāo)形式解法與坐標(biāo)化解法的比較來加深學(xué)生對于向量坐標(biāo)表示的認(rèn)識，同時要加強(qiáng)學(xué)生選擇建立坐標(biāo)系的意識.對于“構(gòu)造向量法”的應(yīng)用，本節(jié)例題選擇了本章的重點內(nèi)容數(shù)量積的坐標(biāo)表示，目的要使學(xué)生把握坐標(biāo)表示的數(shù)量積性質(zhì)的形式特點，同時增強(qiáng)學(xué)生的解題技巧，提高解題能力教學(xué)過程：

一、講解范例：

例1利用向量知識證明下列各式

22(1)x＋y≥

2xy

22(2)｜x｜＋｜y｜≥2x·y

分析：(1)題中的結(jié)論是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法證得，而利用向量知識求證，則需構(gòu)造向量，故形式上與向量的數(shù)量積產(chǎn)生聯(lián)系.(2)題本身含有向量形式，可根據(jù)數(shù)量積的定義式并結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求證.證明：(1)設(shè)a＝（x，y），b＝（y，x）則a·b＝xy＋yx＝2

xy

222222｜a｜·｜b｜＝x?y?x?y?x?y

又a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ(其中θ為a，b夾角)

≤｜a｜·｜b

｜

22∴x＋y≥2xy

(2)設(shè)x，y的夾角為θ，則x·y＝｜x｜·｜y｜cosθ≤｜x｜·｜y｜≤

22x?y222 ∴｜x｜＋｜y｜≥2x·

y

22評述：(1)上述結(jié)論表明，重要不等式a＋b≥2ab，無論對于實數(shù)還是向量，都成立.(2)在(2)題證明過程中，由于｜x｜，｜y｜是實數(shù)，故可以應(yīng)用重要不等式求證.例2利用向量知識證明

22222(a1b1＋a2b2)≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

分析：此題形式對學(xué)生較為熟悉，在不等式證明部分常用比較法證明，若利用向量知識求證，則關(guān)鍵在于根據(jù)其形式與數(shù)量積的坐標(biāo)表示產(chǎn)生聯(lián)系，故需要構(gòu)造向量

.證明：設(shè)a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

則a·b＝a1b1＋a2b2，222222｜a｜＝a1＋a2，｜b｜＝b1＋b2

∵a·b＝｜a｜·｜b｜cosθ≤｜a｜·｜b｜.(其中θ為a，b夾角)

222∴（a·b）≤｜a｜·｜b｜

22222∴（a1b1＋a2b2）≤（a1＋a2）·（b1＋b2）

評述：此題證法難點在于向量的構(gòu)造，若能恰當(dāng)構(gòu)造向量，則利用數(shù)量積的性質(zhì)容易證明結(jié)論.這一技巧應(yīng)要求學(xué)生注意體會.例3已知ｆ（x）＝?x2

求證：｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜(a≠b）

分析：此題若用分析法證明，則需采用平方的手段以去掉絕對值，但由于ｆ（a）、ｆ（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能達(dá)到去根號的目的.也可考慮構(gòu)造向量法，利用向量的性質(zhì)求證.下面給出兩種證法.證法一：∵ｆ（a）＝?a2，ｆ（b）＝?

b2，∴要證明｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b

｜ 只需證明｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

2222222即1＋a＋1＋b－2(1?a)(1?b)＜a＋b－2

ab

22即(1?a)(1?b)＞1＋

ab 2222只需證明（(1?a)(1?b)）＞（1＋ab）

即1＋a＋b＋ab＞1＋2ab＋ab

22即a＋b＞2

ab

22∵a＋b≥2ab又a≠

b

22∴a＋b＞2

ab

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜

證法二：設(shè)a＝（1，a），b＝（1，b）

則｜a｜＝?a2，｜b｜＝?b2 222222

a－b＝（O，a－b）

｜a－b｜＝｜a－b

｜

由｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜，（其中當(dāng)｜a｜＝｜b｜即a＝b時，取“＝”，而a≠

b

∴｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a－b

｜ 即｜?a2－?b2｜＜｜a－b｜

∴｜ｆ（a）－ｆ（b）｜＜｜a－b｜.評述：通過兩種證法的比較，體會“構(gòu)造向量法”的特點，加深對向量工具性作用的認(rèn)識.上述三個例題，主要通過“構(gòu)造向量”解決問題，要求學(xué)生在體驗向量工具性作用的同時，注意解題方法的靈活性.下面，我們通過下面的例題分析，讓大家體會向量坐標(biāo)運算的特點，以及“向量坐標(biāo)化”思路在解題中的具體應(yīng)用.例4已知：如圖所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線.求證AC⊥BD.分析：對于線段的垂直，可以聯(lián)想到兩個向量垂直的充要條件，而對于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量式的形式，也可以考慮坐標(biāo)形式的充要條件.證法一：∵AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴·＝（＋）·（－）＝｜｜－｜｜＝

O

∴⊥

證法二：以O(shè)C所在直線為x軸，以B為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)B(O，O)，A(a，b)，C（c，O）

222則由｜AB｜＝｜BC｜得a＋b＝c ∵AC＝BC－BA＝（c，O）－（a，b）＝（c－a，－b），22 ＝＋＝（a，b）＋（c，O）＝（c＋a，b）∴·＝c－a－b＝O 222

∴⊥即 AC⊥

BD

評述：如能熟練應(yīng)用向量的坐標(biāo)表示及運算，則將給解題帶來一定的方便.通過向量的坐標(biāo)表示，可以把幾何問題的證明轉(zhuǎn)化成代數(shù)式的運算，體現(xiàn)了向量的數(shù)與形的橋梁作用，有助于提高學(xué)生對于“數(shù)形結(jié)合”解題思想的認(rèn)識和掌握.例5 若非零向量a和b滿足｜a＋b｜＝｜a－b｜.證明：a⊥b

.分析：此題在綜合學(xué)習(xí)向量知識之后，解決途徑較多，可以考慮兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，也可考慮平面圖形的幾何性質(zhì)，下面給出此題的三種證法.證法一：(根據(jù)平面圖形的幾何性質(zhì))設(shè)＝a，＝b，由已知可得a與b不平行，由｜a＋b｜＝｜a－b｜得以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線和相等

.所以平行四邊形OACB是矩形，∴OA⊥OB，∴a⊥

b

證法二：∵｜a＋b｜＝｜a－b

｜

22∴（a＋b）＝（a－b）

2222∴a＋2a·b＋b＝a－2a·b＋b

∴a·b＝O，∴a⊥

b

證法三：設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），22｜a＋b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22｜a－b｜＝(x1?x2)?(y1?y2)，22∴(x1?x2)?(y1?y2)22＝(x1?x2)?(y1?y2)，化簡得：x1x2＋y1y2＝O，∴a·b＝O，∴a⊥b.例6 已知向量a是以點A(3，－1)為起點，且與向量b＝（－3，4）垂直的單位向量，求a的終點坐標(biāo).分析：此題若要利用兩向量垂直的充要條件，則需假設(shè)a的終點坐標(biāo)，然后表示a的坐標(biāo)，再根據(jù)兩向量垂直的充要條件建立方程.解：設(shè)a的終點坐標(biāo)為（ｍ，ｎ）

則a＝（ｍ－3，ｎ＋1）

由題意???3(m?3)?4(n?1)?0

22?(m?3)?(n?1)?1 ①

②

由①得：ｎ＝

21（3ｍ－13）代入②得 425ｍ－15Oｍ＋2O9＝O 19?11?m?,m?,12????55或?解得?

?n??2.?n??8.12?5?5??

∴a的終點坐標(biāo)是（192118,?)或(,?)555

5評述：向量的坐標(biāo)表示是終點坐標(biāo)減去起始點的坐標(biāo)，所以向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)既有聯(lián)系又有區(qū)別，二者不能混淆.上述例題，主要體現(xiàn)了兩向量垂直的充要條件的應(yīng)用，在突出本章這一重點知識的同時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意解題方法的靈活性，尤其是向量的坐標(biāo)化思路在解題時的應(yīng)用，將幾何與代數(shù)知識溝通起來.二、課堂練習(xí)：

1.已知a＝（1，O），b＝（1，1），當(dāng)λ為何值時，a＋λb與a垂直

.解：a＋λb＝（1，O）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）

∵（a＋λb）⊥a∴（a＋λb）·a＝

O

∴（1＋λ）＋O·λ＝O∴λ＝－

1即當(dāng)λ＝－1時，a＋λb與a垂直.2.已知｜a｜＝，｜b｜＝2，a與b的夾角為3O°，求｜a＋b｜，｜a－b｜

.2222解：｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b

22＝｜a｜＋2·｜a｜·｜b｜cos3O°＋｜b｜

＝（）＋2×3×2×232＋2＝

32∴｜a＋b｜＝，∵｜a－b｜＝（a－b)＝a－2a·b＋b

22＝｜a｜－2｜a｜·｜b｜·cos3O°＋b

＝（3）－2××2×222222＋2＝

∴｜a－b｜＝

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a與b的夾角為6O°，c＝3a＋5b，d＝ｍa－3b.當(dāng)ｍ為何值時，c與d是否垂直?

解：若c⊥d，則c·d＝

O

∴（3a＋5b）（ｍa－3b)＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）a·b－15｜b｜＝

O

22∴3ｍ｜a｜＋（5ｍ－9）｜a｜｜b｜cos6O°－15｜b｜＝

O

即27ｍ＋3（5ｍ－9）－6O＝O，解得ｍ＝29.1

44.已知a＋b＝c，a－b＝

d

求證：｜a｜＝｜b｜?c⊥

d

證明：(1)c⊥

d

22（a－b）＝O? a－b＝

O ?（a＋b）

? a2＝b2? ｜a｜＝｜b

｜，(2)｜a｜＝｜b｜

（a－b）＝O? c⊥d

.? a2＝b2? a2－b2＝O?（a＋b）

三、小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家進(jìn)一步熟悉向量的性質(zhì)及運算律，熟悉平面幾何性質(zhì)在解題中的應(yīng)用，能夠掌握向量坐標(biāo)化的思路求解問題，掌握構(gòu)造向量并利用向量性質(zhì)解題、證題的方法

.四、課后作業(yè)：

五、課后記及備用資料：

1.三角形內(nèi)角和性質(zhì)

定理：在△ABC中，A、B、C分別為三個內(nèi)角，則A＋B＋C＝18O°

推論(1)B＝6O°?2B＝A＋C

推論(2)若A＜9O°，則有

sinB＞cosC，cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC

.推論(3)sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.A?BCA?BC?cos,cos?sin,2222推論(4)A?BCA?BCtan?cot,cot?tan.2222sin

2.三角形內(nèi)角和性質(zhì)應(yīng)用舉例

例1△ABC中，若tanB?tanCa?c?,求證：A、B、C成等差數(shù)列

.tanB?tanCa

證明：由條件得sin(B?C)sinA?sinC，?sin(B?C)sinA

由推論(3)得sin（B＋C）＝sinA.∴sin（B－C）＝sinA－sinC

∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC，即2cosBsinC＝sin

C

∵sinC≠O，∴cosB＝1?，∴B＝.2

3故由推論(1)得2B＝A＋C.所以A、B、C成等差數(shù)列

.例2在銳角△ABC中，求證：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

證明：∵△ABC是銳角三角形，∴A＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinB＞cosC ①

B＜9O°，根據(jù)推論(2)有：sinC＞cosA

②

C＜9O°，根據(jù)推論(2)有sinA＞cosB ③ ∴①＋②＋③得：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

.例3已知△ABC，求證(a－b)cotCAB＋(b－c)cot＋(c－a)cot＝

O.222

證明：根據(jù)正弦定理和推論(4)，有

CA?BA?BA?B＝2Ｒ(sinA－sinB)tan＝4Ｒsinsin，2222

C∴（a－b）cot＝2Ｒ（cosB－cosA）2

A同理，（b－c）cot＝2Ｒ（cosC－cosB）； 2

B（c－a）cot＝2Ｒ（cosA－cosC).2

CAB三式相加可得（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝O.222(a－b)cot

第四篇：二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)

二次函數(shù)小結(jié)與復(fù)習(xí)

（二）1、填表

2、我國是最早發(fā)明火箭的國家，制作火箭模型、模擬火箭升空是青少年喜愛的一項科技活動，已知學(xué)校航模組設(shè)計制作的火箭的升空高度h（m）與飛行的時間t（s）的關(guān)系是h=-t2+26t+1，如果火箭在點火升空到最高點時打開降落傘，那么火箭點火后多少時間降落傘打開？這時該火箭的高度是多少？

3、美國圣路易斯市有一座巨大的拱門，這座拱門高和底寬都是192m的不銹鋼拱門是美國開發(fā)西部的標(biāo)志性建筑，如果把拱門看作一條拋物線，你能建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系并寫出這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系嗎？試試看

4、一艘裝有防汛器材的船，露出水面部分的寬為4m，高為0.75m，當(dāng)水面距拋物線形拱橋的拱頂5m時，橋洞內(nèi)水面寬為8m，要使該船順利通過拱橋，水面距拱頂?shù)母叨戎辽俣喔撸?/p>

5、把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象沿y軸向下平移1個單位長度，再沿x軸向左平移5個單位，所得的拋物線的頂點坐標(biāo)是（-2,0），寫出原拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。

6、心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，某年齡段的學(xué)生，30min內(nèi)對概念的接受能力y與提出概念 的時間x之間滿足函數(shù)關(guān)系：y=-0.1x2+2.6x+43（0《x《30），試判斷何時學(xué)生接受概念的能力最強(qiáng)？什么時段學(xué)生接受概念的能力逐步降低？

7、如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從A、C出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到點B為止，點Q以2cm/s的速度向點D移動

（1）試寫出P、Q兩點的距離y（cm）與P、Q兩點的移動時間x（s）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）經(jīng)過多長時間P、Q兩點之間的距離最小（注：算術(shù)平方根的值隨著被開方數(shù)的增大而增大，隨著被開方數(shù)的減小而減小）？

8、某地要建造一個圓形水池，在水池中央垂直于水面安裝一個裝飾柱OA，O恰在水面中心，柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，形狀如圖①，在如圖②的平面直角坐標(biāo)系中，水流噴出的高度y（m）與水平距離x的關(guān)系式滿足（1）求OA的高度；

（2）求噴出的水流距水平面的最大高度；如果不計其他因素，那么水池半徑至少為為多少時，才能使噴出的水流不落在水池外？

第五篇：第二章小結(jié)與復(fù)習(xí)1

第二章小結(jié)與復(fù)習(xí)（第一課時）學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.使學(xué)生對本章的知識的知識更系統(tǒng)，更全面。

2.進(jìn)一步加深學(xué)生對本章基礎(chǔ)知識的理解及基本技能（主要是計算）的掌握 學(xué)習(xí)重點難點：

本章基礎(chǔ)知識的歸納，總結(jié)，基礎(chǔ)知識的運用 學(xué)習(xí)過程： 快樂自學(xué)：

閱讀教材P77，了解本章知識脈絡(luò)。

一、復(fù)習(xí)引入：

1．主要概念：

(1)關(guān)于單項式，你都知道什么?

(2)關(guān)于多項式，你又知道什么? 復(fù)習(xí)單項式的定義、單項式的系數(shù)、次數(shù)的定義，多項式的定義以及多項式的項、同類項、次數(shù)、升降冪排列等定義。(3)什么叫整式? ?單項式（定義系數(shù)次）數(shù)整式?多項式（項同類項次

升數(shù)降冪排列）?2．主要法則：

①在本章中，我們學(xué)習(xí)了哪幾個重要的法則?分別如何敘述? ②歸納總結(jié)：

?去（添）括號。整式的加減?合并同類項。?

二、探究新知：

1．例題：

例1：找出下列代數(shù)式中的單項式、多項式和整式。

x?y?z3，4xy，m1a2n2，x2+x+

1x，0，1x2?2x，m，―2.01×105

例2：指出下列單項式的系數(shù)、次數(shù)：ab，―x2，3xy5，?x535yz3。

注意事項：系數(shù)應(yīng)包括前面的“+”號或“―”號，次數(shù)是“指數(shù)之和”。

3223例3：指出多項式a―ab―ab+b―1是幾次幾項式，最高次項、常數(shù)項各是什么？

例4：化簡，并將結(jié)果按x的降冪排列：

(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；

(2)―［―(―x+)］―(x―1)；(3)―3(x2―2xy+y2)+ 121212(2x2―xy―2y2)。

注意事項：

(1)去括號(包括去多重括號)的問題；(2)數(shù)字與多項式相乘時分配律的使用問題。

三、小結(jié)：

學(xué)完本章后我的收獲是 還有沒解決的問題是 達(dá)標(biāo)檢測：

1.在,中，單項式有：.多項式有__________________________。

2.一種商品每件a元，按成本增加20%定出的價格是

3.已知-7x2ym是7次單項式則m=。

4.已知-5xmy3與4x3yn能合并，則mn =。

5.7-2xy-3x2y3+5x3y2z-9x4y3z2是 次 項式，其中最高次項是，最高次項的系數(shù)是，常數(shù)項是，是按字母 作 冪排列。6.已知x－y=5,xy=3，則3xy-7x+7y=。7.已知A=3x+1,B=6x-3，則3A-B=。8.計算

①（a3-2a2+1）-2(3a2-2a+

1)②x-2(1-2x+x2)+3(-2+3x-x2)29.已知ab=3,a+b=4，求3ab－[2a-(2ab-2b)+3]的值。

10.若(x＋ax－2y＋7)―(bx―2x＋9 y－1)的值與字母x的取值無關(guān)，求a、b的值。

2211.求5ab-2[3ab-(4ab2+ab)]-5ab2的值，其中a=，b=-

12.如圖所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n>1）個點，每個圖形總的點數(shù)S是多少？當(dāng)n=7，100時，S是多少？

15.如圖所示的規(guī)律擺下去，用S表示相應(yīng)的圖中的點數(shù)，請表示出第n個圖中的點數(shù)S。并計算第2013個圖中的點數(shù)。

選做、已知A?4x?5xy?y,B?x?3xy?5y，求：（1）A-5B的值；（2）-5A+2B的值。22228、已知x?y?2xy，求參考答案：

4x?5xy?4y的值。x?xy?y432 2、1.2a 3、5 4、5 5、12 5、11 4-9xyz

－9 7 x 升

6、－26 7、3x+6

8、